八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)19.1函數(shù)

19.1函數(shù)變量、常量的概念在一個(gè)變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量.數(shù)值保持不變的量叫做常量.注意：一般地，常量是不發(fā)生變化的量，變量是發(fā)生變化的量，這些都是針對(duì)某個(gè)變化過程而言的.例如，，速度60千米/時(shí)是常量，時(shí)間和里程為變量.題型1：變量與常量1.（2022秋?武義縣期末）筆記本每本a元，買3本筆記本共支出y元，下列選項(xiàng)判斷正確的有（）A．a(chǎn)是常量時(shí)，y是變量 B．a(chǎn)是變量時(shí)，y是常量 C．a(chǎn)是變量時(shí)，y也是變量 D．無論a是常量還是變量，y都是變量【變式1-1】（2023?南海區(qū)校級(jí)模擬）球的體積是V，球的半徑為R，則V＝πR3，其中變量和常量分別是（）A．變量是V，R；常量是，π B．變量是R，π；常量是 C．變量是V，R，π；常量是 D．變量是V，R3；常量是π【變式1-2】（2022秋?臨平區(qū)月考）某輛速度為v（km/h）的車從甲地開往相距s（km）的乙地，全程所用的時(shí)間為t（h），在這個(gè)變化過程中，（）A．s是變量 B．t是常量 C．v是常量 D．s是常量【變式1-3】（2022春?安次區(qū)期末）某工廠有一個(gè)容積為280立方米的水池，現(xiàn)用3臺(tái)抽水機(jī)從蓄滿水的池中同時(shí)抽水，已知每臺(tái)抽水機(jī)每小時(shí)抽水15立方米．（1）抽水兩個(gè)小時(shí)后，池中還有水立方米；（2）在這一變化過程中哪些是變量？哪些是常量？題型2：因變量和自變量2.（2022春?鹽田區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于圓的周長(zhǎng)公式C＝2πR，其中自變量是，因變量是．【變式2-1】圓柱的高是6cm，當(dāng)圓柱的底面半徑r由小到大變化時(shí)，圓柱的體積V也隨之發(fā)生變化.在這個(gè)變化過程中，常量是，自變量是，因變量是.【變式2-2】（2022秋?靖西市期中）在公式S＝﹣t+20中，關(guān)于變量和常量，下列說法正確的是（）A．﹣1和20是常量，S和t是變量 B．20是常量，S和t是變量 C．﹣1常量，S和t是變量 D．S是自變量，t是因變量【變式2-3】（2022春?西昌市校級(jí)月考）下列各式中，是函數(shù)有（）①s＝3a2；②；③y2＝x；④y＝|x﹣3|；⑤|y|＝2x；⑥．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)函數(shù)的定義一般地，在一個(gè)變化過程中.如果有兩個(gè)變量與，并且對(duì)于的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說是自變量，是的函數(shù).注意：對(duì)于函數(shù)的定義，應(yīng)從以下幾個(gè)方面去理解：（1）函數(shù)的實(shí)質(zhì)，揭示了兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）對(duì)于自變量的取值，必須要使代數(shù)式有實(shí)際意義；（3）判斷兩個(gè)變量之間是否有函數(shù)關(guān)系，要看對(duì)于允許取的每一個(gè)值，是否都有唯一確定的值與它相對(duì)應(yīng).（4）兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)至少具備兩個(gè)條件：①函數(shù)關(guān)系式相同（或變形后相同）；②自變量的取值范圍相同.否則，就不是相同的函數(shù).而其中函數(shù)關(guān)系式相同與否比較容易注意到，自變量的取值范圍有時(shí)容易忽視，這點(diǎn)應(yīng)注意.題型3：函數(shù)的概念3.（2022春?西昌市校級(jí)月考）與函數(shù)y＝2x﹣1是同一函數(shù)的是（）A． B． C． D．【變式3-1】（2022春?宛城區(qū)期中）下列關(guān)系式中，變量y不是變量x的函數(shù)的是（）A．y＝（x≥0）B．x+y＝10 C．y＝|x| D．xy＝1【變式3-2】下列關(guān)系式：①x-3x=4；②s=3.5t；③y=-2x；④y=5x-3；⑤C=2πr；⑥y2=-2x．其中是函數(shù)關(guān)系的有()A．①⑥ B．②③④⑤ C．④⑥ D．①②【變式3-3】下列關(guān)系中，不是函數(shù)的是()．A．y=x+13 B．y=-x2C．y=9x(x≥0) D．y=±x2題型4：函數(shù)概念與基礎(chǔ)圖像識(shí)別4.（2022秋?沙縣期中）下列各曲線中表示y是x的函數(shù)的是（）A．B． C． D．【變式4-1】（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期中）下列曲線中，不能表示y是x的函數(shù)的是（）A．B． C． D．【變式4-2】（2022秋?蜀山區(qū)校級(jí)月考）下列各圖象中，y不是x的函數(shù)有（）A．B． C． D．自變量取值范圍的確定使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體實(shí)數(shù)叫自變量的取值范圍.注意：自變量的取值范圍的確定方法：首先，要考慮自變量的取值必須使解析式有意義：（1）當(dāng)解析式是整式時(shí)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)解析式是分式時(shí)，自變量的取值范圍是使分母不為零的實(shí)數(shù)；（3）當(dāng)解析式是二次根式時(shí)，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)不小于零的實(shí)數(shù)；（4）當(dāng)解析式中含有零指數(shù)冪或負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時(shí)，自變量的取值應(yīng)使相應(yīng)的底數(shù)不為零；（5）當(dāng)解析式表示實(shí)際問題時(shí)，自變量的取值必須使實(shí)際問題有意義.題型5：自變量的取值范圍5.（2022秋?羅湖區(qū)期中）函數(shù)的自變量x的取值范圍是（）A．x?2 B．x＞2 C．x＜2 D．x?2【變式5-1】．（2022春?鳳慶縣期末）函數(shù)y＝中自變量x的取值范圍是（）A．x≥1 B．x≥1且x≠0 C．x＞1且x≠0 D．x≠0【變式5-2】（2022秋?瑤海區(qū)期中）函數(shù)y＝+中，自變量x的取值范圍是（）A．x≥2 B．x≥2且x≠9 C．x≠9 D．2≤x＜9【變式5-3】（2022秋?駐馬店期中）中自變量x的取值范圍是．【變式5-4】求下列函數(shù)中自變量x的取值范圍．y=x-2+1x-3函數(shù)值是的函數(shù)，如果當(dāng)＝時(shí)＝，那么叫做當(dāng)自變量為時(shí)的函數(shù)值.注意：對(duì)于每個(gè)確定的自變量值，函數(shù)值是唯一的，但反過來，可以不唯一，即一個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量可以是多個(gè).比如：中，當(dāng)函數(shù)值為4時(shí)，自變量的值為±2.題型6：函數(shù)值的定義6.（2021秋?梧州期末）當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)y＝的函數(shù)值是（）A．y＝4 B．y＝3 C．y＝2 D．y＝1【變式6-1】（2022春?大足區(qū)期末）根據(jù)如圖所示的程序計(jì)算函數(shù)y的值，若輸入的x的值為﹣1和5時(shí)，輸出的y的值相等，則b等于（）A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2【變式6-2】已知一個(gè)長(zhǎng)方體的體積是100cm3，它的長(zhǎng)是10cm，寬是ycm，高是xcm．（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x＝2cm時(shí)，求y的值．【變式6-3】已知函數(shù)y=2x-1x+2【變式6-4】當(dāng)x=2及x=﹣3時(shí)，分別求出下列函數(shù)的函數(shù)值：（1）y=（x+1）（x﹣2）；（2）y=x+2x-1題型7：構(gòu)建簡(jiǎn)單函數(shù)（幾何圖形）7.如圖，在靠墻（墻長(zhǎng)8m）的地方圍建一個(gè)矩形的養(yǎng)雞場(chǎng)，另外三邊用柵欄圍成，如果柵欄總長(zhǎng)為32m，求雞場(chǎng)的一邊y（m）與另一邊x（m）的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍．【變式7-1】（2022春?雙塔區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，在一個(gè)邊長(zhǎng)為10cm的正方形的四個(gè)角都剪去一個(gè)大小相等的小正方形，當(dāng)小正方形的邊長(zhǎng)由小到大變化時(shí)，圖中陰影部分的面積也隨之發(fā)生變化．（1）在這個(gè)變化過程中，自變量、因變量各是什么？（2）如果小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，圖中陰影部分的面積ycm2，請(qǐng)寫出y與x的關(guān)系式；（3）當(dāng)小正方形的邊長(zhǎng)由1cm變化到4cm時(shí)，陰影部分的面積是怎樣變化的？【變式7-2】如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)與正方形MNPQ的邊長(zhǎng)均為10cm，AC與MN在同一直線上，開始時(shí)A點(diǎn)與M點(diǎn)重合，讓△ABC向右運(yùn)動(dòng)，最后A點(diǎn)與N點(diǎn)重合．試寫出重疊部分的面積ycm2與MA的長(zhǎng)度xcm之間的關(guān)系式，并指出其中的常量與變量．【變式7-3】圓柱的底面半徑是2cm，當(dāng)圓柱的高h(yuǎn)（cm）由大到小變化時(shí)，圓柱的體積V（cm3）隨之發(fā)生變化．（1）在這個(gè)變化過程中，自變量和因變量各是什么？（2）在這個(gè)變化過程中，寫出圓柱的體積為V與高h(yuǎn)之間的關(guān)系式？（3）當(dāng)h由5cm變化到10cm時(shí)，V是怎樣變化的？（4）當(dāng)h=7cm時(shí)，v的值等于多少？題型8：構(gòu)建函數(shù)（實(shí)際問題）8.（2022春?開江縣期末）某中學(xué)為籌備校慶活動(dòng)，準(zhǔn)備印制一批校慶紀(jì)念冊(cè)，該紀(jì)念冊(cè)每?jī)?cè)需要10張A4大小的紙，其中4張為彩色頁(yè)，6張為黑白頁(yè)．印制該紀(jì)念冊(cè)的總費(fèi)用由制版費(fèi)和印刷費(fèi)兩部分組成．制版費(fèi)與印數(shù)無關(guān)，價(jià)格為：彩色頁(yè)200元/張，黑白頁(yè)50元/張；印刷費(fèi)與印數(shù)的關(guān)系見下表印數(shù)a（單位：冊(cè)）1≤a＜50005000≤a＜10000彩色（單位：元/張）2.22.0黑白（單位：元/張）0.60.5（1）直接寫出印制這批紀(jì)念冊(cè)的制版費(fèi)為多少元；（2）若印制6000冊(cè)，那么共需多少費(fèi)用？（3）若印制x（1≤x＜10000）冊(cè)，所需費(fèi)用為y元，請(qǐng)寫出y與x之間的關(guān)系式．【變式8-1】（2022春?臨渭區(qū)期末）某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：3千米以內(nèi)（含3千米）收費(fèi)8元；超過3千米的部分每千米收費(fèi)1.6元，當(dāng)出租車行駛路程為x千米時(shí)，應(yīng)收費(fèi)為y元．（1）請(qǐng)寫出當(dāng)x≥3時(shí)，y與x之間的關(guān)系式；（2）小亮乘出租車行駛4千米，應(yīng)付多少元？【變式8-2】（2022春?信都區(qū)期末）已知每千克化工原料的售價(jià)為120元，若x（元）表示購(gòu)買m千克化工原料的總價(jià)錢．（1）寫出m與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）說出其中的變量與常量．題型9：函數(shù)圖像-路程和時(shí)間問題9.（2022春?武功縣期末）小明家距離學(xué)校8千米．一天早晨，小明騎車上學(xué)途中自行車出現(xiàn)故障，他于原地修車，車修好后，立即在確保安全的前提下以更快的速度勻速騎行到達(dá)學(xué)校．如圖反映的是小明上學(xué)過程中騎行的路程（千米）與他所用的時(shí)間（分鐘）之間的關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)圖象，解答下列問題：（1）小明騎行了千米時(shí)，自行車出現(xiàn)故障；修車用了分鐘；（2）求自行車出現(xiàn)故障前小明騎行的平均速度．【變式9-1】（2022春?章丘區(qū)期末）李老師一直堅(jiān)持步行上下班．一天，李老師下班后，從學(xué)校出發(fā)以45米/分的速度走了900米時(shí)，遇到一個(gè)朋友，停下來交流了半個(gè)小時(shí)，然后回家，如圖所示是李老師從學(xué)校到家這一過程中，距離家的路程S（米）與離開學(xué)校的時(shí)間t（分）之間的關(guān)系．（1）在如圖所示反映的兩個(gè)變量之間的關(guān)系中，自變量是；因變量是．（2）圖中a表示的數(shù)值是；b表示的數(shù)值是；c表示的數(shù)值是．（3）李老師遇到朋友之前的行走速度快還是和朋友分開以后的行走速度快？和朋友分開后的平均速度是多少？【變式9-2】（2022春?肅州區(qū)校級(jí)期中）小明某天上午9時(shí)騎自行車離開家，15時(shí)回到家，他有意描繪了離家的距離與時(shí)間的變化情況（如圖所示）．（1）圖象表示了哪兩個(gè)變量的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？（2）他到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方是什么時(shí)間？離家多遠(yuǎn)？（3）他可能在哪段時(shí)間內(nèi)休息，并吃午餐？（4）他由離家最遠(yuǎn)的地方返回時(shí)的平均速度是多少？題型10：函數(shù)圖像-兩者距離和時(shí)間問題10.（2022秋?姜堰區(qū)月考）甲、乙兩人駕車都從P地出發(fā)，沿一條筆直的公路勻速前往Q地，乙先出發(fā)一段時(shí)間后甲再出發(fā)，甲、乙兩人分別到達(dá)Q地后停止．已知P、Q兩地相距200km，設(shè)乙行駛的時(shí)間為t（h），甲、乙兩人之間的距離為y（km），表示y與t函數(shù)關(guān)系的部分圖象如圖所示．請(qǐng)解決以下問題：（1）由圖象可知，甲比乙遲出發(fā)h，解釋圖象中點(diǎn)B與點(diǎn)C的實(shí)際意義；（2）求甲、乙兩人的速度．【變式10-1】（2022春?宜黃縣期中）疫情防控常態(tài)化后，防控部門根據(jù)疫情的變化，積極調(diào)配防疫資源．為了調(diào)配醫(yī)療物資，甲、乙兩輛汽車分別從A、B兩個(gè)城市同時(shí)出發(fā)，沿同一條公路相向而行，勻速（v甲＞v乙）前往B地、A地，在途中的服務(wù)區(qū)兩車相遇，休整了2h后，又各自以原速度繼續(xù)前往目的地，兩車之間的距離s（km）和所用時(shí)間t（h）之間的關(guān)系的圖象如圖所示，請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題：（1）圖中的自變量是，因變量是；（2）A、B兩地相距km；（3）在如圖中，x＝；（4）甲車的速度為km/h．【變式10-2】（2022春?青島期末）甲、乙兩人在筆直的公路AB上從起點(diǎn)A地以不同的速度勻速跑向終點(diǎn)B地，先到B地的人原地休息，已知A、B兩地相距1500米，且甲比乙早出發(fā)，甲、乙兩人之間的距離y（米）與甲出發(fā)的時(shí)間x（秒）的關(guān)系如圖所示．（1）甲早出發(fā)秒，乙出發(fā)時(shí)兩人距離米；（2）甲的速度是米/秒，甲從A地跑到B地共需秒；（3）乙出發(fā)秒時(shí)追上了甲；（4）甲出發(fā)秒時(shí)，兩人相距120米．題型11：函數(shù)圖像-幾何變化問題11.（2023?鐵西區(qū)一模）如圖Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝6，點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于點(diǎn)F，四邊形AEPF的面積記為S，BE＝x，則S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系圖象是（）A．B．C． D．【變式11-1】（2022秋?泗陽(yáng)縣期末）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC、CD、DA運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，若b﹣2a＝5，則長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．20 B．18 C．16 D．24【變式11-2】（2022秋?香洲區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度分別沿A→B→C，和A→D→C的路徑向點(diǎn)C移動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，由點(diǎn)P、B、D、Q確定的圖形的面積為scm2，求s與t（0≤t≤8）之間的函數(shù)關(guān)系式．一、單選題1．（2023八上·紹興期末）下列關(guān)系式中，y不是x的函數(shù)的是（）A．y=x B．y=x2 C．y=x2．李師傅到單位附近的加油站加油，如圖是所用的加油機(jī)上的數(shù)據(jù)顯示牌，則其中的常量是（）A．金額 B．?dāng)?shù)量 C．單價(jià) D．金額和單價(jià)3．（2023八上·溫州期末）函數(shù)y=1x-2A．x≠-2 B．x≠2 C．x<2 D．x>24．（2022七下·雅安期末）跳高運(yùn)動(dòng)員跳躍橫桿，高度與時(shí)間的關(guān)系可以用圖形近似的刻畫的是（）A．B．C． D．5．（2022七下·化州期末）根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在彈簧的承受范圍內(nèi)，彈簧掛上物體后會(huì)伸長(zhǎng)，測(cè)得一彈簧的長(zhǎng)度y(cm)x01234y2021222324A．x與y都是變量，且x是自變量，y是因變量B．彈簧不掛重物時(shí)的長(zhǎng)度為0cmC．隨著所掛物體重量的增加，彈簧長(zhǎng)度逐漸變長(zhǎng)D．所掛物體的重量每增加1kg，彈簧長(zhǎng)度增加1cm6．（2022七下·歷城期末）6月12日，京張高鐵軌道全線貫通，它是2022年北京冬奧會(huì)的重要交通保障設(shè)施.全線運(yùn)營(yíng)后高鐵將通過清華園隧道穿越北京市城市核心區(qū)，如圖所示，當(dāng)高鐵勻速通過清華園隧道（隧道長(zhǎng)大于火車長(zhǎng)）時(shí)，高鐵在隧道內(nèi)的長(zhǎng)度y與高鐵進(jìn)入隧道的時(shí)間x之間的關(guān)系用圖象描述大致是（）A． B．C． D．二、填空題7．（2022七下·寶雞期末）變量x與y之間的關(guān)系式是y=-x+1，當(dāng)自變量x=2時(shí)，因變量y的值是．8．（2022八上·紫金期中）一次函數(shù)y=-6x+5，當(dāng)x=2時(shí)，則y＝．9．表示函數(shù)的三種方法是：，，．10．已知變量x，y滿足(x-2y)2=(x+2y)2+10，那么y11．（2022九上·楊村月考）已知一個(gè)直角三