天津?qū)幒涌h蘆臺(tái)第四中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試題含解析

天津?qū)幒涌h蘆臺(tái)第四中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為（）A． B．1 C． D．2參考答案：C【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可知該幾何體為是一平放的直三棱柱，正視圖為其底面，高為2．利用柱體體積公式計(jì)算即可．【解答】解：由三視圖可知該幾何體為是一平放的直三棱柱，正視圖為其底面，高為2V=Sh==2．故選D．2.a，b為正實(shí)數(shù)，若函數(shù)f（x）=ax3+bx+ab﹣1是奇函數(shù)，則f（2）的最小值是（）A．2 B．4 C．8 D．16參考答案：C【考點(diǎn)】3L：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)和定義來建立等式，化簡后根據(jù)條件用a表示b，代入解析式后求出f（2），再根據(jù)基本不等式求出最小值．【解答】解：因?yàn)閒（x）=ax3+bx+ab﹣1是奇函數(shù)，所以，即，由a，b為正實(shí)數(shù)，所以b=＞0，所以f（x）=ax3+x，則f（2）=8a+≥2=8（當(dāng)且僅當(dāng)8a=，即a=時(shí)取等號(hào)），故選：C．3.已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x﹣1≤2}和N={x|x=2k﹣1，k=1，2，…}的關(guān)系的韋恩（Venn）圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．無窮多個(gè)參考答案：B【考點(diǎn)】Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意，分析可得陰影部分所示的集合為M∩N，進(jìn)而可得M與N的元素特征，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分析可得陰影部分所示的集合為M∩N，又由M={x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3，即M={x|﹣1≤x≤3}，在此范圍內(nèi)的奇數(shù)有1和3．所以集合M∩N={1，3}共有2個(gè)元素，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的圖表表示法，注意由Venn圖表分析集合間的關(guān)系，陰影部分所表示的集合．4.已知集合A={0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，則實(shí)數(shù)m為（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可參考答案：B【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷．【分析】根據(jù)元素2∈A，得到m=2或m2﹣3m+2=2，解方程即可．【解答】解：∵A={0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，∴m=2或m2﹣3m+2=2，解得m=2或m=0或m=3．當(dāng)m=0時(shí)，集合A={0，0，2}不成立．當(dāng)m=2時(shí)，集合A={0，0，2}不成立．當(dāng)m=3時(shí)，集合A={0，3，2}成立．故m=3．故選：B．5.已知正三角形ABC的邊長為2，設(shè)，則（）A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算和乘法運(yùn)算，判斷選項(xiàng)的正誤即可【詳解】解：如圖，∵正三角形的邊長為2，，取中點(diǎn)，設(shè)，∴，，∴，故A錯(cuò)誤；的夾角為120°，故B錯(cuò)誤；，∴，故C正確；，故D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，解題的關(guān)鍵在于作出相應(yīng)圖像求解，屬于基礎(chǔ)題6.已知向量，的夾角為，且，，則等于（）A．2 B．3 C． D．4參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；方程思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【分析】由，展開后代入已知條件得答案．【解答】解：∵，且，，∴，即1+，∴，解得：（舍）或=2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，關(guān)鍵是明確，是中檔題．7.甲船在B島的正南方向A處，AB=10千米，甲船以4千米/小時(shí)的速度向正北方向航行，同時(shí)，乙船自B島出發(fā)以6千米/小時(shí)的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，航行時(shí)間不超過2.5小時(shí)，則當(dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí),它們航行的時(shí)間是（

）A．2小時(shí)

B．小時(shí)

C.

小時(shí)

D．小時(shí)參考答案：C假設(shè)經(jīng)過小時(shí)兩船相距最近，甲乙分別行至如圖所示，可知，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)小時(shí)距離最小，故選C.

8.按如下程序框圖，若輸出結(jié)果為，則判斷框內(nèi)應(yīng)補(bǔ)充的條件為(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D9.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）.

.

.

.參考答案：C略10.已知，則函數(shù)的最小值是（

）

A.2

B.4

C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等比數(shù)列，已知，且公比為正整數(shù)，則數(shù)列的前項(xiàng)和＊＊＊．參考答案：12.若函數(shù)，則=________

參考答案：13.設(shè)函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的∈R恒有，已知：當(dāng)時(shí)，，則

①2是函數(shù)的周期；

②函數(shù)在(1，2)上是減函數(shù)，在(2，3)上是增函數(shù)；

③函數(shù)的最大值是1，最小值是0；

④當(dāng)∈[3，4]時(shí)，.

其中所有正確命題的序號(hào)是

.參考答案：①②④略14.如果，則稱為的___________；如果，則稱為的___________．參考答案：平方根;立方根略15.如右圖是甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員某賽季一些場次得分的莖葉圖，莖表示得分的十位數(shù)，據(jù)圖可知甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)和乙運(yùn)動(dòng)員得分的眾數(shù)分別為▲、▲。參考答案：35,2916.計(jì)算：log89log32﹣lg4﹣lg25=． 參考答案：【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)． 【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可． 【解答】解：log89log32﹣lg4﹣lg25=log23log32﹣lg100=﹣2=﹣， 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 17.知P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：，記、、面積分別為則=

.參考答案：3：1：2 略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知關(guān)于x的不等式的解集為.（1）求a、b的值；（2）求函數(shù)的最小值.參考答案：（1）；（2）12.【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到等式和不等式，最后求出的值；（2）化簡函數(shù)的解析式，利用基本不等式可以求出函數(shù)的最小值.【詳解】解：（1）由題意知：，解得．（2）由（1）知，∴，而時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)而，∴的最小值為12．【點(diǎn)睛】本題考查了已知一元二次不等式的解集求參數(shù)問題，考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19.（本題滿分14分）（1）求值：；

（2）已知向量，，其中，若，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍。參考答案：解：（1）原式=

…………7分

（2）∵，∴，即，

∴…………2分當(dāng)sinx–1=0時(shí)，有cosx=0，此時(shí)，這與矛盾，…………2分當(dāng)sinx–1≠0時(shí)，有m=sinx+1，∵–1≤sinx<1,∴0≤m<2

…………2分綜上所得：m的取值范圍是

…………1分（不討論，范圍是[0，2]一律扣2分）略20.（12分）已知cos（π+α）=，α為第三象限角．（1）求sinα，tanα的值；（2）求sin（α+），tan2α的值．參考答案：（1）由條件得cosα=﹣，α為第三象限角，∴sinα=﹣=﹣=﹣；…（2分）∴tanα===；

…（4分）（2）由（1）得sin（α+）=sinαcos+cosαsin=（﹣）×+（﹣）×=﹣，…（6分）tan2α===…（8分）21.某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件；如果每件商品在該售價(jià)的基礎(chǔ)上每上漲1元，則每個(gè)月少賣10件（每件售價(jià)不能高于65元）．設(shè)每件商品的售價(jià)上漲元（為正整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤為元．(14分)（1）求與的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量的取值范圍；（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？參考答案：（1）（且為正整數(shù)）；（2）．，當(dāng)時(shí)，有最大值2402.5．，且為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，（元），當(dāng)時(shí)，，（元）當(dāng)售價(jià)定為每件55或56元，每個(gè)月的利潤最大，最大的月利潤是2400元；略22.已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）對(duì)任意的x∈R成立，則稱函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)．（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函數(shù)；（只需寫出結(jié)論）（Ⅱ）說明：請(qǐng)?jiān)冢╥）、（ii）問中選擇一問解答即可，兩問都作答的按選擇（i）計(jì)分（i）求證：若函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，且f（x）是偶函數(shù)，則f（x）是周期函數(shù)；（ii）求證：若函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，且f（x）是奇函數(shù)，則f（x）是周期函數(shù)；（Ⅲ）求證：當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=ax一定是Ω函數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用．【分析】（I）①利用Ω對(duì)于即可判斷出函數(shù)f（x）=x不是Ω函數(shù)．②對(duì)于g（x）=sinπx是Ω函數(shù)，令T=﹣1，對(duì)任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（II）（i）函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，可得存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函數(shù)，可得Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化為：f（x+T）=f（﹣x+T），通過換元進(jìn)而得出：f（2T+t）=f（t），因此函數(shù)f（x）是周期為2T的周期函數(shù)．（ii）同（i）可以證明．（III）當(dāng)a＞1時(shí)，假設(shè)函數(shù)f（x）=ax是Ω函數(shù)，則存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），可得Tax+T=ax，化為：TaT=1，即aT=，此方程有非0的實(shí)數(shù)根，即可證明．【解答】解：（I）①對(duì)于函數(shù)f（x）=x是Ω函數(shù)，假設(shè)存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），則T（x+T）=x，取x=0時(shí)，則T=0，與T≠0矛盾，因此假設(shè)不成立，即函數(shù)f（x）=x不是Ω函數(shù)．②對(duì)于g（x）=sinπx是Ω函數(shù)，令T=﹣1，則sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函數(shù)f（x）=sinπx對(duì)任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（II）（i）證明：∵函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，∴存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化為：f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，則x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函數(shù)f（x）是周期為2T的周期函數(shù)．（ii）證明：∵函數(shù)f（x）是Ω函數(shù)，∴存在非零常數(shù)T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）