廣東省廣州市新港中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

廣東省廣州市新港中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（理）展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 A． B． C． D．參考答案：D2.已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，，則（

）A．

B．2

C．

D．參考答案：D3.（5分）設(shè)x∈R，則“x＜1”是“l(fā)og（2x﹣1）＞0”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】：簡(jiǎn)易邏輯．【分析】：根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合不等式的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．解：由log（2x﹣1）＞0得0＜2x﹣1＜1，解得＜x＜1，則“x＜1”是“l(fā)og（2x﹣1）＞0”的必要不充分條件，故選：B【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．4.設(shè)是定義在上的周期為2的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．2013 B．2014 C．3020 D．3019參考答案：C5.若loga（3a﹣1）＞0，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜ B．＜a＜ C．a(chǎn)＞1 D．＜a＜或a＞1參考答案：D【考點(diǎn)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法．【分析】先把0變成底數(shù)的對(duì)數(shù)，再討論底數(shù)與1的關(guān)系，確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性整理出關(guān)于a的不等式，得到結(jié)果，把兩種情況求并集得到結(jié)果．【解答】解：∵loga（3a﹣1）＞0，∴l(xiāng)oga（3a﹣1）＞loga1，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，不等式的解是a＞0，∴a＞1；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)，不等式的解是＜a＜，∴＜a＜綜上可知a的取值是a＞1或＜a＜．故選D．6.在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，若向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，那么使得△ABP與△ADP的面積都不小于2的概率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】本題是一個(gè)幾何概型的概率，以AB為底邊，要使面積不小于2，則三角形的高要h≥1，得到兩個(gè)三角形的高即為P點(diǎn)到AB和AD的距離，得到對(duì)應(yīng)區(qū)域，利用面積比求概率．【解答】，解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型的概率，以AB為底邊，要使面積不小于2，由于S△ABP=AB×h=2h，則三角形的高要h≥1，同樣，P點(diǎn)到AD的距離要不小于，滿足條件的P的區(qū)域如圖，其表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，它的面積是整個(gè)矩形面積的（4﹣）（3﹣1）=，∴使得△ABP與△ADP的面積都不小于2的概率為：；故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題給出幾何概型，明確滿足條件的區(qū)域，利用面積比求概率是關(guān)鍵．7.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A．

B．C．

D．參考答案：A8.F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A是其右頂點(diǎn)，過(guò)F2作軸的垂線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，G是，則雙曲線離心率（

）A．2 B． C．3 D．參考答案：C略9.如圖，半徑為2的⊙與直線相切于點(diǎn)，射線從出發(fā)繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，交⊙于點(diǎn)，設(shè)為，弓形的面積為，那么的圖象大致是

參考答案：D10.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.不等式的解集是參考答案：（1，2）12.已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，A是最大角，若，則m的取值范圍為________.參考答案：【分析】利用平面向量的運(yùn)算，求得，由此求得的取值范圍.【詳解】設(shè)是中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可知，依題意，即，利用正弦定理化簡(jiǎn)得.由于，所以，即.由于是銳角三角形的最大角，故，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量加法、數(shù)量積運(yùn)算，考查正弦定理，考查三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.13.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c。若a、b、c成等差數(shù)列，則

。參考答案：略14.在△ABC中，∠A=，O為平面內(nèi)一點(diǎn)．且||，M為劣弧上一動(dòng)點(diǎn)，且．則p+q的取值范圍為．參考答案：[1,2]【考點(diǎn)】9H：平面向量的基本定理及其意義．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，設(shè)外接圓的半徑為r，對(duì)=p+q兩邊平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范圍．【解答】解：如圖所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；設(shè)|=r，則O為△ABC外接圓圓心；

∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M為劣弧AC上一動(dòng)點(diǎn)，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范圍是[1,2]．15.已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是．參考答案：[﹣3，﹣2]【考點(diǎn)】3F：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】要使函數(shù)在R上為增函數(shù)，須有f（x）在（﹣∞，1]上遞增，在（1，+∞）上遞增，且，由此可得不等式組，解出即可．【解答】解：要使函數(shù)在R上為增函數(shù)，須有f（x）在（﹣∞，1]上遞增，在（1，+∞）上遞增，且，所以有，解得﹣3≤a≤﹣2，故a的取值范圍為[﹣3，﹣2]．故答案為：[﹣3，﹣2]．16.甲每次解答一道幾何體所用的時(shí)間在5至7分鐘，乙每次解答一道幾何體所用的時(shí)間在6至8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何體，則乙比甲先解答完的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】分別設(shè)出兩個(gè)人解答一道幾何題所用的時(shí)間為x，y，則5＜x＜7，6＜y＜8，甲、乙各解同一道幾何題，則乙比甲先解答完的滿足x＜y，因此求出滿足條件的區(qū)域面積，利用面積比求概率．【解答】解：設(shè)兩個(gè)人解答一道幾何題所用的時(shí)間為分別為x，y，則5＜x＜7，6＜y＜8，對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積為4，甲、乙各解同一道幾何題，則乙比甲先解答完的滿足x＞y，對(duì)應(yīng)區(qū)域面積=，由幾何概型的個(gè)數(shù)得到所求概率為；故答案為：．17.已知，且，則

.參考答案：

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線為，求的值；（2）設(shè)，，證明：當(dāng)時(shí)，的圖象始終在的圖象的下方；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），表示導(dǎo)函數(shù)，求證：對(duì)于曲線上的不同兩點(diǎn)，，，存在唯一的，使直線的斜率等于．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)應(yīng)用B11

B12（1）（2）略(3)略解析：(1)，此時(shí)，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，由題意得，，.

………3分（2）則在單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，的圖像始終在的圖象的下方.

……………

7分（3）由題得，，，∵，∴，∴，即， ………9分設(shè),則是關(guān)于的一次函數(shù)，故要在區(qū)間證明存在唯一性，只需證明在區(qū)間上滿足.下面證明之：，，為了判斷的符號(hào)，可以分別將看作自變量得到兩個(gè)新函數(shù)，討論他們的最值：，將看作自變量求導(dǎo)得，是的增函數(shù)，∵，∴；………..11分同理：，將看作自變量求導(dǎo)得，是的增函數(shù)，∵，∴；∴，

∴函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，……………..13分又，函數(shù)在是增函數(shù)，∴函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，從而命題成立.

……14分【思路點(diǎn)撥】（1）由題意直接求解即可；（2）要證當(dāng)時(shí)，的圖象始終在的圖象的下方，就是證明當(dāng)時(shí)，；令，由導(dǎo)數(shù)易得在單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，即得證.（3），，∵，得，設(shè),則是關(guān)于的一次函數(shù)，故要在區(qū)間證明存在唯一性，只需證明在區(qū)間上滿足.19.在△ABC中，已知.（I）求的值；（II）若BC=10，D為AB的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng).參考答案：20.（本小題滿分14分）在四棱錐中,平面,,底面是梯形,∥，（1）求證:平面平面;（2）設(shè)為棱上一點(diǎn),,試確定的值使得二面角為60o.參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）

【知識(shí)點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定．G5G11解析：（1）證明：∵平面，∴在梯形中，過(guò)點(diǎn)作作，在中，又在中，.……3分

.

………………5分.

…………6分

……………7分（2）法一：過(guò)點(diǎn)作∥交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作垂直于于點(diǎn),連.……8分

由（1）可知平面,平面,,平面,，是二面角的平面角，

…10分

‖，

，由（1）知=,，又∥

……12分

，.…………………14分（2）法二：以為原點(diǎn),所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)則.

令,則

.

…………………9分平面,是平面的法向量.………10分設(shè)平面的法向量為.則，即即.令,得

………12分二面角為,

∴解得,在棱上,為所求.……14分【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于H，證明BC⊥BD．PD⊥BC，通過(guò)直線與平面垂直的判定定理證明BC⊥平面PBD，利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明平面PBC平面PBD；（2）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，平面PBD的法向量．平面QBD的法向量，通過(guò)二面角結(jié)合數(shù)量積求解λ即可．21.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：，直線：，直線：，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.（1）寫出曲線C的參數(shù)方程以及直線，的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線C分別交于O，A兩點(diǎn)，直線與曲線C分別交于O，B兩點(diǎn)，求的面積.參考答案：（1）依題意，曲線：，故曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），因?yàn)橹本€：，直線：，故，的極坐標(biāo)方程為：，：.（2）易知曲線的極坐標(biāo)方程為，把代入，得，所以，把代入，得，所以，所以22.(本小題滿分12分)已知點(diǎn)，圓：，過(guò)的動(dòng)直線與⊙交兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程以及△面積。參考答案