(完整版)高數(shù)中的重要定理與公式及其證明(三)

在這里，沒有考不上的研究生?？缈寄Ч砑?xùn)營0高數(shù)中的重要定理與公式及其證明（三）考研數(shù)學(xué)中最讓考生頭疼的當(dāng)屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?duì)待數(shù)學(xué)的態(tài)度，一切定理的推導(dǎo)過程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)學(xué)系的考試，很多時(shí)候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時(shí)候可能是又費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。現(xiàn)將高數(shù)中需要掌握證明過程的公式定理總結(jié)如下。這些證明過程，或是直接的考點(diǎn)，或是蘊(yùn)含了重要的解題思想方法，在復(fù)習(xí)的初期，先掌握這些證明過程是必要的。14）單調(diào)性定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)。如果在上有，那么函數(shù)在上單調(diào)遞增。如果在上有，那么函數(shù)在上單調(diào)遞減?！军c(diǎn)評(píng)】：這個(gè)定理利用導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系很容易理解，但實(shí)際證明中卻不能用圖形來解釋，需要更嚴(yán)密的證明過程。證明：僅證明的情形，的情形類似。，假定則利用拉個(gè)朗日中值定理可得，使得。由于，因此。由的任意性，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增。15）(極值第一充分條件)設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，并在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)。ⅰ）若時(shí)，而時(shí)，則在處取得極大值ⅱ）若時(shí)，而時(shí)，則在處取得極小值；ⅲ）若時(shí)，符號(hào)保持不變，則在處沒有極值；【點(diǎn)評(píng)】：?jiǎn)握{(diào)性定理的推論，具體證明過程見教材。16）(極值第二充分條件)設(shè)函數(shù)在處存在二階導(dǎo)數(shù)且，那么ⅰ）若則在處取得極小值；ⅱ）若則在處取得極大值?！军c(diǎn)評(píng)】：這個(gè)定理是判斷極值點(diǎn)最常用的方法，證明過程需要用到泰勒公式。證明：僅證明的情形，的情形類似。由于在處存在二階導(dǎo)數(shù)，由帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式得。在的某領(lǐng)域內(nèi)成立由于，因此由高階無窮小的定義可知，當(dāng)時(shí)，有，又由于，因此在的某領(lǐng)域內(nèi)成立。進(jìn)一步，我們有。也即，在的某領(lǐng)域內(nèi)成立。由極值點(diǎn)的定義可知在處取得極小值。

16）洛必達(dá)法則設(shè)函數(shù)在的空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，，且則有，其中可以是有限數(shù)，也可以是。【點(diǎn)評(píng)】：洛必達(dá)法則是計(jì)算極限時(shí)最常用的方法，但它的證明卻很少有人關(guān)注。洛必達(dá)法則是拉格朗