2020-2021學(xué)年磐石一中高一年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年磐石一中高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

1.已知全集為R：=而短7的定義域?yàn)榧螦x?-2x-320的解集為集合B,則4n

(CRB)=()

A.(0,3)B.[2,3)C.(2,3)D.[3,+8)

2.用反證法證明“如果a<b,那么正〈孤”，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是()

A.y/a=VbB.y/a<Vb

C.y/a=VK或正<VbD.Va=Vb^y/a>\[b

3.若點(diǎn)P在一彳的終邊上，且|OP|=2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.(V2,V2)B.(V2,-V2)C.(-V2.V2)D.(-V2,-V2)

5

4.=log210,4=log/,c=logy,則()

A.c>a>bB.b>c>aC.b>a>cD.a>b>c

5.函數(shù)/(為=由譏(2%+0)(|初號(hào),4>0)部分圖象如圖所示，且/(砌='

f(b)=0,對(duì)不同的％i，%2e-］，若f(%i)=/。2)，有/(/+不)=8，

則()

A.f(x)在(一患，為上是減函數(shù)

BJ(x)在(一居*)上是增函數(shù)

CJ(x)在譚丹)上是減函數(shù)

JO

D.在邑爭上是增函數(shù)

oO

6.設(shè)函數(shù)/(x)=sinx+acosx(a為常數(shù))，則a"=0"是"f(x)為奇函數(shù)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條

7.函數(shù)f(x)=(x2-l)e國+1的圖象大致為()

hD.J/

8.已知函數(shù)/。-1）是偶函數(shù)，對(duì)于任意的右，工26（-1,+8）都有，（>2）-/。1）］（%2-％1）<0成

立，設(shè)a=〃—|），b=f（O），C=/（1）.則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC,c<b<aD.b<c<a

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.下列各式中正確的是（）

A.若角a和/?的終邊關(guān)于％軸對(duì)稱，sina=sin。

B.若角a和。的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，cosa=cos。

C.若角a和0的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，tana=tern/?

D.若角a和￡的終邊相同，cos（7i+a）=COS（TT-￡）

10.若幕函數(shù)'="乃的圖象經(jīng)過點(diǎn)（27,3）,則基函數(shù)f（x）在定義域上是（）

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.減函數(shù)

11.已知a>b>0,0<c<1,則（）

A.ac>beB.ac>bcC.abc<bacD.logc。<log2

12.設(shè)b、c均為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程N(yùn)+b|x|+c=0在復(fù)數(shù)集C上給出下列結(jié)論，正確的是（）

A.存在b、c,使得該方程僅有2個(gè)共規(guī)虛根

B,存在b、c,使得該方程有4個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根

C.存在氏c,使得該方程有5個(gè)互不相等的根

D,存在b、c,使得該方程最多有6個(gè)互不相等的根

三、單空題（本大題共4小題，共12.0分）

13.圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?，而弧長不變，則該弧所對(duì)的圓心角是原來的倍.

3x—y—6<0

14.設(shè)x,y滿足約束條件％-y+230,若目標(biāo)函數(shù)2=。％+力/（0>0*>0）的最大值為8,則

JC>0,y>0

5+;的最小值為.

15.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（8,y）,且cosa=*則y的值為.

16.用一段長為30nl的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m,要求菜園的面積不小于216m2,

靠墻的一邊長為xm,其中的不等關(guān)系可用不等式（組）表示為.

四、解答題（本大題共6小題，共72.0分）

17.已知函數(shù)/Q）=HaX-L（a>0,ar1）為R上的奇函數(shù)，且/⑴號(hào).

(I)解不等式:f(/+2x)+/(x-4)>0；

(n)若當(dāng)xe[-1,1]時(shí)，產(chǎn)+1>a2x-i恒成立，求b的取值范圍.

18.已知全集(/=/?,函數(shù)y=而菽二方的定義域?yàn)?,集合B={x|2<x<4},求:

⑴集合從

(2)4n8.

19.已知在銳角AABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且等+學(xué)=—.

bcV3smc

(1)求b的值；

(2)若cosB+V5sinB=2，求△力BC周長的取值范圍.

20.若函數(shù)”X)為奇函數(shù)，當(dāng)0時(shí)，/(x)=2x2-4%,(如圖所以).

(1)求函數(shù)/(x)的表達(dá)式，并補(bǔ)全函數(shù)的圖象，指出函數(shù)y=/Q)單調(diào)遞減區(qū)間.

21.求函數(shù)y=2sinGx+9,xe[—2兀,2汨的單調(diào)區(qū)間.

22.已知集合M是同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體

①函數(shù)/(x)在其定義域上是單調(diào)函數(shù)；②/(x)的定義域內(nèi)存在區(qū)間口力，使得/(乃在口切上的值

域?yàn)榉?

(1)判斷g(x)=/是否屬于M,若是，求出所有滿足②的區(qū)間[a,b],若不是，說明理由;

(2)若/i(x)=V7=I+teM,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

參考答案及解析

1.答案：c

解析：解：由/'(%)=得到log2X-1>0，即log2》>1=log22,即x>2,

???A—(2,+oo),

不等式％2-2x-320,變形得：(久-3)0+1)20,

解得：工工一1或％23,即B=(-8,-1]u[3,+8),

??3=(-1,3),

則An(CRB)=(2,3),

故選：C.

求出的定義域確定出4求出已知不等式的解集確定出B,找出4與B補(bǔ)集的交集即可.

此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.答案：D

解析：

本題主要考查了不等式證明中的反證法，屬于基礎(chǔ)題.反證法是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即結(jié)論的

否定成立，所以只要考慮正<超的否定是什么即可.

解：:，〈好的否定是孤之孤，

即孤=孤或,〉孤.

故選D.

3.答案：B

解析：解：設(shè)點(diǎn)P(x,y)

由任意角三角函數(shù)定義,sin(-=7=2>cos(-4^=r=2

解得：x=V2,y=—V2

故選民

根據(jù)任意角三角函數(shù)定義，若角的終邊上不同于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(％y),則此角的正弦值為

瑜，余弦值為今其中r為點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，列方程即可得所求.

本題考察了任意角三角函數(shù)的定義，熟記概念并能理解運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵.

4.答案：D

解析：解由對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得a=log21。>logz8=3,log39=2Vb=log/Vlog327,

5

c—log^<log749=2,

-?a>b>c,

故選：D.

由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得a=log210>3,2cb<3,c=log充<2,從而得到a、b、c的大小關(guān)系.

本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

5.答案：B

解析：解：??"(x)=Asin(2x+。)，.?.函數(shù)最小正周期為7=兀；

由圖象得A=2,且/(a)=f(b)=0,

6-a,解得b-a=M

za)4

又xi，x2e[a,b],且/'(%i)=f(%2)時(shí)，有了Qi+%2)=6，

:.sin[2(%1+%2)+<p]=y>即2(/+x2)+3=竽,

且sin(2?臂+s)=1,即2?華+*=今

解得3=最

-/(x)=2sin(2x+^)；

令一彳+2卜?！?x+gw3+2k7r,fcez,

--6+2kn<2%6<-+2kn,k&Z,

解得一工+WxW卷+k兀，kG.Z,

???函數(shù)在區(qū)間[一管+5看+k捫，k6Z上是單調(diào)增函數(shù)，

二,(久)在區(qū)間(一居*)上是單調(diào)增函數(shù).

故選：B.

根據(jù)題意，得出函數(shù)f(x)的最小正周期，且b-a為半周期，再根據(jù)f(Xi)=/(X2)時(shí)八小+犯)的值

求出9的值，從而寫出f(x)的解析式，判斷/'(%)的單調(diào)性.

本題考查了正弦型三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題目.

6.答案：C

解析：解：若a=0,則/(x)=s)x,為奇函數(shù)，充分性成立；

若/(%)為奇函數(shù)，則/(0)=0,所以0+a=0,a=0,必要性成立；

故"a=0”是"/(x)為奇函數(shù)”的充要條件.

故選：C.

根據(jù)充要條件的定義分充分性和必要性分別判斷即可.

本題考查了充要條件的判斷，借助三角函數(shù)的奇偶性及奇偶性的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題.

7.答案：D

解析：解：/(-%)=[(-x)2-l]el-x|+1=(——l)e|x|+1=f(x),則/'(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸

對(duì)稱，排除4，C,

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=(x2—l)ex+1,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/''(%)=2xe*+(%2-1)靖=蠟(％2+2x-1),

當(dāng)x>0時(shí)，由/'(x)>0得%2+2%-1>0,即x>-1+&或x<-1一四，此時(shí)x>-l+&，

由/'(x)<0得好+2%一1<0,即0<x<—1+魚，此時(shí)為減函數(shù)，即當(dāng)x>0時(shí)只有一個(gè)極小值

點(diǎn)，排除B,

故選：D.

判斷函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，求當(dāng)x20時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用排除法進(jìn)

行判斷即可.

本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

性是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

8.答案：C

解析：

本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分析函數(shù)的對(duì)稱性.根據(jù)題意，分析可得函數(shù)/(x)

的圖象關(guān)于直線久=-1對(duì)稱，進(jìn)而有函數(shù)/(x)在區(qū)間(-1,+8)為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性可得Q=

/'(-5=/(—)，b=/(0),c=f(l),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.

解：根據(jù)題意，函數(shù)/Xx-l)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，

又由對(duì)于任意的Xl，x2G(-1,+8)都有-巧)<0成立，

則函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,+8)為減函數(shù)，

則。=/(一|)=/(一》b=f(0),c=/⑴.

則有c<b<a；

故選：C.

9.答案：CD

解析：解：由角a和夕的終邊關(guān)于％軸對(duì)稱，可知夕=-a+2k7r(k€Z),故s譏a=-si印，故A錯(cuò)誤；

角a和/?的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，可知/?=?！猘+2kzr(kWZ),cosa=—cosfi,故B錯(cuò)誤；

角a和3的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知口=兀+a+21兀(卜eZ),得tana=tan/?,故C正確；

角a和￡的終邊相同，可知夕=a+2k兀(k6Z),得cosa=cos。,

Xcos(TT+a)=—cosa,cos(;r—^)=—cosp,cos(7r+a)=cos(jr—p),故。正確.

故選：CD.

分別寫出關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)及坐標(biāo)軸對(duì)稱角的關(guān)系，然后求三角函數(shù)值進(jìn)行判斷.

本題考查關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)及坐標(biāo)軸對(duì)稱角的表示方法，考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

10.答案：AC

解析：解：設(shè)基函數(shù)f(X)=xa,

???嘉函數(shù)/(X)=嚴(yán)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(27,3),

??"(27)=27。=3,解得a=±

在定義域是單調(diào)遞增的函數(shù)，故C正確，。不正確；

/(—X)=(~x)3=—=—/(x)>則/'(x)為奇函數(shù),故A正確，B不正確,

故選：AC.

設(shè)幕函數(shù)f(x)=xa,由基函數(shù)/。)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(27,3),得到/(》)=舅，由此能求出函數(shù)的單

調(diào)性和奇偶性.

本題考查募函數(shù)的概念，函數(shù)奇偶性及單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：ABD

解析：解：由a>￡>>0,0<c<1,可得ac>be,故A正確；

由0<c<l,可得函數(shù)/。)=產(chǎn)為增函數(shù)，由a>b>0,所以f(a)>/(b),BPac>bc,故B正確；

由0<c<l,可得c—l<0,所以函數(shù)g(x)=x'T在(0,+8)上單調(diào)遞減，

因?yàn)閍>b>0,所以g(a)<g(b),即淤一】<bf即ba，<ab。故C錯(cuò)誤；

由0<c<1,可得/i(x)=logcX在(0,+8)上單調(diào)遞減，

因?yàn)閍>b>0,所以/i(a)<h(b),即logc。<log/,故。正確.

故選：ABD.

由不等式的基本性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A；由基函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)8,C；由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷選

項(xiàng)D.

本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，考查函數(shù)思想與邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.答案：ABD

解析：解：對(duì)于4令b=0,c為正實(shí)數(shù)，則該方程僅有2個(gè)共輾的虛根，正確；

對(duì)于B,若x為實(shí)數(shù)，則方程可看做+b|x|+c=0,只需保證|用有2個(gè)不同的正解即可，如b=-3,

c=2,此時(shí)方程有4個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，正確；

對(duì)于CD,若x為虛數(shù)，設(shè)x=M+ni(m,neR),則原方程等價(jià)于m?一標(biāo)+2加球+^m2+n2+c=

0,貝lj2?nn=0,

又x為虛數(shù)，故n#0,則有7n=0,即一n2+b|n|+c=0,即M—b|n|—c=0最多有2個(gè)根，所以

方程最多有6個(gè)根，只需收：;丫二［，

SZ+4c>0

如b=-3,c=2,方程有一1,-2,1,2四個(gè)實(shí)根，有電旦i,號(hào)且i兩個(gè)虛根；

故選：ABD.

令b=0,c為正實(shí)數(shù)，容易判斷A正確；b=-3,c=2,此時(shí)方程有4個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則8

正確；對(duì)于CD,6=-3,c=2,方程有一1,一2,1,2四個(gè)實(shí)根，有卓亙i,土產(chǎn)i兩個(gè)虛根，由

此C錯(cuò)誤。正確.

本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系以及復(fù)數(shù)相關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

13.答案：2

解析：解：設(shè)圓的半徑為r,弧長為1,圓心角為a(a>0),

則a=;,

改變后的半徑為》,弧長/不變，

則弧所對(duì)的圓心角2：=2a.

該弧所對(duì)的圓心角是原來的2倍.

故答案為：2.

設(shè)出圓的半徑和弧長，求出圓心角，再求出改變后的圓的半徑，再由圓心角公式求出圓心角，則由

改變前后的圓心角的關(guān)系得答案.

本題考查了弧度制，考查了圓心角公式，是基礎(chǔ)題.

14.答案：7

解析：

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方

法.

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)先求出a,b的關(guān)系，然后利用基本不等式求則5+;

的最小值.

解：由2=ax+by(a>0,b>0)得y=+會(huì)

二直線y=-￡x+j的斜率為負(fù)，且截距最大時(shí)，z也最大.

平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)4時(shí)，

直線的截距最大，此時(shí)z也最大.

由巴IM。,解得憂即4(4,6).

此時(shí)z=4a+6b=12,

BPf+1=1,

則那=?+》《+》

1.0.^,2a10.b2a16

=-+3+—+—>—+2Q—?—=—.

32ab32bb3

當(dāng)且僅當(dāng)9=平時(shí)取=號(hào),

2ab

故答案為：y.

15.答案：±6

48

解析：解：???角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(8,y),且cosa=g=而于，則、=±6,

故答案為：±6.

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求出y的值.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

(0<x<18,

16.答案:[x(15>216

解析：由于矩形菜園靠墻的一邊長為xm,而墻長為18m,所以0<xW18,

這時(shí)菜園的另一條邊長為小F=(15-^)m.

因此菜園面積S=x(15—》機(jī)2,

依題意有S豈216,即％(15勺2216,

故該題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為

0<x<18,

x(15——)>216.

17.答案：解：由函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，則"0)=0,得k—l=0,解得k1,

則f。)=ax-a-,

又???《)=/即a-a-'g,解得a=一式舍去)或a=3,

f(x)=3X-3-x,

函數(shù)y=3丫和y=-3-x都是R上的增函數(shù)，則f(x)=3丫-3r為R上的增函數(shù),

(I)不等式/(/+2x)+f(x-4)>0

移項(xiàng)得f(/+2x)>-f(x-4),

,?,函數(shù)f(%)=3X-3T在R上為奇函數(shù)，

???f(%2+2x)>/(4—%),

,?,函數(shù)/(%)=3X-3r在R上為增函數(shù)，

:.x2+2%>4-%,

解之得%>1,或％<-4.

(n)由題意得，當(dāng)工￡[-1,1]時(shí)，廳+I>32%T恒成立，

即b>3第恒成立，

令y=3*=32-^?

由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)可知％6[-1,1]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則％=1時(shí)，函數(shù)取得最大值方,

故b的取值范圍是b>遮.

解析：（I）函數(shù)/'（X）為R上的奇函數(shù)，則/（0）=。與/（I）=?聯(lián)立方程組解出函數(shù)的解析式/Q）=

3，-3T,然后判斷出函數(shù)的單調(diào)性，綜合利用奇偶性和單調(diào)性去函數(shù)符號(hào)求解；（II）先解出b,然

后將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解.

本題考察函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解不等式，和恒成立問題，解題的難點(diǎn)是在（n）中解出6,然后轉(zhuǎn)

化.

18.答案：解：(1)要使函數(shù)丫=hsinx一6有意義，則2sinx—620,

???sinx>——，

2

:.A=[2kit+2kit+~]kGZ-

(2)vB={x\2<x<4),k=0時(shí)，4=號(hào)，等,

.?.4CB=[2,等.

解析：（D可看出，要使得原函數(shù)有意義，則需滿足2sinx—620,從而可解出x的范圍，得出4=

[2kn+^,2kn+^-],kGZ；

（2）進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

本題考查了描述法、區(qū)間的定義，函數(shù)定義域的定義及求法，正弦函數(shù)的圖象，交集的定義及運(yùn)算,

考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

/T、一b/osB,cosCsinA

19.答案:解:(1)已1知丁+丁=麗？

由正弦定理和余弦定理，可得直片士+貯產(chǎn)了=含,

2abc2abcy/3c

化簡可得：b=V3.

（2）vcosB+巡sinB=2,

A-cosB+—sinB=1,即：sin（B+，）=l,

226

???由B為銳角，可得

,?,a■，.c,.b,——-6,1c9

sin4sinCsinB昱9

2

：?a=2sinA,c=2sinC,

又???在銳角△ABC中，O<A<9,0<C<7,C=^-A,

二月6（分）,

，周長L=a+b+c=g+2(sinA+sinC)

=\/3+2sinA+sin(?！狝)

=V3+2遮(字sin4+geos/)

=6+2次sin(4+?

??,。是)i+R冷)，

/.am(A+1)6隹1.

則Le(3+V3,3V3],

即△ABC周長的取值范圍為(3+6,3遮].

解析：本題主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在

解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)由已知應(yīng)用正弦定理和余弦定理，即可解得b的值.

(2)由已知利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求B的值，利用正弦定理可得a=2sim4,c=2sinC,進(jìn)而

可求范圍AeOZ利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解周長的取值范

圍.

20.答案：解：(1)根據(jù)題意，設(shè)％<0,則一式>0,

/(-%)=2(-%)2—(-%)=2x2+4x,

又由函數(shù)為奇函數(shù)，則/'(x)=-/(%)=-2/一4%,

則/'(%)=仁2,二4x,x：0,其圖象如圖；

(2產(chǎn)-4x,x>0

其遞減區(qū)間為(一1,1);

(2)x/(x)>0?>0或1/(無)<0，

解可得：工<一2或刀>2,

即不等式X/(x)>0的解集為｛x|x<-2或x>2].

解析：(1)根據(jù)題意，設(shè)x<0,則-x>0,由函數(shù)的解析式可得〃-x)的解析式，結(jié)合函數(shù)的奇偶

性可得f(x)的解析式，綜合可得函數(shù)f(x)的解析式，據(jù)此作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得其單調(diào)區(qū)

I-HJ；