第二章電磁場的基本規(guī)律

1

第2章電磁場的基本規(guī)律2

2.1電荷守恒定律2.2真空中靜電場的基本規(guī)律2.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律2.4媒質(zhì)的電磁特性2.5電磁感應(yīng)定律和位移電流2.6麥克斯韋方程組2.7電磁場的邊界條件本章討論內(nèi)容3三大實驗定律庫侖定律安培定律法拉第電磁感應(yīng)定律兩個基本假設(shè)有旋電場位移電流描述宏觀電磁現(xiàn)象的總規(guī)律麥克斯韋方程組

為分析電磁場，本章在宏觀理論的假設(shè)和實驗的基礎(chǔ)上，介紹電磁場中的基本物理量和實驗定律。4●在靜止和穩(wěn)定的情況下，確立分布電荷與分布電流的概念物理量；在電荷守恒的假設(shè)前提下，確立電流連續(xù)性方程。●

在庫侖實驗定律和安培力實驗定律的基礎(chǔ)上建立電場強度E和磁感應(yīng)強度B的概念?！?/p>

在電荷分布和電流分布已知的條件下，提出計算電場與磁場的矢量積分公式。52.1

電荷守恒定律本節(jié)討論的內(nèi)容：電荷模型、電流模型

電磁場物理模型中的基本物理量可分為源量和場量兩大類。電荷電流電場磁場（運動）

源量為電荷

和電流

，分別用來描述產(chǎn)生電磁效應(yīng)的兩類場源。電荷是產(chǎn)生電場的源，電流是產(chǎn)生磁場的源。電荷守恒定律與電流連續(xù)性方程

6?

電荷是物質(zhì)基本屬性之一。

?1897年英國科學(xué)家湯姆遜(J.J.Thomson)在實驗中發(fā)現(xiàn)了電子。

?1907—1913年間，美國科學(xué)家密立根(R.A.Miliken)通過油滴實驗，精確測定電子電荷的量值為

e=1.60217733×10-19(單位：C)確認了電荷的量子化概念。換句話說，e是最小的電荷，而任何帶電粒子所帶電荷都是e的整數(shù)倍。

?宏觀分析時，電荷常是數(shù)以億計的電子電荷e的集合，故可不考慮其量子化的事實，而認為電荷量q可任意連續(xù)取值。2.1.1電荷與電荷密度71.電荷體密度

單位：C/m3

(庫/米3

)

根據(jù)電荷密度的定義，如果已知某空間區(qū)域V中的電荷體密度，則區(qū)域V中的總電荷q為

電荷連續(xù)分布于體積V內(nèi)，用電荷體密度來描述其分布

理想化實際帶電系統(tǒng)的電荷分布形態(tài)分為四種形式：

點電荷、體分布電荷、面分布電荷、線分布電荷在電荷空間V內(nèi)，任取體積元，其中電荷量為8

若電荷分布在薄層上，當(dāng)僅考慮薄層外、距薄層的距離要比薄層的厚度大得多處的電場，而不分析和計算該薄層內(nèi)的電場時，可將該薄層的厚度忽略，認為電荷是面分布。面分布的電荷可用電荷面密度表示。

2.電荷面密度單位:C/m2

(庫/米2)

如果已知某空間曲面S上的電荷面密度，則該曲面上的總電荷q為在面電荷上，任取面積元，其中電荷量為9

若電荷分布在細線上，當(dāng)僅考慮細線外、距細線的距離要比細線的直徑大得多處的電場，而不分析和計算線內(nèi)的電場時，可將線的直徑忽略，認為電荷是線分布。線分布的電荷可用電荷線密度表示。

3.電荷線密度

如果已知某空間曲線上的電荷線密度，則該曲線上的總電荷q為

單位:C/m(庫/米)在線電荷上，任取線元，其中電荷量為10

對于總電荷為q

的電荷集中在很小區(qū)域V的情況，當(dāng)不分析和計算該電荷所在的小區(qū)域中的電場，而僅需要分析和計算電場的區(qū)域又距離電荷區(qū)很遠，即場點距源點的距離遠大于電荷所在的源區(qū)的線度時，小體積V中的電荷可看作位于該區(qū)域中心、電荷為q

的點電荷。點電荷的電荷密度表示4.點電荷

點電荷：當(dāng)電荷體體積非常小，可忽略其體積時，稱為點電荷。點電荷可看作是電量q無限集中于一個幾何點上。112.1.2

電流與電流密度說明：電流通常是時間的函數(shù)，不隨時間變化的電流稱為恒定電流，用I表示。

存在可以自由移動的電荷存在電場單位:A

（安）電流方向:正電荷的流動方向電流

——電荷的定向運動而形成，用i表示，其大小定義為：單位時間內(nèi)通過某一橫截面S

的電荷量，即形成電流的條件：12

電荷在某一體積內(nèi)定向運動所形成的電流稱為體電流，用電流密度矢量來描述。單位：A/m2（安/米2）

。

一般情況下，在空間不同的點，電流的大小和方向往往是不同的。在電磁理論中，常用體電流、面電流和線電流來描述電流的分布狀態(tài)。

1.體電流

體電流密度矢量正電荷運動的方向引入電流密度矢量

描述空間電流分布狀態(tài)。設(shè)正電荷沿方向流動，則在垂直方向上取一面元，若在時間內(nèi)穿過面元的電荷量為，則：13討論：1)式中：為空間中電荷體密度，為正電荷流動速度。2)流過任意曲面S的電流142.面電流

電荷在一個厚度可以忽略的薄層內(nèi)定向運動所形成的電流稱為面電流，用面電流密度矢量來描述其分布面電流密度矢量d0單位：A/m（安/米）

。正電荷運動的方向電流在曲面S上流動，在垂直于電流方向取一線元，若通過線元的電流為，則定義151）的方向為電流方向（即正電荷運動方向）討論：2）若表面上電荷密度為，且電荷沿某方向以速度運動，則可推得此時面電流密度為：注意：體電流與面電流是兩個獨立概念，并非有體電流就有面電流。3）通過薄導(dǎo)體層上任意有向曲線的電流為：16如圖：在垂直于電流方向取線元。很明顯，在時間內(nèi)，距離內(nèi)的電荷都將流過。由電流定義，通過的電流為：由電流密度定義，有：證明：17流過任意的電流而所以流過曲線l的電流為：證明：183、線電流與電流元電荷只在一條線上運動時，形成的電流即為線電流。電流元：長度為無限小的線電流元。192.1.3

電荷守恒定律（電流連續(xù)性方程）電荷守恒定律:電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，或者從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體。電荷是守恒的，它既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，在一個與外界沒有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi)，正、負電荷的代數(shù)和在任何物理過程中始終保持不變，這就是電荷守恒定律。電荷守恒定律是電磁現(xiàn)象中的基本定律之一。20電流連續(xù)性方程

時間內(nèi)，V內(nèi)流出S的電荷量為電荷守恒定律：時間內(nèi)，V內(nèi)電荷改變量為由電流強度定義：電流連續(xù)性方程微分形式電流連續(xù)性方程積分形式散度定理，

21討論：1）對于恒定電流，有故：恒定電流的電流連續(xù)性方程為2）對于面電流，電流連續(xù)性方程為：意義：流入閉合面S的電流等于流出閉合面S的電流。對時變面電流對恒定面電流22電流連續(xù)性方程積分形式微分形式流出閉曲面S的電流等于體積V內(nèi)單位時間所減少的電荷量恒定電流的連續(xù)性方程恒定電流是無源場，電流線是連續(xù)的閉合曲線，既無起點也無終點小結(jié)23例題：一個半徑為a的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為Q的電荷，球體以均勻角速度繞一直徑旋轉(zhuǎn)。求：球內(nèi)的電流密度。解：建立球面坐標系。24電荷

與

電荷密度作業(yè)

2.32.6252.2真空中靜電場的基本規(guī)律1.庫侖（Coulomb）定律(1785年)

2.2.1庫侖定律電場強度靜電場：由靜止電荷產(chǎn)生的電場。重要特征：對位于電場中的電荷有電場力作用。真空中靜止點電荷q1對q2的作用力:式中：為真空中介電常數(shù)。26

，滿足牛頓第三定律。

大小與兩電荷的電荷量成正比，與兩電荷距離的平方成反比；方向沿q1和q2連線方向，同性電荷相排斥，異性電荷相吸引；電場力特性27電場力服從疊加定理

真空中的N個點電荷（分別位于）對點電荷（位于）的作用力為qq1q2q3q4q5q6q728電場：在電荷周圍形成的一種物質(zhì)。電場的重要特性：對處于其中的電荷產(chǎn)生力的作用，稱為電場力。用電場強度矢量表示電場的大小和方向。電場強度矢量q為試驗電荷電量實驗證明：電場力大小與電荷所在位置電場強度大小成正比，即292.電場強度

空間某點的電場強度定義為置于該點的單位點電荷（又稱試驗電荷）受到的作用力，即——描述電場分布的基本物理量

電場強度矢量說明：1）對q取極限是避免引入試驗電荷影響原電場；2）電場強度的方向與電場力的方向一致；3）電場強度的大小與試驗電荷q的電量無關(guān)。——試驗正電荷電量——為試驗電荷所受電場力。電場強度的單位是30真空中靜止點電荷q

在P點處產(chǎn)生的電場強度：

特殊地，當(dāng)點電荷q位于坐標原點時，31如果電荷是連續(xù)分布呢？點電荷系統(tǒng)和分布電荷產(chǎn)生的電場（1）多點電荷系統(tǒng)產(chǎn)生的電場式中:真空中，N個點電荷：電荷量：電荷位置：由矢量疊加原理：32小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場面密度為的面分布電荷的電場強度線密度為的線分布電荷的電場強度體密度為的體分布電荷產(chǎn)生的電場強度33（2）體分布電荷系統(tǒng)處理思路：

1)無限細分區(qū)域

2）考查每個區(qū)域

3）矢量疊加原理設(shè)體電荷密度為，圖中小體積元中dV的電荷在P點產(chǎn)生的電場為：則整個體積V內(nèi)電荷在P點處產(chǎn)生的電場為：34面密度為的面分布電荷的電場強度線密度為的線分布電荷的電場強度353.幾種典型電荷分布的電場強度（無限長）（有限長）均勻帶電直線段均勻帶電直線段的電場強度：36均勻帶電圓環(huán)無限大均勻帶電面外任意一點電場強度：均勻帶電圓環(huán)軸線上的電場強度：37——電偶極矩+q電偶極子zol－q電偶極子的場圖等位線電場線

電偶極子是由相距很近、帶等值異號的兩個點電荷組成的電荷系統(tǒng)，其遠區(qū)電場強度為

電偶極子的電場強度：38

例2.2.1

計算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點的電場強度。

解：如圖所示，環(huán)形薄圓盤的內(nèi)半徑為a、外半徑為b，電荷面密度為。在環(huán)形薄圓盤上取面積元

，其位置矢量為，它所帶的電量為。而薄圓盤軸線上的場點的位置矢量為，因此有P(0,0,z)brRyzx均勻帶電的環(huán)形薄圓盤dSa故由于39例題求真空中半徑為a，帶電量為Q的導(dǎo)體球在球外空間中產(chǎn)生E分析可知：電場方向沿半徑方向電場大小只與場點與球心的距離相關(guān)解：在球面上取面元ds，該面元在P點處產(chǎn)生的電場徑向分量為：式中：40說明：與位于球心的點電荷Q在空間中產(chǎn)生的電場等效41庫侖定律電場強度作業(yè)2.7，2.9422.2.2靜電場的散度與旋度高斯定理表明：靜電場是有源場，電力線起始于正電荷，終止于負電荷。電場散度僅與電荷分布相關(guān)靜電場的散度（微分形式）1.靜電場散度與高斯定理靜電場的高斯定理（積分形式）環(huán)路定理表明：靜電場是無旋場，是保守場，電場力做功與路徑無關(guān)。靜電場的旋度（微分形式）2.靜電場旋度與環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理（積分形式）靜電場的基本方程43靜電場環(huán)路定律證明當(dāng)A點和B點重合時：物理意義：在靜電場中將單位電荷沿任一閉合路徑移動一周，靜電力做功為零——靜電場為保守場。（電力線不構(gòu)成閉合回路）靜電場環(huán)路定律斯托克斯公式44小結(jié)：真空中靜電場的基本方程微分形式積分形式靜電場性質(zhì)：是一種有源無旋場，是保守場。靜電場的源：電荷討論：對靜電場，恒有：

為標量函數(shù)靜電場可以由一標量函數(shù)的梯度表示。45

在電場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用高斯定理計算電場強度。

3.利用高斯定理計算電場強度具有以下幾種對稱性的場可用高斯定理求解：

球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。均勻帶電球體帶電球殼多層同心球殼46

無限大平面電荷：如無限大的均勻帶電平面、平板等。

軸對稱分布：如無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。(a)(b)47例題一求電荷密度為的無限大面電荷在空間中產(chǎn)生的電場。解：取如圖所示高斯面。由高斯定律，有分析：電場方向垂直表面。在平行電荷面的面上大小相等。S48例題二求無限長線電荷在真空中產(chǎn)生的電場。解：取如圖所示高斯面。由高斯定律，有分析：電場方向垂直圓柱面。電場大小只與r有關(guān)。49

例2.2.2

求真空中均勻帶電球體的場強分布。已知球體半徑為a

，電荷密度為

0。

解：（1）球外某點的場強（2）求球體內(nèi)一點的場強ar

0rrEa(r≥a)（r<a）分析：電場方向垂直于球面。電場大小只與r有關(guān)。50小結(jié)：利用高斯定理求解靜電場關(guān)鍵：高斯面的選擇。高斯面的選擇原則：用高斯定理求解電場的方法只能適用于一些呈對稱分布的電荷系統(tǒng)。1）場點位于高斯面上；2）高斯面為閉合面；3）在整個或分段高斯面上，或為恒定值。51靜電場的散度與旋度作業(yè)2.112.132.15522.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律1.

安培力定律

安培對電流的磁效應(yīng)進行了大量的實驗研究，在1821—1825年之間，設(shè)計并完成了電流相互作用的精巧實驗，得到了電流相互作用力公式，稱為安培力定律。

實驗表明，真空中的載流回路C1對載流回路C2的作用力

載流回路C2對載流回路C1的作用力安培力定律2.3.1安培力定律磁感應(yīng)強度

滿足牛頓第三定律53其中：為真空中磁導(dǎo)率。C1上電流元對C2上電流元磁場力為：式中：為真空中介電常數(shù)。對比：542.磁感應(yīng)強度

電流在其周圍空間中產(chǎn)生磁場，描述磁場分布的基本物理量是磁感應(yīng)強度，單位為T（特斯拉）。

磁場的重要特性：會對處于其中的運動電荷（電流）產(chǎn)生力的作用，稱為磁場力。載流回路C1對載流回路C2的作用力是回路C1中的電流I1產(chǎn)生的磁場對回路C2中的電流I2的作用力。在磁場空間中，若電荷q0以速度運動：說明：的方向與電荷受磁場力為零時的運動方向相同。55則，電流元在磁場中受到的磁場力為：若由電流元產(chǎn)生，則由安培力定律可知，電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為：畢奧－薩伐爾定律說明：、、三者滿足右手螺旋關(guān)系。56真空中任意電流回路產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度進一步推導(dǎo)573、磁感應(yīng)強度矢量積分公式（1）、體電流（2）、面電流（3）、載流為I的無限長線電流在空間中產(chǎn)生磁場584.幾種典型電流分布的磁感應(yīng)強度

載流直線段的磁感應(yīng)強度：

載流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強度：（有限長）（無限長）載流直線段載流圓環(huán)59例題求半徑為a的電流環(huán)在其軸線上產(chǎn)生的磁場。分析：在軸線上，磁場方向沿z向。電流分布呈軸對稱。解：建立如圖柱面坐標系。在電流環(huán)上任取電流元，令其坐標位置矢量為。易知：60可見，線電流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強度只有軸向分量，這是因為圓環(huán)上各對稱點處的電流元在場點P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的徑向分量相互抵消。當(dāng)場點P遠離圓環(huán)，即z>>a時，因，故

在圓環(huán)的中心點上，z=0，磁感應(yīng)強度最大，即61安培力定律磁感應(yīng)強度作業(yè)2.162.18622.3.2恒定磁場的散度和旋度真空中恒定磁場基本方程一、磁場的基本量1、源量：2、磁感應(yīng)強度矢量（磁通密度矢量）由安培力定律，知電流元產(chǎn)生的為：則整個電流回路產(chǎn)生的為：63說明:也為磁通密度矢量。由密度的定義：式中：為垂直于磁力線的面元；

為穿過ds面元的磁通量。穿過閉合曲面S的磁通量為：3、磁場強度矢量

磁場強度矢量表征磁場對電流或者永久磁體產(chǎn)生磁力作用的能力。64二、真空中恒定磁場的散度

在恒定磁場中，磁感應(yīng)強度矢量穿過任意閉合面的磁通量為0，即：上式表明：磁力線在空間任意位置是連續(xù)的。磁通連續(xù)性定律（積分形式）上式表明：恒定磁場是無源場

由矢量場的散度定理，可推得：孤立磁荷不存在說明：，故可用一矢量函數(shù)的旋度來表示。65三、真空中恒定磁場的旋度安培環(huán)路定律

在恒定磁場中，磁場強度矢量沿任意閉合路徑的環(huán)量等于其與回路交鏈的電流之和，即：安培環(huán)路定律(積分形式)說明:(1)指回路C所圍電流的代數(shù)和；(2)指回路C上的總磁場強度(由C內(nèi)外電流共同產(chǎn)生）。66由斯托克斯定理：安培環(huán)路定律(微分形式)上式表明：恒定磁場是有旋場，是非保守場。電流為磁場的漩渦源。小結(jié)：恒定磁場性質(zhì)恒定磁場為有旋無源場，非保守場67四、總結(jié)真空中恒定磁場基本方程1.

恒定磁場的散度與磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理表明：恒定磁場是無源場，磁感應(yīng)線是無起點和終點的閉合曲線。恒定場的散度（微分形式）磁通連續(xù)性原理（積分形式）安培環(huán)路定理表明：恒定磁場是有旋場，是非保守場、電流是磁場的旋渦源。恒定磁場的旋度（微分形式）2.恒定磁場的旋度與安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理（積分形式）68五、利用安培環(huán)路定律求解空間磁場分布1、建立方程直接求解

若已知空間電流分布，則可建立方程：

直接求解法在理論上可以求出空間磁場分布，但一般不采用此法(難于求解)，而利用輔助函數(shù)求解。692、利用安培環(huán)路定律求解

當(dāng)電流呈軸對稱分布時，可利用安培環(huán)路定律求解空間磁場分布。

若存在一閉合路徑C，使得在其上整段或分段為定值，則可以用安培環(huán)路定律求解。70

解：分析場的分布，取安培環(huán)路如圖根據(jù)對稱性，有，故

在磁場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用安培環(huán)路定理計算磁感應(yīng)強度。

例2.3.2

求電流面密度為的無限大電流薄板產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。71例題：半徑為a的無限長直導(dǎo)體內(nèi)通有電流I，計算空間磁場強度分布。分析：電流均勻分布在導(dǎo)體截面上，呈軸對稱分布。解：根據(jù)安培環(huán)路定律

當(dāng)r>a時

當(dāng)r<a時72例2.3.3

求載流無限長同軸電纜產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。題意分析：建立同軸電纜的結(jié)構(gòu)模型示意圖－半徑為a的內(nèi)導(dǎo)體圓柱、外殼為半徑分別是b、c的無限長中空導(dǎo)體圓柱，內(nèi)導(dǎo)體沿軸向有恒定的均勻傳導(dǎo)電流I，外導(dǎo)體殼有恒定的均勻傳導(dǎo)電流－I

。求空間各點的磁感應(yīng)強度分析：電流均勻分布在導(dǎo)體截面上，呈軸對稱分布。建立柱坐標系73

解選用圓柱坐標系，則應(yīng)用安培環(huán)路定理，得取安培環(huán)路，交鏈的電流為根據(jù)安培環(huán)路定律74應(yīng)用安培環(huán)路定律，得752.212.222.3.2恒定磁場的散度和旋度真空中恒定磁場基本方程作業(yè)762.4媒質(zhì)的電磁特性

1.電介質(zhì)的極化現(xiàn)象

電介質(zhì)的分子分為無極分子和有極分子。在電場作用下，介質(zhì)中無極分子的束縛電荷發(fā)生位移，有極分子的固有電偶極矩的取向趨于電場方向，這種現(xiàn)象稱為電介質(zhì)的極化。通常，無極分子的極化稱為位移極化，有極分子的極化稱為取向極化。2.4.1

電介質(zhì)的極化電位移矢量無極分子

有極分子無外加電場

媒質(zhì)對電磁場的響應(yīng)可分為三種情況：極化、磁化和傳導(dǎo)。

描述媒質(zhì)電磁特性的參數(shù)為：

介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率。無極分子有極分子有外加電場

E77極化媒質(zhì)宏觀上表現(xiàn)出電特性電場作用782.極化強度矢量

極化強度矢量

是描述介質(zhì)極化程度的物理量，定義為

——分子的平均電偶極矩

的物理意義：單位體積內(nèi)分子電偶極矩的矢量和。

極化強度與電場強度有關(guān)，其關(guān)系一般比較復(fù)雜。在線性、各向同性的電介質(zhì)中，與電場強度成正比，即

——電介質(zhì)（媒質(zhì)）的電極化率（或極化系數(shù)）

En表示分子密度79

由于極化，正、負電荷發(fā)生位移，在電介質(zhì)內(nèi)部可能出現(xiàn)凈余的極化電荷分布，同時在電介質(zhì)的表面上有面分布的極化電荷。3.極化電荷（束縛電荷）(1)

極化電荷體密度介質(zhì)被極化后，每個分子可以看作是一個電偶極子，其電偶極矩為在電介質(zhì)內(nèi)任意作一閉合面S，只有電偶極矩穿過S的分子對S內(nèi)的極化電荷有貢獻。在閉合面S所圍體積內(nèi)取小體積元

E

S穿出dS面的電荷量為：80穿出整個S面的電荷量為：由電荷守恒和電中性性質(zhì)，S面所圍電荷量為說明：若媒質(zhì)均勻極化（與空間位置無關(guān)），則介質(zhì)無體極化電荷。均勻媒質(zhì)被極化后，一般不存在體極化電荷。81(2)

極化電荷面密度

緊貼電介質(zhì)表面取如圖所示的閉合曲面，則穿過面積元的極化電荷為故得到電介質(zhì)表面的極化電荷面密度為

式中：為媒質(zhì)極化強度為媒質(zhì)表面外法向單位矢量82說明：1)極化電荷不能自由運動，也稱為束縛電荷2)由電荷守恒定律，極化電荷總量為零；3)極化媒質(zhì)分界面上一般存在極化電荷；4)若極化媒質(zhì)內(nèi)存在自由電荷，則在自由電荷處一般存在極化電荷。5）兩種介質(zhì)分界面上的極化電荷83空間中原電場：介質(zhì)被極化－>極化電荷：介質(zhì)空間中電場：介質(zhì)空間外加電場，實際電場為，變化與介質(zhì)性質(zhì)有關(guān)。引入電位移矢量作為描述空間電場分布的輔助量.844.電位移矢量介質(zhì)中的高斯定理

介質(zhì)的極化過程包括兩個方面：外加電場的作用使介質(zhì)極化，產(chǎn)生極化電荷；極化電荷反過來激發(fā)電場，兩者相互制約，并達到平衡狀態(tài)。無論是自由電荷，還是極化電荷，它們都激發(fā)電場，服從同樣的庫侖定律和高斯定理。自由電荷和極化電荷共同激發(fā)的結(jié)果

介質(zhì)中的電場應(yīng)該是外加電場和極化電荷產(chǎn)生的電場的疊加，應(yīng)用高斯定理得到：85任意閉合曲面電位移矢量D的通量等于該曲面包含自由電荷的代數(shù)和

引入電位移矢量（單位：C/m2)將極化電荷體密度表達式代入，有則有

其積分形式為

式中：為真空中的介電常數(shù)為媒質(zhì)的極化強度為外加電場強度86在這種情況下其中稱為介質(zhì)的介電常數(shù)，稱為介質(zhì)的相對介電常數(shù)（無量綱）。*

介質(zhì)有多種不同的分類方法，如：均勻和非均勻介質(zhì)各向同性和各向異性介質(zhì)時變和時不變介質(zhì)線性和非線性介質(zhì)確定性和隨機介質(zhì)5.電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

極化強度與電場強度之間的關(guān)系由介質(zhì)的性質(zhì)決定。對于線性各向同性介質(zhì)，

和

有簡單的線性關(guān)系87小結(jié)：靜電場是有源無旋場：

1）電介質(zhì)中的基本方程為

（積分形式）

（微分形式），

2）真空中點電荷產(chǎn)生的電位移矢量為：3）真空中靜電場的基本方程：88駐極體：外場消失后，仍保持極化狀態(tài)的電介質(zhì)體。解：在駐極體內(nèi)：駐極體在表面上：例題一

求半徑為a，永久極化強度為的球形駐極體中的極化電荷分布。已知：89例題二半徑為a的球形電介質(zhì)體，其相對介電常數(shù)若在球心處存在一點電荷Q，求極化電荷分布。解：由高斯定律，可以求得在媒質(zhì)內(nèi)：體極化電荷分布:面極化電荷分布:在球心點電荷處：90例題三

在線性均勻媒質(zhì)中，已知電位移矢量的z分量為，極化強度求：介質(zhì)中的電場強度和電位移矢量。解：由定義，知：910、分子電流模型電子繞核運動，形成分子電流。分子電流將產(chǎn)生微觀磁場。分子電流的磁特性可用分子極矩表示。式中：為電子運動形成的微觀電流；為分子電流所圍面元；2.4.2磁介質(zhì)的磁化磁場強度921.磁介質(zhì)的磁化

介質(zhì)中分子或原子內(nèi)的電子運動形成分子電流，形成分子磁矩?zé)o外加磁場外加磁場B

在外磁場作用下，分子磁矩定向排列，宏觀上顯示出磁性，這種現(xiàn)象稱為磁介質(zhì)的磁化。

無外磁場作用時，分子磁矩不規(guī)則排列，宏觀上不顯磁性。93B2.磁化強度矢量

磁化強度是描述磁介質(zhì)磁化程度的物理量，定義為單位體積中的分子磁矩的矢量和，即單位為A/m。一般介質(zhì)被磁化的程度與外加磁場強度成正比，即：式中：為磁介質(zhì)的磁化率（磁化系數(shù)）943.磁化電流

磁介質(zhì)被磁化后，在其內(nèi)部與表面上可能出現(xiàn)宏觀的電流分布，稱為磁化電流（束縛電流）。

考察穿過任意圍線C所圍曲面S的電流。只有分子電流與圍線相交鏈的分子才對電流有貢獻。與線元dl相交鏈的分子，中心位于如圖所示的斜圓柱內(nèi)，所交鏈的電流BC穿過曲面S的磁化電流為（1）磁化電流體密度95由，即得到磁化電流體密度

在緊貼磁介質(zhì)表面取一長度元dl，與此交鏈的磁化電流為（2）磁化電流面密度則即的切向分量96說明：1、若媒質(zhì)被均勻磁化，無體磁化電流；2、磁化介質(zhì)表面一般存在磁化電流；3、磁化電流仍然遵循電流守恒關(guān)系；4、若在磁介質(zhì)內(nèi)部存在自由線電流，則在自由電流處存在磁化線電流。974.磁場強度介質(zhì)中安培環(huán)路定理

分別是傳導(dǎo)電流密度和磁化電流密度。

將極化電荷體密度表達式代入，有,即

外加磁場使介質(zhì)發(fā)生磁化，磁化導(dǎo)致磁化電流。磁化電流同樣也激發(fā)磁感應(yīng)強度，兩種相互作用達到平衡，介質(zhì)中的磁感應(yīng)強度B應(yīng)是所有電流源激勵的結(jié)果：定義磁場強度為：98則得到介質(zhì)中的安培環(huán)路定理為：磁通連續(xù)性定理為小結(jié)：恒定磁場是有源無旋場，磁介質(zhì)中的基本方程為

（積分形式）

（微分形式）99其中，稱為介質(zhì)的磁化率（也稱為磁化系數(shù)）。這種情況下其中稱為介質(zhì)的磁導(dǎo)率，稱為介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率（無量綱）。順磁質(zhì)抗磁質(zhì)鐵磁質(zhì)磁介質(zhì)的分類5.磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

磁化強度

和磁場強度

之間的關(guān)系由磁介質(zhì)的物理性質(zhì)決定，對于線性各向同性介質(zhì)，與之間存在簡單的線性關(guān)系：100磁場強度磁化強度磁感應(yīng)強度

例2.4.1

有一磁導(dǎo)率為μ

，半徑為a的無限長導(dǎo)磁圓柱，其軸線處有無限長的線電流I，圓柱外是空氣（μ0），試求圓柱內(nèi)外的、和的分布。

解磁場為平行平面場,且具有軸對稱性，應(yīng)用安培環(huán)路定律，得1012.4.3媒質(zhì)的傳導(dǎo)特性恒定電場的本構(gòu)關(guān)系

對于線性和各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)，媒質(zhì)內(nèi)任一點的電流密度矢量J和電場強度E成正比，表示為這就是歐姆定律的微分形式。式中的比例系數(shù)稱為媒質(zhì)的電導(dǎo)率，單位是S/m（西/米）。晶格帶電粒子

存在可以自由移動帶電粒子的介質(zhì)稱為導(dǎo)電媒質(zhì)。在外場作用下，導(dǎo)電媒質(zhì)中將形成定向移動電流。

102恒定電場的本構(gòu)關(guān)系的推導(dǎo)導(dǎo)電媒質(zhì)電導(dǎo)率體積元內(nèi)存在：由歐姆定律：導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場本構(gòu)關(guān)系。式中：為導(dǎo)電媒質(zhì)電導(dǎo)率。103討論：1）在理想導(dǎo)體內(nèi)，恒定電場為0；恒定電場可以存在于非理想導(dǎo)體內(nèi)。2)在導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)，恒定電場和的方向相同導(dǎo)電媒質(zhì)中能量損耗關(guān)系小體積元內(nèi)，產(chǎn)生的焦耳熱功率為：所以，單位體積功率損耗為：導(dǎo)電媒質(zhì)焦耳功率損耗密度。1042.5電磁感應(yīng)定律和位移電流

電磁感應(yīng)定律

——揭示時變磁場產(chǎn)生電場。

位移電流

——揭示時變電場產(chǎn)生磁場。

重要結(jié)論：在時變情況下，電場與磁場相互激勵，形成統(tǒng)一的電磁場。105電磁感應(yīng)現(xiàn)象與楞次定律實驗表明：當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中會出現(xiàn)感應(yīng)電流。——電磁感應(yīng)現(xiàn)象楞次定律：回路總是企圖以感應(yīng)電流產(chǎn)生的穿過回路自身的磁通，去反抗引起感應(yīng)電流的磁通量的改變。1062.5.1電磁感應(yīng)定律

自從1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)之后，人們開始研究相反的問題，即磁場能否產(chǎn)生電流。

1881年法拉第發(fā)現(xiàn)，當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中就會出現(xiàn)感應(yīng)電流和電動勢，且感應(yīng)電動勢與磁通量的變化有密切關(guān)系，由此總結(jié)出了著名的法拉第電磁感應(yīng)定律。107負號表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場總是阻止磁通量的變化。1.

法拉第電磁感應(yīng)定律的表述

設(shè)任意導(dǎo)體回路C圍成的曲面為S，其單位法向矢量為，則穿過回路的磁通為

當(dāng)通過導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量

發(fā)生變化時，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢

in的大小等于磁通量的時間變化率的負值，方向是要阻止回路中磁通量的改變，即108

導(dǎo)體回路中有感應(yīng)電流，表明回路中存在感應(yīng)電場，回路中的感應(yīng)電動勢可表示為

感應(yīng)電場是由變化的磁場所激發(fā)的電場。感應(yīng)電場是有旋場。

感應(yīng)電場不僅存在于導(dǎo)體回路中，也存在于導(dǎo)體回路之外的空間。對空間中的任意回路（不一定是導(dǎo)體回路）C，都有因而有

對感應(yīng)電場的討論：109相應(yīng)的微分形式為(1)

回路不變，磁場隨時間變化這就是推廣的法拉第電磁感應(yīng)定律。

若空間同時存在由電荷產(chǎn)生的電場,則總電場應(yīng)為與之和，即。由于，故有2.引起回路中磁通變化的幾種情況磁通量的變化由磁場隨時間變化引起，因此有法拉第電磁感應(yīng)定律微分形式110稱為動生電動勢，這就是發(fā)電機工作原理。(2)

導(dǎo)體回路在恒定磁場中運動(3)

回路在時變磁場中運動111

（1），矩形回路靜止；xbaoyx均勻磁場中的矩形環(huán)L

（3），且矩形回路上的可滑動導(dǎo)體L以勻速運動。

解：(1)均勻磁場

隨時間作簡諧變化，而回路靜止，因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動勢是由磁場變化產(chǎn)生的，故

例2.5.1

長為a、寬為b的矩形環(huán)中有均勻磁場

垂直穿過，如圖所示。在以下三種情況下，求矩形環(huán)內(nèi)的感應(yīng)電動勢。

（2），矩形回路的寬邊b=常數(shù)，但其長邊因可滑動導(dǎo)體L以勻速運動而隨時間增大；112(3)矩形回路中的感應(yīng)電動勢是由磁場變化以及可滑動導(dǎo)體L在磁場中運動產(chǎn)生的，故得(2)均勻磁場

為恒定磁場，而回路上的可滑動導(dǎo)體以勻速運動，因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動勢全部是由導(dǎo)體L在磁場中運動產(chǎn)生的，故得或113

（1）線圈靜止時的感應(yīng)電動勢；

解:

（1）線圈靜止時，感應(yīng)電動勢是由時變磁場引起，故

（2）線圈以角速度ω

繞x

軸旋轉(zhuǎn)時的感應(yīng)電動勢。

例2.5.2

在時變磁場中，放置有一個的矩形線圈。初始時刻，線圈平面的法向單位矢量與成α角，如圖所示。試求：xyzabB時變磁場中的矩形線圈114

假定時，則在時刻t時，與y

軸的夾角，故

方法一：利用式計算

（2）線圈繞x軸旋轉(zhuǎn)時，的指向?qū)㈦S時間變化。線圈內(nèi)的感應(yīng)電動勢可以用兩種方法計算。115

上式右端第一項與(1)相同，第二項xyzabB時變磁場中的矩形線圈12234

方法二：利用式計算。116

在時變情況下，安培環(huán)路定理是否要發(fā)生變化？有什么變化？即問題：隨時間變化的磁場要產(chǎn)生電場，那么隨時間變化的電場是否會產(chǎn)生磁場？2.5.2位移電流

靜態(tài)情況下的電場基本方程在非靜態(tài)時發(fā)生了變化，即

這不僅是方程形式的變化，而是一個本質(zhì)的變化，其中包含了重要的物理事實，即時變磁場可以激發(fā)電場。（恒定磁場）

（時變場）1171.全電流定律安培環(huán)路定律的局限性

如圖：以閉合路徑為邊界的曲面有無限多個，取如圖所示的兩個曲面S1,S2。結(jié)論：恒定磁場中推導(dǎo)得到的安培環(huán)路定律不適用于時變場的問題。對S2面：則對S1面：118位移電流假說

在電容器極板間，不存在自由電流，但存在隨時間變化的電場。

為了克服安培環(huán)路定律的局限性，麥克斯韋提出了位移電流假說。他認為：在電容器之間，存在著另外一種形式的電流，其量值與回路中自由電流相等。

由電流連續(xù)性方程，知在極板間，有119上式中：為傳導(dǎo)電流，即自由電荷運動形成的電流。若定義：為位移電流，為全電流，則

若用全電流代替安培環(huán)路定律中的自由電流,則安培環(huán)路定律在時變場中仍然適用。全電流遵循電流守恒定律120廣義安培環(huán)路定律微分形式上式物理意義：隨時間變化的電場能產(chǎn)生磁場。說明：位移電流理論最初只是一種假說。但在此假說的基礎(chǔ)上，麥克斯韋預(yù)言了電磁波的存在，而赫茲通過試驗證明了電磁波確實存在，從而反過來證明了位移電流理論的正確性。三、安培環(huán)路定律廣義形式

一般情況下，時變場空間同時存在真實電流(傳導(dǎo)電流)和位移電流，則121

解決辦法：對安培環(huán)路定理進行修正由將修正為：矛盾解決

時變電場會激發(fā)磁場而由時變情況下，電荷分布隨時間變化，由電流連續(xù)性方程有

發(fā)生矛盾在時變的情況下不適用隨時間變化的電場能產(chǎn)生磁場時變場的觀點122全電流定律：——

微分形式——

積分形式

全電流定律揭示不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關(guān)系。1232.位移電流密度電位移矢量隨時間的變化率，能像電流一樣產(chǎn)生磁場，故稱“位移電流”。注意：在絕緣介質(zhì)中，無傳導(dǎo)電流，但有位移電流。在理想導(dǎo)體中，無位移電流，但有傳導(dǎo)電流。在一般介質(zhì)中，既有傳導(dǎo)電流，又有位移電流。位移電流只表示電場的變化率，與傳導(dǎo)電流不同，它不產(chǎn)生熱效應(yīng)。位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關(guān)重要的一步，它揭示了時變電場產(chǎn)生磁場這一重要的物理概念。124

例2.5.3

海水的電導(dǎo)率為4S/m，相對介電常數(shù)為81，求頻率為1MHz時，位移電流振幅與傳導(dǎo)電流振幅的比值。

解：設(shè)電場隨時間作正弦變化，表示為則位移電流密度為其振幅值為傳導(dǎo)電流的振幅值為故125式中的k為常數(shù)。試求：位移電流密度和電場強度。

例

2.5.4

自由空間的磁場強度為

解

自由空間的傳導(dǎo)電流密度為0，故由式,得126

例2.5.5

銅的電導(dǎo)率、相對介電常數(shù)。設(shè)銅中的傳導(dǎo)電流密度為。試證明：在無線電頻率范圍內(nèi)，銅中的位移電流與傳導(dǎo)電流相比是可以忽略的。而傳導(dǎo)電流密度的振幅值為通常所說的無線電頻率是指f=300MHz以下的頻率范圍，即使擴展到極高頻段（f=30～300GHz），從上面的關(guān)系式看出比值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略銅中的位移電流。

解：銅中存在時變電磁場時，位移電流密度為位移電流密度的振幅值為127電磁感應(yīng)定律和位移電流作業(yè)2.252.262.271282.6麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組

——宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的基本規(guī)律，是電磁場的基本方程。

麥克斯韋在引入位移電流假說的基礎(chǔ)上，總結(jié)前人研究成果，將揭示電、磁場基本性質(zhì)的幾個方程結(jié)合在一起，構(gòu)成了麥克斯韋方程組。微分形式積分形式限定形式129

2.6.1麥克斯韋方程組的積分形式1302.6.2麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋第一方程，表明傳導(dǎo)電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場－（推廣的安培環(huán)路定律）麥克斯韋第二方程，表明變化的磁場產(chǎn)生電場－（法拉第電磁感應(yīng)定律）麥克斯韋第三方程，表明磁場是無源場，磁感線總是閉合曲線－（磁通連續(xù)性定律）麥克斯韋第四方程，表明電荷產(chǎn)生電場－（高斯定律）注意：時變電磁場的源：1、真實源（變化的電流和電荷）2、變化的電場和變化的磁場。1312.6.3媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系麥克斯韋方程組的限定形式代入麥克斯韋方程組中，有限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質(zhì)）各向同性線性媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系為與媒質(zhì)特性相關(guān)132時變電場的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場；而時變磁場的激發(fā)源除了傳導(dǎo)電流以外，還有變化的電場。電場和磁場互為激發(fā)源，相互激發(fā)。時變電磁場的電場和磁場不再相互獨立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個整體——

電磁場。電場和磁場分別是電磁場的兩個分量。在離開輻射源（如天線）的無源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場和磁場仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。133在無源空間中，兩個旋度方程分別為

可以看到兩個方程的右邊相差一個負號，而正是這個負號使得電場和磁場構(gòu)成一個相互激勵又相互制約的關(guān)系。當(dāng)磁場減小時，電場的旋渦源為正，電場將增大；而當(dāng)電場增大時，使磁場增大，磁場增大反過來又使電場減小。134麥克斯韋方程組的地位：揭示了電磁場場量與源之間的基本關(guān)系，揭示了時變電磁場的基本性質(zhì)，是電磁場理論的基礎(chǔ)。說明：靜場只是時變場的一種特殊情況。135麥克斯韋方程組時變場靜態(tài)場緩變場迅變場電磁場(EM)準靜電場(EQS)準靜磁場(MQS)靜磁場(MS)小結(jié)：麥克斯韋方程適用范圍：一切宏觀電磁現(xiàn)象。靜電場(ES)恒定電場(SS)136

解：(1)導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流為忽略邊緣效應(yīng)時，間距為d

的兩平行板之間的電場為E=u/d

，則

例

2.6.1

正弦交流電壓源連接到平行板電容器的兩個極板上，如圖所示。(1)證明電容器兩極板間的位移電流與連接導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流相等；(2)求導(dǎo)線附近距離連接導(dǎo)線為r

處的磁場強度。CPricu平行板電容器與交流電壓源相接137與閉合線鉸鏈的只有導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流，故得(2)以r

為半徑作閉合曲線C，由于連接導(dǎo)線本身的軸對稱性，使得沿閉合線的磁場相等，故式中的S0為極板的面積，而為平行板電容器的電容。則極板間的位移電流為138

例2.6.2

在無源的電介質(zhì)中，若已知電場強度矢量，式中的E0為振幅、ω為角頻率、k為相位常數(shù)。試確定k與ω

之間所滿足的關(guān)系，并求出與相應(yīng)的其他場矢量。

解：是電磁場的場矢量，應(yīng)滿足麥克斯韋方程組。因此，利用麥克斯韋方程組可以確定k與ω

之間所滿足的關(guān)系，以及與相應(yīng)的其他場矢量。對時間

t積分，得139由以上各個場矢量都應(yīng)滿足麥克斯韋方程，將以上得到的H和D代入式1402.7電磁場的邊界條件

什么是電磁場的邊界條件?

為什么要研究邊界條件?媒質(zhì)1媒質(zhì)2

如何討論邊界條件?

實際電磁場問題都是在一定的物理空間內(nèi)發(fā)生的，該空間中可能是由多種不同媒質(zhì)組成的。邊界條件就是不同媒質(zhì)的分界面上的電磁場矢量滿足的關(guān)系，是在不同媒質(zhì)分界面上電磁場的基本屬性。物理：由于在分界面兩側(cè)介質(zhì)的特性參數(shù)發(fā)生突變，場在界面兩側(cè)也發(fā)生突變。麥克斯韋方程組的微分形式在分界面兩側(cè)失去意義，必須采用邊界條件。數(shù)學(xué)：麥克斯韋方程組是微分方程組，其