【數(shù)學】專題課堂 平行四邊形中的分類討論 2023-2024學年人教版數(shù)學八年級下冊

精品試卷·第2頁（共2頁）數(shù)學八下專題課堂(五)平行四邊形中的分類討論一、高在形內(nèi)或形外【例1】平行四邊形ABCD中，AD＝BD，BE是AD邊上的高，∠EBD＝24°，求∠A的度數(shù)．分析：分點E在線段AD上和點E在線段AD的延長線上進行討論，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、三角形外角和定理及等腰三角形的性質(zhì)可求出∠A的度數(shù)．【對應訓練】1．在平行四邊形ABCD中，∠A＝30°，AD＝2eq\r(3)，BD＝2，求平行四邊形ABCD的面積．二、一內(nèi)角平分線與一邊相交【例2】如果一個平行四邊形的內(nèi)角平分線與邊相交，并且這條邊被分成3和5兩段，求這個平行四邊形的周長．分析：利用平行四邊形的性質(zhì)和角平分線可證出∠BAE＝∠BEA，得出AB＝BE，由此求出另一邊，從而求出周長．【對應訓練】2．平行四邊形的一個內(nèi)角平分線將該平行四邊形的一邊分為2cm和3cm兩部分，求該平行四邊形兩鄰邊的長．三、兩內(nèi)角的平分線與一邊相交【例3】在?ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于點E，DF平分∠ADC交BC于點F，且EF＝2，求AB的長．分析：分AE與DF相交和不相交進行討論，利用平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求出AB.【對應訓練】3．在平行四邊形ABCD中，CF＝9cm，AE平分∠BAD交BC于點E，DF平分∠ADC交BC于點F，且EF＝3cm，求?ABCD的周長．參考答案一、高在形內(nèi)或形外【例1】平行四邊形ABCD中，AD＝BD，BE是AD邊上的高，∠EBD＝24°，求∠A的度數(shù)．分析：分點E在線段AD上和點E在線段AD的延長線上進行討論，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、三角形外角和定理及等腰三角形的性質(zhì)可求出∠A的度數(shù)．解：情形一：當E點在線段AD上時，如圖①，∵BE是AD邊上的高，∠EBD＝24°，∴∠ADB＝90°－24°＝66°，∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝(180°－66°)÷2＝57°；情形二：當E點在AD的延長線上時，如圖②，∵BE是AD邊上的高，∠EBD＝24°，∴∠BDE＝66°.∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝eq\f(1,2)∠BDE＝33°，綜上，∠A的度數(shù)是57°或33°【對應訓練】1．在平行四邊形ABCD中，∠A＝30°，AD＝2eq\r(3)，BD＝2，求平行四邊形ABCD的面積．解：過D作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝2eq\r(3)，∴DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\r(3)，∴AE＝3，在Rt△BDE中，∵BD＝2，∴BE＝eq\r(BD2－DE2)＝eq\r(22－（\r(3)）2)＝1，如圖①，AB＝4，∴平行四邊形ABCD的面積＝AB·DE＝4eq\r(3)；如圖②，AB＝2，∴平行四邊形ABCD的面積＝AB·DE＝2eq\r(3)，綜上，這個平行四邊形ABCD的面積為2eq\r(3)或4eq\r(3)二、一內(nèi)角平分線與一邊相交【例2】如果一個平行四邊形的內(nèi)角平分線與邊相交，并且這條邊被分成3和5兩段，求這個平行四邊形的周長．分析：利用平行四邊形的性質(zhì)和角平分線可證出∠BAE＝∠BEA，得出AB＝BE，由此求出另一邊，從而求出周長．解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE為角平分線，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴①當BE＝3時，CE＝5，AB＝3，BC＝8，則這個平行四邊形的周長為2×(3＋8)＝22；②當BE＝5時，CE＝3，AB＝5，BC＝8，則這個平行四邊形的周長為2×(5＋8)＝26.綜上，這個平行四邊形的周長為22或26【對應訓練】2．平行四邊形的一個內(nèi)角平分線將該平行四邊形的一邊分為2cm和3cm兩部分，求該平行四邊形兩鄰邊的長．解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE為角平分線，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴①當AB＝BE＝2cm，CE＝3cm時，則兩鄰邊的長分別為2cm，5cm；②當AB＝BE＝3cm時，CE＝2cm，則兩鄰邊長分別為3cm，5cm.綜上，這個平行四邊形兩鄰邊的長為2cm，5cm或3cm，5cm三、兩內(nèi)角的平分線與一邊相交【例3】在?ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于點E，DF平分∠ADC交BC于點F，且EF＝2，求AB的長．分析：分AE與DF相交和不相交進行討論，利用平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求出AB.解：①如圖①，在?ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于點E，DF平分∠ADC交BC于點F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，∴AB＝BE，CF＝CD，∵EF＝2，∴BC＝BE＋CF－EF＝2AB－EF＝8，∴AB＝5；②如圖②，在?ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于點E，DF平分∠ADC交BC于點F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，∴AB＝BE，CF＝CD，∵EF＝2，∴BC＝BE＋CF＋EF＝2AB＋EF＝8，∴AB＝3.綜上所述，AB的長為3或5【對應訓練】3．在平行四邊形ABCD中，CF＝9cm，AE平分∠BAD交BC于點E，DF平分∠ADC交BC于點F，且EF＝3cm，求?ABCD的周長．解：①如圖①，在?ABCD中，∵BC＝AD，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于點E，DF平分∠ADC交BC于點F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，∴AB＝BE，CF＝CD，∴BE＝CF.又∵EF＝3cm，CF＝9cm,∴BC＝BE＋CF－EF＝2CF－EF＝15(cm)，∴?ABCD的周長＝AB＋BC＋CD＋AD＝2BC＋2CD＝2BC＋2CF＝2(BC＋CF)＝2(15＋9)＝48(cm)；②如圖②，在?ABCD中，∵BC＝AD，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于點E，DF平分∠ADC交BC于點F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，∴AB＝BE，CF＝