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上海崇明縣港西中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.(5分)函數(shù)f(x)=2x+x3﹣2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3參考答案:B考點(diǎn): 函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析: 根據(jù)函數(shù)f(x)=2x+x3﹣2在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,f(0)f(1)<0,可得函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)解答: 解:由于函數(shù)f(x)=2x+x3﹣2在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,又f(0)=﹣1<0,f(1)=1>0,所以f(0)f(1)<0,故函數(shù)f(x)=2x+x3﹣2在區(qū)間(0,1)內(nèi)有唯一的零點(diǎn),故選B.點(diǎn)評(píng): 本題考查函數(shù)零點(diǎn)的定義以及函數(shù)零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用,屬于中檔題.2.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C3.在中國(guó)足球超級(jí)聯(lián)賽某一季的收官階段中,廣州恒大淘寶、北京中赫國(guó)安、上海上港、山東魯能泰山分別積分59分、58分、56分、50分,四家俱樂部都有機(jī)會(huì)奪冠.A、B、C三個(gè)球迷依據(jù)四支球隊(duì)之前比賽中的表現(xiàn),結(jié)合自已的判斷,對(duì)本次聯(lián)賽的冠軍進(jìn)行如下猜測(cè):A猜測(cè)冠軍是北京中赫國(guó)安或山東魯能泰山;B猜測(cè)冠軍一定不是上海上港和山東魯能泰山;C猜測(cè)冠軍是廣州恒大淘寶或北京中赫國(guó)安.聯(lián)賽結(jié)束后,發(fā)現(xiàn)A,B,C三人中只有一人的猜測(cè)是正確的,則冠軍是(
)A.廣州恒大淘寶 B.北京中赫國(guó)安C.上海上港 D.山東魯能泰山參考答案:D【分析】根據(jù)選項(xiàng)將冠軍分成4種可能,分別判斷的猜測(cè)是否滿足條件,從而得到答案.【詳解】如果冠軍是廣州恒大淘寶,那么A不正確,但B和C都正確,不滿足條件;如果冠軍是北京中赫國(guó)安,那么A,B,C都正確了,不滿足條件;如果冠軍是上海上港,那么A,B,C都不正確,也不滿足條件;如果冠軍是山東魯能,那么A正確,B,C不正確,滿足條件.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了合情推理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題型.4.一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等,底面是正方形,其正(主)視圖如右圖所示該四棱錐側(cè)面積和體積分別是(A)
(B)
(C)
(D)8,8參考答案:B5.過拋物線焦點(diǎn)的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn),與圓交于C、D兩點(diǎn),若有三條直線滿足,則r的取值范圍為(
)A.
B.(2,+∞)
C.
D.參考答案:B詳解:(1)當(dāng)直線軸時(shí),直線:與拋物線交于,與圓交于,滿足.(2)當(dāng)直線不與軸垂直時(shí),設(shè)直線方程.聯(lián)立方程組
化簡(jiǎn)得由韋達(dá)定理由拋物線得定義,過焦點(diǎn)F的線段當(dāng)四點(diǎn)順序?yàn)闀r(shí)AB的中點(diǎn)為焦點(diǎn)F(1,0),這樣的不與軸垂直的直線不存在;當(dāng)四點(diǎn)順序?yàn)闀r(shí),又,,即當(dāng)時(shí)存在互為相反數(shù)的兩斜率k,即存在關(guān)于對(duì)稱的兩條直線。綜上,當(dāng)時(shí)有三條滿足條件的直線.故選B.
6.在等比數(shù)列中,則(
).3
.
.3或
.或參考答案:C7.復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案:D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為在第四象限.故答案為:D.【點(diǎn)睛】在復(fù)平面上,點(diǎn)和復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng),所以復(fù)數(shù)可以用復(fù)平面上的點(diǎn)來(lái)表示,這就是復(fù)數(shù)的幾何意義.復(fù)數(shù)幾何化后就可以進(jìn)一步把復(fù)數(shù)與向量溝通起來(lái),從而使復(fù)數(shù)問題可通過畫圖來(lái)解決,即實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化.由此將抽象問題變成了直觀的幾何圖形,更直接明了.8.已知{an}是公差為1的等差數(shù)列;Sn為{an}的前n項(xiàng)和,若S8=4S4,則a10=()A. B. C.10 D.12參考答案:B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列.【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出.【解答】解:∵{an}是公差為1的等差數(shù)列,S8=4S4,∴=4×(4a1+),解得a1=.則a10==.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.9.平行四邊形ABCD中,點(diǎn)P在邊AB上(不含端點(diǎn)),.若||=2,||=1,∠BAD=60°且=﹣1.則λ=()A.1 B. C. D.參考答案:A考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.專題:平面向量及應(yīng)用.分析:將用已知、表示,代入計(jì)算即可.解答:解:根據(jù)題意,可得,又∵四邊形ABCD為平行四邊形,,∴==,所以﹣1===﹣,由于||=2,||=1,∠BAD=60°,所以===1,從而﹣1==,解得λ=1,故選:A.點(diǎn)評(píng):本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算,向量的加、減法運(yùn)算,屬于中檔題.10.已知三棱錐,兩兩垂直且長(zhǎng)度均為6,長(zhǎng)為2的線段的一個(gè)端點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng),另一個(gè)端點(diǎn)在內(nèi)運(yùn)動(dòng)(含邊界),則的中點(diǎn)的軌跡與三棱錐的面所圍成的幾何體的體積為(
)111]A.
B.或
C.
D.或參考答案:D余的部分的體積。由于球體的體積,三棱錐的體積是,該點(diǎn)的軌跡與三棱錐圍成的幾何體的體積是,或,應(yīng)選答案D。點(diǎn)睛:解答本題的難點(diǎn)是依據(jù)題設(shè)條件搞清楚線段的中點(diǎn)的軌跡的性質(zhì)與性質(zhì),然后再借助空間圖形的特征判斷該軌跡三棱錐圍成的幾何體的形狀,然后求其體積,從而使得問題獲解。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.復(fù)數(shù),則為______________;參考答案:12.若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足=+,則?=.參考答案:【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【分析】由等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2,可得=2×2×cos60°.由=+,可得,,進(jìn)而得到=,=.即可得出?=.【解答】解:∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2,∴CA=CB=2,=2×2×cos60°=2.∵=+,∴,,∴=,=.∴?==﹣=﹣﹣=﹣.故答案為:﹣.13.極坐標(biāo)系是以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸.已知直線L的參數(shù)方程為:,(t為參數(shù)),圓C的極坐標(biāo)方程為:2cos,若直線L經(jīng)過圓C的圓心,則常數(shù)a的值為
。參考答案:略14.某校老、中、青老師的人數(shù)分別為80、160、240.現(xiàn)要用分層抽樣的方法抽取容量為60的樣本參加普通話測(cè)試,則應(yīng)抽取的中年老師的人數(shù)為
.參考答案:20
略15.如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖,則該幾何體的外接球的體積為.參考答案:考點(diǎn):由三視圖求面積、體積.專題:計(jì)算題.分析:判斷三視圖復(fù)原的幾何體的形狀,底面為等腰直角三角形,一條側(cè)棱垂直底面的一個(gè)頂點(diǎn),結(jié)合數(shù)據(jù)求出外接球的半徑,然后求其體積.解答:解:三視圖復(fù)原的幾何體如圖,它是底面為等腰直角三角形,一條側(cè)棱垂直底面的一個(gè)頂點(diǎn),它的外接球,就是擴(kuò)展為長(zhǎng)方體的外接球,它的直徑是2,所以球的體積是:故答案為:點(diǎn)評(píng):本題考查三視圖求幾何體的外接球的體積,考查空間想象能力,計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題.16.已知集合,,則(
)(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:C略17.有下列命題: ①命題“”的否定是“”; ②設(shè)p、q為簡(jiǎn)單命題,若“”為假命題,則“為真命題”; ③“”是“”的充分不必要條件; ④若函數(shù)為偶函數(shù),則; 其中所有正確的說法序號(hào)是____________.參考答案:②④略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(12分)如圖所示,在中,。(1)求AB的值;(2)求sin(2A+C)的值。
參考答案:解析:(1)由余弦定量,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC
4分(2)由由正弦定理:
8分由倍角公式知,且
10分
12分19.已知函數(shù)f(x)=lnx﹣.(1)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)設(shè)m,n∈(0,+∞),且m≠n,求證:﹣<0.參考答案:【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】(1)根據(jù)f(x)的解析式求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),通分后根據(jù)函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),得到分子大于0恒成立,解出2a﹣2小于等于一個(gè)函數(shù)關(guān)系式,利用基本不等式求出這個(gè)函數(shù)的最小值,列出關(guān)于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的取值范圍;(2)把所證的式子利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及不等式的基本性質(zhì)變形,即要證ln﹣>0,根據(jù)(1)得到h(x)在x大于等于1時(shí)單調(diào)遞增,且大于1,利用函數(shù)的單調(diào)性可得證.【解答】解:(1)f′(x)=﹣=,因?yàn)閒(x)在(1,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),所以f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立即x2+(2﹣2a)x+1≥0在(1,+∞)上恒成立,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),由x2+(2﹣2a)x+1≥0,得:2a﹣2≤x+,設(shè)g(x)=x+,x∈(1,+∞),則g(x)=x+>2=2,故g(x)>2,所以2a﹣2≤2,解得a≤2,所以a的取值范圍是(﹣∞,2];(2),不妨設(shè)m>n>0,要證﹣<0,只需證ln>,即ln﹣>0,設(shè)h(x)=lnx﹣,由(1)知h(x)在(1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),又>1,所以h()>h(1)=0,即ln﹣>0成立,得到﹣<0.20.設(shè)p:實(shí)數(shù)x滿足,其中,命題實(shí)數(shù)滿足.(1)若且為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案:由得,又,所以,當(dāng)時(shí),1<,即為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是1<.
由,得,即為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.若為真,則真且真,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(Ⅱ)是的充分不必要條件,即,且,設(shè)A=,B=,則,又A==,B==},則0<,且所以實(shí)數(shù)的取值范圍是21.提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況,在一般情況下,大橋上的車流速度(單位:千米/小時(shí))是車流密度(單位:輛/千米)的函數(shù),當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí),車流速度為60千米/小時(shí),研究表明:當(dāng)時(shí),車流速度是車流密度的一次函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的表達(dá)式;
(Ⅱ)當(dāng)車流密度為多大時(shí),車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/小時(shí))可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時(shí))參考答案:(Ⅰ)由題意當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),設(shè),顯然在是減函數(shù),由已知得,解得
故函數(shù)的表達(dá)式為=(Ⅱ)依題意并由(Ⅰ)可得當(dāng)時(shí),為增函數(shù),故當(dāng)時(shí),其最大值為;當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.
所以,當(dāng)時(shí),在區(qū)間上取得最大值.綜上,當(dāng)時(shí),在區(qū)間上取得最大值,即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí),車流量可以達(dá)到最大,最大值約為3333輛/小時(shí).22.已知拋物線:,不過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于,兩點(diǎn).(Ⅰ)若,證明:直線過定點(diǎn);(Ⅱ)設(shè)過且與相切的直線為,過且與相切的直線為.當(dāng)與交于點(diǎn)時(shí),求的方程.參考答案:設(shè),.(Ⅰ)解:顯然直線的斜率存在,設(shè)為,直線的方程為.由題意,.由,得.由題意,該方程的判別式,即.則,.因?yàn)?,所以,所以,即,?所以.所以.解得(舍去),或.當(dāng)時(shí),,滿足式.所以直線的方程為.直線過定點(diǎn).(Ⅱ)解法一:過點(diǎn)且與:相切的直線的斜率必存在,設(shè)其斜率為,則其方程為,即.由消去并整理得.由判別式,解得.
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