2024年廣東省湛江市霞山區(qū)樂群學校中考一模數(shù)學試題（含解析）

2024年廣東省湛江市霞山區(qū)樂群學校中考數(shù)學一模試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．的相反數(shù)的倒數(shù)是（

）A．2023 B． C． D．2．某種細菌的半徑約為米，數(shù)據用科學記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．3．下列幾何體中，主視圖（主視圖也稱正視圖）和俯視圖形狀不相同的是（）A． B． C． D．4．計算，正確的結果是（

）A． B． C． D．5．為增強學生體質，感受中國的傳統(tǒng)文化，學校將國家級非物質文化遺產“抖空竹”引入陽光特色大課間，小聰把它抽象成圖2的數(shù)學問題：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，，則∠E的度數(shù)是（

）A．30° B．40° C．60° D．70°6．已知一組數(shù)據：1，2，a，b，5，8的平均數(shù)和中位數(shù)都是4（a，b均為正整數(shù)，在去掉其中的一個最大數(shù)后，該組數(shù)據的（

）A．中位數(shù)不變 B．眾數(shù)不變 C．平均數(shù)不變 D．方差不變7．已知不等式組的解集為，則（

）A． B． C． D．無法確定8．點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，可推出DE∥BC的條件是（）A．＝，＝ B．＝，＝C．＝，＝ D．＝，＝9．如圖，是內接四邊形的一個外角，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．10．如圖，在扇形中，有一動點P從點O出發(fā)，沿勻速運動，則的長度s與時間t之間的函數(shù)關系用圖象描述大致是（）A． B．C． D．二．填空題（共6小題，滿分24分，每小題4分）11．分解因式：﹣=．12．化簡：．13．若二次根式有意義，實數(shù)則x的取值范圍是．14．如圖，小明在操場上從A點出發(fā)，沿直線前進8米后向左轉45°，再沿直線前進8米后，又向左轉45°；照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走了米．

15．若單項式與是同類項，則m+n=．16．如圖，AB，BC是⊙O的兩條弦，AB垂直平分半徑OD，∠ABC＝75°，BC＝cm，則OC的長為cm．三．解答題（共9小題，滿分66分）17．計算：．18．先化簡，再求值：，其中．19．不透明的口袋里裝有如圖所示的標有數(shù)字的三種顏色的小球（大小、形狀相同），其中紅球有個，藍球有個，現(xiàn)從中任意摸出一個是紅球的概率為．(1)求袋中黃球的個數(shù)；(2)第一次摸出一個球（不放回），第二次再摸一個球，請用樹狀圖法或列表法求兩次摸到都是紅球的概率；(3)若小明共摸次球（每次摸個球，摸后放回），球面得分之和為，問：小明有哪幾種摸法？（只考慮分數(shù)的組合，不考慮個球被摸出的先后順序）20．已知關于x的一元二次方程求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；若a和b是這個一元二次方程的兩個根，求的最小值．21．如圖，已知在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，延長DC到點E，使CE＝CD，延長BC到點F，使CF＝BC，順次連接點B，E，F(xiàn)，D，且BD＝1，AC＝．(1)求菱形ABCD的面積；(2)求證：四邊形BEFD是矩形；(3)四邊形BEFD的周長為

．22．隨著疫情的消失，三年的管控使人們的消費和旅游在年的“五一”假期得以全面釋放．小明和小軍分別騎車和駕車從本村出發(fā)，沿同一條公路去東門外生態(tài)公園游玩．小明騎一段時間后，小軍駕車出發(fā)，結果半路遭遇堵車，當小明迫上小軍后，小軍坐小明的自行車一起去生態(tài)公園小軍泊車時間忽略不計，如圖是小明、小軍兩人在去生態(tài)公園過程中經過的路程與小明出發(fā)時間之間的函數(shù)圖像．請結合圖像回答：

(1)村與公園的距離為______，小明騎車速度是______．(2)小軍在離開村多少公里處遭遇堵車？從小軍遇到堵車到追上小明用了多長時間？(3)直接寫出兩人何時相距？23．如圖，為⊙的直徑，點是⊙上一點，與⊙相切于點，過點作，連接，．(1)求證：是的角平分線；(2)若，，求的長．24．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y＝ax2+bx+c與x軸相交于A、B兩點，頂點為D（0，4），AB＝，設點F（m，0）是x軸的正半軸上一點，將拋物線C繞點F旋轉180°，得到新的拋物線C'．（1）求拋物線C的函數(shù)表達式；（2）若拋物線C'與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點．①拋物線C'的解析式為（用含m的關系式表示）；②求m的取值范圍；（3）如圖2，P是第一象限內拋物線C上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點P在拋物線C'上的對應點為P'，設M是C上的動點，N是C'上的動點，試探究四邊形PMP'N能否成為正方形，若能，求出m的值；若不能，請說明理由．25．在中，，點D為的中點，點E、F分別在邊、上，且滿足．(1)如圖1，當時，若，，則＝；(2)如圖2，當時，求證：；(3)如圖3，當時將沿翻折，邊與交于點G，若，，求的長．

參考答案與解析1．A【分析】根據相反數(shù)的定義：“只有符號不同的兩個數(shù)叫做相反數(shù)”，倒數(shù)的定義：“乘積為1的兩個數(shù)叫做倒數(shù)”，進行求解即可．【解答】解：的相反數(shù)為，的倒數(shù)為：2023；故選A．2．B【分析】根據絕對值小于1的數(shù)表示成科學記數(shù)法的形式表示即可．【解答】．故選：B【點撥】本題考查了把絕對值小于1的數(shù)表示成科學記數(shù)法，其形式為，n為正整數(shù)，且n為原數(shù)的第一個非零數(shù)字起左邊的零的個數(shù)，包括小數(shù)點前的零．3．D【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖，根據從正面看得到的圖形是主視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案，掌握三視圖的定義是解題的關鍵．【解答】A、主視圖、俯視圖都是等腰三角形，故A不符合題意；B、主視圖、俯視圖都是矩形，故B不符合題意；C、主視圖、俯視圖都是矩形，故C不符合題意；D、主視圖是兩個相鄰的矩形、俯視圖是三角形，故D符合題意；故選：D．4．B【分析】根據同底數(shù)冪的除法運算法則求解即可．【解答】解：．故選B．【點撥】本題考查了同底數(shù)冪的除法．解題的關鍵在于正確的計算．5．A【分析】過點作，先根據平行線的性質可得，再根據平行公理推論、平行線的性質可得，然后根據角的和差即可得．【解答】解：如圖，過點作，，，，，，，，，故選：A．【點撥】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵．6．B【分析】根據該組數(shù)據的平均數(shù)得出a+b的值，再根據中位數(shù)得出a、b的值，討論去掉一個最大數(shù)后，該組數(shù)據的平均數(shù)、標準差和中位數(shù)、眾數(shù)的變化情況．【解答】解：根據數(shù)據1，2，a，b，5，8的平均數(shù)為4，得（1+2+a+b+5+8）=6×4，解得a+b=8；由中位數(shù)是4，所以a=b=4或a=3，b=5；去掉一個最大數(shù)8后，該組數(shù)據的平均數(shù)和方差都變小，中位數(shù)可能是4，也可能是3，當a=b=4時，眾數(shù)與原來相同，都是4；當a=3，b=5時，眾數(shù)與原來也相同，都是5．故選：B．【點撥】本題考查了數(shù)據的分析與應用問題，解題的關鍵是掌握眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，方差的定義以及求解方法，屬于基礎題．7．A【分析】本題考查不等式和有理數(shù)的乘方，解題的關鍵是先根據不等式求出，的值，再根據有理數(shù)的乘方進行運算，即可．【解答】解不等式組，解得：，∵不等式的解集為：，∴，，解得：，∴．故選：A．8．B【分析】根據平行線分線段成比例定理判斷即可．【解答】解：當＝或＝時，DE∥BC，B選項中，＝，＝，∴＝，∴DE∥BC，故選：B．【點撥】本題考查的是平行線的判定，掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．9．C【分析】根據圓內接四邊形對角互補即可求得答案．【解答】解：∵四邊形是內接四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，故選：C．【點撥】本題考查了圓內接四邊形的性質，熟練掌握知識點是解題關鍵．10．B【分析】本題考查的是動點問題的函數(shù)圖象；根據從點O到點A的過程中逐漸增大，從點A到點B的過程中的長度為定值，從點B到點O的過程中逐漸變小，可得答案．【解答】解：∵圓的半徑為定值，∴從點O到點A的過程中逐漸增大，當點P從點A到點B的過程中的長度為定值，當點P從點B到點O的過程中逐漸變?。脠D象描述大致是：故選：B．11．【分析】利用平方差公式分解即可．【解答】故答案為：【點撥】本題考查了用平方差公式分解因式，關鍵是掌握平方差公式的特征：是兩項，且異號；每項的絕對值可表示為一個數(shù)的平方．12．【分析】先對二次根式進行化簡，再進行平方計算即可．【解答】解：，故答案為：．【點撥】本題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握二次根式的化簡和乘方運算是解題的關鍵．13．【分析】根據二次根式的定理，被開方數(shù)大于等于0列出不等式即可求解．【解答】由定理得被開方數(shù)，故填：．【點撥】本題考查二次根式的定義，掌握二次根式的定理是解題的關鍵．14．【分析】根據多邊形的外角和即可求出答案．【解答】解：根據題意可知：∵小明需要轉次才會回到原點，∴小明共走了米，故答案為：．【點撥】本題考查了利用多邊形的外角和定理求多邊形的邊數(shù)，熟練掌握任何一個多邊形的外角和都是是解題的關鍵．15．5【分析】根據同類項可直接進行求解．【解答】解：由單項式與是同類項，可得：，解得：n=1；∴；故答案為5．【點撥】本題主要考查同類項，熟練掌握同類項的概念是解題的關鍵．16．4【分析】如圖：連接．由AB垂直平分半徑OD可得即進而得到再說明明為等腰直角三角形即可求解．【解答】解：如圖：連接OA，OB.∵AB垂直平分半徑OD，∴∴又∵∴又∵OB=OC，∴∴△OBC是等腰直角三角形,∴cm．故答案為4．【點撥】本題屬于圓的綜合題，主要解直角三角形、等腰三角形的判定與性質等知識點，根據題意得到是解題答本題的關鍵．17．1【分析】分別計算乘方運算，零次冪，特殊角的三角函數(shù)值，絕對值，再合并即可得到答案．【解答】解：【點撥】本題考查的是乘方運算，零次冪的含義，絕對值的化簡，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的加減運算，掌握以上知識是解題的關鍵．18．，【分析】此題考查了分式的混合運算-化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．同時還考查了分母有理化．原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則變形，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值．【解答】解：．當時，原式．19．(1)袋中黃球的個數(shù)是1個(2)(3)有三種摸法：摸紅球次，黃球次；摸紅球次，黃球次，藍球次；摸紅球次，黃球次，藍球次【分析】本題考查概率的知識，解題的關鍵是掌握概率的運用，樹狀圖和列表法求出所有結果的可能性，進行解答，即可．（1）根據題意，設有個黃球，根據概率公式，即可；（2）根據題意，運用樹狀圖和列表法求出所有結果的可能性，進行解答，即可；（3）設小明摸到紅球有次，摸到黃球有次，則摸到藍球有次，再根據球面得分之和為，進行計算，即可．【解答】（1）設有個黃球∵紅球有個，藍球有個，任意摸出一個是紅球的概率為∴，解得：，經檢驗，是原方程的解，且符合題意，答：袋中黃球的個數(shù)是個．（2）列表法如下：紅紅藍黃紅/（紅，紅）（紅，藍）（紅，黃）紅（紅，紅）/（紅，藍）（紅，黃）藍（紅，藍）（紅，藍）/（藍，黃）黃（紅，黃）（紅，黃）（黃，藍）/共種等可能的結果，其中兩次摸到都是紅球的有種，∴兩次摸到都是紅球的概率為．（3）設小明摸到紅球有次，摸到黃球有次，則摸到藍球有次∴整理得：∴∵，，均為自然數(shù)∴當時，，；當時，，；當時，，；綜上所述，小明共有三種摸法：摸紅球次，黃球次；摸紅球次，黃球次，藍球次；摸紅球次，黃球次，藍球次．20．（1）證明見解析；（2）3.【分析】（1）根據方程的系數(shù)結合根的判別式，可得出△=m2+4＞0，從而證出無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）由根與系數(shù)的關系可得出a+b=﹣[﹣（m+2）]，ab=m，結合a2+b2=（a+b）2﹣2ab解答．【解答】（1）在關于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m=0中a=1，b=﹣（m+2），c=m，所以△=m2+4m+4﹣4m=m2+4，無論m取何值，m2+4＞0，所以，無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）因為a和b是這個一元二次方程的兩個根，所以a+b=﹣[﹣（m+2）]=m+2，ab=m，所以a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（m+2）2﹣2m=m2+2m+4=（m+1）2+3．無論m為何值，（m+1）2≥0，所以a2+b2的最小值為3．【點撥】本題考查了根與系數(shù)的關系以及根的判別式，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系為：x1+x2=﹣，x1?x2=．21．(1)菱形ABCD的面積為；(2)見解析(3)【分析】（1）直接由菱形的面積公式求解即可；（2）先證四邊形BEFD是平行四邊形，再由三角形中位線定理得OCBE，則BE⊥BD，得∠DBE=90°，即可得出結論；（3）由三角形中位線定理得出BE的長，再由矩形的性質得EF=BD=1，BE=DF=，即可求解．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，BD=1，AC=，∴=AC?BD=××1=；（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=OD，∵CE=CD，CF=BC，∴四邊形BEFD是平行四邊形，OC是△BDE的中位線，∴OCBE，∴BE⊥BD，∴∠DBE=90°，∴平行四邊形BEFD是矩形；（3）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OC=OA=AC，由（2）可知，OC是△BDE的中位線，∴BE=2OC=AC=，∵四邊形BEFD是矩形，∴EF=BD=1，BE=DF=，∴四邊形BEFD的周長=2（BD+BE）=2+2，故答案為：2+2．【點撥】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的性質、三角形中位線定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵．22．(1)，(2)公里；(3)或或或時【分析】（1）從小明的圖像可以得到村與公園的距離，根據路程、速度和時間的關系式也可以算得小明的騎車速度；（2）利用圖像和待定系數(shù)法不難得到小軍、小明經過路程與小明出發(fā)時間之間的函數(shù)關系式，然后在小明的函數(shù)關系式中令即可得到小軍遭遇堵車的路程處．在小軍的函數(shù)關系式中令路程為即可得到小軍遭遇堵車的時間，從而算出從小軍遇到堵車到小明追上小軍的時間；（3）分，，，幾種情況討論可以得到解答．【解答】（1）解：，從圖中可以看出村與公園的距離為，小明騎車速度是，故答案為：，．（2）解：由題意不難得到小明路程與小明出發(fā)時間之間的函數(shù)關系為：，當時，，即為；當時，，在小軍經過的路程與小明出發(fā)時間之間的函數(shù)圖像上，設，則：，解得：，小軍經過的路程與小明出發(fā)時間之間的函數(shù)關系式為：，從圖像可以看出，當時，，小軍在離開村公里處遭遇堵車，在中，若，則，，從小軍遇到堵車到小明追上小軍用了．（3）解：可以分以下幾種情況討論：當時，，解得，；當時，，解得，；當時，，解得，；當時，，解得，；綜上所述，當小明出發(fā)時間分別為或或或時，小軍與小明兩人何時．【點撥】本題考查一次函數(shù)的應用，熟練掌握一次函數(shù)的圖像、待定系數(shù)法的應用、分類討論的思想方法及路程、速度、時間三者之間的關系是解題關鍵．23．(1)見解析(2)【分析】本題考查圓，相似三角形的知識，解題的關鍵是掌握圓的基本性質，切線定理，相似三角形的判定和性質，即可．（1）連接，根據切線定理，則，再根據，則，等量代換，則，再根據，即可；（2）根據，，則，推出，即可．【解答】（1）證明：連接，∵與⊙相切于點，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即是的角平分線．（2）∵，∵是的直徑，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．24．（1）y＝﹣x2+4；（2）①y＝（x﹣2m）2﹣4；②2＜m＜2；（3）能，m＝﹣3或6．【分析】（1）由題意拋物線的頂點C（0，4），A（﹣2，0），再設拋物線的解析式為y＝ax2+4，把A（2，0）代入可得a＝﹣即可解答；（2）①由題意拋物線C′的頂點坐標為（2m，﹣4），可得出拋物線C′的解析式為y＝（x﹣2m）2﹣4；②聯(lián)立兩拋物線的解析式，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，由題意，拋物線C′與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，則得到關于m的不等式組，解不等式組即可解決問題；（3）情形1，四邊形PMP′N能成為正方形．作PE⊥x軸于E，MH⊥x軸于H．由題意易知P（2，2），當△PFM是等腰直角三角形時，四邊形PMP′N是正方形，推出PF＝FM，∠PFM＝90°，易證△PFE≌△FMH，可得PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系數(shù)法即可解決問題；情形2，如圖，四邊形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系數(shù)法即可解決問題．【解答】解：（1）由題意拋物線的頂點C（0，4），A（﹣2，0），設拋物線的解析式為y＝ax2+4，把A（﹣2，0）代入可得a＝﹣，∴拋物線C的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+4．（2）①∵將拋物線C繞點F旋轉180°，得到新的拋物線C'，∴拋物線C′的頂點坐標為（2m，﹣4），∴拋物線C′的解析式為y＝（x﹣2m）2﹣4，故答案為：y＝（x﹣2m）2﹣4．②由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，由題意，拋物線C′與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，則有，解得2＜m＜2，∴滿足條件的m的取值范圍為2＜m＜2．（3）結論：四邊形PMP′N能成為正方形．理由：情形1，如圖，作PE⊥x軸于E，MH⊥x軸于H．由題意易知P（2，2），當△PFM是等腰直角三角形時，四邊形PMP′N是正方形，∴PF＝FM，∠