【數(shù)學(xué)】浙江省寧波市余姚市2024屆高三上學(xué)期期末試題（解析版）

浙江省寧波市余姚市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，解得，所以，又，故，故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B.2 C.1 D.【答案】C【解析】由題意可知，，所以.故選：C.3.已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)與的夾角為因為，所以所以，因為，所以.故選：A4.已知點A，在直線：上運動,且,點在圓上，則的面積的最大值為（）A. B.5 C.2 D.1【答案】B【解析】設(shè)圓心到直線的距離為，到直線的距離為，易得，易知當(dāng)最大時，，此時面積也最大，.故選：B.5.命題“，”為假命題的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若命題“，”為假命題，則命題的否定“，”為真命題，即，恒成立，，，當(dāng)，取得最大值，所以，選項中只有是的真子集，所以命題“，”為假命題的一個充分不必要條件為.故選：D6.將函數(shù)圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象.若在上恰有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，由題意得，故當(dāng)時，，顯然當(dāng)，即為的一個零點，要想在上恰有三個不同的零點，若，解得，若，無解，若，無解.故選：A7.人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題.認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù).早在1798年，英國經(jīng)濟學(xué)家馬爾薩斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了人口增長模型.已知1650年世界人口為5億，當(dāng)時這段時間的人口的年增長率為0.3%.根據(jù)模型預(yù)測________年世界人口是1650年的2倍.（參考數(shù)據(jù)：，）A.1878 B.1881 C.1891 D.1993【答案】B【解析】設(shè)年后世界人口是1650年2倍，由題意得，解得，故在1881年世界人口是1650年的2倍.故選：B8.已知為雙曲線：的一個焦點，C上的A，B兩點關(guān)于原點對稱，且，，則C的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨設(shè)分別為雙曲線的左右焦點，連接，因為A，B兩點關(guān)于原點對稱，所以為平行四邊形，所以，因為，，所以.因為，所以；在中，由余弦定理可得，因為，所以，即.故選：D.二、選擇題9.下列結(jié)論正確的有（）A.相關(guān)系數(shù)越接近1，變量，相關(guān)性越強B.若隨機變量，滿足，則C.相關(guān)指數(shù)越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差D.設(shè)隨機變量服從二項分布，則【答案】ACD【解析】對于A：由相關(guān)系數(shù)的定義可知，相關(guān)系數(shù)越接近，變量正相關(guān)性越強；相關(guān)系數(shù)越接近，變量負相關(guān)性越強，故A正確.對于B：由隨機變量，滿足，則，故B錯誤.對于C：由相關(guān)指數(shù)的定義可知，相關(guān)指數(shù)越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差，故C正確.對于D：，故D正確.故選：ACD10.設(shè)函數(shù)的定義域為，且滿足，，當(dāng)時，，則（）A.是奇函數(shù)B.C.的最小值是D.方程在區(qū)間內(nèi)恰有個實數(shù)解【答案】AB【解析】對于選項A，因為函數(shù)定義域為，又，所以，又，得到，所以是奇函數(shù)，故選項A正確，對于選項B，因為，所以，得到的周期為，所以，故選項B正確，對于選項C，當(dāng)時，，又是奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，所以選項C錯誤，對于選項D，當(dāng)時，，則，得到，因為，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，所以在上的圖像如圖所示，由圖知，在有4個交點，又的周期為，且在區(qū)間上共有506個周期，所以方程在區(qū)間內(nèi)恰有個實數(shù)解，故選項D錯誤，故選：AB.11.在棱長為2的正方體中，Q為線段的中點，P為線段上的動點（含端點），則下列結(jié)論正確的有A.P為中點時，的值最小B.不存在點P，使得平面平面C.P與端點C重合時，三棱錐的外接球半徑為D.P為中點時，過D，P，Q三點的平面截正方體所得的截面的周長為【答案】BCD【解析】對于A,由側(cè)面展開圖,當(dāng)與交于點時，的值最小，此時,故P不為中點，故A錯誤；對于B,若存在點，使得平面平面，由平面平面，平面平面，可知,顯然不成立，若點與重合，則平面平面，顯然也不成立，故B錯誤；對于D,P與端點C重合時，三棱錐即是三棱錐,三棱錐的外接球即是以為長、寬、高的長方體的外接球，此時外接球半徑為，故C正確；對于D，連接,由三角形中位線性質(zhì)和正方體的性質(zhì)知，,所以過D，P，Q三點的截面為梯形,,故周長為，故D正確，故選：BCD.12.已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線：的焦點，過點F且傾斜角為的直線交C于A、B兩點（其中點A在第一象限），過線段的中點P作垂直于拋物線準線的直線，與準線交于點N，則下列說法正確的是（）A.C的準線方程為 B.C.三角形的面積 D.【答案】BD【解析】A選項，準線方程為，A錯誤；B選項，焦點坐標為，故直線，即，聯(lián)立得，，設(shè)，則，所以，即，所以，又，所以，所以，故，因為，所以，所以，B正確；C選項，點到直線的距離為，故三角形的面積為，C錯誤；D選項，由B選項可得，則由焦半徑公式可知，故，D正確.故選：BD.第II卷（非選擇題）三、填空題13.已知隨機變量，且，則的展開式中常數(shù)項為__________.【答案】【解析】由題意得隨機變量服從正態(tài)分布，且，由，所以，即求的常數(shù)項，由二項式定理得常數(shù)項為.故答案為：.14.已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則__________.【答案】1【解析】代入得，，即，，即，則，，所以.故答案為：.15.已知，求__________.【答案】8【解析】設(shè)，則在上為增函數(shù)，且，所以只有一解：；同理：方程只有一解：.所以：.故答案為：16.已知高為2的圓錐內(nèi)接于球O，球O的體積為，設(shè)圓錐頂點為P，平面為經(jīng)過圓錐頂點的平面，且與直線所成角為，設(shè)平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，，則__________.【答案】【解析】令球半徑為，則，解得，由平面與直線成角，得平面截球所得小圓半徑，因此，由球的內(nèi)接圓錐高為2，得球心到此圓錐底面距離，則圓錐底面圓半徑，令平面截圓錐所得截面為等腰，線段為圓錐底面圓的弦，點為弦中點，如圖，依題意，，，，顯然，于是，所以.故答案為：四、解答題17.在中，，.（1）求A；（2）已知M為直線上一點，，，求的面積.解：（1）在中，，，則，∵，即，又，則；（2）因為，，所以，所以，在中，，解得（負值舍去），所以18.已知數(shù)列滿足，，，（1）令，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項和.（1）證明：∵，即∴數(shù)列是以首項為，公比為等比數(shù)列.（2）解：由（1）可知：∴①②故①-②19.如圖所示，在多面體中，四邊形是邊長為的正方形，其對角線的交點為，平面，，，點P是棱上的任意一點.（1）求證：；（2）求直線和平面所成角的正弦值.（1）證明：因為，所以四點共面.因為平面，平面，所以，因為四邊形ABCD是正方形，所以，又，平面，平面，所以平面，而平面，所以.（2）解：由題意，，，互相垂直，以為原點，以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，.則，，，設(shè)平面的法向量為，所以由，得，令，可得，設(shè)直線和平面所成角為，則，所以直線CN和平面AMN所成角的正弦值為.20.杭州亞運會男子乒乓球團體賽采用世界乒乓球男子團體錦標賽（斯韋思林杯）的比賽方法，即每隊派出三名隊員參賽，采用五場三勝制.比賽之前，雙方隊長應(yīng)抽簽決定A、B、C和X、Y、Z的選擇，并向裁判提交每個運動員分配到一個字母的隊伍名單.現(xiàn)行的比賽順序是第一場A對X；第二場B對Y；第三場C對Z；第四場A對Y；第五場B對X.每場比賽為三局兩勝制.當(dāng)一個隊已經(jīng)贏得三場個人比賽時，該次比賽應(yīng)結(jié)束.已知在某次團隊賽中，甲隊A、B、C三位選手在每場比賽中獲勝的概率均為如下表所示，且每場比賽之間相互獨立場次第一場第二場第三場第四場第五場獲勝概率（1）求最多比賽四場結(jié)束且甲隊獲勝的概率；（2）由于賽場氛圍緊張，在教練點撥、自我反思和心理調(diào)控等因素影響下，從第二場開始，每場比賽獲勝的概率會發(fā)生改變，改變規(guī)律為：若前一場獲勝，則該場獲勝的概率比原先獲勝的概率增加0.2；若前一場失利，則該場獲勝的概率比原先獲勝的概率減少0.2.求已知A第一場獲勝的條件下甲隊最終以3：1贏得比賽的概率.解：（1）設(shè)事件表示甲隊第場比賽獲勝（2）設(shè)事件表示第一場甲獲勝，事件A表示甲以3：1獲勝，則.所以A第一場獲勝的條件下甲隊最終以3：1贏得比賽的概率為.21.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在內(nèi)恒成立，求整數(shù)的最大值.解：（1）函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，，令，解得：；令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由可得：，記，，①若，即，，則上單調(diào)遞增，又時，，不合題意；②若，即，令，則，令，則，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，令，，則令，解得：，令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，故整數(shù)的最大值為.22.在平面直角坐標系中，，是橢圓：的左、右焦點，是C的左頂點，過點A且斜率為的直線交直線上一點M，已知為等腰三角形，.（1）求C