福建省福州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

2023~2024學(xué)年第一學(xué)期福州市高一年級(jí)期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（完卷時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求解.【詳解】因?yàn)?故選：D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題“，”為全稱量詞命題，該命題的否定為“，”.故選：C.3.在下列區(qū)間中，方程的實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理即可求解.【詳解】由題意函數(shù)單調(diào)遞增，且，由零點(diǎn)存在定理可知方程的實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間只能為.故選：C.4.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，對(duì)整數(shù)的取值進(jìn)行討論，可求得集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)椋瑢?duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，，因此，.故選：B.5.設(shè),則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí),,此時(shí);當(dāng)時(shí),此時(shí)或；所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.6.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得解.【詳解】由題意.故選：B.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角的余弦公式可求得的值.【詳解】.故選：B.8.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放.已知過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量（單位：）與時(shí)間（單位：h）的關(guān)系為（且，且），其圖象如下，則污染物減少至少需要的時(shí)間約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.23小時(shí) B.25小時(shí) C.42小時(shí) D.44小時(shí)【答案】D【解析】【分析】由圖象首先得，進(jìn)一步由指對(duì)互換、換底公式以及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解.【詳解】由題意時(shí)，，時(shí)，，解得，令，解得，對(duì)比選項(xiàng)可知污染物減少至少需要的時(shí)間約為44小時(shí).故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷BC選項(xiàng)；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，由不等式的性質(zhì)可得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，取，，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，且，則，D對(duì).故選：AD.10.已知函數(shù)的部分圖象如下所示，則（）A.B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件得，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】由圖知，五點(diǎn)法作圖中的第二個(gè)點(diǎn)為，第五個(gè)點(diǎn)為，所以，且，解得，得到，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，由的圖像與性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，由的圖像與性質(zhì)知選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得，又，即奇函數(shù)，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，、都有，且，則（）A. B.C.是增函數(shù) D.是偶函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】通過(guò)賦值法求出函數(shù)解析式，然后逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】令，得，則，令，則，①令，則，即，②聯(lián)立①②可得，則，，A錯(cuò)B對(duì)，函數(shù)增函數(shù)，且為非奇非偶函數(shù)，C對(duì)D錯(cuò).故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查抽象函數(shù)的基本性質(zhì)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于對(duì)、進(jìn)行賦值，通過(guò)構(gòu)建方程組求解函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)進(jìn)行判斷.12.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，則（）A.B.C.D.關(guān)于的方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A項(xiàng)，通過(guò)作關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)的圖象與的交點(diǎn)情況，不難判斷；對(duì)于B，C兩項(xiàng)，主要是考慮二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性和的取值范圍分析或者特例判斷即得；對(duì)于D項(xiàng)，要先判斷的范圍，結(jié)合圖象易得.【詳解】如圖，依題意作出函數(shù)的圖象.對(duì)于A項(xiàng)，作出關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)的圖象，與直線交于點(diǎn)，則，不難看出點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，則，故，A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，由可得：，即，則得，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由解得：，由解得：，此時(shí)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，依題意，，在上單調(diào)遞增，故，于是由圖知，函數(shù)與的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于的方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)解，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查分段函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程的解的關(guān)系問(wèn)題.解決函數(shù)零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程解的問(wèn)題的主要思想方法有：（1）轉(zhuǎn)化思想：就是將方程的解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，或轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解；（2）數(shù)形結(jié)合法：通過(guò)作出函數(shù)的圖象，根據(jù)其對(duì)稱性、單調(diào)性或值域等推導(dǎo)相應(yīng)參數(shù)的范圍.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則的坐標(biāo)是______.【答案】【解析】【分析】由（且）可求得定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】對(duì)于函數(shù)（且），令，可得，且，故點(diǎn).故答案為：.14.已知扇形的弧長(zhǎng)是，面積是，則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為_(kāi)_____.【答案】2【解析】【分析】由扇形弧長(zhǎng)、面積和圓心角以及半徑的關(guān)系列方程即可求解.【詳解】由題意設(shè)扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)、半徑、弧長(zhǎng)以及面積分別為，則，解得.故答案為：2.15.已知函數(shù)不恒為0，且同時(shí)具備下列三個(gè)性質(zhì)：①；②是偶函數(shù)；③，，.寫(xiě)出一個(gè)函數(shù)______.【答案】.（答案不唯一，如，（且）等均可）【解析】【分析】由，，，可聯(lián)想到對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，由此即可進(jìn)一步求解.【詳解】注意到對(duì)數(shù)函數(shù)（且），滿足，且，即滿足①③，若要滿足②函數(shù)是偶函數(shù)；則只需取，在這里可取.故答案為：（答案不唯一）.16.用表示函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，已知.（1）若，則的取值范圍是______.（2）若，則的取值范圍是______.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）分、兩種情況討論，求出，根據(jù)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可；（2）對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，求出、，根據(jù)可得出關(guān)于的不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）若時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則，則，解得，因?yàn)?，解得，若，?dāng)時(shí)，，則，不合乎題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，則，則，，由可得，整理可得，因?yàn)?，則，矛盾；當(dāng)時(shí)，則，則，，由可得，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，則，若，則，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，由可得，可得，解得；若，則，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，由可得，可得，可得，解得；若，則，由，可得，矛盾.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：（1）；（2）.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角不等式的求解，解題的關(guān)鍵是對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求出、，進(jìn)而得出不等式求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）7（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用基本不等式即可求出結(jié)果；（2）利用（1）中結(jié)果，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求解不等式，即可解決問(wèn)題.【小問(wèn)1詳解】，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為7.【小問(wèn)2詳解】由（1）知函數(shù)的最小值為7，因?yàn)楹愠闪?，所以，解得，所以的取值范圍?18.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求，，的值；（2）將的終邊按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，此時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角為，求的值.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，由三角函數(shù)的定義即可求出結(jié)果；（2）由題知，法一：根據(jù)（1）中結(jié)果，求出，再利用齊次式即可求出結(jié)果；法二：利用（1）中結(jié)果，直接求出，，即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，則，，.【小問(wèn)2詳解】法一，因?yàn)椋桑?）知，所以所以，法二，，，所以，，所以.19.已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】19.，20.最小值為0，最大值為【解析】【分析】（1）由已知代入運(yùn)算求出，帶回化簡(jiǎn)求出增區(qū)間；（2）根據(jù)，求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意可得，，即.因?yàn)?，所以，所以，?所以，由，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.20.已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；（2）解不等式.【答案】20.函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析21.或【解析】【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（2）首先證明函數(shù)是偶函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式；【小問(wèn)1詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，，且，則，因?yàn)?，，且，所以，所以，，，故，即，所以在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以是偶函?shù)，又由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，兩邊平方可得，解得或，故不等式的解集為或.21.已知函數(shù)為奇函數(shù)，.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2），，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)得恒等式，解出參數(shù)并檢驗(yàn)即可得解.（2）首先得，，進(jìn)一步通過(guò)換元，并對(duì)進(jìn)行分類討論即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，整理得.所以.解得，當(dāng)時(shí)，，舍去，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋项}意.所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，根據(jù)題意可得，.由（1）知，當(dāng)時(shí)，，故.，設(shè)，函數(shù)，.①當(dāng)時(shí)，，可得，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，圖象的對(duì)稱軸為.（i）當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，由，得，即，所以；（ii）當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，，由，得，所以；若，即時(shí)，，由，得，所以；綜上所述，的取值范圍是.22.筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖，假定在水流量穩(wěn)定的情況下，一個(gè)半徑為的筒車開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)1圈、筒車的軸心距離水面的高度為.設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水面下則為負(fù)數(shù)）.若以盛水筒剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，則與時(shí)間（單位：s）之間的關(guān)系為.（1）求，，，的值；（2）若盛水筒在不同時(shí)刻，距離水面的高度相等，求的最小值；（3）若筒車上均勻分布了12個(gè)盛水筒，在筒車運(yùn)行一周的過(guò)程中，求相鄰兩個(gè)盛水筒距離水面的高度差的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由圓的半徑、周期性以及銳角三角函數(shù)即可求解；（2）不妨設(shè)，由題意得，通過(guò)分類討論即可求解；（3）由題意首先得，，由此即可進(jìn)一步求解.【小問(wèn)1詳解】如圖，設(shè)筒車與水面的交點(diǎn)為，