圓與圓的位置關(guān)系教案

252圓與圓的位置關(guān)系

導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解圓與圓的位置關(guān)系的種類

2.掌握圓與圓的位置關(guān)系的代數(shù)判定方法與兒何判定方法，能夠利用上述方法判定兩圓的位

置關(guān)系

3.體會根據(jù)圓的對稱性靈活處理問題的方法和它的優(yōu)越性

【自主學(xué)習(xí)】

知識點兩圓位置關(guān)系的判定

(1)用幾何法判定圓與圓的位置關(guān)系

已知兩圓Ci：(X—%i)2+(y—yi)2=/f,

Cl：(X—X2)2+。一/)2=6,

則圓心距d=IG0=叱陽一愈)2+8一竺)2..

兩圓C”C2有以下位置關(guān)系：

位置關(guān)系相離內(nèi)含相交內(nèi)切外切

圓心距與半

d>r\+r24/<|n—r|\r\-r^<d<r\+rid=，L聞d-r\-\-rz

徑的關(guān)系2

圖示o

(2)用代數(shù)法判定圓與圓的位置關(guān)系

12

已知兩圓：Cl：x+y+Dix+Ely+Fi=0,

Ci：x2+_y2+Dir+E2y+/72—0,

1

將方程聯(lián)立5（f++V）+,2O+i。x"++Ei3y+，+F尸i2=0。,,

消去y（或x）得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程,

則①判別式/>0時，G與C2相交；

②判別式/=0時，G與C2外切或內(nèi)切;

③判別式/<0時，Ci與C2相離或內(nèi)含.

2

【合作探究】

探究一兩圓位置關(guān)系的判斷

【例1】已知圓M-.W+y2-2砂=03>0)截直線x+y=O所得線段的長度是2小，則圓M

與圓N：1)2=1的位置關(guān)系是()

A.內(nèi)切B.相交

C.外切D.相離

【答案】B

X2+y2_2ay=0,

解析由J得兩交點分別為(0,0),(一〃，a).

[x+y=0,

???圓M截直線所得線段的長度為26，

y[a^+(-af=2y12,

又a>0,/?tz=2.

.,.圓M的方程為f+y?—4y=0,

即『+。-2)2=4,圓心為M(0,2),半徑為n=2.

又圓N：(x-l)2+。一1/=1,圓心為半徑為廠2=1,

|MA1=y(0-1>+(2—1)2=啦.

Vr|-r2=l,ri+r2=3,\<\MN\<3,

，兩圓相交.

歸納總結(jié)：判斷圓與圓的位置關(guān)系的一般步驟

(1)將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程(若圓方程已是標(biāo)準(zhǔn)形式，此步驟不需要).

(2)分別求出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長八，r2.

(3)求兩圓的圓心距d.

3

(4)比較d與比一聞,八+七的大小關(guān)系.

(5)根據(jù)大小關(guān)系確定位置關(guān)系.

【練習(xí)1】已知圓G：W+V-Zr+dy+dMO和圓C2：4/+4/一16x+8y+19=0,則這兩

個圓的公切線的條數(shù)為()

A.1或3B.4C.0D.2

【答案】D

解析由圓Ci：(x—1產(chǎn)+(丫+2)2=1,圓C2：(x—2)2+(y+lp=；,

得G(l,-2),C2(2,-1),

；?IGC2l=4(2-1產(chǎn)+(-1+2)2==.

又n=1,「2=5，

則r\-r2<\C\C-A<r\+ri,

...圓G與圓C2相交.

故這兩個圓的公切線共2條.

探究二已知兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)

【例2】當(dāng)a為何值時，兩圓Ci：『+y2—2辦+4)>+〃2—5=0和C2：?r2+y2+2x—2ay+/

-3=0：

(1)外切；(2)相交；(3)相離.

解將兩圓方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程，則

Ci：(x—4尸+。+2)2=9,C2：(x+l)2+(y—a)2=4.

...兩圓的圓心和半徑分別為Ci(a,-2),八=3,C：(—1,a),2=2.

設(shè)兩圓的圓心距為d,則"2=(。+iy+(—2—〃)2=2“2+6“+5.

4

(1)當(dāng)d=5,即2/+6?+5=25時，兩圓外切，

此時a=~5或a=2.

(2)當(dāng)lVd<5,即1<2片+6。+5<25時，兩圓相交，此時一5<°<—2或一1<t?V2.

(3)當(dāng)d>5,即2層+6。+5>25時,兩圓相離，

此時a>2或“<一5.

歸納總結(jié)：(1)判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個步

驟：

①將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，寫出圓心和半徑.

②計算兩圓圓心的距離d

③通過d,八+〃，g—R的關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時可借助于圖

形，數(shù)形結(jié)合.

(2)應(yīng)用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍是非常簡單清晰的，要理清圓心距與兩

圓半徑的關(guān)系.

【練習(xí)2】若圓Ci：/+V=醛與圓C2：(x—a)2+V=l相切，則a的值為()

A.±3B.±5

C.3或5D.±3或±5

【答案】D

解析圓G與圓C2的圓心距為d=yfa2+(0—0)2=\a\.

當(dāng)兩圓外切時，有⑷=4+1=5,.?.a=±5；

當(dāng)兩圓內(nèi)切時，有⑷=4-1=3,，a=±3.

5

探究三兩圓的公共弦問題

【例3】已知兩圓x1+yz-2x+1Oy-24=0和^+/+2^+2｝；-8=0.

(1)判斷兩圓的位置關(guān)系；

(2)求公共弦所在的直線方程；

(3)求公共弦的長度.

解(1)將兩圓方程配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則

Ci：(x-1)2+。+5)2=50,

22

C2：(x+l)+(y+l)=10,

...圓G的圓心坐標(biāo)為(1,-5),半徑為n=5啦，

圓C2的圓心坐標(biāo)為(-1,-1),半徑為「2=也.

又；|GC2|=2小，n+底=5/+05,

In-rd=15^2-^101,

.■?In—廢|<。Q|<n+n,

.??兩圓相交.

(2)將兩圓方程相減,

得公共弦所在的直線方程為x—2y+4=0.

(3)方法一由(2)知圓G的圓心(1,一5)到直線x-2y+4=0的距離為:，(二'斗汽

弋1+(-2)

3小,

公共弦長為I—lyln—d2—2-\/50-45=2小.

方法二設(shè)兩圓相交于點A,B,則A,B兩點滿足方程組

\一2>+4=0,

./+./+2》+2），-8=0,

6

fx=-4,[x=0,

解得c或c

[y=0[y=2,

|A同=#(一4-0)2+(0—2)2=2小.

即公共弦長為24.

歸納總結(jié)：(1)當(dāng)兩圓相交時，公共弦所在的直線方程的求法

若圓Ci：x^+V+Oix+Eiy+Qn。與圓。2：/+丁+2苫+及丫+乃=。相交，則兩圓公共弦

所在的直線方程為(￡>i—￡>2)x+(Ei—良方+Q一尸2=0.

(2)公共弦長的求法

①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求出弦長.

②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，

根據(jù)勾股定理求解.

【練習(xí)3】(1)兩圓相交于兩點A(l,3)和仇"?，—1),兩圓圓心都在直線x—y+c=0上，則"?

+c的值為.

【答案】3

解析由題意知直線A8與直線x—y+c=0垂直，

?*-kf\BX1=-1,

即3；[-。=一]得,”=5,

???AB的中點坐標(biāo)為(3,1).

又AB的中點在直線x—y+c=0上，

；?3—l+c=0,；?c=-2,

/H+C=5-2=3.

2

(2)求圓Ci：f+V=l與圓Cz：f+y2—2x—2y+l=0的公共弦所在的直線被圓C3：(x-1)

7

+(y—1)2=亍截得的弦長.

解由題意將兩圓的方程相減，

可得圓G和圓C2公共弦所在的直線/的方程為

x+y—I=0.

又圓C3的圓心坐標(biāo)為(1,1),

其到直線/的距離為dh喂乎，

,\/r+r/

由條件知，戶一心=學(xué)一3=竽，

所以弦長為2X半=也.

探究四圓系方程及應(yīng)用

［例4］求圓心在直線%—y—4=0上，且過兩圓％2+y?一以一6=0和f+)2—4y—6=0的

交點的圓的方程.

解方法一設(shè)經(jīng)過兩圓交點的圓系方程為

f+y2-4x—G+br+y2-4y-6)=0(2#—1),

44；

即/+產(chǎn)一用一定y—6=0,

所以圓心坐標(biāo)為(義,含7).

11-A1I*A

又圓心在直線x—y—4=0上，所以占2一言V7一4=0,

即2=一；.

所以所求圓的方程為『+y2—6x+2y—6=0.

8

f^+y2—4x—6=0,

方法二由，「，，,八

Lr+y2-4y-6=0,

得兩圓公共弦所在直線的方程為y=x.

[y=x,[xi=—1,[X2=3,

由，「解得

[W+y2-4y—6=0,1%=-1，["=3.

所以兩圓f+V—4x—6=0和d+V-dy—G：。的交點坐標(biāo)分別為4-1,-1),8(3,3),

線段A8的垂直平分線所在的直線方程為)，-1=一3—1).

[y-1=—(x—1),(x=3,

由得

tx—>-4=0,ly=—1,

即所求圓的圓心為(3,-1),

半徑為d(3-3)2+[3_(_l)]2=4.

所以所求圓的方程為(X—3)2+3+1)2=16.

歸納總結(jié)：當(dāng)經(jīng)過兩圓的交點時，圓的方程可設(shè)為(x2+y2+Ax+Eiy+Q)+4/+y2+O2X

+E2y+F2)=0,然后用待定系數(shù)法求出7即可.

【練習(xí)4]求過兩圓Ci：f+V-4x+2y+l=0與C2：f+y2-6x=o的交點且過點(2,-2)

的圓的方程.

解設(shè)過兩圓G：/十/一?4x+2y+1=0與C2：/+)2—6x=0的交點的圓系方程為』+)2

—4x+2y+1+7(1+)2—6x)=0,

即(1+，)1+(1+7))2—(4+62)x+2y+1=0.

3

把(2,12)代入，得4(1+7)+4(1+/1)—2(4+62)—4+1=0,解得2=—1

圓的方程為x2+y2+2x+8y+4=0.

9

10

課后作業(yè)

A組基礎(chǔ)題

一、選擇題

1.圓。-3）2+。+2）2=1與圓/+丫2—1曲:一2），+14=0的位置關(guān)系是（）

A.外切B.內(nèi)切

C.相交D.相離

【答案】B

解析圓f+y2—14x—2y+14=0變形為（x—7）2+°，-1）2=36,圓心坐標(biāo)為（7,1）,半徑為八

=6,圓（x—3）2+°>+2）2=1的圓心坐標(biāo)為（3,—2）,半徑為-2=1,所以圓心距d=

22

^/（7-3）+［l-（-2）］=5=6-1=n-r2,所以兩圓內(nèi)切.

222

2.已知圓Ci：x+/+2r+8y-8=0與圓C2：x+y-4x~4y~2^0相交，則圓G與圓

C2的公共弦所在直線的方程為（）

A.x+2y+l=0B.x+2y—l=0

C.x~2y+1=0D.x~2y—1=0

【答案】B

解析兩個圓的方程相減，得x+2y—1=0.故選B.

3.若圓G：（尤+2）2+3—機(jī)）2=9與圓。2：（X—機(jī)）2+。+1）2=4外切，則根的值為（）

A.2B.-5

C.2或一5D.不確定

【答案】C

解析兩圓的圓心坐標(biāo)分別為（一2,m），（"［，—1）,

兩圓的半徑分別為3,2,

由題意得d（川+2>+（—1—加）2=3+2,

解得"?=2或一5.

11

4.設(shè)r>0,圓(x—l)2+(y+3)2=/與圓/+尸=16的位置關(guān)系不可能是()

A.相切B.相交

C.內(nèi)切或內(nèi)含D.外切或相離

【答案】D

解析兩圓的圓心距為d=\j(\—0)2+(—3—O)2=A/TO,

兩圓的半徑之和為r+4,

因為S6o+4,

所以兩圓不可能外切或相離，故選D.

5.若圓/與圓f+v+2r—4y+4=0有公共點，則廠滿足的條件是()

A.Y小+1B.r>小+1

C.|r-小|W1D.|/—^5|<1

【答案】C

解析由x1+y1+2x—4y+4—0,得

(x+l)2+(y-2)2=l,

兩圓圓心之間的距離為，(-1>+22=小.

?.?兩圓有公共點，

小Wr+1,

.,.小一1WrW小+1,

即一iWr一小W1,.,.|z—

6.半徑為6的圓與x軸相切，且與圓丁+0，-3)2=1內(nèi)切，則此圓的方程是()

A.(X—4)2+(J)—6)2=6

B.。+4)2+。-6)2=6或(x-4)2+。-6)2=6

C.(X—4)2+()-6)2=36

12

D.。+4)2+。-6)2=36或(x—4)2+。-6)2=36

【答案】D

解析由題意可設(shè)圓的方程為(X—4)2+()，-6)2=36,由題意，得后百=5,所以次=16,

所以a—+4.

7.設(shè)兩圓G,C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過點(4,1),則兩圓心的距離ICC,等于()

A.4B.4^2C.8D.8小

【答案】C

解析???兩圓與兩坐標(biāo)軸都相切，且都經(jīng)過點(4,1),

...兩圓圓心均在第一象限且每個圓心的橫、縱坐標(biāo)相等.

設(shè)兩圓的圓心坐標(biāo)分別為(a,a),(b,b),

則有(4—4-+(1—a)2—a2,(4—b)2+(i—b)2—b2,

即。，。為方程(4—x)2+(1—x)2=f的兩個根，

整理得f-IOx+17=O,

：.a+h=\O,ab=ll.

.,.(?-/?)2=(a+/?)2-4?/7=100-4X17=32,

|CC2|=N(a-b)2+(a-32=、32X2=8.

二、填空題

8.若圓f+y2—2辦+.2=2和*+>2—2Z?y+〃=l相離，則a,b滿足的條件是.

【答案】a2+b2>3+2yj2

解析由題意可得兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長分別為3,0),啦和(0,加，I.因為兩圓相離，所

以35Tp>立+1,

即^+/?2>3+2^2.

9.圓Ci：f+y?—2r—8=0與圓C2：9+)2+版—4)'—4=0的公共弦長為.

13

【答案】2s

解析由圓Ci與圓C2的公共弦所在的直線/的方程為x-y+1=0,得點G(l,0)到直線/的

距離為"=號魯=啦，圓Ci的半徑為n=3,所以圓Ci與圓C2的公共弦長為2后F

=R32—(g)2=2幣.

10.集合A={(x,y)|f+y2=4},B={(x,)?|。-3)2+&-4)2=產(chǎn)},其中r>0,若ADB中

有且僅有一個元素，則r的值是.

【答案】3或7

解析,??AC8中有且僅有一個元素，

圓jr+y2-4與圓(x—3)2+(y—4)2=3相切.

當(dāng)兩圓內(nèi)切時，由小可不=|2-r|,解得/'=7;

當(dāng)兩圓外切時，由小耳不=2+/，解得r=3.

；.r=3或7.

11.經(jīng)過直線x+y+l=0與圓f+V=2的交點，且過點(1,2)的圓的方程為.

3s11

【答案】『+)2一/一?，一工?=()

3

得

可2-

解析由已知可設(shè)所求圓的方程為f+y2—2+"x+y+l)=0,將(1,2)代入,4

3311

故所求圓的方程為f+.y2一獷一?，一了=0.

三、解答題

12.已知圓0|：f+°，+l)2=4,圓。2的圓心。2(2,1).

⑴若圓。2與圓。外切，求圓。2的方程；

⑵若圓。2與圓。交于A,8兩點，且|AB|=2也，求圓。2的方程.

解(1)設(shè)圓Oz半徑為ri,

因為兩圓外切，所以|。1。2|=r2+2.

14

又|OGI=^22+[1-(-1)2]=2取,

所以廠2=|0。2|—2=2(啦-1),

故圓Q的方程為。-2)2+。-1)2=12—86.

(2)設(shè)圓。2的方程為(x—2)2+(y—1)2=4,

因為圓。1的方程為X2+(>,+1)2=4,

將兩圓的方程相減，即得兩圓公共弦AB所在的直線方程為4x+4y+E-8=0,

作”為垂足，

則|4/7|=斗48|=也，

所以|。|印=、？一依//|2=也與=/

由圓心。|(0,-1)到直線4x+4y+“-8=0的距離為";=啦,

得”=4或[=20,

故圓Q的方程為

。-2)2+。-1)2=4或2)2+()，-1)2=20.

15

B組能力提升

一、選擇題

1.已知a、I是實數(shù),若圓(x-l『+(y-1)2=1與直線(。+1)%+0+1)k2=0相切,

則a+0的取值范圍是()

A.[2-272,2+272]B.-00,2-272][2+2&,+oo)

C.—2\/2Ju^2\/2,+oojD.(-co,-2]“2+2夜,+00)

【答案1B

|a+l+0+l—2|

由題設(shè)圓心C(l,1)到自:線(a+l)x+伍+1)＞一2=0的距離d=j(+]了+.+]；2=1，即

a+41,也即(a+Z?)2=/+/+2(。+與+2,因為/+/2耳(。+加2,

J(a+1)2+S+1)2

所以(0+。)2-2(〃+。)一22萬(〃+。)2,即缶+人尸一4(a+b)—4N0,解之得

。+g2+2&或a+bW2-2拒，應(yīng)選【答案】B.

\a+b\

點睛：解答本題的關(guān)鍵是借助題設(shè)條件建立方程?/122=1，然后再依據(jù)問題

J(a+1)2+3+1)2

的特征與欲求目標(biāo)之間的聯(lián)系，借助基本不等式22g(a+0)2建立了不等式

(a+b)2-2(a+b)-2>^(a+b)2,最后通過解不等式使得問題獲解.

2.已知圓C:(x—a)2+y2=4(aN2)與直線x-y+2&—2=0相切，則圓C與直線

x-y-4=0相交所得弦長為()

A.1B.V2C.2D.272

【答案】：D

【分析】

16

先根據(jù)圓C：(x-a)2+y2=4(a>2)與直線無一y+2血—2=0相切，由圓心到直線的距離

等于半徑求得a,然后再利用弦長公式I=一小求解.

【詳解】圓心到直線無一y+2返一2=0的距離為：

a+2-^2-2

0

因為圓C：(x-a)2+y2=4(。22)與直線工一^+2a—2=0相切,

L+2V2-2

所以［=1——__I

〃=2，

夜

解得。=2或a=2-40，

因為。22,

所以。=2,

所以（x—2）2+y2=4,

圓心到直線x-y-4=0的距離為：

〃=亨=夜，

72

所以圓C與直線x-y-4=0相交所得弦長為/=2護(hù)彳=2夜，

故選：D

【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系以及弦長公式，還考查了運算求解的能力，屬于

基礎(chǔ)題.

3.在直線/：y=X-1上有兩個點A、B,且A、B的中點坐標(biāo)為(4,3),線段AB的長度|=8,

則過A、B兩點且與y軸相切的圓的方程為()

17

A.(x-4『+(y-3)2=16或(H)2+(y+4)2=121

222

B.(x-2)+(y-3)=4或(12)2+(y+5)=144

C.(x-4)?+(y-3)2=16或(x-⑵?+(y+5)2=144

D.(x-2)2+(y-3)2=4或(Up+(y+4)2=121

【答案】：C

【分析】

首先求出線段AB的垂直平分線方程，設(shè)出圓心坐標(biāo)和半徑，再利用圓的弦長性質(zhì)得到圓心

坐標(biāo)和半徑，即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】由題知：線段A3的垂直平分線方程為：)一3=—(x—4),即y=—x+7.

設(shè)圓心C(a,7-a),因為圓C與丁軸相切，所以廠=同，如圖所示：

因為|A同=8,所以(a-4)2+(7—a—3『+16=/,

整理得：。2_]6。+48=0，解得。=4或。=12.

當(dāng)a=4時，圓心(4,3),廠=4,圓C(x—4)、+(y—3『=16.

當(dāng)a=12時，圓心為(12,-5),r=12，圓C:(x—12)?+(y+5)2=144.

18

故選：c

【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系中的弦長問題，數(shù)形結(jié)合為解決本題的關(guān)鍵，屬

于中檔題.

二、填空題

4.已知圓Cl：*+y2+4x+l=0和圓C2：x2+y2+2x+2y+l=0,則以圓G與圓C2的公共

弦為直徑的圓的方程為.

【答案】(x+l)2+(.y+l)2=l

解析由兩圓的方程相減，得公共弦所在直線的方程為x-y=O.

?.?圓G：(X+2)2+V=3,圓C2：(x+1)2+。+1)2=1,

圓心G(-2,0),C2(~l,-1),

，兩圓連心線所在直線的方程為品=卓,

即x+y+2=0.

x—y=0,

由‘得所求圓的圓心為(一1,—1).

x+y+2=0,

又圓心G(—2,0)到公共弦所在直線x—y=0的距離

,1-2-01

d-y[25

所求圓的半徑r=4(5)2-(g)2=1,

...所求圓的方程為a+l)2+(y+l)2=l.

5.已知4(一3,0),5(3,0),點P在圓(x—3)2+(y—4)2=4上運動，則陷之+|「砰的最

小值是.

【答案】：36

【分析】

19

由題意設(shè)尸(3+2cos&4+2sin。)，利用兩點之間的距離公式表示出〔PAf+歸周2,進(jìn)而可得

結(jié)論.

x=3+2cos0

【詳解】由題意得圓的參數(shù)方程為j_4+2sing(。為參數(shù))，設(shè)P(3+2cos0,4+2sin。)，

則|PA『=(6+2COS6)2+(4+2sin6)2=56+24cos6+16sine,

|P5|2=(2cosOf+(4+2sin=20+16sin6,

,53

：.\P^'+\PB[=76+24cos8+32sin6=76+4Osin(e+0),其中tan°=w，

當(dāng)sin(6+0)=-l時，|PA「+|P8「有最小值為36.

故【答案】為：36.

【點睛】本題主要考查兩點之間的距離公式，圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.已知圓〃：(x-l—cos6>+(y-2-sin6)2=1,直線/:&-y—Z+2=。，下面五個命

題：

①對任意實數(shù)化與。，直線/和圓M有公共點；

②存在實數(shù)上與。，直線/和圓M相切；

③存在實數(shù)％與。，直線/和圓M相離；

④對任意實數(shù)上，必存在實數(shù)。，使得直線/與和圓M相切；

⑤對任意實數(shù)。，必存在實數(shù)%,使得直線/與和圓M相切.

其中真命題的代號是(寫出所有真命題的代號).

【答案】：①②④

【分析】

20

由題意結(jié)合直線的性質(zhì)和圓性質(zhì)整理計算即可求得最終結(jié)果.

【詳解】直線-攵+2=0恒過定點(1,2),

將x=1,y=2代入(x—1—cosd)-+(y—2—si/。)-=1,等式成立，即圓過定點(1,1)，

據(jù)此可知：對任意實數(shù)左與。，直線/和圓M有公共點；存在實數(shù)氏與。，直線/和圓M相

切；不存在實數(shù)上與6,直線/和圓M相離；說法①②正確，說法③錯誤；

對任意實數(shù)上，必存在實數(shù)。，使得直線/與和圓“相切；說法④正確；

當(dāng)。=0時，圓的方程為：(x—2)2+()，—2)2=1,此時不存在實數(shù)左，使得直線/與和圓M

相切，即說法⑤錯誤.

綜上可得：真命題的代號是①②④.

【點睛】本題主要考查直線恒過定點問題，直線與圓的位置關(guān)系等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)

化能力和計算求解能力.

7.已知圓C：(x-1)2+()一21=4,若直線/：(2m-l)x+(2m+2)^-4/w-l=0(me/?)

與圓C交于A,B兩點，則弦A8長的最小值為,若圓心C到直線/的距離為且，

2

則實數(shù)機(jī)=.

5±3&

【答案】：20.4

【分析】

本題首先可根據(jù)題意得出圓心。(1,2)、半徑「=2以及直線/過定點D(L1)，然后根據(jù)當(dāng)

圓心C(l,2)到定點￡>(1,1)的線段與弦AB垂直時弦AB的長最小求出弦AB長的最小值，

最后根據(jù)圓心C到直線/的距離為立以及點到直線距離公式即可求出結(jié)果.

2

21

【詳解】因為圓。方程為(x—l『+(y—2)2=4,所以圓心c(l,2),半徑r=2，

因為直線/方程為(2m—l)x+(2根+2)y—4m—1=0,所以直線/過定點。(1,1),

故當(dāng)弦AB的長最小時，圓心C(l,2)到定點的線段與弦AB垂宜，

因為線段CD的長度為1，所以弦A8長的最小值為2丘-E=2#)，

因為圓心C到直線I的距離為昱,

2

Gl(2m-1)+2(2m+2)-4m-11

所以丁=----/.)—，

2小(2加一1)一+(2機(jī)+2)

34m24-8m+4.八

—=——彳--------，即8mn2n-207m-1=0，

48m+4m+5

故_-HO)±J(-20)24*8x(T)_5±3反

2x84

故【答案】為：2百，"3百

4

【點睛】本題考查直線與圓相交的弦的最小值的求法以及點到直線距離公式的應(yīng)用，考查根

據(jù)直線方程確定直線所經(jīng)過的定點坐標(biāo),考查根據(jù)圓的方程確定圓心與半徑，考查計算能力，

是中檔題.

三、解答題

8.求與圓C：f+)2—2x=0外切且與直線/：x+S)=0相切于點M(3,一小)的圓的方程.

解圓C的方程可化為(無-1)2+)2=1,

圓心為C(l,0),半徑為1.

設(shè)所求圓的方程為(x—a)2+(y—6)2=/(〃>0),

22

“、（〃-[1+/=r+l,

a=4

b+小x(一卓)=-1,t

解得《〃=0,

由題意可知＜a—3

|u+小目j=2.

2

故所求圓的方程為(x—4)2+y2=4.

9.已知圓M的圓心為(0,-2),且直線JL：+y=O與圓M相切.設(shè)直線/的方程為x-2y=0,

若點P在直線/上，過點P作圓M的切線R4，PB，切點為A,B.

(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)若NAPB=60°,試求點P的坐標(biāo)；

(3)若點P的坐標(biāo)為(2,1),過點P作直線與圓M交于C,O兩點，當(dāng)|CD|=0時，求直

線CD的方程；

2償A

【答案】:(1)d+("2y=1；⑵(°，°)或(5'5人⑶x+y-3=0或x+7y-9=0.

【分析】

(1)先利用直線與圓相切，求出圓的半徑，即可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)尸(2%，〃)，由題分析知RW=J(2M,+W+2)2=2,解方程即可求出陽的值，

進(jìn)而得到點P的坐標(biāo)：

(3)對直線CZ)的斜率分兩種情況討論，利用圓心M到直線CO的距離為走，即可得

2

斜率攵的值，進(jìn)而可得直線CD的方程；

【詳解】解：(1)因為直線Jlx+y=O與圓M相切，

23

|0-2|

所以圓的半徑為J（國+f

故圓加的標(biāo)準(zhǔn)方程為V+（y+2）2=1.

(2)因為乙4尸8=60"，所以NAPM=‘NAP8=30,

2

所以在用中，PM=2AM=2,

因為點尸在直線/：x-2y=0上，

不妨設(shè)點P的坐標(biāo)為（2m,?7?）,

所以PM=J（2m）2+（加+2『=2，解得機(jī)=0或2,

所以點P的坐標(biāo)為（0,0）或（1，1］

（3）①當(dāng)直線CD的斜率不存在時，其方程為x=2,此時直線8與圓M相離，不符

合題意；

②當(dāng)直線。。的斜率存在時，設(shè)其方程為y-l=Z（x—2）,

由勾股定理得，圓心M到直線CO的距離為，1/回］=,1/也