行列式及其應(yīng)用

行列式及其應(yīng)用

學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.了解行列式的定義及其性質(zhì)。

2.會(huì)運(yùn)用行列式的性質(zhì)求行列式的值。

3.重點(diǎn)掌握行列式在理論推導(dǎo)中的應(yīng)用，主要有以下三個(gè)定理：（1）行列式展式定理；（2）克萊姆法則；（3）行列式乘法定理。第2頁,共73頁，2024年2月25日，星期天3.1行列式的定義引例3.1

用消元法解二元線性方程組

解第一個(gè)方程乘以a22，第二個(gè)方程乘以a12，然后兩方程相減得類似可得第3頁,共73頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)

時(shí),得方程組的解我們引進(jìn)二階行列式的概念,即定義那么,方程組的解可整齊地表示為第4頁,共73頁，2024年2月25日，星期天二階行列式又稱為二階方陣的行列式類似地，如果定義三階行列式記作第5頁,共73頁，2024年2月25日，星期天含有三個(gè)未知量的線性方程組當(dāng)系數(shù)矩陣的行列式

時(shí)，通過計(jì)算可知其解可整齊地表示為

第6頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第7頁,共73頁，2024年2月25日，星期天問題使得方程組的解可整齊地表示為設(shè)n×n的線性方程組如何定義n階行列式第8頁,共73頁，2024年2月25日，星期天（這里假設(shè)分母不為零）第9頁,共73頁，2024年2月25日，星期天n階(方陣的)行列式在D中劃掉第i行和第j列元素而剩下的元素按原來相對位置不變所構(gòu)成的低一階的行列式，稱為(i,j)元素的余子式，記為Mij

,稱Aij

=(-1)i+jMij為(i,j)元素的代數(shù)余子式。定義用式子D表示方陣A的元素按某種規(guī)則運(yùn)算得到的一個(gè)數(shù)，稱為A的行列式。第10頁,共73頁，2024年2月25日，星期天例如：第11頁,共73頁，2024年2月25日，星期天n階行列式的值定義如下：定義3.1（行列式的遞歸定義）當(dāng)n=1時(shí)，=a11;當(dāng)n≥2時(shí)，假設(shè)對n-1階行列式已有定義，則（上式又稱按第一行展開）（3.1）第12頁,共73頁，2024年2月25日，星期天由定義，可得二階行列式與三階行列式的計(jì)算第13頁,共73頁，2024年2月25日，星期天計(jì)算下三角行列式按第1行展開按第1行展開解根據(jù)行列式的定義例3.1第14頁,共73頁，2024年2月25日，星期天特別地，第15頁,共73頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)P551（1）（3）第16頁,共73頁，2024年2月25日，星期天對于方陣，設(shè)Aij表示元素aij的代數(shù)余子式，稱矩陣為A的伴隨矩陣。3.2行列式的性質(zhì)定義3.2（伴隨矩陣的定義）第17頁,共73頁，2024年2月25日，星期天定理3.1（行列式展開定理）即行列式等于其任一行（列）元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和（亦即行列式可按任一行或任一列展開）；任一行（列）元素與另一行（列）元素所對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和為零。即第18頁,共73頁，2024年2月25日，星期天按第1行展開例3.2驗(yàn)證行列式的展開定理解按第3行展開按第3列展開第19頁,共73頁，2024年2月25日，星期天再驗(yàn)證一下錯(cuò)列或錯(cuò)行展開是否為零?第20頁,共73頁，2024年2月25日，星期天設(shè)，求D的第3列元素的代數(shù)余子式之和。根據(jù)行列式的展開定理可得從而，即，練習(xí)

已知

計(jì)算例3.3解第21頁,共73頁，2024年2月25日，星期天利用展開定理得到計(jì)算行列式的基本方法Ⅰ

“降階法”，即利用行列式展開定理,可將n階行列式的計(jì)算轉(zhuǎn)化為n-1階行列式的計(jì)算。

根據(jù)行列式的展開定理，按第一列展開得計(jì)算上三角行列式例3.4解第22頁,共73頁，2024年2月25日，星期天例如性質(zhì)3.1

如果行列式有一行（列）的元素為零，則該行列式的值等于零。第23頁,共73頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)3.2

若行列式的某一行（列）的所有元素均為兩個(gè)數(shù)之和，則該行列式等于相應(yīng)的兩個(gè)行列式的和。例如第24頁,共73頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)3.3

設(shè)A是一個(gè)方陣，

相應(yīng)于方陣的三種初等行（列）變換，行列式也有相應(yīng)的三種行（列）變換。一次變換后，其值會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？(1)設(shè)，則(2)設(shè)，則(3)設(shè)，則推論3.1如果行列式中有兩行（列）的元素相同，則該行列式的值為零。例如第25頁,共73頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)3.4如果行列式中的某行元素（列）有公因子，則該公因子可提到行列式的外面。例如第26頁,共73頁，2024年2月25日，星期天推論3.2對于n階方陣A，則是一個(gè)數(shù)。推論3.3如果行列式中有兩行（列）元素對應(yīng)成比例，則其行列式的值為零。例如第27頁,共73頁，2024年2月25日，星期天利用行列式的性質(zhì)得到計(jì)算行列式的基本方法Ⅱ

“化三角形法”。其基本思路是：通過行列式的行（列）變換將行列式化簡為階梯形行列式，再利用三角形行列式的值等于其對角線上元素的積計(jì)算其結(jié)果。解只用ri+krj這種變換，例3.5把行列式化為三角形，然后計(jì)算行列式D的值。第28頁,共73頁，2024年2月25日，星期天只用ri+krj變換或只用ci+kcj變換一定能把行列式化為上(下)三角形,行列式的值不變。第29頁,共73頁，2024年2月25日，星期天說明1行列式的性質(zhì)凡是對行成立的，對列也成立，反之亦然。說明2計(jì)算行列式的方法很多，技巧也很強(qiáng)，重點(diǎn)掌握降階法和化三角形法。定理3.2矩陣A的行列式與其轉(zhuǎn)置矩陣AT的行列式的值相等，即第30頁,共73頁，2024年2月25日，星期天計(jì)算行列式將行列式第2、3、4列加到第一列,得例3.6解第31頁,共73頁，2024年2月25日，星期天特征1：對于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在簡化計(jì)算。

將行列式第2,3,…,n列加到第一列,得計(jì)算n

階行列式例3.7解第32頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第33頁,共73頁，2024年2月25日，星期天計(jì)算n

階行列式

利用初等列變換可將該行列式化為三角形行列式特征2：第一行，第一列及對角線元素除外，其余元素全為零的行列式稱為爪型行列式。例3.8解第34頁,共73頁，2024年2月25日，星期天計(jì)算范德蒙德(Vandermonde)行列式

從最后一行開始，每行減去上一行的an倍。特征3：范德蒙德(Vandermonde)行列式的計(jì)算過程及結(jié)論。例3.9解第35頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第36頁,共73頁，2024年2月25日，星期天按最后一列展開第37頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第38頁,共73頁，2024年2月25日，星期天解：所以根為x=1,2,3.練習(xí)第39頁,共73頁，2024年2月25日，星期天計(jì)算行列式D2n的值按第一行展開備用題2解第40頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第41頁,共73頁，2024年2月25日，星期天計(jì)算n階行列式的值按第一行展開備用題3解第42頁,共73頁，2024年2月25日，星期天得遞推公式特征4：所求行列式某一行（列）至多有兩個(gè)非零元素，按這一行展開，并能夠得到較低階的具有相同結(jié)構(gòu)的行列式，如備用題2、3。第43頁,共73頁，2024年2月25日，星期天定理3.3（行列式的乘法定理）

只用第三種初等行變換可把A化為上三角矩陣

證明設(shè)A，B是n階方陣，則注當(dāng)A，B都是n階方陣時(shí)，一定有

只用第三種初等列變換可把B化為上三角矩陣

即存在第三種初等矩陣

使得

并有

因此第44頁,共73頁，2024年2月25日，星期天設(shè)A是奇數(shù)階方陣，且證明例3.10證明第45頁,共73頁，2024年2月25日，星期天解例3.11

，計(jì)算第46頁,共73頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)P642（2）（3）P655（1）第47頁,共73頁，2024年2月25日，星期天3.3行列式的應(yīng)用行列式的應(yīng)用主要體現(xiàn)在理論推導(dǎo)。方陣A可逆的充分必要條件是，時(shí)，其逆矩陣，其中A*為A的伴隨矩陣。定理3.4且當(dāng)A可逆說明1

該定理不僅可以用來判別方陣可逆，同時(shí)也提供了求逆矩陣的計(jì)算公式。說明2當(dāng)時(shí)，A稱為奇異矩陣，否則稱為非奇異矩陣。第48頁,共73頁，2024年2月25日，星期天證明必要性設(shè)方陣A可逆，則存在A-1，使對上式兩邊取行列式，并利用行列式乘法定理得所以充分性所以A可逆，且設(shè)，由行列式展開定理第49頁,共73頁，2024年2月25日，星期天討論矩陣何時(shí)可逆，且求其逆矩陣。A可逆的充分必要條件為例3.12解第50頁,共73頁，2024年2月25日，星期天求A的逆矩陣?yán)?.13解第51頁,共73頁，2024年2月25日，星期天設(shè)例3.14證明證明A可逆的充要條件是并求其逆。第52頁,共73頁，2024年2月25日，星期天設(shè)A，B均為n階方陣，證明AB可逆的充分必要條件是A，B均可逆。若A，B均可逆，則從而因此AB可逆。

反之，若AB可逆，則從而因此A、B可逆。

例3.15證明第53頁,共73頁，2024年2月25日，星期天有唯一解解的分量為定理3.5克萊姆法則注通常把解的分量表達(dá)式叫做克萊姆法則。設(shè)，則線性方程組其中Dj(j=1,2,…,n)是把系數(shù)行列式D中第

j列換成向量b而得到的行列式。第54頁,共73頁，2024年2月25日，星期天可知A可逆，且方程組有惟一解，其解為由系數(shù)矩陣的行列式即證明第55頁,共73頁，2024年2月25日，星期天比較左右兩邊矩陣的j行,得第56頁,共73頁，2024年2月25日，星期天推論3.4設(shè)齊次線性方程組Ax=0，如果系數(shù)矩陣行列式則方程組Ax=0只有零解。第57頁,共73頁，2024年2月25日，星期天已知拋物線經(jīng)過三點(diǎn)(1,0)，(2,3)

(-3,28)，求該拋物線的方程。

將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，得a,b,c應(yīng)滿足的非線性

經(jīng)計(jì)算得

例3.16解方程組第58頁,共73頁，2024年2月25日，星期天故由克萊姆法則，上述方程組的惟一解為

于是所求拋物線方程為

第59頁,共73頁，2024年2月25日，星期天

系數(shù)行列式按第3行展開當(dāng)時(shí)，齊次方程組有非零解。當(dāng)為何值時(shí)，齊次方程組有非零解？

例3.17解第60頁,共73頁，2024年2月25日，星期天問a,b為何值時(shí)，方程組有唯一解，無解，無窮多解。有無窮多解時(shí)，求出其通解。已知方程組

系數(shù)矩陣是方陣首選行列式法例3.18解第61頁,共73頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)a≠1時(shí)，方程組有唯一解；a=1當(dāng)時(shí)，方程組無解。當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多解。當(dāng)a=1時(shí)，方程組可能無解也可能有無窮多解，需討論。第62頁,共73頁，2024年2月25日，星期天通解為第63頁,共73頁，2024年2月25日，星期天定義3.3（n階行列式的逆序數(shù)定義）其中，是自然數(shù)1，2，…，n的一個(gè)排列；是對所有這樣的排列求和，共有項(xiàng)；是排列的逆序數(shù)，其定義為：在一個(gè)排列中，如果，則稱出現(xiàn)一個(gè)逆序，一個(gè)排列中出現(xiàn)逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。第64頁,共73頁，2024年2月25日，星期天例如因此第65頁,共73頁，2024年2月25日，星期天解根據(jù)行列式的逆序數(shù)定義，能夠出現(xiàn)x4，x3的項(xiàng)只有設(shè)例3.19問f(x)中x4，x3系數(shù)分別是多少？和故所