遼寧省本溪市縣職教中心第二職業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

遼寧省本溪市縣職教中心第二職業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列關(guān)于命題的說法錯(cuò)誤的是(

)A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”；B．“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件；C．若命題：，則：；

D．命題“”是真命題參考答案：D【知識(shí)點(diǎn)】命題及其關(guān)系A(chǔ)2因?yàn)槊}“若x2-3x+2=0，則x=1”的逆否命題為“若x≠1，則x2-3x+2≠0”，所以A正確；由a=2能得到函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，反之，函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，a不一定大于2，所以“a=2”是“函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)”的充分不必要條件，所以選項(xiàng)B正確；命題P：n∈N，2n＞1000，的否定為￢P：n∈N，2n≤1000，所以C正確；因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)恒有2x＞3x，所以命題“x∈（-∞，0），2x＜3x”為假命題，所以D不正確【思路點(diǎn)撥】選項(xiàng)A是寫一個(gè)命題的逆否命題，只要把原命題的結(jié)論否定當(dāng)條件，條件否定當(dāng)結(jié)論即可；選項(xiàng)B看由a=2能否得到函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，反之又是否成立；選項(xiàng)C、D是寫出特稱命題的否定，注意其否定全稱命題的格式．2.已知函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸為直線，且，則的最小值為(

)A. B.0 C. D.參考答案：D【分析】運(yùn)用輔助角公式，化簡函數(shù)的解析式，由對(duì)稱軸的方程，求得的值，得出函數(shù)的解析式，集合正弦函數(shù)的最值，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)為輔助角，由于函數(shù)的對(duì)稱軸的方程為，且，即，解得，所以，又由，所以函數(shù)必須取得最大值和最小值，所以可設(shè)，，所以，當(dāng)時(shí)，的最小值，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中利用三角恒等變換的公式，化簡函數(shù)的解析式，合理利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.3.已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差數(shù)列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比數(shù)列，則等于（）A． B． C．﹣ D．或﹣參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)求得a2﹣a1、b2，則答案可求．【解答】解：∵﹣2，a1，a2，﹣8成等差數(shù)列，∴，∵﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比數(shù)列，∴，∴．故選：B．4.已知拋物線的焦點(diǎn)F和準(zhǔn)線l，過點(diǎn)F的直線交l于點(diǎn)A，與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為B，且，則（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】由題設(shè)解三角形求出a的值，再求|AB|的值得解.【詳解】由題設(shè)過點(diǎn)B作BC⊥l,垂足為C,則|BC|=a,，設(shè)準(zhǔn)線l交x軸與D,則所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.5.“a＜﹣1”是“a2＞1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】解a2＞1可得a＜﹣1，或a＞1，由集合{a|a＜﹣1}是集合{a|a＜﹣1，或a＞1}的真子集，可得結(jié)論．【解答】解：由a2＞1可得a＜﹣1，或a＞1，由集合{a|a＜﹣1}是集合{a|a＜﹣1，或a＞1}的真子集，可得“a＜﹣1”是“a2＞1”的充分不必要條件，故選A6.已知為實(shí)數(shù)集，集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C∵=為實(shí)數(shù)，∴2﹣a=0，即a=2．7.“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．既不充分也不必要條件C．充要條件

D.必要不充分條件

參考答案：D8.已知映射.設(shè)點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，.當(dāng)點(diǎn)在線段上從點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所經(jīng)過的路線長度為A．

B．

C．

D．參考答案：B9.某班級(jí)有50名學(xué)生，其中有30名男生和20名女生，隨機(jī)詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的成績，五名男生的成績分別為86,94,88,92,90，五名女生的成績分別為88,93,93,88,93.下列說法一定正確的是

（A）這種抽樣方法是一種分層抽樣（B）這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣（C）這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差（D）該班級(jí)男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)參考答案：C10.（5分）已知復(fù)數(shù)z1=1﹣i，z2=2+i，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的(）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限參考答案：D∵z1=1﹣i，z2=2+i，∴=（1﹣i）2（2+i）=（1﹣2i+i2）（2+i）=2﹣4i，因?yàn)辄c(diǎn)（2，﹣4）位于第四象限，故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第四象限，故選D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知a∈R,函數(shù)f（x）=ex+a?e﹣x的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）是奇函數(shù)，若曲線y=f（x）的一條切線的斜率為

,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程。L4

【答案解析】ln2解析：由題意可得，f′（x）=ex﹣是奇函數(shù)，∴f′（0）=1﹣a=0∴a=1，f（x）=ex+，f′（x）=ex﹣，∵曲線y=f（x）在（x，y）的一條切線的斜率是，∴=ex﹣，解方程可得ex=2，∴x=ln2．故答案為：ln2．【思路點(diǎn)撥】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，先由導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)可求a，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)切點(diǎn)，表示切線的斜率，解方程可得．12.已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：（1）對(duì)任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)f（x）=2﹣x給出結(jié)論如下：①任意m∈Z，有f（2m）=0；②函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）?（2k，2k﹣1）．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是參考答案：①②④考點(diǎn)： 抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)的周期性．

專題： 綜合題；壓軸題．分析： 依據(jù)題中條件注意研究每個(gè)選項(xiàng)的正確性，連續(xù)利用題中第（1）個(gè)條件得到①正確；連續(xù)利用題中第（2）個(gè)條件得到②正確；利用反證法及2x變化如下：2，4，8，16，32，判斷③命題錯(cuò)誤；據(jù)①②③的正確性可得④是正確的．解答： 解：①f（2m）=f（2?2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2），正確；②取x∈（2m，2m+1），則∈（1，2]；f（）=2﹣，從而f（x）=2f（）=…=2mf（）=2m+1﹣x，其中，m=0，1，2，…從而f（x）∈[0，+∞），正確；③f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1，假設(shè)存在n使f（2n+1）=9，即存在x1，x2，﹣=10，又，2x變化如下：2，4，8，16，32，顯然不存在，所以該命題錯(cuò)誤；④根據(jù)前面的分析容易知道該選項(xiàng)正確；綜合有正確的序號(hào)是①②④．點(diǎn)評(píng)： 本題通過抽象函數(shù)，考查了函數(shù)的周期性，單調(diào)性，以及學(xué)生的綜合分析能力，難度不大．13.等差數(shù)列的公差為d，關(guān)于x的不等式＋＋c≥0的解集為[0，22]，則使數(shù)列的前n項(xiàng)和最大的正整數(shù)n的值是

．參考答案：1114.設(shè)p：f（x）=lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）上是遞增的，q：m≥﹣4，則p是q的條件．參考答案：充要【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：要使f（x）=lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，則f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，即f′（x）=恒成立，∴m在（0，+∞）恒成立，∵當(dāng)x＞0時(shí)，，∴，即m≥﹣4，∴p：m≥﹣4，∵q：m≥﹣4，∴p是q的充分必要條件．故答案為：充要條件15.一個(gè)單位共有職工200人，其中不超過45歲的有120人，為了調(diào)查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個(gè)容量為25的樣本，應(yīng)抽取超過45歲的職工

．參考答案：1016.已知函數(shù)f（x）=，若f（a）=f（b）（0＜a＜b），則當(dāng)取得最小值時(shí)，f（a+b）=

．參考答案：1﹣2lg2【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得ab=1，再根據(jù)基本不等式得到當(dāng)取得最小值，a，b的值，再代值計(jì)算即可【解答】解：由f（a）=f（b）可得lgb=﹣lga，即lgab=0，即ab=1，則==4a+b≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)b=4a時(shí)，取得最小值，由，可得a=，b=2，∴f（a+b）=f（）=lg=1﹣2lg2，故答案為：1﹣2lg2．17.圓心在曲線上，且與直線2x+y+1=0相切的面積最小的圓的方程為參考答案：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．由圓心在曲線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，）a＞0，又圓與直線2x+y+1=0相切，所以圓心到直線的距離d=圓的半徑r，由a＞0得到：d=，當(dāng)且僅當(dāng)2a=即a=1時(shí)取等號(hào)，所以圓心坐標(biāo)為（1，2），圓的半徑的最小值為，則所求圓的方程為：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．（1）求a1的值；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；（3）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=，求證：b1+b2+…+bn＜．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）由已知得S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），a2=11，由此能求出a1．（2）當(dāng)n≥2時(shí)，由an=Sn﹣Sn﹣1，得an=nan﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），從而得到數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=5，公差為6的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．（3）由=（），由此能證明b1+b2+…+bn＜．【解答】解：（1）∵Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．∴S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），∵a2=11，解得a1=5．（2）當(dāng)n≥2時(shí)，由an=Sn﹣Sn﹣1，得an=nan﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），∴（n﹣1）an﹣（n﹣1）an﹣1=6（n﹣1），∴an﹣an﹣1=6，n≥2，n∈N*，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=5，公差為6的等差數(shù)列，∴an=a1+6（n﹣1）=6n﹣1，∴．（3）證明：∵=，∴（13分）=，∴b1+b2+…+bn＜．（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的首項(xiàng)的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)和放縮法的合理運(yùn)用．19.（12分）（2016?寧城縣一模）已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）記兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1?x2λ恒成立，求λ的范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題；作圖題；數(shù)形結(jié)合；分類討論；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系知可轉(zhuǎn)化為方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個(gè)不同根；再轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，或轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)；或轉(zhuǎn)化為g（x）=lnx﹣ax有兩個(gè)不同零點(diǎn)，從而討論求解；（Ⅱ）可化為1+λ＜lnx1+λlnx2，結(jié)合方程的根知1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），從而可得；而，從而化簡可得，從而可得恒成立；再令，t∈（0，1），從而可得不等式在t∈（0，1）上恒成立，再令，從而利用導(dǎo)數(shù)化恒成立問題為最值問題即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有兩個(gè)不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個(gè)不同根；（解法一）轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如右圖．可見，若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k，只須0＜a＜k．令切點(diǎn)A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0=e，故，故．（解法二）轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)．又，即0＜x＜e時(shí)，g′（x）＞0，x＞e時(shí)，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上單調(diào)增，在（e，+∞）上單調(diào)減．故g（x）極大=g（e）=；又g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)是1，且在x→0時(shí)，g（x）→﹣∞，在在x→+∞時(shí)，g（x）→0，故g（x）的草圖如右圖，可見，要想函數(shù)與函數(shù)y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只須．（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)，而（x＞0），若a≤0，可見g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）單調(diào)增，此時(shí)g（x）不可能有兩個(gè)不同零點(diǎn)．若a＞0，在時(shí)，g′（x）＞0，在時(shí)，g′（x）＜0，所以g（x）在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，從而=，又因?yàn)樵趚→0時(shí)，g（x）→﹣∞，在在x→+∞時(shí)，g（x）→﹣∞，于是只須：g（x）極大＞0，即，所以．綜上所述，．（Ⅱ）因?yàn)榈葍r(jià)于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（Ⅰ）可知x1，x2分別是方程lnx﹣ax=0的兩個(gè)根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等價(jià)于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因?yàn)棣耍?，0＜x1＜x2，所以原式等價(jià)于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．所以原式等價(jià)于，因?yàn)?＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，t∈（0，1），則不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，又=，當(dāng)λ2≥1時(shí)，可見t∈（0，1）時(shí)，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上單調(diào)增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合題意．當(dāng)λ2＜1時(shí)，可見t∈（0，λ2）時(shí)，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）時(shí)h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）時(shí)單調(diào)增，在t∈（λ2，1）時(shí)單調(diào)減，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合題意，舍去．綜上所述，若不等式恒成立，只須λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用，屬于中檔題．20.已知(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)，且時(shí)，恒成立.參考答案：（1）見解析（2）見解析分析：(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)減，再令，證明，即可得到所要證明的結(jié)論.詳解：（1），當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間，無減區(qū)間當(dāng)時(shí)，增區(qū)間，減區(qū)間（2）當(dāng)由（1）可知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)減，再令在上，，遞增，所以所以恒成立，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，原不等式恒成立.點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．21.設(shè)函數(shù)f（x）=2sinxcosx﹣cos（2x﹣）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（Ⅱ）當(dāng)x∈時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時(shí)的x的值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法．【專題】計(jì)算題．【分析】（Ⅰ）通過二倍角公式已經(jīng)兩角差的余弦函數(shù)化簡表達(dá)式，然后應(yīng)用兩角差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的系數(shù)，利用周期公式求函數(shù)f（x）的最小正周期