2024新高考新題型數(shù)學(xué)信息必刷押題卷信息必刷卷03（解析版）

絕密★啟用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新題型）03數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）2023年的對(duì)于三視圖的考察也將近有尾聲，留意的是立體幾何中對(duì)圓錐的考察（側(cè)面積的計(jì)算也會(huì)成一個(gè)熱點(diǎn)）。其他的題目難度變化不大，但側(cè)重于考察學(xué)生運(yùn)算能力與分析能力。應(yīng)特別注意新高考函數(shù)位于第一大題的位置，其難度有所下降，函數(shù)中多研究含參討論單調(diào)性及恒成立存在問題，新高考概率位于第二大題的位置，概率中多研究條件概率、古典概率問題，同時(shí)注重圓錐曲線常規(guī)聯(lián)立及二級(jí)結(jié)論（推導(dǎo)）第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．已知學(xué)生的數(shù)學(xué)和地理成績具有線性相關(guān)關(guān)系，高三某次?？贾?，5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和地理成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)生的編號(hào)i12345數(shù)學(xué)成績x100105908580地理成績y75■686462現(xiàn)已知其線性回歸方程為，則“■”代表該生的地理成績?yōu)椋?/p>

）A．76 B．74.85 C．73 D．72.5【答案】A【解析】，所以■．故選：A2．已知點(diǎn)是的重心，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)的中點(diǎn)為D，連接，點(diǎn)是的重心，則P在上，且，由此可知A，B，C錯(cuò)誤，D正確，故選：D3．在等比數(shù)列中，，則（

）A．-4 B．8 C．-16 D．16【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，.故選:C.4．下列說法中正確的是（

）A．沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線B．若兩條直線a，b與平面α所成的角相等，則C．若平面α，β，γ滿足，，則D．已知a，b是不同的直線，α，β是不同的平面.若，，，則【答案】D【解析】對(duì)A，沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線或平行直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若兩條直線a，b與平面α所成的角相等，則a，b可以平行、相交或異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若平面α，β，γ滿足，，則α，γ不一定垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，兩個(gè)平面垂直等價(jià)于這兩個(gè)平面的垂線垂直，故D正確.故選：D.5．一支由12人組成的登山隊(duì)準(zhǔn)備向一座海拔5888米的山峰攀登，這12人中姓趙、錢、孫、李、周、吳的各有2人．現(xiàn)準(zhǔn)備從這12人中隨機(jī)挑選4人組成先遣隊(duì)，如果這4人中恰有2人同姓，則不同的挑選方法的種數(shù)為（

）A．480 B．270 C．240 D．60【答案】C【解析】方法一：先在12人中挑選同姓的2人，方法有（種），然后在剩余的10人中，挑選不是同姓的2人，方法有（種），所以不同的挑選方法的種數(shù)是.方法二：先在12人中挑選同姓的2人，方法有（種），然后在剩余的10人中，挑選不是同姓的2人，方法有（種），所以不同的挑選方法的種數(shù)是.故選；C6．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于函數(shù)，定義域?yàn)镽，滿足，得是奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù).在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立.令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即a的取值范圍為，故選：D.7．已知，則的值為（

）A． B．1 C．4 D．【答案】C【解析】在中，而，由二項(xiàng)式定理知展開式的通項(xiàng)為，令，解得，令，，故，同理令，解得，令，解得，故，故.故選：C8．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作x軸的垂線與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為P，若的平分線經(jīng)過橢圓C的下頂點(diǎn)，則橢圓C的離心率的平方為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】

設(shè)，將代入橢圓方程，易得，則．記橢圓C的下頂點(diǎn)為，則的斜率，∴直線的方程為，令得直線與x軸的交點(diǎn)為，則，又，，即，，得（舍去負(fù)值），．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．用“五點(diǎn)法”作函數(shù)（，，）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表計(jì)算了部分?jǐn)?shù)據(jù)，下列有關(guān)函數(shù)描述正確的是（

）0xabc131d1A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．函數(shù)與表示同一函數(shù)【答案】ACD【解析】根據(jù)表格可知，且，則，由正弦函數(shù)的周期性可知的最小正周期為，故A正確；由已知結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性可知：，顯然此時(shí)取得最小值，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；由已知結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性可知：，此時(shí)取得最大值，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；由誘導(dǎo)公式可知，故D正確.故選：ACD10．若復(fù)數(shù)，則（

）A．的共軛復(fù)數(shù) B．C．復(fù)數(shù)的虛部為D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限【答案】ABD【解析】，則，故正確；，故正確；復(fù)數(shù)的虛部為，故錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，故正確.故選：ABD11．已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且和都是奇函數(shù)，且，則下列說法正確的有（

）A．關(guān)于對(duì)稱 B．關(guān)于對(duì)稱C．是周期函數(shù) D．【答案】ACD【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，即，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.故A正確；因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則其圖象關(guān)于對(duì)稱，向左平移一個(gè)單位后得到的圖象，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，則有，所以①,又，則②,由①②，則，則，，則，所以8是函數(shù)的一個(gè)周期.，是周期函數(shù)，故C正確；因?yàn)?，，所以，，所以，故D正確，故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知集合與集合，求集合【答案】【解析】由題意，，所以.故答案為：.13．已知拋物線的焦點(diǎn)為，第一象限的、兩點(diǎn)在拋物線上，且滿足，.若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則拋物線的方程為.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槎荚诘谝幌笙?，所以，又因?yàn)榍遥?，所以，所以拋物線方程為，故答案為：.14．如圖，在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的序號(hào)是．

①棱上一定存在點(diǎn)，使得；②三棱錐的外接球的表面積為；③過點(diǎn)作正方體的截面，則截面面積為；④設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，則與所成角的余弦值的最大值為．【答案】②③④【解析】對(duì)于①，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則由已知，，，設(shè)棱上一點(diǎn)，則，，若，則，整理得，即，無實(shí)數(shù)解，∴棱上不存在點(diǎn)，使得，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，如圖，分別取棱，，，的中點(diǎn)，，，，由已知，，易知棱柱為長方體，其外接球的直徑為，外接球表面積，∵三棱錐的頂點(diǎn)均在長方體的外接球上，故該球也是三棱錐的外接球，∴三棱錐的外接球的表面積為，故②正確；對(duì)于③，如圖所示，過點(diǎn)作正方體的截面是邊長為的正六邊形，其可分成六個(gè)全等的，邊長為的等邊三角形，面積，故③正確；對(duì)于④，由①中所建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，∴，設(shè)平面內(nèi)一點(diǎn)，則，∵平面，∴，即，又∵，∴與所成角的余弦值為，其中，，∴，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與所成角的余弦值的最大值為，故④正確.故答案為：②③④.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)在時(shí)取得極值．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）易知，依題意，解得，此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在時(shí)取得極值，所以．（2）由（1）得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，由題意可得，解得，所以的取值范圍為．16．（15分）2023年12月11日至12日中央經(jīng)濟(jì)工作會(huì)議在北京舉行，會(huì)議再次強(qiáng)調(diào)要提振新能源汽車消費(fèi).發(fā)展新能源汽車是我國從“汽車大國”邁向“汽車強(qiáng)國”的必由之路.我國某地一座新能源汽車工廠對(duì)線下的成品車要經(jīng)過多項(xiàng)檢測，檢測合格后方可銷售，其中關(guān)鍵的兩項(xiàng)測試分別為碰撞測試和續(xù)航測試，測試的結(jié)果只有三種等次：優(yōu)秀、良好、合格，優(yōu)秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，該型號(hào)新能源汽車在碰撞測試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為；在續(xù)航測試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為，兩項(xiàng)測試相互獨(dú)立，互不影響，該型號(hào)新能源汽車兩項(xiàng)測試得分之和記為.(1)求該型號(hào)新能源汽車參加兩項(xiàng)測試僅有一次為合格的概率；(2)求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】（1）記事件為“該型號(hào)新能源汽車參加碰撞測試的得分為分”，則，，.記事件為“該型號(hào)新能源汽車參加續(xù)航測試的得分為分”，則，，.記事件為“該型號(hào)新能源汽車參加兩項(xiàng)測試僅有一次為合格”，則，則該型號(hào)新能源汽車參加兩項(xiàng)測試僅有一次為合格的概率為.（2）由題知離散型隨機(jī)變量的所有可能取值分別為2，4，6，8，10，，，，，，則離散型隨機(jī)變量的分布列為246810所以數(shù)學(xué)期望.17．（15分）如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若底面為矩形，，異面直線與所成角的余弦值為，求到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2).【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，

則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）由題意（1）及幾何知識(shí)得，在直四棱柱中，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，.設(shè)異面直線與所成角為，則，解得：，故，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，到平面的距離為.所以即取，得.所以，即到平面的距離為.18．（17分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)的兩條直線，分別與橢圓交于另一點(diǎn)A，B，且直線，，的斜率滿足．(1)求橢圓的方程；(2)證明直線過定點(diǎn)；(3)橢圓C的焦點(diǎn)分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【解析】（1）由題設(shè)得，解得，所以的方程為；（2）由題意可設(shè)，設(shè)，，由，整理得，．由韋達(dá)定理得，，由得，即，整理得，因?yàn)椋?，解得或，時(shí)，直線過定點(diǎn)，不合題意，舍去；時(shí)，滿足，所以直線過定點(diǎn)．（3））由（2）得直線，所以，由，整理得，，由題意得，因?yàn)?，所以，所以，令，，所以，在上單調(diào)遞減，所以的范圍是．

19．（17分）已知，，…，是由（）個(gè)整數(shù)，，…，按任意次序排列而成的數(shù)列，數(shù)列滿足（）