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文檔簡介
年四川天府新區(qū)綜合高中高三數(shù)學(xué)(文)二模考試卷試卷共150分.考試時(shí)間120分鐘2024.4一、單選題1.在復(fù)平面內(nèi),對應(yīng)的點(diǎn)位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設(shè)集合,,若,則(
)A. B.2 C. D.13.若為偶函數(shù),則(
)A.1 B. C.0 D.4.已知單位向量,的夾角為60°,則在下列向量中,與垂直的是(
)A. B. C. D.5.某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15℃,B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是
(
)
A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大C.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個(gè)D.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同6.小敏打開計(jì)算機(jī)時(shí),忘記了開機(jī)密碼的前兩位,只記得第一位是中的一個(gè)字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是(
)A. B. C. D.7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,直線與C交于A,B兩點(diǎn),若面積是面積的2倍,則(
)A. B. C. D.8.如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線與平面不平行的是(
)A.B.C.D.9.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn),若的面積為8,則的焦距的最小值為(
)A.2 B.4 C.8 D.1610.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,AB為底面直徑,,,點(diǎn)C在底面圓周上,且二面角為45°,則(
)A.該圓錐的側(cè)面積為B.該圓錐的體積為2C.的面積為 D.11.在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為V的球,若,,,,則該球體積V的最大值是(
)A. B. C. D.12.已知函數(shù),則(
)A.在(0,2)單調(diào)遞增 B.在(0,2)單調(diào)遞減C.的圖像關(guān)于直線x=1對稱 D.的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱三、填空題13.若x,y滿足約束條件則的最大值是.14.已知,tanα=2,則cos(α?π4)15.已知為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則曲線在點(diǎn)處的切線方程是.16.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線過拋物線的焦點(diǎn),且與C交于M,N兩點(diǎn),l為C的準(zhǔn)線,則三角形的面積為.四、解答題17.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.(1)求A;(2)若,證明:△ABC是直角三角形.18.如圖,四棱錐中,平面,,,,為線段上一點(diǎn),,為的中點(diǎn).(I)證明平面;(II)求四面體的體積.
19.已知為等差數(shù)列,,記,分別為數(shù)列,的前n項(xiàng)和,,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)證明:當(dāng)時(shí),.20.為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每隔從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件,并測量其尺寸(單位:).下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸:抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得,,,其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸,.(1)求的相關(guān)系數(shù),并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若,則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。?)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(?。倪@一天抽檢的結(jié)果看,是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?(ⅱ)在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值,試剔除離群值,估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.(精確到)附:樣本的相關(guān)系數(shù),.21.設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)證明當(dāng)時(shí),;(Ⅲ)設(shè),證明當(dāng)時(shí),.22.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為.(1)若,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為,求.答案解析1.A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】因?yàn)椋瑒t所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為,位于第一象限.2.D【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論,運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?,則有:若,解得,此時(shí),,不符合題意;若,解得,此時(shí),,符合題意;綜上所述:.3.C【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì),利用特殊值法求出值,再檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù),則,解得,當(dāng)時(shí),,,解得或,則其定義域?yàn)榛颍P(guān)于原點(diǎn)對稱.,故此時(shí)為偶函數(shù).4.B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì),結(jié)合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由已知可得:.因?yàn)椋员具x項(xiàng)不符合題意;因?yàn)?,所以本選項(xiàng)不符合題意;因?yàn)?,所以本選項(xiàng)不符合題意;因?yàn)?,所以本選項(xiàng)符合題意.5.C【詳解】試題分析:由圖可知各月的平均最低氣溫都在0℃以上,;由圖可知在七月的平均溫差大于,而一月的平均溫差小于,所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大,;由圖可知三月和十一月的平均最高氣溫都大約在,基本相同;由圖可知平均最高氣溫高于20℃的月份有7,8兩個(gè)月,6.A【詳解】試題分析:開機(jī)密碼的可能有,,共15種可能,所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是,7.B【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用,求出范圍,再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于的方程,解出即可.【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立,消去可得,因?yàn)橹本€與橢圓相交于點(diǎn),則,解得,設(shè)到的距離到距離,易知,則,,,解得或(舍去),8.D【分析】利用線面平行判定定理逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】對于選項(xiàng)A,OQ∥AB,OQ與平面MNQ是相交的位置關(guān)系,故AB和平面MNQ不平行,故A錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)B,由于AB∥CD∥MQ,結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ,;對于選項(xiàng)C,由于AB∥CD∥MQ,結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ:;對于選項(xiàng)D,由于AB∥CD∥NQ,結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ;9.C【分析】因?yàn)?,可得雙曲線的漸近線方程是,與直線聯(lián)立方程求得,兩點(diǎn)坐標(biāo),即可求得,根據(jù)的面積為,可得值,根據(jù),結(jié)合均值不等式,即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于,兩點(diǎn)不妨設(shè)為在第一象限,在第四象限聯(lián)立,解得故聯(lián)立,解得故面積為:雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號的焦距的最小值:10.D【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性,利用二面角的知識判斷C、D選項(xiàng)的正確性.【詳解】依題意,,,所以,A選項(xiàng),圓錐的體積為,B選項(xiàng),圓錐的側(cè)面積為,C選項(xiàng),設(shè)是的中點(diǎn),連接,則,所以是二面角的平面角,則,所以,故,則,D選項(xiàng),,所以,
11.A【詳解】試題分析:設(shè)的內(nèi)切圓半徑為,則,故球的最大半徑為,12.C【詳解】由題意知,,所以的圖象關(guān)于直線對稱,故C正確,D錯(cuò)誤;又(),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以A,B錯(cuò)誤,故選C.【名師點(diǎn)睛】如果函數(shù),,滿足,恒有,那么函數(shù)的圖象有對稱軸;如果函數(shù),,滿足,恒有,那么函數(shù)的圖象有對稱中心.13.【分析】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域,然后平移直線,在平面區(qū)域內(nèi)找到一點(diǎn)使得直線在縱軸上的截距最大,求出點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中即可.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橄聢D所示:平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),直線在縱軸上的截距最大,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解,解得:,因此的最大值為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.14.【詳解】由得,又,所以,因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以?5.【詳解】試題分析:當(dāng)時(shí),,則.又因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以,所以,則,所以切線方程為,即.【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性、解析式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當(dāng)時(shí),函數(shù),則當(dāng)時(shí),求函數(shù)的解析式”.有如下結(jié)論:若函數(shù)為偶函數(shù),則當(dāng)時(shí),函數(shù)的解析式為;若為奇函數(shù),則函數(shù)的解析式為.16.三角形的面積為【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo),從而求得,根據(jù)弦長公式求得,根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng):直線過點(diǎn),所以拋物線的焦點(diǎn),所以,則A選項(xiàng)正確,且拋物線的方程為.B選項(xiàng):設(shè),由消去并化簡得,解得,所以,B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng):設(shè)的中點(diǎn)為,到直線的距離分別為,因?yàn)?,直線,即,到直線的距離為,所以三角形的面積為,
17.(1);(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系,可化為,即可解出;(2)根據(jù)余弦定理可得,將代入可找到關(guān)系,再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出.【詳解】(1)因?yàn)?,所以,即,解得,又,所以;?)因?yàn)?,所以,即①,又②,將②代入①得,,即,而,解得,所以,故,即是直角三角形.【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式和平方關(guān)系的應(yīng)用,利用勾股定理或正弦定理,余弦定理判斷三角形的形狀,屬于基礎(chǔ)題.18.(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).【詳解】試題分析:(Ⅰ)取的中點(diǎn),然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形,從而得到,由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證;(Ⅱ)由條件可知四面體N-BCM的高,即點(diǎn)到底面的距離為棱的一半,由此可順利求得結(jié)果.試題解析:(Ⅰ)由已知得,取的中點(diǎn),連接,由為中點(diǎn)知,.又,故平行且等于,四邊形為平行四邊形,于是.因?yàn)槠矫妫矫?,所以平?
(Ⅱ)因?yàn)槠矫妫瑸榈闹悬c(diǎn),所以到平面的距離為.取的中點(diǎn),連結(jié).由得,.由得到的距離為,故.所以四面體的體積.【考點(diǎn)】直線與平面間的平行與垂直關(guān)系、三棱錐的體積【技巧點(diǎn)撥】(1)證明立體幾何中的平行關(guān)系,常常是通過線線平行來實(shí)現(xiàn),而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來推證;(2)求三棱錐的體積關(guān)鍵是確定其高,而高的確定關(guān)鍵又找出頂點(diǎn)在底面上的射影位置,當(dāng)然有時(shí)也采取割補(bǔ)法、體積轉(zhuǎn)換法求解.19.(1);(2)證明見解析.【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,用表示及,即可求解作答.(2)方法1,利用(1)的結(jié)論求出,,再分奇偶結(jié)合分組求和法求出,并與作差比較作答;方法2,利用(1)的結(jié)論求出,,再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出,并與作差比較作答.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,而,則,于是,解得,,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.(2)方法1:由(1)知,,,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,因此,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因此,所以當(dāng)時(shí),.方法2:由(1)知,,,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因此,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),若,則,顯然滿足上式,因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因此,所以當(dāng)時(shí),.20.(1)可以;(2)(?。┬枰?;(ⅱ),.【分析】(1)依公式求;(2)(i)由,得抽取的第13個(gè)零件的尺寸在以外,因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查;(ii)剔除第13個(gè)數(shù)據(jù),則均值的估計(jì)值為10.02,方差為0.09.【詳解】(1)由樣本數(shù)據(jù)得的相關(guān)系數(shù)為.由于,因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小.(2)(i)由于,由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個(gè)零件的尺寸在以外,因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(ii)剔除離群值,即第13個(gè)數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計(jì)值為10.02.,剔除第13個(gè)數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為,這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為.【點(diǎn)睛】解答新穎的數(shù)學(xué)題時(shí),一是通過轉(zhuǎn)化,化“新”為“舊”;二是通過深入分析,多方聯(lián)想,以“舊”攻“新”;三是創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法,以“新”制“新”,應(yīng)特別關(guān)注創(chuàng)新題型的切入點(diǎn)和生長點(diǎn).21.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析.【詳解】試題分析:(Ⅰ)首先求出導(dǎo)函數(shù),然后通過解不等式或可確定函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)左端不等式可利用(Ⅰ)的結(jié)論證明,右端將左端的換為即可證明;(Ⅲ)變形所證不等式,構(gòu)造新函數(shù),然后通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性來處理.試題解析:(Ⅰ)由題設(shè),的定義域?yàn)椋?,令,解?當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在處取得最大值,最大值為.所以當(dāng)時(shí),.故當(dāng)時(shí),,,即.(Ⅲ)由題設(shè),設(shè),則,令,解得.當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.由(Ⅱ)知,,故,又,故當(dāng)時(shí),.所以當(dāng)時(shí),.【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的證明與解法【思路點(diǎn)撥】求解導(dǎo)數(shù)中的不等式證明問題可考慮:(1)首先通過利用研究函數(shù)的單調(diào)性,再利用單調(diào)性進(jìn)行證明;(2)根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù),通過求導(dǎo)研究新函數(shù)的單調(diào)性或最值來證明.22.(1),;(2)或.【詳解】試題分析:(1)直線
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