人教版高中數(shù)學(xué)選修2-3全部教案

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數(shù)

學(xué)

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案

選

修

全

套

莖習(xí)必登及迎上,戴

人教版選修2-3

第一章計數(shù)原理

1.1分類加法計數(shù)原理與分部乘法計數(shù)原理

探究與發(fā)現(xiàn)子集的個數(shù)有多少

1.2排列與組合

探究與發(fā)現(xiàn)組合數(shù)的兩個性質(zhì)

1.3二項式定理

小結(jié)

第二章隨機變量及其分布

2.1離散型隨機變量及其分布列

2.2二項分布及其應(yīng)用

閱讀與思考這樣的買彩票方式可行嗎？

探究與發(fā)現(xiàn)服從二項分布的隨機變量取何值時概率最大

2.3離散型隨機變量的均值與方差

2.4正態(tài)分布

信息技術(shù)應(yīng)用|J，6對正態(tài)分布的影響

小結(jié)

第三章統(tǒng)計案例

3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

3.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用

實習(xí)作業(yè)

小結(jié)

第一章計數(shù)原理

1.1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理

第一課時

1分類加法計數(shù)原理

(1)提出問題

問題1.L用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？

問題1.2：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.如果一天中火車有3班，汽車有2班.那么一天中，乘坐這些交

通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

(2)發(fā)現(xiàn)新知

分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有加種不同的方法，在第2類方案中有〃種不

同的方法.那么完成這件事共有

N=m+n

種不同的方法.

(3)知識應(yīng)用

例1.在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：

A大學(xué)B大學(xué)

生物學(xué)數(shù)學(xué)

化學(xué)會計學(xué)

醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)

物理學(xué)法學(xué)

工程學(xué)

如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？

分析：由于這名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個專業(yè)，又由于兩所大學(xué)沒有共同的強項專

業(yè)，因此符合分類加法計數(shù)原理的條件.解：這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所.在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇

方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法.又由于沒有一個強項專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，因此根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名

同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有

5+4=9(種).

里曰必備_____

變式：若還有C大學(xué)，其中強項專業(yè)為：新聞學(xué)、金融學(xué)、人力資源學(xué).那么，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有多少種？

探究：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有，4種不同的方法，在第2類方案中有〃4種不同的方法，

在第3類方案中有機3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

如果完成一件事情有〃類不同方案，在每一類中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計數(shù)呢？

一般歸納：

完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有〃2］種不同的方法，在第2類辦法中有加2種不同的方法……在第n類

辦法中有加，種不同的方法.那么完成這件事共有

N=m、+?H-----\-mn

種不同的方法.

理解分類加法計數(shù)原理：

分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法也相對

獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事.

例2.一螞蚊沿著長方體的棱,從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少條？

解:從總體上看,如,螞蟻從頂點A爬到頂點C1有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成,所以，

第一類，ml=1X2=2條第二類，m2=1X2=2條

第三類，m3=1X2=2條

所以，根據(jù)加法原理，從頂點A到頂點C1最近路線共有N=2+2+2=6條

練習(xí)：(1)一件工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有4人只會用第2種方法完成，從中選

出1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是—；(2)從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，

從A村經(jīng)B的路線有一條.

第二課時

2分步乘法計數(shù)原理

(1)提出問題

問題2.1：用前6個大寫英文字母和1—9九個阿拉伯?dāng)?shù)字，以,A2,…，,82,…的方式給教室里的座位編號，

總共能編出多少個不同的號碼？

用列舉法可以列出所有可能的號碼：

我們還可以這樣來思考?：由于前6個英文字母中的任意一個都能與9個數(shù)字中的任何一個組成一個號碼，而且它們各

不相同，因此共有6X9=54個不同的號碼.

(2)發(fā)現(xiàn)新知

分步乘法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有加種不同的方法，在第2類方案中有n種

不同的方法.那么完成這件事共有N=mxn種不同的方法.

(3)知識應(yīng)用

例1.設(shè)某班有男生30名，女生24名.現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？

分析：選出一組參賽代表，可以分兩個步驟.第1步選男生.第2步選女生.

解：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選擇；

第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選擇.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有30X24=720

種不同的選法.

一般歸納：

完成一件事情，需要分成n個步驟，做第1步有W,種不同的方法，做第2步有rn2種不同的方法……做第n步有〃2“種

不同的方法.那么完成這件事共有

室習(xí)必登塞迪上裁

N=m,x%x…x

種不同的方法.

理解分步乘法計數(shù)原理：

分步計數(shù)原理針時的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成

該件事，只有當(dāng)各個步驟都完成后，才算完成這件事.

3.理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理異同點

①相同點：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題

②不同點：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各種方法

也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問

題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個步驟都完成后，才

算完成這件事，是合作完成.

例2.如圖，要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須

涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？

第一步，ml=3種，第二步，m2=2種，

第三步，m3=1種，第四步，m4=1種，

所以根據(jù)乘法原理，得到不同的涂色方案種數(shù)共有N=3X2X1X1=6

第三課時

3綜合應(yīng)用

例1.書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.

①從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

②從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？

③從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？

【分析】

①要完成的事是“取一本書”，由于不論取書架的哪一層的書都可以完成了這件事，因此是分類問題，應(yīng)用分類計數(shù)原理.

②要完成的事是“從書架的第1、2、3層中各取一本書”，由于取一層中的一本書都只完成了這件事的一部分，只有第1、2、

3層都取后，才能完成這件事，因此是分步問題，應(yīng)用分步計數(shù)原理.

③要完成的事是“取2本不同學(xué)科的書”，先要考慮的是取哪兩個學(xué)科的書，如取計算機和文藝書各1本，再要考慮取

1本計算機書或取1本文藝書都只完成了這

件事的一部分，應(yīng)用分步計數(shù)原理，上述每一種選法都完成后，這件事才能完成，因此這些選法的種數(shù)之間還應(yīng)運用分類計

數(shù)原理.

解：(1)從書架上任取1本書，有3類方法：第1類方法是從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2類方法是從

第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方法是從第3層取1本體育書，有2種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同

取法的種數(shù)是

N=町+秩+/=4+3+2=9;

(2)從書架的第1,2,3層各取1本書，可以分成3個步驟完成：第1步從第1層取1本計算機書，有4種方

法；第2步從第2層取I本文藝書，有3種方法；第3步從第3層取1本體育書，有2種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原

理，不同取法的種數(shù)是

N=州X/X，％=4X3X2=24.

(3)N=4x3+4x2+3x2=26。

例2.要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？

解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊

墻上，有3種選法：第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛

法的種數(shù)是

N=3X2=6.

6種掛法可以表示如下：

室習(xí)必登塞迪上裁

左邊右邊得到的掛法

―一乙左甲右乙

甲V：

丙左甲右丙

--甲左乙右甲

乙V

-丙左乙右丙

--甲左丙右甲

丙V"

一j乙左丙右乙

分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題.區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原

理針對的是‘'分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事，分步乘法計數(shù)原理針對的是“分

步”問題，各個步驟中的方法互相依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事.

例3.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需交通管理部門出臺了一種汽車牌照

組成辦法，每一個汽車牌照都必須有3個不重復(fù)的英文字母和3個不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且3個字母必須合成一組出現(xiàn),

3個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn).那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？

分析：按照新規(guī)定，牌照可以分為2類，即字母組合在左和字母組合在右.確定一個牌照的字母和數(shù)字可以分6個步驟.

解：將汽車牌照分為2類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右.字母組合在左時，分6個步驟確定一個牌照的

字母和數(shù)字：

第1步，從26個字母中選1個，放在首位，有26種選法；

第2步，從剩下的25個字母中選1個，放在第2位，有25種選法；

第3步，從剩下的24個字母中選1個，放在第3位，有24種選法；

第4步，從10個數(shù)字中選1個，放在第4位，有10種選法；

第5步，從剩下的9個數(shù)字中選1個，放在第5位，有9種選法：

第6步，從剩下的8個字母中選1個，放在第6位，有8種選法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，字母組合在左的牌照共有26X25X24X10X9X8=11232000（個）.

同理，字母組合在右的牌照也有11232000個.所以，共能給

11232000+11232000=22464000（個）.輛汽車上牌照.

用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要進行仔細分析一需要分類還是需要分步.分類要做到

“不重不漏”.分類后再分別對每一類進行計數(shù)，坡后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù).分步要做到''步驟完整”一完

成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨立.分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，

把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).

練習(xí)

1.乘積（4+a2+4）（4+b2+%）（q+c2+c3+c4+。工）展開后共有多少項？

2.某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號碼由八位數(shù)字組成，其中前四位的數(shù)字是不變的，后四位數(shù)字都是。到9之間的一個

數(shù)字，那么這個電話局不同的電話號碼最多有多少個？

3.從5名同學(xué)中選出正、副組長各1名，有多少種不同的選法？

4.某商場有6個門，如果某人從其中的任意一個門進人商場，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進出商場

的方式？

第四課時

例1.給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母A?G或U?Z,后兩個要求用數(shù)字1-9.問最多可

以給多少個程序命名？

分析：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第1步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字

符.而首字符又可以分為兩類.

解：先計算首字符的選法.由分類加法計數(shù)原理，首字符共有7+6=13種選法.

再計算可能的不同程序名稱.由分步乘法計數(shù)原理，最多可以有13X9X9==1053

個不同的名稱，即最多可以給1053個程序命名.

例2.核糖核酸（RNA）分子是在生物細胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分一個RNA分子是一個有著數(shù)百個甚至數(shù)千個位置的長鏈，

長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù).

總共有4種不同的堿基，分別用A,C,G,U表示.在一個RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個位置

上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān).假設(shè)有一類RNA分子由100個堿基組成，那么能有多少種不同的RNA分子？

莖習(xí)必登及迎上,戴

分析：用圖1.1—2來表示由100個堿基組成的長鏈，這時我們共有100個位置，每個位置都可以從A,C,G,U

中任選一個來占據(jù).

解：100個堿基組成的長鏈共有100個位置，如圖1.1—2所示.從左到右依次在每一個位置中，從A,C,G,U

中任選一個填人，每個位置有4種填充方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，長度為100的所有可能的不同RNA分子數(shù)目有

4.4.-4=4,（X,（個）

100

例3.電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計算機內(nèi)

部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進制.為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字

符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的坡小計量單位，每個字節(jié)由8個二進制位構(gòu)成.問：

（1）一個字節(jié)（8位）最多可以表示多少個不同的字符？

（2）計算機漢字國標(biāo)碼（GB碼）包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少

要用多少個字節(jié)表示？

分析：由于每個字節(jié)有8個二進制位，每一位上的值都有0,1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以

用分步乘法計數(shù)原理求解本題.

解：（1）用圖1.1—3來表示一個字節(jié).

第1位第2位第3位第8位

2種2種2種2種

圖1.1一3

一個字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一個字節(jié)最多可以表示2X2X2X2X2X2X2X2=

2"=256個不同的字符；

（2）由（1）知，用一個字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個，我們就考慮用2個字節(jié)能夠表示多少個字符.前

一個字節(jié)有256種不同的表示方法，后一個字節(jié)也有256種表示方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，2個字節(jié)可以表示256X

256=65536

個不同的字符，這已經(jīng)大于漢字國標(biāo)碼包含的漢字個數(shù)6763.所以要表示這些漢字，每個漢字至少要用2個字節(jié)表示.

例4.計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行測試.程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開始

到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù).一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成.如圖1.1一4,它是一個

具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊.問：這個程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？

另外，為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)你能幫助程序員設(shè)計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎？

里習(xí)必備_____藥ffiE載

圖1.1一4

分析：整個模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點；第2步是從A點執(zhí)行到結(jié)束.而

第1步可由子模塊1或子模塊2或子模塊3來完成；第2步可由子模塊4或子模塊5來完成.因此，分析一條指令

在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個計數(shù)原理.

解：由分類加法計數(shù)原理，子模塊1或子模塊2或子模塊3中的子路徑共有18+45+28=91(條)；

子模塊4或子模塊5中的子路徑共有38+43=81(條).

又由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑共有91X81=7371(條).

在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模

塊.這樣，他可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常.總共需要的測試次數(shù)為

18+45+28+38+43=172.

再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1步中的各個子模塊和第2步中的各個子模塊之間的信

息交流是否正常，需要的測試次數(shù)為3X2=6.

如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作正常.這樣，測試整個

模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6=178(次).

顯然，178與7371的差距是非常大的.

鞏固練習(xí)：

1.如圖，從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通，從丁地到丙地有2條路可

通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

2.書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書.

(1)若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

(2)若從這些書中，取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？

(3)若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？

3.如圖一,要給①，②，③，④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種，允許同?種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同顏

色,則不同涂色方法種數(shù)為()

圖一圖二圖三

室習(xí)必登及迎上教

若變?yōu)閳D二，圖三呢？

5.五名學(xué)生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠

軍的可能性有多少種？

6.（20XX年重慶卷）若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成（C）

A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分

教學(xué)反思：

課堂小結(jié)

1.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是排列組合問題的最基本的原理，是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論依據(jù)，也

是求解排列、組合問題的基本思想.

2.理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，并加區(qū)別

分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相對獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；而分步乘

法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成后才算做完這件事.

3.運用分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的注意點：

分類加法計數(shù)原理：首先確定分類標(biāo)準(zhǔn)，其次滿足：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同的兩類的

方法都是不同的方法，即“不重不漏

分步乘法計數(shù)原理：首先確定分步標(biāo)準(zhǔn)，其次滿足：必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟，這件事才算完成.

分配問題

把一些元素分給另一些元素來接受.這是排列組合應(yīng)用問題中難度較大的一類問題.因為這涉及到兩類元素：被分配

元素和接受單位.而我們所學(xué)的排列組合是對一類元素做排列或進行組合的，于是遇到這類問題便手足無措了.

事實上，任何排列問題都可以看作面對兩類元素.例如，把10個全排列,可以理解為在10個人旁邊，有序號為1,2,……，

10的10把椅子，每把椅子坐一個人，那么有多少種坐法？這樣就出現(xiàn)了兩類元素，?類是人，一類是椅子。于是對眼花繚

亂的常見分配問題，可歸結(jié)為以下小的“方法結(jié)構(gòu)”：

①.每個“接受單位”至多接受一個被分配元素的問題方法是A：，這里”之.其中相是“接受單位”的個數(shù)。至于誰

是“接受單位”，不要管它在生活中原來的意義，只要〃2〃？.個數(shù)為m的一個元素就是“接受單位”，于是，方法還可以

簡化為4；.這里的“多”只要2“少”.

②.被分配元素和接受單位的每個成員都有“歸宿”，并且不限制一對一的分配問題，方法是分組問題的計算公式乘以

1.2.1排列

第一課時

一、復(fù)習(xí)引入：

1.分類加法計數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有，々種不同的方法，在第二類辦法中有機2

種不同的方法，……，在第n類辦法中有機“種不同的方法.那么完成這件事共有N=m]+m2++〃2”種不同的方法

2分步乘法計數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有，嗎種不同的方

法，……，做第n步有加“種不同的方法，那么完成這件事有N=^X啊xxm?種不同的方法.

分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題，區(qū)別在于:分類加法計數(shù)原理

針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，每一種方法只屬于某一類，用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計

數(shù)原理針對的是‘‘分步”問題，各個步驟中的方法相互依存,某一步驟中的每一種方法都只能做完這件事的一個步驟，只有各個

步驟都完成才算做完這件事.應(yīng)用兩種原理解題:1.分清要完成的事情是什么；2.是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨

立，“步”間互相聯(lián)系：3.有無特殊條件的限制.

二、講解新課：

1.問題：

問題1.從甲、乙、丙3名同學(xué)中選取2名同學(xué)參加某一天的一項活動，其中一名同學(xué)參加上午的活動，一名同學(xué)參加

下午的活動，有多少種不同的方法？

分析：這個問題就是從甲、乙、丙3名同學(xué)中每次選取2名同學(xué)，按照參加上午的活動在前，參加下午活動在后的順序

排列，一共有多少種不同的排法的問題，共有6種不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的對象

叫做元素.

室習(xí)必登及迎上教

解決這一問題可分兩個步驟：第1步，確定參加上午活動的同學(xué)，從3人中任選1人，有3種方法；第2步，確

定參加下午活動的同學(xué)，當(dāng)參加上午活動的同學(xué)確定后，參加下午活動的同學(xué)只能從余下的2人中去選，于是有2種方

法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，在3名同學(xué)中選出2名，按照參加上午活動在前，參加下午活動在后的順序排列的不同方法

共有3X2=6種，如圖1.2—1所示.

上午下午相應(yīng)的排法

一"一乙甲乙

叩V--

—丙甲丙

一甲乙甲

乙

~~~一丙乙丙

一甲丙甲

丙

乙丙乙

把上面問題中被取的對象叫做元素，于是問題可敘述為：從3個不同的元素a,b中任取2個，然后按照一定的

順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是ab,ac,ba,bc,ca,cb,

共有3X2=6種.

問題2.從1,2,3,4這4個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？

分析：解決這個問題分三個步驟：第一步先確定左邊的數(shù)，在4個字母中任取1個，有4種方法；第二步確定中間的數(shù),

從余下的3個數(shù)中取，有3種方法；第三步確定右邊的數(shù)，從余下的2個數(shù)中取，有2種方法.

由分步計數(shù)原理共有：4X3X2=24種不同的方法，用樹型圖排出，并寫出所有的排列.由此可寫出所有的排法.

顯然，從4個數(shù)字中，每次取出3個，按“百”“十”“個”位的順序排成一列，就得到一個三位數(shù).因此有多少種不

同的排列方法就有多少個不同的三位數(shù).可以分三個步驟來解決這個問題：

第1步，確定百位上的數(shù)字，在1,2,3,4這4個數(shù)字中任取1個，有4種方法；

第2步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的3個數(shù)字中去取，有3種方法；

第3步，確定個位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后，個位的數(shù)字只能從余下的2個數(shù)字中去取，有2種方

法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從1,2,3,4這4個不同的數(shù)字中，每次取出3個數(shù)字，按“百”“十”“個”位的順

序排成一列，共有

4X3X2=24

123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,

312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432。

同樣，問題2可以歸結(jié)為：

從4個不同的元素a,b,c,d中任取3個，然后按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？

所有不同排列是

abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bed,bda,bdc,

cab,cad,cba,cbd,eda,edb,dab,dac,dba,dbc,dca,deb.

共有4X3X2=24種.

樹形圖如下

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2.排列的概念：

從〃個不同元素中，任取加（，〃《〃）個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從〃個

不同元素中取出m個元素的二個建烈.

說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；

（2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同.

3.排列數(shù)的定義：

從〃個不同元素中，任取加（相<〃）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從〃個元素中取出加元素的排列數(shù)，用符號4”表

示.注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從〃個不同元素中，任取"2個元素按照一定的順序排成一列，不是

數(shù)；“排列數(shù)”是指從〃個不同元素中，任取相（m<n）個元素的所有排列的個數(shù)，是?個數(shù).所以符號4：只表示排列

數(shù)，而不表示具體的排列.

4.排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：

由記的意義：假定有排好順序的2個空位，從〃個元素％,a2.中任取2個元素去填空，一個空位填一個元素，

每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)

找.由分步計數(shù)原理完成上述填空共有〃（八-1）種填法，=1）.

由此，求可以按依次填3個空位來考慮，.?.="（〃-1）（九一2）,

求以按依次填加個空位來考慮=〃（〃-1）（〃-2）（n-m+1）,

排列數(shù)公式：

第1位第2位第3位第m位

=〃（〃一1）（〃一2）（n—777+1）

fttf

nn-1n~2n-m*-}

（GH）圖G5

說明：（1）公式特征：第一個因數(shù)是〃，后面每一個因數(shù)比它前面一個

少1,最后一個因數(shù)是〃一機+1,共有6個因數(shù)；

（2）全排列：當(dāng)"二42時即〃個不同元素全部取出的?個排列.

全排列數(shù)：A；=〃（〃-1）（九-2）24=〃！（叫做n的階乘）.

另外，我們規(guī)定0!=1.

例1.用計算器計算：（1）4；（2）A；；（3）7+記.

解：用計算器可得：

（1）10|SHIFT|國4=5040；

（2）18|SHIFT|國5=1028160；

（3）18|SHIF^廚18臼13ISHIFF畫13=1028160.

里習(xí)必備____jars

由（2）（3）我們看到，那么，這個結(jié)果有沒有一般性呢？即

QA；_〃！

（〃-加）「

排列數(shù)的另一個計算公式：

4"=〃（/7—1）（〃一2）（〃一機+1）

n(n-l)(n-2)(〃一加+1)(〃一根)3-2-1_n\_4；

(n-m)(n-m-l)3-2-1(n-m)!A：二二

n\

即然二

(n-m)!

例2.解方程：3H=241+66.

解：由排列數(shù)公式得：3x(x-l)(x-2)=2(x+l)x+6x(x-l),

x3>3(%—l)(x—2)=2(x+1)+6(x—1)>即3x~—17x+10=0,

2

解得關(guān)=5或x=-,???xN3,且XGN*,.?.原方程的解為x=5.

3

例3.解不等式：段>6閔一2.

9!

解：原不等式即

(9-%)!(11-x)!

1

也就是>------------------------->化簡得:X*2-321X+104>0,

(9-x)!(11—x),(10—x),(9—x)!

解得x<8或x>13,又<24冗<9,且XEN*,

所以，原不等式的解集為{2,3,4,5,6,7}.

(2卅

例4.求證：(1)Af：：；(2)巖=1?3?5(2〃-1).

2-n\

證明：(1)?4；二:=——:—(n-/〃)！="！=A；,原式成立.

,(2〃)！2”?(2〃-1>(2〃-2)4?321

(2)2"-n\~

—1)21(2.—1)(2”—3)3」

-r-n\

?M-3(2〃-3)(2〃—1)…。公.+

=----------------------------------=1?3?3(2〃一1n)=右邊

n\

里習(xí)必備_____藥ffiE載

二原式成立.

說明：（1）解含排列數(shù)的方程和不等式時要注意排列數(shù)中，且機4〃這些限制條件，要注意含排列數(shù)

的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍；

（2）公式=〃（〃-1）（〃一2）（〃一機+1）常用來求值，特別是機,〃均為已知時，公式4"=——:一，常用

（n-m）!

來證明或化簡.

123n—1.,

例5.化簡：⑴—I----1-----1-H------；（2）lxl!+2x2!+3x3!++〃x〃!.

2!3!4!〃！

,,111111

⑴解：原式=1!——+-------+-------+T-----------------

2!2!3!3!4!(H-1)!nn\

⑵提示：由(〃+l)!=(〃+l)〃!=〃x〃!+〃！，得〃x〃！=(〃+l)!—〃！，

原式=("+1)!—1.

n-{_11

說明:

〃！(?2-1)!〃!

第二課時

例1.（課本例2）.某年全國足球甲級（A組）聯(lián)賽共有14個隊參加，每隊要與其余各隊在主、客場分別比賽一次，共

進行多少場比賽？

解：任意兩隊間進行1次主場比賽與1次客場比賽，對應(yīng)于從14個元素中任取2個元素的一個排列.因此，比賽的總

場次是A：=14X13=182.

例2.（課本例3）.（1）從5本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？

（2）從5種不同的書中買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？

解：（1）從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對應(yīng)于從5個不同元素中任取3個元素的一個排列，因此不

同送法的種數(shù)是用=5X4X3=60.

（2）由于有5種不同的書，送給每個同學(xué)的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學(xué)每人各1本書的不

同方法種數(shù)是5X5X5=125.

例8中兩個問題的區(qū)別在于：（1）是從5本不同的書中選出3本分送3名同學(xué)，各人得到的書不同，屬于求排

列數(shù)問題；而（2）中，由于不同的人得到的書可能相同，因此不符合使用排列數(shù)公式的條件，只能用分步乘法計數(shù)原理

進行計算.

例3.（課本例4）.用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析：在本問題的。到9這10個

數(shù)字中，因為。不能排在百位上，而其他數(shù)可以排在任意位置上，因此。是一個特殊的元素.一般的，我們可以從特殊元素

的排列位置人手來考慮問題

解法1:由于在沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，百位上的數(shù)字不能是0,因

此可以分兩步完成排列.第1步，排百位上的數(shù)字，可以從1到9這九個數(shù)字

中任選1個，有4種選法；第2步，排十位和個位上的數(shù)字，可以從余下

的9個數(shù)字中任選2個，有&種選法（圖1.2—5）.根據(jù)分步乘法計數(shù)

原理，所求的三位數(shù)有

里習(xí)必備_____藥ffiE載

4?W=9X9X8=648(個)

解法2：如圖1.2—6所示，符合條件的三位數(shù)可分成3類.每一位數(shù)字都不是位數(shù)有A母個，個位數(shù)字是0的

三位數(shù)有揭個，十位數(shù)字是0的三位數(shù)有揭個.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)有

閔+4+蜀=648個.

解法3:從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字的排列數(shù)為禺)，其中0在百位上的排列數(shù)是蜀，它們的差就是用

這10個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)，即所求的三位數(shù)的個數(shù)是

品-宿=10X9X8-9X8=648.

對于例9這類計數(shù)問題，可用適當(dāng)?shù)姆椒▽栴}分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解題方法.解法1根據(jù)

百位數(shù)字不能是。的要求，分步完成選3個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件事，依據(jù)的是分步乘法計數(shù)原理；解法2以

0是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標(biāo)準(zhǔn)，分類完成這件事情，依據(jù)的是分類加法計數(shù)原理；解法3是一種逆向思考方法：先求

出從10個不同數(shù)字中選3個不重復(fù)數(shù)字的排列數(shù)，然后從中減去百位是。的排列數(shù)(即不是三位數(shù)的個數(shù))，就得到?jīng)]有重

復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù).從上述問題的解答過程可以看到，引進排列的概念，以及推導(dǎo)求排列數(shù)的公式，可以更加簡便、快

捷地求解“從n個不同元素中取出m(mWn)個元素的所有排列的個數(shù)”這類特殊的計數(shù)問題.

1.1節(jié)中的例9是否也是這類計數(shù)問題？你能用排列的知識解決它嗎？

四、課堂練習(xí)：

―吟貝心⑹丁?%，⑷&

2.與4.4不等的是()(A)繪(B)818(O10/(D)Ao

3.若4=2反，則m的值為()(A)5(8)3(C)6(D)7

2反+3附(m-1)!

4.計算：~~~~端.(加-〃)「

9!-Ao

+1)?

5.若2<^——*442,則"2的解集是.

心T--------

6.(1)已知A《=10x9xx5,那么機=_；⑵已知9!=36288(),那么可=_；

(4)已知片=7^_.那么〃=

(3)已知A；=56,那么〃=4

7.一個火車站有8股岔道，停放4列不同的火車，有多少種不同的停放方法(假定每股岔道只能停放1列火車)？

8.一部紀(jì)錄影片在4個單位輪映，每一單位放映1場，有多少種輪映次序？

答案：1.B2.B3.A4.1,15.{2,3,4,5,6}

6.(1)6(2)181440(3)8(4)57.16808.24.

里曰必備_jwfflrg

教學(xué)反思：

排列的特征：一個是“取出元素”；二是“按照一定順序排列”，“一定順序”就是與位置有關(guān)，這也是判斷一個問題

是不是排列問題的重要標(biāo)志。根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，且僅當(dāng)兩個排列的元素完全相同，而且元素的排列順序也相

同.了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法，從中體會“化歸”的數(shù)學(xué)思想，并能運用排列數(shù)公式進行計算。

對于較復(fù)雜的問題，一般都有兩個方向的列式途徑，一個是“正面湊”，一個是“反過來剔”.前者指，按照要求，一點

點選出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，選出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去.了解排列數(shù)的意義，

掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法，從中體會“化歸”的數(shù)學(xué)思想，并能運用排列數(shù)公式進行計算。

第三課時

例1.（1）有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？

（2）有5種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？

解：（1）從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對應(yīng)于從5個元素中任取3個元素的一個排列，因此不同送法的種

數(shù)是：6=5x4x3=60,所以，共有60種不同的送法.

（2）由于有5種不同的書，送給每個同學(xué)的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學(xué)，每人各1本書的不同

方法種數(shù)是：5x5x5=125,所以，共有125種不同的送法.

說明：本題兩小題的區(qū)別在于：第（1）小題是從5本不同的書中選出3本分送給3位同學(xué)，各人得到的書不同，屬于求排

列數(shù)問題；而第（2）小題中，給每人的書均可以從5種不同的書中任選1