人教版高中數(shù)學(xué)必修5第三章不等式-3.3.2-簡單的線性規(guī)劃問題

3.3.2

簡單的線性規(guī)劃問題第1課時簡單的線性規(guī)劃問題

1.了解線性規(guī)劃的意義及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、可行解等基本概念；2.了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能解決一些簡單的問題.某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計(jì)算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件，由已知條件可得二元一次不等式組：將上面不等式組表示成平面上的區(qū)域,區(qū)域內(nèi)所有坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)時,安排生產(chǎn)任務(wù)都是有意義的.y0x4348簡單線性規(guī)劃問題及有關(guān)概念進(jìn)一步，若生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品獲利2萬元,生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品獲利3萬元,采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大?設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件時，工廠獲得的利潤為z,則z=2x+3y.上述問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x、y滿足不等式組并且為非負(fù)整數(shù)時，z的最大值是多少？0x4348即的最大值為所以，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件時，工廠獲得最大利潤14萬元.最大值為的交點(diǎn)時，截距的值最大，y上述問題中，不等式組是一組對變量

x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又稱為線性約束條件.1.線性約束條件我們把要求最大值的函數(shù)z=2x+3y稱為目標(biāo)函數(shù).又因?yàn)閦=2x+3y是關(guān)于變量x、y的一次解析式，所以又稱為線性目標(biāo)函數(shù).2.線性目標(biāo)函數(shù)3.線性規(guī)劃一般的，在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.

滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解.

由所有可行解組成的集合叫做可行域.

使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優(yōu)解.4.可行解、可行域、最優(yōu)解（1）在上述問題中，如果每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利3萬元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利2萬元，又當(dāng)如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤？（2）由上述過程，你能得出最優(yōu)解與可行域之間的關(guān)系嗎？設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件乙產(chǎn)品y件時，工廠獲得的利潤為z,則z=3x+2y.Ox4348y最大值為的交點(diǎn)時截距的值最大，即的最大值為所以，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件時，工廠獲得最大利潤16萬元.（2）將目標(biāo)函數(shù)變形為將求的最值問題轉(zhuǎn)化為求直線在軸上的截距的最值問題；在確定約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下，用圖解法求最優(yōu)解的步驟為：（1）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出可行域；（3）畫出直線并平行移動，或最后經(jīng)過的點(diǎn)為最優(yōu)解；平移過程中最先（4）求出最優(yōu)解并代入目標(biāo)函數(shù)，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最值.簡單線性規(guī)劃問題的圖解方法

例1設(shè)z＝2x＋y，式中變量x、y滿足下列條件：求z的最大值和最小值.分析：作可行域，畫平行線，解方程組，求最值.42246yxOCAB解：作出如圖所示的可行域，作及當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時，對應(yīng)的最小，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時，對應(yīng)的最大.解線性規(guī)劃問題的步驟：

（2）移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線；

（3）求：通過解方程組求出最優(yōu)解；（4）答：作出答案.（1）畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；最優(yōu)解一般在可行域的頂點(diǎn)處取得．分析：對應(yīng)無數(shù)個點(diǎn)，即直線與邊界線重合時.作出可行域，結(jié)合圖形，看直線與哪條邊界線重合時，可取得最大值.解：當(dāng)直線與邊界線重合時，有無數(shù)個點(diǎn)，使函數(shù)值取得最大值，此時有yxOCBＡ且z＝2x＋4y的最小值為－6，則常數(shù)k等于().1.已知x、y滿足D求的最大值和最小值.2.已知滿足解：作出如圖所示的可行域，351xOB(1.5,2.5)A(-2,-1)Cy當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)B時，對應(yīng)的z最小，當(dāng)直線l經(jīng)過C時，對應(yīng)的z最大.∴z最小值=1.5-2×2.5=-3.5z最大值=3-0=3.2.線性目標(biāo)函數(shù)的最值的圖解法及其步驟.最優(yōu)解在可行域頂點(diǎn)或邊界取得.把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為某一直線,其斜率與可行域邊界所在直線斜率的大小關(guān)系一定要弄清楚.1.線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、可行解等基本概念；第2課時簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用

1.體會線性規(guī)劃的基本思想，并能借助幾何直觀解決一些簡單的實(shí)際問題；2.利用線性規(guī)劃解決具有限制條件的不等式；3.培養(yǎng)學(xué)生搜集、整理和分析信息的能力，提高數(shù)學(xué)建模和解決實(shí)際問題的能力.在實(shí)際問題中常遇到兩類問題：一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；

下面我們來看看線性規(guī)劃在實(shí)際中的一些應(yīng)用.二是給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃能以最少的人力、物力、資金等資源來完成它.簡單線性規(guī)劃問題及在實(shí)際問題中的應(yīng)用一.用量最省問題例1營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白質(zhì),0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白質(zhì),0.14kg脂肪,花費(fèi)28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白質(zhì),0.07kg脂肪,花費(fèi)21元.為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求,同時使花費(fèi)最低,需要同時食用食物A和食物B多少kg?分析:將已知數(shù)據(jù)列成下表：0.070.140.1050.140.070.105BA脂肪/kg蛋白質(zhì)/kg碳水化合物/kg食物/kg解:設(shè)每天食用xkg食物A,ykg食物B,總成本為z.

那么x,y滿足的約束條件是:①目標(biāo)函數(shù)為z=28x+21y.作出二元一次不等式組②所表示的平面區(qū)域，即可行域.②二元一次不等式組①等價于xyOyM由圖知,當(dāng)直線經(jīng)過可行域上點(diǎn)M時,截距最小,即z最小.解方程組得M的坐標(biāo)為所以zmin=28x+21y=16.答：每天食用食物A約為143g，食物B約571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，最低成本為16元.解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟：1.理清題意，列出表格；2.設(shè)好變元，列出線性約束條件（不等式組）與目標(biāo)函數(shù)；3.準(zhǔn)確作圖；4.根據(jù)題設(shè)精度計(jì)算.例2要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格,每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示:A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板第二種鋼板211213今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別15,18,27塊，用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述要求．問各截這兩種鋼板多少張可得所需A、B、C三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？規(guī)格類型鋼板類型分析：列表A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板第二種鋼板211213張數(shù)成品塊數(shù)解：設(shè)需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，共需截這兩種鋼板共z張，則線性目標(biāo)函數(shù)2x+y=15x+3y=27x+2y=18xOy作出一組平行直線z=x+y，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時，z最小.作出可行域如圖所示：由于都不是整數(shù)，而此問題中的最優(yōu)解中，必須都是整數(shù)，所以點(diǎn)不是最優(yōu)解.在可行域內(nèi)打出網(wǎng)格線，解方程組得2x+y=15x+3y=27x+2y=18B(3,9)C(4,8)xOy經(jīng)過整點(diǎn)B(3,9)和C(4,8)，直線它們是最優(yōu)解.答：要截得所需三種規(guī)格的鋼板，且使所截兩種鋼板張數(shù)最小的方法有兩種，第一種截法是第一種鋼板3張，第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張，第二種鋼板8張；這兩種截法都至少要兩種鋼板12張.

求線性規(guī)劃問題的最優(yōu)整數(shù)解時，常用打網(wǎng)格線和調(diào)整優(yōu)值的方法，這要求作圖必須精確，線性目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線斜率與其他直線的斜率關(guān)系要把握準(zhǔn)確.例3一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t、硝酸鹽18t；生產(chǎn)1車皮乙種肥料的主要原料是磷酸鹽1t、硝酸鹽15t．現(xiàn)在庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料，列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域．若生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為10000元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為5000元.那么分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？二、效益最佳問題解：設(shè)生產(chǎn)x車皮甲種肥料、y車皮乙種肥料，能夠產(chǎn)生利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為分析：列表418115甲種肥料乙種肥料磷酸鹽t硝酸鹽t總噸數(shù)車皮數(shù)利潤10000元5000元yxO12345246810作出可行域，得到斜率為-2，在y軸上的截距為2z，隨z變化的一族平行直線答：生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各2車皮，能夠產(chǎn)生最大利潤，最大利潤為3萬元.利用簡單線性規(guī)劃求變量的范圍例4若二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且求的范圍.作出如圖所示的可行域，由圖可知，巧妙的轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解，減少了失誤..2.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需耗A種礦石10t、B種礦石5t、煤4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1t需耗A種礦石4t、B種礦石4t、煤9t.每1t甲種產(chǎn)品的利潤是600元，每1t乙種產(chǎn)品的利潤是1000元.工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中要求消耗A種礦石不超過300t、B種礦石不超過200t、煤不超過363t.甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少，能使利潤總額達(dá)到最大?將已知數(shù)據(jù)列成下表：分析：A種礦石(t)B種礦石(t)煤(t)甲產(chǎn)品(1t)乙產(chǎn)品(1t)資源限額(t)利潤(元)10546004491000300200363解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x