八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)訓(xùn)練：四邊形中的五大模型（30題）（解析版）

四邊形的五大模型一．中點(diǎn)四邊形模型1．如圖，已知ABCD為任意四邊形，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，添加下列哪個(gè)條件，不能判斷四邊形EFGH為菱形的是（）A．EH＝HG B．EG⊥HF C．AC＝BD D．AC⊥BD【分析】首先根據(jù)中位線定理可得四邊形EFGH為平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)菱形的判定：①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形，可以得出答案．【解答】解：如圖，連接AC、BD，∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC且EF＝AC，同理可得：HG∥AC，HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四邊形EFGH為平行四邊形，A：若EH＝HG，則?EFGH為菱形，故A選項(xiàng)能判斷四邊形EFGH為菱形，B：若EG⊥HF，則?EFGH為菱形，故B選項(xiàng)能判斷四邊形EFGH為菱形，C：若AC＝BD，則有：EH＝，HG＝，∴EH＝HG，∴?EFGH為菱形，故C選項(xiàng)能判斷四邊形EFGH為菱形，D：若AC⊥BD，則可得：EH⊥HG，則?EFGH為矩形，不一定是菱形，∴D選項(xiàng)不能判斷四邊形EFGH為菱形．故選：D．2．如圖，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形EFGH，下列說(shuō)法中正確的是（）A．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為菱形 B．當(dāng)AC＝BD時(shí)，四邊形EFGH為矩形 C．當(dāng)AC⊥BD，AC＝BD時(shí)，四邊形EFGH為正方形 D．以上說(shuō)法都不對(duì)【分析】根據(jù)三角形中位線定理、平行四邊形的判定定理得到四邊形EFGH為平行四邊形，根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可．【解答】解：∵點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，EH∥BD，EH＝BD，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形，當(dāng)AC⊥BD時(shí)，EF⊥EH，∴四邊形EFGH為矩形，A選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；當(dāng)AC＝BD時(shí)，EH＝EF，∴四邊形EFGH為菱形，B選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；當(dāng)AC⊥BD，AC＝BD時(shí)，EF⊥EH，EF＝EH，∴四邊形EFGH為正方形，C選項(xiàng)說(shuō)法正確；D選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；故選：C．3．如圖，在四邊形ABCD中，AC＝BD＝5，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，連接EG，HF，相交于點(diǎn)O，則EG2+FH2的值為（）A．25 B．30 C．35 D．40【分析】連接EF、FG、GH、HE，根據(jù)三角形中位線定理、菱形的判定定理得到四邊形EFGH為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到EG⊥FH，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：連接EF、FG、GH、HE，∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，∴EF＝AC＝，F(xiàn)G＝BD＝，GH＝AC＝，HE＝BD＝，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四邊形EFGH為菱形，∴EG⊥FH，OE＝OG，OF＝OH，∴OE2+OH2＝EH2＝，∴EG2+FH2＝4OE2+4OH2＝25，故選：A．4．已知四邊形ABCD是矩形．（1）如圖1，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是菱形；（2）如圖2，若菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，F(xiàn)，H分別在邊AB，BC，AD上，連接CG．已知BE＝2AE＝8，CG＝2，CF﹣BF＝1，求AD的長(zhǎng)．【分析】（1）連接AC，BD，根據(jù)三角形中位線定理、平行四邊形的判定定理得到四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)矩形的性質(zhì)、菱形的判定定理證明結(jié)論；（2）連接FH，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于M，證明△AEH≌△MFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GM＝AE＝4，根據(jù)勾股定理求出CM，再根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【解答】（1）證明：如圖1，連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF＝AC，同理：GH∥AC，GH＝AC，EH＝BD，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝EH．∴四邊形EFGH是菱形；（2）解：如圖2，連接FH，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于M，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC．∴∠A＝∠M，∠AHF＝∠MFH，∵四邊形EFGH是菱形，∴FG∥EH，F(xiàn)G＝EH，∴∠EHF＝∠GFH．∴∠AHE＝∠MFG，在△AEH和△MFG中，∴△AEH≌△MFG（AAS），∴GM＝AE＝4．∵CG＝2，根據(jù)勾股定理，得CM＝2，設(shè)BF＝x，則CF＝x+1，在Rt△GFM中，F(xiàn)G2＝（x+1+2）2+16＝（x+3）2+16，同理EF2＝x2+64，∴（x+3）2+16＝x2+64．∴x＝，∴BC＝2x+1＝14，∴AD＝BC＝14．5．如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別是BD、AC的中點(diǎn)，當(dāng)AB、CD滿足什么條件時(shí)，有EF⊥GH？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．【分析】當(dāng)AB＝CD時(shí)，有EF⊥GH，連接GE、GF、HF、EH，根據(jù)三角形的中位線定理即可證得EG＝GF＝FH＝EH，則四邊形EFGH是菱形，利用菱形的性質(zhì)即可證得．【解答】解：當(dāng)AB＝CD時(shí)，有EF⊥GH，連接GE、GF、HF、EH．∵E、G分別是AD、BD的中點(diǎn)，∴EG＝AB，同理HF＝CD，F(xiàn)G＝CD，EH＝CD，又∵AB＝CD∴EG＝GF＝FH＝EH∴四邊形EFGH是菱形．∴EF⊥GH．6．已知：如圖1，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）．（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形，證明你的結(jié)論．（2）如圖2，請(qǐng)連接四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD，當(dāng)AC與BD滿足互相垂直條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；證明你的結(jié)論．（3）你學(xué)過(guò)的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形？說(shuō)明理由．【分析】（1）連接BD，根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥BD，EH＝BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G＝BD，推出，EH∥FG，EH＝FG，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形；（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可知當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足AC⊥BD的條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；（3）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形．根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根據(jù)矩形的每一個(gè)角都是直角可得∠1＝90°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3＝90°，再根據(jù)垂直定義解答．【解答】解：（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下：如圖1，連接BD．∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，∴EH∥BD，EH＝BD，同理FG∥BD，F(xiàn)G＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足互相垂直的條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形．理由如下：如圖2，連接AC、BD．∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，∴EH∥BD，HG∥AC，∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴平行四邊形EFGH是矩形；（3）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形．理由如下：如圖3，連接AC、BD．∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，∴EH∥BD，HG∥AC，F(xiàn)G∥BD，EH＝BD，F(xiàn)G＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EH∥BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，∴平行四邊形EFGH是矩形．故答案為：平行四邊形；互相垂直．二．十字架模型7．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊CD、AD上的點(diǎn)，且CE＝DF．AE與BF相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．AE＝BF B．AE⊥BF C．AO＝OE D．S△AOB＝S四邊形DEOF【分析】首先利用全等三角形的判定方法利用SAS證明△BAF≌△ADE，即可得出AE＝BF，進(jìn)而得出∠BFA+∠EAD＝90°，即AE⊥BF，用反證法證明AO≠EO，利用三角形全等即面積相等，都減去公共面積剩余部分仍然相等，即可得出D正確．【解答】解：A、∵在正方形ABCD中，∴AB＝BC＝CD＝AD，又∵CE＝DF，∴AF＝DE，∵∠D＝∠BAF＝90°，∴△BAF≌△ADE，∴AE＝BF，故此選項(xiàng)正確；B、∵△BAF≌△ADE，∴∠BFA＝∠AED，∵∠AED+∠EAD＝90°，∴∠BFA+∠EAD＝90°，∴∠AOF＝90°，∴AE⊥BF，故此選項(xiàng)正確；C、如圖，連接BE，假設(shè)AO＝OE，∵BF⊥AE，∴∠AOB＝∠BOE＝90°，∵BO＝BO，∴△ABO≌△EBO，∴AB＝BE，又∵AB＝BC，BC＜BE，∴AB不可能等于BE，∴假設(shè)AO＝OE，不成立，即AO≠OE，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵△BAF≌△ADE，∴S△BAF＝S△ADE，∴S△BAF﹣S△AOF＝S△ADE﹣S△AOF，∴S△AOB＝S四邊形DEOF，故此選項(xiàng)正確．故選：C．8．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB的中點(diǎn)，連接AE，DF交于點(diǎn)O，將△ABE沿AE翻折，得到△AGE，延長(zhǎng)EG交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接CG．有以下結(jié)論：①AE⊥DF；②AH＝EH；③CG∥AE；④S四邊形BEOF：S△AOF＝4．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】①根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠B＝90°，從而可證△DAF≌△ABE，進(jìn)而可得∠BAE＝∠ADF，然后可得∠BAE+∠AFD＝90°，即可解答；②根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD∥BC，從而可得∠DAC＝∠AEB，再利用折疊可得∠AEB＝∠AEG，進(jìn)而可得∠DAE＝∠AEG，即可解答；③由折疊得：∠AEB＝∠AEG＝（180°﹣∠GEC），GE＝GC，從而可得∠EGC＝∠ECG＝（180°﹣∠GEC），進(jìn)而可得∠AEB＝∠GCE，即可解答；④在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE，然后證明△AOF∽△ABE，利用相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠B＝90°，∴∠ADF+∠AFD＝90°，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB的中點(diǎn)，∴AF＝AB，BE＝EC＝BC，∴AF＝BE，∴△DAF≌△ABE（SAS），∴∠BAE＝∠ADF，∴∠BAE+∠AFD＝90°，∴∠AOF＝180°﹣（∠BAE+∠AFD）＝90°，∴AE⊥DF，故①正確；∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠AEB，由折疊得：∠AEB＝∠AEG，∴∠DAE＝∠AEG，∴AH＝EH，故②正確；由折疊得：∠AEB＝∠AEG＝（180°﹣∠GEC），GE＝GC，∴∠EGC＝∠ECG＝（180°﹣∠GEC），∴∠AEB＝∠GCE，∴AE∥CG，故③正確；∵∠B＝90°，AB＝4，BE＝2，∴AE＝＝＝2，∵∠B＝∠AOF＝90°，∠FAO＝∠BAE，∴△AOF∽△ABE，∴＝（）2＝（）2＝，∴S四邊形BEOF：S△AOF＝4，故④正確；所以，以上結(jié)論，正確的有4個(gè)，故選：D．9．如圖，BD是矩形ABCD的一條對(duì)角線，EF⊥BD交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，若AB＝3，BC＝4，則EF的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．4【分析】過(guò)點(diǎn)A作AG∥EF，交BC于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)H，先利用矩形的性質(zhì)可得AD∥BC，BD＝5，∠ABC＝∠C＝90°，進(jìn)而可得四邊形AGFE是平行四邊形，從而可得AG＝EF，再根據(jù)同角的余角相等，可得∠HAB＝∠DBC，從而可得△ABG∽△BCD，然后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AG∥EF，交BC于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3，∠ABC＝∠C＝90°，∴四邊形AGFE是平行四邊形，∴AG＝EF，∵EF⊥BD，∴AG⊥BD，∴∠AHB＝90°，∴∠HAB+∠ABH＝90°，∵∠ABH+∠DBC＝90°，∴∠HAB＝∠DBC，∴△ABG∽△BCD，∴＝，∵BC＝4，CD＝3，∠C＝90°，∴BD＝＝＝5，∴＝，∴AG＝，∴EF＝AG＝，故選：C．10．如圖所示，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點(diǎn)，且CE＝DF，AE、BF相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四邊形DEOF；⑤∠BAE＝∠AFB其中，正確的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)四邊形ABCD是正方形及CE＝DF，可證出△ADE≌△BAF，然后依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可找出其中相等的線段可相等的角，然后再逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，∵CE＝DF，∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴AE＝BF，故①正確；∠ABF＝∠DAE，∵∠DAE+∠BAO＝90°，∴∠ABF+∠BAO＝90°，在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BF，故②正確；假設(shè)AO＝OE，∵AE⊥BF（已證），∴AB＝BE（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，這與正方形的邊長(zhǎng)AB＝BC相矛盾，所以，假設(shè)不成立，AO≠OE，故③錯(cuò)誤；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△DAE，∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四邊形DEOF，故④正確；∵AE⊥BF，∴∠AOB＝90°．∴∠OAB+∠ABO＝90°．又∵∠AFB+∠ABO＝90°，∴∠BAO＝∠AFO，故⑤正確．故選：C．11．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點(diǎn)O，∠AOF＝90°．求證：BE＝CF．（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點(diǎn)O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)∠AOF＝90°，利用同角的余角相等得出∠EAB＝∠FBC，再根據(jù)ASA即可證出△FBC≌△EAB；（2）過(guò)A作AM∥GH，交BC于M，過(guò)B作BN∥EF，交CD于N，AMBN交于點(diǎn)O′，利用平行四邊形的判定，可知四邊形AMHG和四邊形BNFE是?，那么AM＝GH，BN＝EF，由于∠EOH＝90°，結(jié)合平行線的性質(zhì)，可知∠AO′N＝90°，那么此題就轉(zhuǎn)化成（1），求△BCN≌△ABM即可；【解答】（1）證明：∵正方形ABCD中，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵∠AOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠BAE+∠OBA＝90°，又∵∠FBC+∠OBA＝90°，∴∠BAE＝∠CBF（同角的余角相等），∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴BE＝CF；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM∥GH交BC于M，過(guò)點(diǎn)B作BN∥EF交CD于N，AM與BN交于點(diǎn)O′，則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，∴EF＝BN，GH＝AM，∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN，∴∠NO′A＝90°，故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN，∴GH＝EF＝4；12．在正方形ABCD中：（1）如圖①，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足為M．求證：AE＝BF．（2）如圖②，如果點(diǎn)E、F、G、H分別在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足M．那么GE、HF相等嗎？證明你的結(jié)論．（3）如圖③，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E、F分別在BC、CA上，且BE＝CF，你能猜想∠AMF的度數(shù)嗎？證明你的結(jié)論．【分析】有三角形的直接證明三角形全等，沒(méi)三角形的構(gòu)造直角三角形，利用正方形的性質(zhì)證明三角形全等；對(duì)于第4問(wèn)也是證明三角形全等，再用角等量代換求解．【解答】（1）證明：∵AE⊥BF，∴∠BAE+∠ABM＝90°，∠CBF+∠ABM＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△BAE和△CBF中，△BAE≌△CBF（AAS），∴AE＝BF；（2）結(jié)論：HF＝GE分別過(guò)G、H作GT⊥BC、HN⊥CD，∴GT⊥HN，∴∠FHN+∠HPO＝90°，∠EGT+∠GPM＝90°，∠GPM＝∠HPO，∴∠FHN＝∠EGT，∵HN＝GT，∠GTE＝∠NHF＝90°，在△GTE與△HNF中，，∴△GTE≌△HNF，∴GE＝HF；（3）結(jié)論：∠AMF＝60°．在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∴∠ABE＝∠BME＝60°，∴∠AMF＝∠BME＝60°．三．梯子模型13．如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝2，BC＝1．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最大距離是（）A． B．+1 C． D．【分析】取AB的中點(diǎn)E，連接OE、CE、OC，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知當(dāng)O、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離最大，再根據(jù)勾股定理列式求出DE的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE的長(zhǎng)，兩者相加即可得解．【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OE、CE、OC，∵OC≤OE+CE，∴當(dāng)O、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離最大，此時(shí)，∵AB＝2，BC＝1，∴OE＝AE＝AB＝1，CE＝＝，∴OC的最大值為：+1．故選：B．14．如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝2，BC＝．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大時(shí)，OA長(zhǎng)度為（）A． B． C．2 D．【分析】取AB的中點(diǎn)，連接OE、DE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE，利用勾股定理列式求出DE，然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷出O、E、D三點(diǎn)共線時(shí)點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥OD于F，利用∠ADE的余弦列式求出DF，從而得到點(diǎn)F是OD的中點(diǎn)，判斷出AF垂直平分OD，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得OA＝AD．【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)，連接OE、DE，∵∠MON＝90°，∴OE＝AE＝AB＝×2＝1，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝，在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE＝＝＝2，由三角形的三邊關(guān)系得，O、E、D三點(diǎn)共線時(shí)點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，此時(shí)，OD＝OE+DE＝1+2＝3，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥OD于F，則cos∠ADE＝＝，即＝，解得DF＝，∵OD＝3，∴點(diǎn)F是OD的中點(diǎn)，∴AF垂直平分OD，∴OA＝AD＝．故選：B．15．如圖所示，一根長(zhǎng)2.5米的木棍（AB）斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，此時(shí)OB的距離為0.7米，若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）如果木棍的頂端A沿墻下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移動(dòng)多少距離？（2）設(shè)木棍的中點(diǎn)為P，請(qǐng)判斷木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離是否變化，為什么？【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出OA，求出OA'，根據(jù)勾股定理求出OB'即可；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出即可．【解答】解：（1）在直角△ABC中，已知AB＝2.5米，BO＝0.7米，則由勾股定理得：AO＝＝2.4米，∴OA'＝2米，∵直角三角形A'B'O中，AB＝A'B'，且A'B'為斜邊，∴由勾股定理得：OB'＝＝1.5米，∴BB'＝OB'﹣OB＝1.5﹣0.7＝0.8米；（2）不變．理由：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，因?yàn)樾边匒B不變，所以斜邊上的中線OP不變．16．如圖所示，一根長(zhǎng)3米的木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上．設(shè)木棍的中點(diǎn)為P．若木棍A端沿墻下滑．且B端沿地面向右滑行．（1）試判斷木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離是否變化，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由．（2）在木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)滑動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積最大？簡(jiǎn)述理由，并求出面積的最大值．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半得出OP＝AB＝a，即可得出答案；（2）當(dāng)△AOB的斜邊上的高h(yuǎn)等于中線OP時(shí)，△AOB的面積最大．【解答】解：（1）在木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離不發(fā)生變化，理由是：連接OP，∵∠AOB＝90°，P為AB中點(diǎn)，AB＝2a，∴OP＝AB＝a，即在木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離不發(fā)生變化，永遠(yuǎn)是a；（2）如圖，若h與OP不相等，則總有h＜OP，故根據(jù)三角形面積公式，有h與OP相等時(shí)△AOB的面積最大，此時(shí)，S△AOB＝AB?h＝×2a×a＝a2．所以△AOB的最大面積為a2．四．對(duì)角互補(bǔ)模型17．如圖，正方形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BP，過(guò)P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，連接BQ交AC于G，若AP＝，Q為CD中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面積是16；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，則四邊形共圓，根據(jù)圓周角定理得出∠BPC＝∠BQC，根據(jù)∠PBC＝∠PQD，過(guò)P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，則E、P、F三點(diǎn)共線，推出正方形AEPM，根據(jù)勾股定理求出AE＝PE＝PM＝AM＝DF＝1，證△BEP≌△PFQ，推出PE＝FQ＝1，BP＝PQ，求出DQ、DC，即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCQ＝90°，∵PQ⊥PB，∴∠BPQ＝90°，∴∠BPQ+∠BCQ＝180°，∴B、C、Q、P四點(diǎn)共圓，∴∠PBC＝∠PQD，∠BPC＝∠BQC，∴①正確；③正確；過(guò)P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，則E、P、F三點(diǎn)共線，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝DC＝BC，∠DAC＝∠BAC，∠DAB＝90°，∴∠MAE＝∠PEA＝∠PMA＝90°，PM＝PE，∴四邊形AMPE是正方形，∴AM＝PM＝PE＝AE，∵AP＝，∴在Rt△AEP中，由勾股定理得：AE2+PE2＝（）2，解得：AE＝AM＝PE＝PM＝1，∴DF＝1，設(shè)AB＝BC＝CD＝AD＝a，則BE＝PF＝a﹣1，∵∠BEP＝∠PFQ＝∠BPQ＝90°，∴∠BPE+∠EBP＝90°，∠EPB+∠FPQ＝90°，∴∠EBP＝∠FPQ，在△BEP和△PFQ中，∴△BEP≌△PFQ（ASA），∴PE＝FQ＝1，BP＝PQ，∴②正確；∴DQ＝1+1＝2，∵Q為CD中點(diǎn)，∴DC＝2DQ＝4，∴正方形ABCD的面積是4×4＝16，∴④正確；故選：A．18．如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為邊向△ABC外側(cè)作△ABD，使得∠ADB＝120°，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD沿著順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△CAE，則下列結(jié)論：①D、A、E三點(diǎn)共線；②△CDE為等邊三角形；③DC平分∠BDA；④DC＝DB+DA，其中正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】由△ABC為等邊三角形得到∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，由∠ADB＝120°得到∠1+∠2＝60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ACB＝60°，即旋轉(zhuǎn)角等于60°，CD＝CE，∠CAE＝∠CBD＝∠1+60°，于是可計(jì)算出∠DAE＝180°，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；由∠DCE＝∠ACB＝60°，CD＝CE，根據(jù)等邊三角形的判定可對(duì)②進(jìn)行判斷；由△CDE為等邊三角形得∠4＝60°，于是可得∠3＝60°，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE＝DB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CD＝DE，所以CD＝DE＝DA+AE＝DA+BD，則可對(duì)④進(jìn)行判斷．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ADB＝120°，∴∠1+∠2＝60°，∵點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD沿著順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△CAE，∴∠ACB＝60°，即旋轉(zhuǎn)角等于60°，CD＝CE，∠CAE＝∠CBD＝∠1+∠CBA＝∠1+60°，∵∠CAE+∠BAC+∠2＝∠1+60°+60°+∠2＝180°，即∠DAE＝180°，∴D、A、E三點(diǎn)共線，所以①正確；∵∠DCE＝∠ACB＝60°，CD＝CE，∴△CDE為等邊三角形，所以②正確；∵△CDE為等邊三角形，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，∴DC平分∠BDA，所以③正確；∵△CDE為等邊三角形，∴CD＝DE，而點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD沿著順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△CAE，∴AE＝DB，∴DE＝DA+AE＝DA+BD，∴DC＝DB+DA，所以④正確．故選：A．19．如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為邊向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD旋轉(zhuǎn)到△CAE，則下列結(jié)論：①D、A、E三點(diǎn)共線；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB+DA．其中正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】（1）設(shè)∠1＝x度，把∠2＝（60﹣x）度，∠DBC＝（x+60）度，∠4＝（x+60）度，∠3＝60°加起來(lái)等于180度，即可證明D、A、E三點(diǎn)共線；（2）根據(jù)△BCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△ACE，判斷出△CDE為等邊三角形，求出∠BDC＝∠E＝60°，∠CDA＝120°﹣60°＝60°，可知DC平分∠BDA；（3）由②可知，∠BAC＝60°，∠E＝60°，從而得到∠E＝∠BAC．（4）由旋轉(zhuǎn)可知AE＝BD，又∠DAE＝180°，DE＝AE+AD．而△CDE為等邊三角形，DC＝DE＝DB+BA．【解答】解：如圖，①設(shè)∠1＝x度，則∠2＝（60﹣x）度，∠DBC＝（x+60）度，故∠4＝（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4＝60﹣x+60+x+60＝180度，∴D、A、E三點(diǎn)共線；故①正確；②∵△BCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△ACE，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE為等邊三角形，∴∠E＝60°，∴∠BDC＝∠E＝60°，∴∠CDA＝120°﹣60°＝60°，∴DC平分∠BDA；故②正確；③∵∠BAC＝60°，∠E＝60°，∴∠E＝∠BAC．故③正確；④由旋轉(zhuǎn)可知AE＝BD，又∵∠DAE＝180°，∴DE＝AE+AD．∵△CDE為等邊三角形，∴DC＝DB+BA．故④正確；故選：A．20．如圖，在等邊△ABC中，作∠ACD＝∠ABD＝45°，邊CD、BD交于點(diǎn)D，連接AD．（1）請(qǐng)直接寫出∠CDB的度數(shù)；（2）求∠ADC的度數(shù)；（3）用等式表示線段AD、BD、CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）如圖，設(shè)AB交CD于點(diǎn)O．利用“8字型”證明角相等即可；（2）由△DBO∽△ACE，推出＝，可得＝，∠AOD＝∠BOC，推出△AOD∽△COB，即可解決問(wèn)題；（3）結(jié)論：DC＝DB+DA．在DC上截取DE＝DB，連接BE．利用全等三角形的性質(zhì)即可證明；【解答】解：（1）如圖，設(shè)AB交CD于點(diǎn)O．∵∠DBO＝∠ACO，∠BOD＝∠AOC，∴∠BDO＝∠OAC，∵△ABC是等邊三角形，∴∠OAC＝60°，∴∠CDB＝60°．（2）∵∠DOB＝∠AOC，∠DBO＝∠ACO，∴△DBO∽△ACO，∴＝，∴＝，∵∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△COB，∴∠ADO＝∠ABC＝60°．即∠ADC＝60°．（3）結(jié)論：DC＝DB+DA．理由：在DC上截取DE＝DB，連接BE．∵DB＝DE，∠BDE＝60°，∴△BDE是等邊三角形，∴∠DBE＝60°，BD＝BE，∵∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，∵D＝BE，BA＝BC，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝EC，∴DC＝DE+EC＝DB+DA．21．如圖，點(diǎn)P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分線OC上，AP⊥BP，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上．（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）當(dāng)∠APB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，①OA+OB的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個(gè)定值．②請(qǐng)求出OA2+OB2的最小值．【分析】（1）由題意知，3m﹣1＝﹣2m+4，即可解決問(wèn)題；（2）①過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于M，PN⊥OA于N．利用ASA證明△PMB≌△PNA，得BM＝AN，從而得出OB+OA＝OM﹣BM+ON+AN＝2OM；②連接AB，由勾股定理得AB2＝PA2+PB2＝2PA2，則OA2+OB2＝2PA2，當(dāng)PA最小時(shí)，OA2+OB2也最?。鶕?jù)垂線段最短，從而得出答案．【解答】解：（1）∵點(diǎn)P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分線OC上，∴3m﹣1＝﹣2m+4，∴m＝1，∴P（2，2）；（2）①不變．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于M，PN⊥OA于N．∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，PM＝PN＝2，∴四邊形QMPN是正方形，∴∠MPN＝90°＝∠APB，∴∠MPB＝∠NPA．在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA（ASA），∴BM＝AN，∴OB+OA＝OM﹣BM+ON+AN＝2OM＝4，②連接AB，∵∠AOB＝90°，∴OA2+OB2＝AB2，∵∠BPA＝90°，∴AB2＝PA2+PB2＝2PA2，∴OA2+OB2＝2PA2，當(dāng)PA最小時(shí)，OA2+OB2也最?。鶕?jù)垂線段最短原理，PA最小值為2，∴OA2+OB2的最小值為8．22．定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做互補(bǔ)四邊形．（1）概念理解：①在互補(bǔ)四邊形ABCD中，∠A與∠C是一組對(duì)角，若∠B：∠C：∠D＝2：3：4，則∠A＝90°；②如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，且BE?BC＝AB?BD，求證：四邊形ADEC是互補(bǔ)四邊形．（2）探究發(fā)現(xiàn)：如圖2，在等腰△ABE中，AE＝BE，點(diǎn)C，D分別在邊BE，AE上，AD＝BC，四邊形CEDH是互補(bǔ)四邊形，求證：∠ABD＝∠BAC＝∠E．【分析】（1）①由題意知，∠C＝180°﹣∠A，∠B＝，∠D＝，再利用四邊形內(nèi)角和為360°，可得方程；②利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等，可證△BDE∽△BCA，得∠BED＝∠A，從而得出∠A+∠CED＝∠BED+∠CED＝180°，即可證明結(jié)論；（2）首先利用SAS證明△EAC≌△EBD，得∠EBD＝∠EAC，則可知∠ABD＝∠BAC，再根據(jù)四邊形CEDH是互補(bǔ)四邊形，得∠E+∠DHC＝180°，可知∠E＝∠BHC，從而證明結(jié)論．【解答】（1）①解：∵四邊形ABCD是互補(bǔ)四邊形，∠A與∠C是一組對(duì)角，∴∠C＝180°﹣∠A，∵∠B：∠C：∠D＝2：3：4，∴∠B＝，∠D＝，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴+（180°﹣∠A）+＝360°，∴∠A＝90°，故答案為：90；②證明：∵BE?BC＝AB?BD，∴，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA，∴∠BED＝∠A，∴∠A+∠CED＝∠BED+∠CED＝180°，∴四邊形ADEC是互補(bǔ)四邊形；（2）證明：∵AE＝BE，AD＝BC，∴ED＝EC，在△EAC和△EBD中，，∴△EAC≌△EBD（SAS），∴∠EBD＝∠EAC，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠ABD＝∠BAC，∵四邊形CEDH是互補(bǔ)四邊形，∴∠E+∠DHC＝180°，∵∠AHB＝∠DHC，∴∠E+∠AHB＝180°，∴∠ABD+∠BAC＝∠E，∴∠ABD＝∠BAC＝∠E．五．梯形中位線模型23．如圖所示，四邊形ABCD是梯形，E，F(xiàn)分別是兩腰AB，CD的中點(diǎn)，AD＝2，BC＝8，則線段EF的長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】此題只需根據(jù)梯形的中位線定理進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：∵四邊形ABCD是梯形，E，F(xiàn)分別是兩腰AB，CD的中點(diǎn)，AD＝2，BC＝8，∴EF＝（AD+BC）＝（2+8）＝5．故選：C．24．若梯形的面積為8cm2，高為2cm，則此梯形的中位線長(zhǎng)是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】根據(jù)梯形的中位線定理，知梯形的面積等于梯形中位線×高．【解答】解：根據(jù)梯形的面積＝梯形的中位線×高，得梯形的中位線的長(zhǎng)＝8÷2＝4（cm）．故選：B．25．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BD為對(duì)角線，中位線EF交BD于O點(diǎn)，若FO﹣EO＝3，則BC﹣AD等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】首先根據(jù)梯形的中位線和平行線等分線段定理，發(fā)現(xiàn)三角形的中位線；再根據(jù)三角形的中位線定理，得到BC＝2OF，AD＝2OE，從而求得BC﹣AD的值．【解答】解：∵EF是梯形ABCD是中位線，∴EF∥BC∥AD．∴OB＝OD．∴BC＝2OF，AD＝2OE．∴BC﹣AD＝2（FO﹣EO）＝2×3＝6．故選：B．26．如圖，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分線相交于梯形中位線EF上的一點(diǎn)P，若EF＝3，則梯形AB