2024年山東省泰安市泰山實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）

2024年山東省泰安市泰山實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．）1．（4分）實(shí)數(shù)2023的相反數(shù)是（）A．﹣2023 B． C． D．20232．（4分）下列各式計(jì)算正確的是（）A．x+x2＝x3 B．（x2）3＝x5 C．x6÷x2＝x3 D．x?x2＝x33．（4分）禽流感病毒的半徑大約是0.00000045米，它的直徑用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.9×10﹣7米 B．9×10﹣7米 C．9×10﹣6米 D．9×107米4．（4分）如圖，把一塊含有45°角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上．如果∠1＝20°，那么∠2的度數(shù)是（）A．30° B．25° C．20° D．15°5．（4分）為了了解一路段車(chē)輛行駛速度的情況，交警統(tǒng)計(jì)了該路段上午7：00至9：00來(lái)往車(chē)輛的車(chē)速（單位：千米/時(shí)），并繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖．這些車(chē)速的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）A．眾數(shù)是80千米/時(shí)，中位數(shù)是60千米/時(shí) B．眾數(shù)是70千米/時(shí)，中位數(shù)是70千米/時(shí) C．眾數(shù)是60千米/時(shí)，中位數(shù)是60千米/時(shí) D．眾數(shù)是70千米/時(shí)，中位數(shù)是60千米/時(shí)6．（4分）小明到商店購(gòu)買(mǎi)“五四青年節(jié)”活動(dòng)獎(jiǎng)品，購(gòu)買(mǎi)20只鉛筆和10本筆記本共需110元，但購(gòu)買(mǎi)30支鉛筆和5本筆記本只需85元，設(shè)每支鉛筆x元，每本筆記本y元，則可列方程組（）A． B． C． D．7．（4分）一些相同的“〇”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，則第50個(gè)圖中有多少個(gè)“〇”（）A．2657 B．2555 C．2455 D．18758．（4分）小亮要計(jì)算一組數(shù)據(jù)82，80，83，76，89，79的方差，在計(jì)算平均數(shù)的過(guò)程中，將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都減去80，得到一組新數(shù)據(jù)2，0，3，﹣4，9，﹣1，記這組新數(shù)據(jù)的方差為，則與的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．無(wú)法確定9．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，連接AC，O是AC的中點(diǎn)，M是AD上一點(diǎn)，且MD＝1，P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PM﹣PO的最大值為（）A． B． C． D．10．（4分）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，D，則cos∠ADC的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共5小題，滿分20分只要求填寫(xiě)最后結(jié)果，每小題填對(duì)得4分。11．（4分）計(jì)算：﹣1﹣2＝．12．（4分）某人連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，結(jié)果都是正面朝上，則他第11次拋擲這枚硬幣，正面朝上的概率是．13．（4分）如圖，在?ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分線AE交DC于點(diǎn)E，連接BE．若AE＝AB，則∠EBC的度數(shù)為．14．（4分）如圖，把長(zhǎng)為a，寬為b的矩形紙片ABCD分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則＝．15．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，以CA為邊在∠ACB的另一側(cè)作∠ACM＝∠ACB，點(diǎn)D為邊BC（不含端點(diǎn)）上的任意一點(diǎn)，在射線CM上截取CE＝BD，連接AD，DE，AE．設(shè)AC與DE交于點(diǎn)F，則線段CF的最大值為．三、解答題：本題共7小題，共90分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16．（1）計(jì)算：．（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．17．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為BC上一點(diǎn)，AB＝5，BD＝1，tanB＝．（1）求AD的長(zhǎng)；（2）求sinα的值．18．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且∠ACF＝∠CBG．求證：（1）AF＝CG；（2）CF＝2DE．19．（10分）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作一條直線分別交DA、BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F，連接BE、DF．（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若EF⊥AB，垂足為M，tan∠MBO＝，求EM：MF的值．20．某中學(xué)為營(yíng)造書(shū)香校園，計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲乙兩種規(guī)格的書(shū)柜放置新購(gòu)置的圖書(shū)，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購(gòu)買(mǎi)甲種書(shū)柜5個(gè)，乙種書(shū)柜2個(gè)，共需要資金1380元；若購(gòu)買(mǎi)甲種書(shū)柜4個(gè)，乙種書(shū)柜3個(gè)，共需資金1440元．（1）甲乙兩種書(shū)柜每個(gè)的價(jià)格分別是多少元？（2）若該校計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這兩種規(guī)格的書(shū)柜共24個(gè)，其中乙種書(shū)柜的數(shù)量不少于甲種書(shū)柜的數(shù)量，問(wèn)：學(xué)校應(yīng)如何購(gòu)買(mǎi)花費(fèi)資金最少，最少資金是多少？21．如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，連結(jié)OC，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線，交⊙O于點(diǎn)D，交OC于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)E，連結(jié)AD．（1）若∠D＝α，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠OCA；（2）求證：CE2＝EM?EB；（3）連接CD，若BM＝4，DM＝3，求tan∠BAC的值及四邊形ABCD的面積與△BMC面積的比值．22．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函數(shù)y＝﹣x+5的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C兩點(diǎn)，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，求△APC的面積；（3）如果點(diǎn)Q在線段AC上，且△ABC與△AOQ相似，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

2024年山東省泰安市泰山實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．）1．【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義即可解答．【解答】解：實(shí)數(shù)2023的相反數(shù)是﹣2023，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，相反數(shù)，熟練掌握相反數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．2．【分析】直接利用合并同類(lèi)項(xiàng)法則以及同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則及冪的乘方分別計(jì)算得出答案．【解答】解：A、x+x2，無(wú)法計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、（x2）3＝x6，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、x6÷x2＝x4，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、x?x2＝x3，故此選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了合并同類(lèi)項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則及冪的乘方，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3．【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【解答】解：0.00000045×2＝9×10﹣7．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．4．【分析】本題主要利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等作答．【解答】解：根據(jù)題意可知，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，∴∠1＝∠3，∵∠3+∠2＝45°，∴∠1+∠2＝45°∵∠1＝20°，∴∠2＝25°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，需要注意隱含條件，直尺的對(duì)邊平行，等腰直角三角板的銳角是45°的利用．5．【分析】在這些車(chē)速中，70千米/時(shí)的車(chē)輛數(shù)最多，則眾數(shù)為70千米/時(shí)；處在正中間位置的車(chē)速是60千米/時(shí)，則中位數(shù)為60千米/時(shí)．依此即可求解．【解答】解：70千米/時(shí)是出現(xiàn)次數(shù)最多的，故眾數(shù)是70千米/時(shí)，一共127個(gè)數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，處于正中間位置的數(shù)是60千米/時(shí)，故中位數(shù)是60千米/時(shí)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖；屬于基礎(chǔ)題，注意找中位數(shù)的時(shí)候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個(gè)來(lái)確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)，則正中間的數(shù)字即為所求，如果是偶數(shù)個(gè)則找中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)．6．【分析】設(shè)每支鉛筆x元，每本筆記本y元，根據(jù)購(gòu)買(mǎi)20只鉛筆和10本筆記本共需110元，但購(gòu)買(mǎi)30支鉛筆和5本筆記本只需85元可列出方程組．【解答】解：設(shè)每支鉛筆x元，每本筆記本y元，根據(jù)題意得．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的條件列方程組時(shí)，要注意抓住題目中的一些關(guān)鍵性詞語(yǔ)，找出等量關(guān)系，列出方程組．7．【分析】分析圖形可得：第1個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為5；第2個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為7；第3個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為11；第4個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為17；則第n個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為n（n﹣1）+5，據(jù)此求第50個(gè)圖形有多少個(gè)“〇”即可．【解答】解：第一個(gè)圖形有：5個(gè)〇，第二個(gè)圖形有：2×1+5＝7個(gè)〇，第三個(gè)圖形有：3×2+5＝11個(gè)〇，第四個(gè)圖形有：4×3+5＝17個(gè)〇，……由此可得第n個(gè)圖形有：[n（n﹣1）+5]個(gè)〇，則可得第50個(gè)圖形有50×49+5＝2455個(gè)〇，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的規(guī)律以及數(shù)字規(guī)律，通過(guò)歸納與總結(jié)圖形得出數(shù)字之間的規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，注意公式必須符合所有的圖形．8．【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)非零常數(shù)，那么這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況不變，即方差不變，即可得出答案．【解答】解：∵一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上（或都減去）同一個(gè)常數(shù)后，它的平均數(shù)都加上（或都減去）這一個(gè)常數(shù)，方差不變，∴，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查方差的意義，關(guān)鍵是掌握一組數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)非零常數(shù)，方差不變．9．【分析】連接MO并延長(zhǎng)交BC于P，則此時(shí)，PM﹣PO的值最大，且PM﹣PO的最大值＝OM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM＝CP＝3，OM＝OP，求得PB＝1，過(guò)M作MN⊥BC于N，得到四邊形MNCD是矩形，得到MN＝CD，CN＝DM，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝4，MD＝1，∴AM＝3，連接MO并延長(zhǎng)交BC于P，則此時(shí)，PM﹣PO的值最大，且PM﹣PO的最大值＝OM，∵AM∥CP，∴∠MAO＝∠PCO，∵∠AOM＝∠COP，AO＝CO，∴△AOM≌△COP（ASA），∴AM＝CP＝3，OM＝OP，∴PB＝1，過(guò)M作MN⊥BC于N，∴四邊形MNCD是矩形，∴MN＝CD，CN＝DM，∴PN＝4﹣1﹣1＝2，∴MP＝＝，∴OM＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．【分析】由格點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，由直角三角形的邊角關(guān)系以及圓周角定理可得答案．【解答】解：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，又∵點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∴∠ADC＝∠ABC，在Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝＝cos∠ADC，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系，掌握?qǐng)A周角定理以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．二、填空題：本題共5小題，滿分20分只要求填寫(xiě)最后結(jié)果，每小題填對(duì)得4分。11．【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法運(yùn)算法則，減去一個(gè)是等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：﹣1﹣2＝﹣1+（﹣2）＝﹣3．故答案為﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的減法，熟記減去一個(gè)是等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．12．【分析】利用概率的意義直接得出答案．【解答】解：某人連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，結(jié)果都是正面朝上，則他第11次拋擲這枚硬幣，正面朝上的概率為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了概率的意義，正確把握概率的定義是解題關(guān)鍵．13．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠D＝100°，AB∥CD，得出∠BAD＝180°﹣∠D＝80°，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠ABE＝70°，即可得出∠EBC的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠D＝100°，AB∥CD，∴∠BAD＝180°﹣∠D＝80°，∵AE平分∠DAB，∴∠BAE＝80°÷2＝40°，∵AE＝AB，∴∠ABE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝30°；故答案為：30°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形和內(nèi)角和定理等知識(shí)；關(guān)鍵是掌握平行四邊形對(duì)邊平行，對(duì)角相等．14．【分析】設(shè)圓錐的底面的半徑為rcm，則DE＝2rcm，AE＝AB＝（a﹣2r）cm，利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)得到＝2πr，解方程求出r，然后計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)圓錐的底面的半徑為rcm，則DE＝2rcm，AE＝AB＝（a﹣2r）cm，根據(jù)題意得＝2πr，解得r＝，則a＝6r，則＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．15．【分析】利用SAS定理證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，根據(jù)AA證明△ADF∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AF＝，求出AD的最小值，得到AF的最小值，求出CF的最大值．【解答】解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°．∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30°．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝120°．即∠DAE＝120°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°；∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD，∴△ADF∽△ACD．∴＝．∴AD2＝AF?AC．∴AD2＝5AF．∴AF＝．∴當(dāng)AD最短時(shí)，AF最短、CF最長(zhǎng)．∵當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AF最短、CF最長(zhǎng)，此時(shí)AD＝AB＝．∴AF最短＝＝．∴CF最長(zhǎng)＝AC﹣AF最短＝5﹣＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本題共7小題，共90分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16．【分析】（1）先根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則、絕對(duì)值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的運(yùn)算法則、特殊角的三角函數(shù)值分別計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先算括號(hào)里面的，再算除法，最后把m的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）＝4+2×﹣（﹣1）+1＝4+﹣+1﹣1＝4；（2）＝÷＝÷＝÷＝?＝﹣，當(dāng)時(shí)，原式＝﹣＝﹣＝2﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．17．【分析】（1）根據(jù)tanB＝，可設(shè)AC＝3x，得BC＝4x，再由勾股定理列出x的方程求出x，最后放在Rt△ACD中由勾股定理求AD；（2）要求sinα的值，想到把α放在直角三角形中，所以過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，然后放在直角三角形BDE中，利用tanB的值求出BE與DE，進(jìn)而求得結(jié)果．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，AB＝5，∴可設(shè)AC＝3x，BC＝4x，∵AC2+BC2＝AB2，∴（3x）2+（4x）2＝52，解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1，∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD＝；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，在Rt△BED中，tanB＝，∴可設(shè)DE＝3y，則BE＝4y，∵BE2+DE2＝BD2，∴（3y）2+（4y）2＝12，解得，y＝﹣（舍），或y＝，∴，∴sinα＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了是解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理是解題的關(guān)鍵．18．【分析】（1）要證AF＝CG，只需證明△AFC≌△CBG即可．（2）延長(zhǎng)CG交AB于H，則CH⊥AB，H平分AB，繼而證得CH∥AD，得出DG＝BG和△ADE與△CGE全等，從而證得CF＝2DE．【解答】證明：（1）∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，又∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAF＝∠CBF＝45°，∴∠CAF＝∠BCG，在△AFC與△CGB中，，∴△AFC≌△CBG（ASA），∴AF＝CG；（2）延長(zhǎng)CG交AB于H，∵CG平分∠ACB，AC＝BC，∴CH⊥AB，CH平分AB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∴∠D＝∠EGC，在△ADE與△CGE中，，∴△ADE≌△CGE（AAS），∴DE＝GE，即DG＝2DE，∵AD∥CG，CH平分AB，∴DG＝BG，∵△AFC≌△CBG，∴CF＝BG，∴CF＝2DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，三角形全等是解本題的關(guān)鍵．19．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AEO＝∠CFO，然后利用“角角邊”證明△AEO和△CFO全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OE＝OF，再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）設(shè)OM＝x，根據(jù)∠MBO的正切值表示出BM，再根據(jù)△AOM和△OBM相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出AM，然后根據(jù)△AEM和△BFM相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可．【解答】（1）證明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD，∴∠AEO＝∠CFO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，又∵OB＝OD，∴四邊形BFDE是平行四邊形；（2）解：設(shè)OM＝x，∵EF⊥AB，tan∠MBO＝，∴BM＝2x，又∵AC⊥BD，∴∠AOM＝∠OBM，∴△AOM∽△OBM，∴＝，∴AM＝＝x，∵AD∥BC，∴△AEM∽△BFM，∴EM：FM＝AM：BM＝x：2x＝1：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，難點(diǎn)在于（2）兩次求出三角形相似．20．【分析】（1）設(shè)甲乙兩種書(shū)柜每個(gè)的價(jià)格分別是x、y元，根據(jù)題意列方程組即可；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種書(shū)柜m個(gè)．則購(gòu)買(mǎi)乙種書(shū)柜（24﹣m）個(gè)，所需資金為w元，乙種書(shū)柜的數(shù)量不少于甲種書(shū)柜的數(shù)量得出m的取值范圍，所需經(jīng)費(fèi)＝甲種書(shū)柜總費(fèi)用+乙種書(shū)柜總費(fèi)用，列出函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求值即可．【解答】解：（1）設(shè)甲乙兩種書(shū)柜每個(gè)的價(jià)格分別是x、y元，由題意得：，解得：，答：甲種書(shū)柜單價(jià)180元，乙種書(shū)柜單價(jià)240元；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種書(shū)柜m個(gè)．則購(gòu)買(mǎi)乙種書(shū)柜（24﹣m）個(gè)，所需資金為w元，由題意得：24﹣m≥m，解得：m≤12，w＝180m+240（24﹣m）＝﹣60m+5760，∵﹣60＜0，w隨m的增大而減小，∵0≤m≤12，∴當(dāng)m＝12時(shí)，w取最小值，wmin＝﹣60×12+5760＝5040（元），答：購(gòu)買(mǎi)甲書(shū)柜12個(gè)，乙書(shū)柜12個(gè)時(shí)，資金最少．最少資金5040元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用以及二元一次方程組和一元一次不等式的解法，關(guān)鍵是一次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．21．【分析】（1）連接OA，OB，利用SSS證明△AOB≌△AOC，得∠OAB＝∠OAC＝，再利用同弧所對(duì)的圓周角相等得∠ACB＝∠D＝α，從而得出答案；（2）首先表示出∠CBE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣α，得∠OCA＝∠CBE，再證明△CEM∽△BEC，即可證明結(jié)論；（3）連接AO并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)N，連接CN，CD，首先利用平行線的判定可證OC∥AD，得∠DMC＝∠ABD＝∠ACB，可證明CD＝DM＝3，再利用ASA證明△AEN≌△AED得EN＝ED，求出EM、EB的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題．【解答】（1）解：如圖，連接OA，OB，在△AOB與△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠OAB＝∠OAC＝，∵，∴∠ACB＝∠D＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝α，∴∠BAC＝180°﹣2α，∴∠OAC＝90°﹣α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝90°﹣α；（2）證明：∵BD⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣α，∴∠OCA＝∠CBE，∵∠CEM＝∠CEB，∴△CEM∽△BEC，∴，∴CE2＝EM?EB；（3）解：如圖，連接AO并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)N，連接CN，CD，∵AB＝AC，∠OAB＝∠OAC，∴AO垂直平分BC，∴BN＝CN，∵∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD，∴∠DMC＝∠ABD＝∠ACB，∵，∴∠BAC＝∠CDM，∴∠DCM＝∠ABC，∴∠DCM＝∠DMC，∴CD＝DM＝3，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEN，∵∠OAC＝∠DAC，AE＝AE，∴△AEN≌△AED（ASA），∴EN＝ED，∴AC垂直平分D