備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)模型03 最值模型（八大易錯(cuò)分析+變式訓(xùn)練+易錯(cuò)題通關(guān)）（解析版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages2727頁(yè)易錯(cuò)模型03最值模型易錯(cuò)模型一：將軍飲馬模型模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最??；（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。上圖中A’是A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。模型2.求多條線段和（周長(zhǎng)）最小值【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）臺(tái)球兩次碰壁模型1）已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.2）已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·廣東廣州·?？家荒＃┤鐖D，在C中，的面積為，，平分，E、F分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，解答此類問(wèn)題時(shí)要從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過(guò)角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值．過(guò)點(diǎn)C作，垂足為H，交于F點(diǎn)，過(guò)F點(diǎn)作，垂足為，則為所求的最小值，根據(jù)的面積為，，結(jié)合三角形的面積公式求出，即可解答．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為H，交于F點(diǎn)，過(guò)F點(diǎn)作，垂足為，則為所求的最小值，∵是的平分線，∴，∴是點(diǎn)C到直線的最短距離（垂線段最短），∵的面積為，，∴，∵的最小值是．故選：D．例2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊上，且，F(xiàn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為．

【答案】【分析】連接交于一點(diǎn)F，連接，根據(jù)正方形的對(duì)稱性得到此時(shí)最小，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，連接交于一點(diǎn)F，連接，

∵四邊形是正方形，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，此時(shí)最小，∵正方形的邊長(zhǎng)為4，∴，∵點(diǎn)E在上，且，∴，即的最小值為故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形，點(diǎn)、、、均在坐標(biāo)軸上，，點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．【答案】A【分析】直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小屬“將軍飲馬”模型，由D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B，連接BE，則線段BE的長(zhǎng)即是PD+PE的最小值．【詳解】如圖：連接BE，∵菱形ABCD，∴B、D關(guān)于直線AC對(duì)稱，，∵直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小∴根據(jù)“將軍飲馬”模型可知BE長(zhǎng)度即是PD+PE的最小值．∵菱形ABCD，，點(diǎn)，∴，，∴∴△CDB是等邊三角形∴∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴,且BE⊥CD，∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查菱形性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形用勾股定理求線段長(zhǎng)．練習(xí)2．（2023·山東濟(jì)寧·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，是的直徑，點(diǎn)C、D是上的點(diǎn)．且，分別與、相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若的半徑為5，，點(diǎn)P是線段上任意一點(diǎn)，則的最小值是．

【答案】【分析】利用圓周角定理得到，再證明，然后根據(jù)垂徑定理得，，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，交于，連接，如圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)的值最小，再計(jì)算出，作于，如圖，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出，從而得到的最小值．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，交于，連接，如圖，

∵，∴，∴由兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)的值最小，∵，∴，∴，∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，作于，如圖，則，則，在中，，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了垂徑定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問(wèn)題．練習(xí)3．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，且，則的最小值是___．【答案】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)F，連接，交于點(diǎn)O，連接，過(guò)點(diǎn)F作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由題意易得，則有，然后可得四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可得，推出，勾股定理求出的長(zhǎng)即可得解．【詳解】解：作點(diǎn)A關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)F，連接，交于點(diǎn)O，連接，過(guò)點(diǎn)F作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖所示：由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：，，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，則的最小值即為的長(zhǎng)，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴∴，∴即的最小值為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定、勾股定理及等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．1．已知，在內(nèi)有一定點(diǎn)P，點(diǎn)M，N分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，若的周長(zhǎng)最小值為3，則的長(zhǎng)為（）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出符合條件的圖形，求出，得出等邊三角形，求出，求出的周長(zhǎng)，即可求出答案．【詳解】解：作P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)D，作P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E，連接交于M，交于N，連接，則此時(shí)的周長(zhǎng)最小，連接，∵P、D關(guān)于對(duì)稱，∴，同理，∴，∵P、D關(guān)于對(duì)稱，∴，∵，∴，同理，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵的周長(zhǎng)是，∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形．2．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為（

）A．8 B． C．10 D．【答案】A【分析】根據(jù)得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，利用“將軍飲馬”模型將進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)O為的中點(diǎn)，由題意可知，點(diǎn)E在以為直徑的半圓O上運(yùn)動(dòng)，作半圓O關(guān)于的對(duì)稱圖形（半圓），點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)為，連接,則，∴當(dāng)點(diǎn)D、P、、共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)，如圖所示，在中，，，，又，，即的最小值為8，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查線段和最短問(wèn)題、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理及圓周角定理，利用“將軍飲馬”模型將進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)解題的關(guān)鍵．3．如圖，正方形中，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，若，，則的最小值是．

【答案】【分析】連接，在上取一點(diǎn)，使，連接，，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，可得，可確定的最小值是的長(zhǎng)，再求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：連接，在上取一點(diǎn)，使，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，

∴，∴的最小值是的長(zhǎng)．在中，，，即為等腰直角三角形，∴，∵，∴，在中，由勾股定理，得，∴的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查最短路線問(wèn)題，解題中涉及正方形的性質(zhì)，全等三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)“將軍飲馬問(wèn)題”利用軸對(duì)稱將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用一條線段的長(zhǎng)表示的最小值是解題的關(guān)鍵．4．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為6，是邊上的中線，M是上的動(dòng)點(diǎn)，E是邊上一點(diǎn)，若，求的最小值．

【答案】【分析】連接，與交于點(diǎn)M．則就是的最小值，在直角中，求得的長(zhǎng)，即可．【詳解】解：連接，與交于點(diǎn)．∵等邊中，是邊上的中線，∴是的中垂線，∴==的最小值．過(guò)點(diǎn)C作，

∵等邊的邊長(zhǎng)為6，，∴，，，，∴∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)間線段最短，連接，從而把兩線段和的最小值轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線段最短是本題的關(guān)鍵．易錯(cuò)模型二：將軍飲馬模型（遛馬造橋）模型1.將軍遛馬模型【核心思路】去除定量，組合變量（通過(guò)幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）?！灸Ｐ徒庾x】已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：圖1圖2（1）如圖1，過(guò)A點(diǎn)作AC∥m,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。（2）如圖2，過(guò)A點(diǎn)作AE∥m,且AE長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，作B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。模型2.將軍過(guò)橋（造橋）模型【核心思路】去除定量，組合變量（通過(guò)幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）。【模型解讀】【單橋模型】已知，如圖1將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)河去往B點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：橋建在何處能使路程最短？考慮MN長(zhǎng)度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問(wèn)題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過(guò)平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在A’位置（圖2）．問(wèn)題化為求A’N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖3）．圖1圖2圖3【雙橋模型】已知，如圖4，將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)兩條河去往B點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：橋建在何處能使路程最短？圖4圖5圖6考慮PQ、MN均為定值，所以路程最短等價(jià)于AP+QM+NB最小，對(duì)于這彼此分離的三段，可以通過(guò)平移使其連接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB為A'Q+QM+MB'．（如圖5）當(dāng)A'、Q、M、B'共線時(shí)，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次確定P、N位置．（如圖6）【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．【答案】10【分析】延長(zhǎng)BC到G，使CG＝EF，連接FG，證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出CE＝FG，得出當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小，根據(jù)勾股定理求出AG即可．【詳解】解：延長(zhǎng)BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，得出當(dāng)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小，是解題的關(guān)鍵．例2．（2023.廣東八年級(jí)專項(xiàng)訓(xùn)練）如圖所示，某條護(hù)城河在處角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從處到達(dá)處，須經(jīng)過(guò)兩座橋（橋?qū)挷挥?jì)，橋與河垂直），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北走向的，恰當(dāng)?shù)卦鞓蚩墒沟降穆烦套疃?，?qǐng)確定兩座橋的位置．

【答案】見解析【分析】由于含有固定線段“橋”，需要將點(diǎn)向下平移至點(diǎn)，點(diǎn)向右平移至點(diǎn)，構(gòu)造平行四邊形進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖所示，將點(diǎn)向下平移至點(diǎn)，使的長(zhǎng)等于河寬，將點(diǎn)向右平移至點(diǎn)，使的長(zhǎng)等于河寬；連接，與河岸相交于點(diǎn)，；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，即為兩橋的位置．

，【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱—最短路徑問(wèn)題，由于有固定的長(zhǎng)度的線段，常用的方法通過(guò)平移，構(gòu)造平行四邊形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平行四邊形的問(wèn)題解答．練習(xí)1．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，矩形中，，是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動(dòng)；若，則的最小值為____________．【答案】【分析】如圖，作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時(shí)GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：如圖，作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時(shí)GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點(diǎn)，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，∴，即的最小值為．故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，確定GE+CF最小時(shí)E，F(xiàn)位置是解題關(guān)鍵．練習(xí)2．（2023·廣西·二模）已知，在河的兩岸有A，B兩個(gè)村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，則AM+BN的最小值為(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．【答案】A【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′＝BN；根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此時(shí)AM+BN＝AB′．【詳解】解：如圖，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′＝BN．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，，在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱—最短路徑問(wèn)題，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，但許多實(shí)際問(wèn)題沒(méi)這么簡(jiǎn)單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題．目前，往往利用對(duì)稱性、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．練習(xí)3．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，M、N分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是________．

【答案】【分析】由可知為定長(zhǎng)，在、間滑動(dòng)，故由造橋選址模型進(jìn)行平移，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離加上定長(zhǎng)，再利用特殊角構(gòu)造直角三角形，使用勾股定理求出兩點(diǎn)間距離．【詳解】作交于點(diǎn)E，在取，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，作于點(diǎn)，如下圖：

，，為等邊三角形，，，，四邊形為平行四邊形，同理得四邊形與四邊形為平行四邊形，，，，，中，，中，，的最小值是．【點(diǎn)睛】本題考查平移類最短路徑，為造橋選址模型，即沿一個(gè)方向平移的定長(zhǎng)線段兩端到兩個(gè)定點(diǎn)距離和最小，解題時(shí)需要理清楚是否含有定長(zhǎng)平移線段，且利用平移求出最短路徑位置．求解長(zhǎng)度時(shí)若有特殊角，通常采用構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解的方法．1、（2023秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中將沿射線平移，得到，連接、．求的最小值為______．【答案】【分析】將△ABC沿射線CA平移到△AB′C′的位置，連接C′E、AE、DE，證出四邊形ABGE和四邊形EGCD均為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平移圖形的性質(zhì)，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，當(dāng)點(diǎn)C′、E、D在同一直線時(shí)，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即為EC+GC的最小值．【詳解】如圖，將△ABC沿射線CA平移到△AB′C′的位置，連接C′E、AE、DE，∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四邊形ABGE和四邊形EGCD均為平行四邊形，∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作圖易得，點(diǎn)C與點(diǎn)C′關(guān)于AE對(duì)稱，C′E=CE，又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，當(dāng)點(diǎn)C′、E、D在同一直線時(shí)，C′E+ED最小，此時(shí)，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8，C′D=，即EC+GC的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、圖形的對(duì)稱性、線段最短和平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是將兩條線段的和轉(zhuǎn)化為同一條線段求解．2、（2023安徽中考學(xué)二模）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝60°，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，且EF＝2，連接AE、AF，則△AEF周長(zhǎng)的最小值是（

）A．4 B．4+ C．2+2 D．6【答案】D【分析】作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，連接CH交BD于F，則AE+AF的值最小，進(jìn)而得出△AEF周長(zhǎng)的最小值即可．【詳解】解：如圖作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，連接CH交BD于F，則AE+AF的值最小，即△AEF的周長(zhǎng)最?。逜H＝EF，AH∥EF，∴四邊形EFHA是平行四邊形，∴EA＝FH，∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，在Rt△CAH中，CH＝∴AE+AF的最小值4，∴△AEF的周長(zhǎng)的最小值＝4+2＝6，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題最小值，構(gòu)造輔助線轉(zhuǎn)化相關(guān)的線段是解題關(guān)鍵．3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形的邊在軸上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，線段軸，且點(diǎn)坐標(biāo)為，若菱形沿軸左右運(yùn)動(dòng)，連接、，則運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形周長(zhǎng)的最小值是________．【答案】13+【分析】由題意可知AD、EF是定值，要使四邊形周長(zhǎng)的最小，AE＋DF的和應(yīng)是最小的，運(yùn)用“將軍飲馬”模型，根據(jù)點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)A作AF1∥DF，當(dāng)O，A，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)，AE+DF=OA+AF1=OF1，為所求線段和的最小值，再求四邊形周長(zhǎng)的最小值．【詳解】∵點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，∴OC＝4，OD＝3，∴在Rt△COD中，CD＝5，∵四邊形是菱形，∴AD＝CD＝5，∵坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，線段軸，∴EF＝8，連接OA，過(guò)點(diǎn)A作AF1∥DF交EF于點(diǎn)F1，則四邊形ADFF1是平行四邊形，F(xiàn)F1=AD=5，∴EF1=EF-FF1=3，∵點(diǎn)E，O關(guān)于AD對(duì)稱，∴OA=AE，當(dāng)O，A，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)，AE+DF=OA+AF1=OF1，為所求線段和的最小值，在Rt△OEF1中，OF1＝，∴四邊形周長(zhǎng)的最小值：AD＋EF＋AE＋DF＝AD＋EF＋OF1＝5＋8＋＝13+．【點(diǎn)睛】本題考查菱形，勾股定理，平移，軸對(duì)稱，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，平移圖形全等性，軸對(duì)稱性質(zhì)．易錯(cuò)模型三：費(fèi)馬點(diǎn)模型【模型解讀】結(jié)論1：如圖，點(diǎn)M為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM，當(dāng)M與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角為120°時(shí)，MA+MB+MC的值最小。注意：上述結(jié)論成立的條件是△ABC的最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)就是最大角的頂點(diǎn)A。（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）【模型證明】以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最?。藭r(shí)，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．費(fèi)馬點(diǎn)的作法：如圖3，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短。結(jié)論2：點(diǎn)P為銳角△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）【模型證明】第一步，選定固定不變線段；第二步，對(duì)剩余線段進(jìn)行縮小或者放大。如：保持BP不變，xAP+yBP+zCP=，如圖，B、P、P2、A2四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值。模型特征：PA+PB+PC（P為動(dòng)點(diǎn)）①一動(dòng)點(diǎn)，三定點(diǎn)；②以三角形的三邊向外作等邊三角形的，再分別將所作等邊三角形最外的頂點(diǎn)與已知三角形且與所作等邊三角形相對(duì)的頂點(diǎn)相連，連線的交點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；③同時(shí)線段前可以有不為1的系數(shù)出現(xiàn)，即：加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)。例1．（2023·廣東深圳·二模）如圖，是等邊三角形，M是正方形ABCD對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，，（點(diǎn)N在AB的左側(cè)），當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為______．【答案】【分析】首先通過(guò)SAS判定，得出，因?yàn)?,得出是等邊三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM，而且為最小值，我們可以得出EC=，作輔助線，過(guò)點(diǎn)E作交CB的延長(zhǎng)線于F，由題意求出，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，在中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長(zhǎng)為．【詳解】∵為正三角形，∴，∴∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，∴∴．在和中，∴（SAS）∴在中，又∵，∴為等邊三角形，∴．∵AM+BM+CM最小值為．∴EN+MN+CM的最小值為即CE=．過(guò)點(diǎn)E作交CB的延長(zhǎng)線于F，可得．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BF=，．在，∵，∴解得（負(fù)值舍去）．∴正方形的邊長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形和正方形邊相等的性質(zhì)，全等三角形的判定，靈活使用輔助線，掌握直角三角的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．【答案】【分析】以BM為邊作等邊△BMN，以BC為邊作等邊△BCE，如圖，則△BCM≌△BEN，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到CM=NE，進(jìn)而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到BH⊥AE，AH=EH，根據(jù)30°直角三角形三邊的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】以BM為邊作等邊△BMN，以BC為邊作等邊△BCE，則BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．難度比較大．作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答本題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2023·成都實(shí)外九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，P是內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值為______．【答案】【分析】將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，將轉(zhuǎn)化為，此時(shí)當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為BD的長(zhǎng)；根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，連接PF、AD、DB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD，∴△PCF、△ACD是等邊三角形，∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=∴，∴當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為BD的長(zhǎng)；∵，∠CAD=，∴∠EAD=，∴，∴，∴，∴，∴的值最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，將三條線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化到一條直線上．練習(xí)2．（2023·廣東廣州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，線段AD上存在一點(diǎn)Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時(shí)，則PD=________．【答案】【分析】如圖1，將△BQC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接QN，當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)Q，點(diǎn)N，點(diǎn)M共線時(shí)，QA+QB+QC值最小，此時(shí)，如圖2，連接MC，證明AM垂直平分BC，證明AD=BD，此時(shí)P與D重合，設(shè)PD=x，則DQ=x-2，構(gòu)建方程求出x可得結(jié)論．【詳解】解：如圖1，將△BQC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接QN，∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，∴△BQN是等邊三角形，∴BQ=QN，∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)Q，點(diǎn)N，點(diǎn)M共線時(shí)，QA+QB+QC值最小，此時(shí)，如圖2，連接MC∵將△BQC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，∴△BQN是等邊三角形，△CBM是等邊三角形，∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，∵BM=CM，AB=AC，∴AM垂直平分BC，∵AD⊥BC，∠BQD=60°，∴BD=QD，∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，∴AD=BD，此時(shí)P與D重合，設(shè)PD=x，則DQ=x-2，∴x=，∴x=3+，∴PD=3+．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．1．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．【答案】【分析】以BM為邊作等邊△BMN，以BC為邊作等邊△BCE，如圖，則△BCM≌△BEN，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到CM=NE，進(jìn)而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到BH⊥AE，AH=EH，根據(jù)30°直角三角形三邊的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】以BM為邊作等邊△BMN，以BC為邊作等邊△BCE，則BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．難度比較大．作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答本題的關(guān)鍵．2．（2021·山東濱州·中考真題）如圖，在中，，，．若點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為____________．【答案】【分析】根據(jù)題意，首先以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，作出圖形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根據(jù)勾股定理可以求得CB′的值，從而可以解答本題．【詳解】以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，連接BB′、PP′，，如圖所示，則∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，∴△APP′是等邊三角形，∴AP=PP′，∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，∵PP′+P′B′+PC≥CB′，∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2，∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB?cos∠BAC=2×cos30°=，∴CB′=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問(wèn)題、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合的思想．3．（2021·遼寧丹東·中考真題）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________；若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________．【答案】5【分析】①作出圖形，過(guò)分別作,勾股定理解直角三角形即可②作出圖形，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，P為的費(fèi)馬點(diǎn)則四點(diǎn)共線，即，再用勾股定理求得即可【詳解】①如圖,過(guò)作，垂足為,過(guò)分別作,則,P為的費(fèi)馬點(diǎn)5②如圖：.將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60由旋轉(zhuǎn)可得：是等邊三角形，P為的費(fèi)馬點(diǎn),即四點(diǎn)共線時(shí)候，=故答案為：①5，②【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)的圖形是解題的關(guān)鍵．本題旋轉(zhuǎn)也可，但必須繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．易錯(cuò)模型四：胡不歸模型【模型解讀】一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最小．（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問(wèn)題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。例1．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，，點(diǎn)M在線段上，且．點(diǎn)P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）°；（2）的最小值為．【答案】2【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得到，又由得到是等邊三角形，則，即可得到答案；（2）過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)F，證明，進(jìn)一求解即可得到答案．【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，故答案為：．（2）過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)F，

在中，由（1）知：，∴，∴，在矩形中，，∵，∴，在中，，∴，∴的最小值為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、含的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、含的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·陜西西安·校考二模）如圖，在菱形中，，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】過(guò)作，由菱形，，得到為平分線，求出，在中，利用角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得到，故，求出的最小值即為所求最小值，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)最小，求出即可．【詳解】解：過(guò)作，菱形，，，，即為等邊三角形，，在中，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，，，，在中，，則的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2023·重慶·九年級(jí)期中）如圖所示，菱形的邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線的長(zhǎng)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．4 B．5 C． D．解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，的最小值為4，故選：．練習(xí)2．（2023·山東淄博·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是，點(diǎn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上移動(dòng)時(shí)，始終保持是等邊三角形（點(diǎn)P不在第二象限），連接，求得的最小值為（

）A． B．4 C． D．2【答案】C【分析】如圖1所示，以O(shè)A為邊，向右作等邊△AOD，連接PD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OA于E，先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后證明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，則點(diǎn)P在經(jīng)過(guò)點(diǎn)D且與AD垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸時(shí)，如圖2所示，證明此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-2）從而求出直線PD的解析式；如圖3所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接PG，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于F，設(shè)直線PD與x軸的交點(diǎn)為H，先求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，然后證明∠HCO=30°，從而得到，則當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即有最小值，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求出點(diǎn)G在x軸上，則OG即為所求．【詳解】解：如圖1所示，以O(shè)A為邊，向右作等邊△AOD，連接PD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OA于E，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；∵△ABP是等邊三角形，△AOD是等邊三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，∴點(diǎn)P在經(jīng)過(guò)點(diǎn)D且與AD垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸時(shí)，如圖2所示，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∵△ABP是等邊三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-2），設(shè)直線PD的解析式為，∴，∴，∴直線PD的解析式為；如圖3所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接PG，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于F，連接CG，設(shè)直線PD與x軸的交點(diǎn)為H，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為，∴，∴∠OCH=30°，∴，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知AP=GP，∴，∴當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即有最小值，∵A、G兩點(diǎn)關(guān)于直線PD對(duì)稱，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即點(diǎn)D為AG的中點(diǎn)，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴AG=2AD=2OA=4，∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG是等邊三角形，∵OC=OA，∴OG⊥AC，即點(diǎn)G在x軸上，∴由勾股定理得，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)時(shí)，有最小值，即有最小值，最小值即為OG的長(zhǎng)，∴的最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，解直角三角形等等，正確作出輔助線確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．練習(xí)3．（2023.重慶九年級(jí)期中）如圖，在中，，，，若是邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B．6 C． D．3解：過(guò)點(diǎn)作射線，使，再過(guò)動(dòng)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，如圖所示：在中，，，，當(dāng)，，在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長(zhǎng)，此時(shí)，，是等邊三角形，，在中，，，，，，，，的最小值為3，故選：．1．如圖，在中，，若D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)C作射線，使，再過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)F，連接，在中，當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作射線，使，再過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)F，連接，如圖所示：在中，，∴，∵＝，∴當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長(zhǎng)，此時(shí)，，∴是等邊三角形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為12，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查垂線段最短、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造胡不歸模型，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，連接PD，則的最小值是（

）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，根據(jù)，求出的最小值即可解決問(wèn)題．【詳解】解：連接BC，過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H．∵二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)，∴b＝2，∴二次函數(shù)的解析式為，令y＝0，-x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），令x＝0，y=3，∴B（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，-1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，設(shè)，則,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值為，∴的最小值為4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，是解題的關(guān)鍵．3．如圖，?中，，，為邊上一點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】作PH丄AD交AD的延長(zhǎng)線于H，由直角三角形的性質(zhì)可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，當(dāng)H、P、B三點(diǎn)共線時(shí)HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，

四邊形是平行四邊形，，∴∵PH丄AD∴∴，，∴當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，HP+PB有最小值，即有最小值，此時(shí)，，，∴，則最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了胡不歸問(wèn)題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)．構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．已知拋物線過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為拋物線上位于直線下方的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)解析式為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)存在，最小值為【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的交點(diǎn)式，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求解即可；（2）作軸，交于點(diǎn)，通過(guò)設(shè)和的坐標(biāo)，利用“割補(bǔ)法”表示出，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可；（3）將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并過(guò)點(diǎn)作其垂線，垂足為，分別連接，，，構(gòu)造出含角的直角三角形，然后轉(zhuǎn)換為求得最小值，繼而確定當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，滿足取得最小值，此時(shí)利用含角的直角三角形的性質(zhì)分段求解再相加即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意，設(shè)拋物線解析式為，其中，∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，將代入，解得：，∴，∴拋物線的解析式為，∵對(duì)稱軸為直線，∴將代入，得：，∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：∵，，∴直線的解析式為：，∵點(diǎn)在拋物線上，且位于直線下方，∴設(shè)，其中，，如圖所示，作軸，交于點(diǎn)，∴，∴，∵，，，∴，∴，整理可得：，其中，∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，將代入，得：，∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）解：存在最小值，理由如下：如下圖所示，將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并過(guò)點(diǎn)作其垂線，垂足為，分別連接，，，則，，

∴在中，，∴隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，總有，∴，要使得取得最小值，即要使得取得最小值，如下圖，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，滿足取得最小值，

此時(shí)，，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴存在最小值，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合面積問(wèn)題，以及利用“胡不歸”模型構(gòu)造三角形求線段和最值問(wèn)題，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用函數(shù)思想解決圖形面積問(wèn)題是解題關(guān)鍵．易錯(cuò)模型五：阿氏圓模型【模型解讀】如圖1所示，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說(shuō)明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。如圖3所示：注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問(wèn)題中，我們見識(shí)了“k·PA+PB”最值問(wèn)題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說(shuō)的“阿氏圓”問(wèn)題．【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題。例1．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，圓C半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接最小值__________．最小值__________．【答案】

；

．【分析】如圖，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD=1，連結(jié)AD，可證△PCD∽△BCP．可得PD=BP，當(dāng)點(diǎn)A，P，D在同一條直線時(shí)，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CA=6，根據(jù)勾股定理AD==即可；在AC上取CE=，△PCE∽△ACP．可得PE=AP，當(dāng)點(diǎn)B，P，E在同一條直線時(shí)，BP+AP的值最小，在Rt△BCE中，由CE=，CB=4，根據(jù)勾股定理BE=即可．【詳解】解：如圖，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD=1，連結(jié)AD，∵CP=2，BC=4，∴，∴，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD，當(dāng)點(diǎn)A，P，D在同一條直線時(shí)，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，∵CD=1，CA=6，∴AD==，∴AP+BP的最小值為．故答案為：在AC上取CE=，連接CP，PE∵∴又∵∠PCE=∠ACP，∴△PCE∽△ACP．∴，∴PE=AP，∴BP+AP=BP+PE，當(dāng)點(diǎn)B，P，E在同一條直線時(shí)，BP+AP的值最小，在Rt△BCE中，∵CE=，CB=4，∴BD=，∴BP+AP的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，構(gòu)造相似三角形解決比例問(wèn)題，勾股定理，掌握?qǐng)A的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是引輔助線準(zhǔn)確作出圖形是解題關(guān)鍵．例2．（2023春·江蘇·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為2，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是．【答案】2【分析】解法1，如圖：以為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，連接，，連接、，推得，因?yàn)椋蟪黾纯汕蟪龃鸢福夥?：如圖：連接、、，在上做點(diǎn)，使，連接，證明，在上做點(diǎn)，使，連接，證明，接著推導(dǎo)出，最后證明，即可求解．【詳解】解法1：如圖：以為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，連接，，∴，，四邊形正方形，又，在與中，故答案為：2．解法2如圖：連接、、根據(jù)題意正方形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為2，在上做點(diǎn)，使，則，連接在與中，，則在上做點(diǎn)，使，則，連接在與中，，則如圖所示連接在與中，，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形，勾股定理等知識(shí)，難度較大，熟悉以上知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用是解題關(guān)鍵．練習(xí)1．（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=8，E為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且AE=4，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，CF=2，連接EF，ED，則EFED的最小值為()A．6 B．4 C．4 D．6【答案】A【分析】如圖（見解析），在AD邊上取點(diǎn)H，使得，連接EH、FH，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出，從而可得，然后利用三角形的三邊關(guān)系定理、兩點(diǎn)之間線段最短可得取得最小值時(shí)，點(diǎn)E的位置，最后利用勾股定理求解即可得．【詳解】如圖，在AD邊上取點(diǎn)H，使得，連接EH、FH四邊形ABCD是正方形，，，即又，即由三角形的三邊關(guān)系定理得：由題意得：點(diǎn)E的軌跡是在以點(diǎn)A為圓心，AE長(zhǎng)為半徑的圓上由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)E位于FH與圓A的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，最小值為，在中，由勾股定理得即的最小值為故選：A．【點(diǎn)睛】本題是一道較難的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．練習(xí)2．（2022·湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，⊙B的半徑為2，點(diǎn)P是⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD﹣PC的最大值為_____．【答案】5【詳解】分析:由PD?PC＝PD?PG≤DG，當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD?PC的值最大，最大值為DG＝5．詳解:在BC上取一點(diǎn)G，使得BG＝1，如圖，∵，，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD?PC的值最大，最大值為DG＝＝5．故答案為5點(diǎn)睛:本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考?jí)狠S題．練習(xí)3．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，，半徑為2的圓內(nèi)切于．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意，本題屬于動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題-“阿氏圓”模型，首先作于，作于，如圖所示，通過(guò)代換，將轉(zhuǎn)化為，得到當(dāng)與相切時(shí)，取得最大值和最小值，分兩種情況，作出圖形，數(shù)形結(jié)合解直角三角形即可得到相應(yīng)最值，進(jìn)而得到取值范圍．【詳解】解：作于，作于，如圖所示：，，，，，，，，當(dāng)與相切時(shí)，取得最大和最小，①連接，，，如圖1所示：可得：四邊形是正方形，，在中，，，在中，，，即；②連接，，，如圖2所示：可得：四邊形是正方形，，由上同理可知：在中，，，在中，，，即，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值模型-“阿氏圓”，難度較大，掌握解決動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題的方法，熟記相關(guān)幾何知識(shí)，尤其是圓的相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）

A．7 B．5 C． D．【答案】B【詳解】思路引領(lǐng)：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質(zhì)證明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解決問(wèn)題．答案詳解：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，

∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．2．（2023·湖南·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為．【答案】【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形構(gòu)造PB即可解答．【詳解】解：設(shè)⊙O半徑為r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點(diǎn)I，連接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，∴當(dāng)A、P、I在一條直線上時(shí)，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB?BE＝3，∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．【點(diǎn)睛】本題是“阿氏圓”問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形．3．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為2，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是．【答案】2【分析】解法1，如圖：以為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，連接，，連接、，推得，因?yàn)?，求出即可求出答案．解?：如圖：連接、、，在上做點(diǎn)，使，連接，證明，在上做點(diǎn)，使，連接，證明，接著推導(dǎo)出，最后證明，即可求解．【詳解】解法1如圖：以為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，連接，，∴，，四邊形正方形，又，在與中，故答案為：2．解法2如圖：連接、、根據(jù)題意正方形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為2，在上做點(diǎn)，使，則，連接在與中，，則在上做點(diǎn)，使，則，連接在與中，，則如圖所示連接在與中，，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形，勾股定理等知識(shí)，難度較大，熟悉以上知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用是解題關(guān)鍵．5．問(wèn)題提出：如圖①，在中，，，，的半徑為，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接，求的最小值．(1)嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接，在上取一點(diǎn)，使，則．又，所以．所以．所以，所以．請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：的最小值為；(2)自主探索：在“問(wèn)題提出”的條件不變的前提下，求的最小值；(3)拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，，，，，是上一點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用勾股定理即可求得本題答案；（2）連接，在上取點(diǎn)，使，則有，可證，得到，即，從而的最小值為；（3）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，可證，得到，得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，得到最小值．【詳解】（1）解：如圖連接，∵，要使最小，∴當(dāng)最小，當(dāng)點(diǎn)在同一條直線時(shí)，最小，∴的最小值為，在中，，，∴，∴的最小值為，故答案為：；（2）解：如圖連接，在上取點(diǎn)，使，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：；（3）解：如圖延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，∴，連接，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似三角形判定及性質(zhì)，最值得確定．易錯(cuò)模型六：瓜豆模型（直線）【模型解讀】瓜豆原理：若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同。動(dòng)點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學(xué)進(jìn)程影響，估只對(duì)瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。主動(dòng)點(diǎn)叫瓜，從動(dòng)點(diǎn)叫豆，瓜在直線上運(yùn)動(dòng)，豆也在直線_上運(yùn)動(dòng)；瓜在圓周上運(yùn)動(dòng)，豆的軌跡也是圓。古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為直線1）如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？解析：當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線．理由：分別過(guò)A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？解析：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。理由：當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段?！咀钪翟怼縿?dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí)，利用“垂線段最短”求最值。1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡已知時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡未知時(shí)，先確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，再垂線段最短求最值。3）確定動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法（重點(diǎn)）=1\*GB3①當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；=2\*GB3②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；=3\*GB3③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；④觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等特殊位置考慮；⑤若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法不都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、矩形對(duì)角線、全等、相似）為其他已知軌跡的線段求最值。例1．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值是（）

A．24 B．22 C．20 D．18【答案】B【分析】通過(guò)證明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四邊形ACGH的周長(zhǎng)即為AB+AC+GH，進(jìn)而可確定當(dāng)MH⊥AB時(shí)，四邊形ACGH的周長(zhǎng)有最小值，證明四邊形ACGH為矩形可得HG的長(zhǎng)，進(jìn)而可求解．【詳解】∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四邊形ACGH的周長(zhǎng)＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴當(dāng)GH最小時(shí)，即MH⊥AB時(shí)四邊形ACGH的周長(zhǎng)有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH＝8，∴四邊形ACGH的周長(zhǎng)最小值為14+8＝22，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，確定GH的值是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)為高上的動(dòng)點(diǎn)．連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長(zhǎng)的最小值是．

【答案】/【分析】根據(jù)題意，證明，進(jìn)而得出點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)交于點(diǎn)，則，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即，進(jìn)而求得，即可求解．【詳解】解：∵為高上的動(dòng)點(diǎn)．∴∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，∴∴∴，∴點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，

作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)交于點(diǎn)，則在中，，則，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即∵，，∴∴在中，,∴周長(zhǎng)的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱求線段和的最值問(wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定以及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．則的最小值是（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】以CD為邊作等邊三角形CDE，連接EQ，由題意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，進(jìn)而可得△PCD≌△QED，則有∠PCD=∠QED=90°，然后可得點(diǎn)Q是在QE所在直線上運(yùn)動(dòng)，所以CQ的最小值為CQ⊥QE時(shí)，最后問(wèn)題可求解．【詳解】解：以CD為邊作等邊三角形CDE，連接EQ，如圖所示：∵是等邊三角形，∴，∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），∵，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴∠PCD=∠QED=90°，，∴點(diǎn)Q是在QE所在直線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)CQ⊥QE時(shí)，CQ取的最小值，∴，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問(wèn)題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2023上·福建廈門·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方形中，，，E為上一點(diǎn)．且，F(xiàn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接，將繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，其中點(diǎn)B、點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)H、點(diǎn)G，連接和，則的最小值為（

）．

A． B．3 C． D．【答案】C【分析】如圖，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于J．首先證明，推出點(diǎn)G的在射線上運(yùn)動(dòng)，推出當(dāng)時(shí)，的值最小，證明四邊形是矩形，進(jìn)一步推出，則，即可得到的最小值為．【詳解】解：如圖，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于J．

∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)G的在射線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形得到動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．練習(xí)3.（2023上·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是正方形對(duì)角線所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊作等腰（點(diǎn)，，按逆時(shí)針排序），則長(zhǎng)的最小值為（）

A． B． C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和題干給定的是以為斜邊作等腰直角三角形，證明，得到進(jìn)一步證明，得到，由正方形的性質(zhì)得點(diǎn)H為的中點(diǎn)，有點(diǎn)F在的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，的值最小．【詳解】解：連接交于點(diǎn)G，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，如圖，

∵四邊形是正方形，∴，，，∵是以為斜邊作等腰直角三角形，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，則，∵，∴，∴，∴，則，∴，∵點(diǎn)G為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)H為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F在的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，∵，∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，的值最小，此時(shí)．即長(zhǎng)的最小值為2．故答案選：D．【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)和垂線段最短，利用相似的邊長(zhǎng)比證明對(duì)應(yīng)三角形邊長(zhǎng)的相似比，并找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．1．（2023上·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，，分別是，的中點(diǎn)，則的最小值為（

）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.8【答案】D【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理，垂線段最短的性質(zhì)．連接，作于點(diǎn)H．由三角形中位線的性質(zhì)得，由垂線段最短可知當(dāng)最小，即點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)的值最小，然后利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：連接，作于點(diǎn)H．

∵點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴當(dāng)最小，即點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)的值最?。O(shè)，則，∵，∴，∴，∴的最小值為4.8．故選D．2．（2023上·廣東廣州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長(zhǎng)為4，，點(diǎn)E是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則線段長(zhǎng)度的最小值等于（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，在上截取，使，連接，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，證明，得出，點(diǎn)F在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F與H重合時(shí)，的值最小，求出最小值即可．【詳解】解：連接，在上截取，使，連接，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，如圖所示：

∵四邊形是正方形，∴，，，∴，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴點(diǎn)F在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F與H重合時(shí)，的值最小，∵，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，得出點(diǎn)F在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F與H重合時(shí)，的值最小，是解題的關(guān)鍵．3．（2022·河南南陽(yáng)·二模）如圖所示，，，于點(diǎn)B，點(diǎn)D是線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且于點(diǎn)D，，連接CE，則CE長(zhǎng)的最小值是______．【答案】3【分析】在BC上截取，構(gòu)造相似，可得出，過(guò)C點(diǎn)作CH⊥EQ可得出即可求出CE的長(zhǎng)【詳解】解：在BC上截取，則，中，，∵，∴在中，，∴∴，，∴，∴，∴，∴的角度固定不變，∴CH為CE的最小值．過(guò)C點(diǎn)作CH⊥EQ∴∠CHQ=∠ABQ=90°∵∴∠CQH=∠QAB∴，∵，∴，CE的最小值是3.【點(diǎn)睛】本題主要考查相似的性質(zhì)與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)模型七：瓜豆模型（圓）【模型解讀】模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧模型1-1.如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．Q點(diǎn)軌跡是？如圖，連接AO，取AO中點(diǎn)M，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-3.定義型：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動(dòng)態(tài)翻折中）如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，則動(dòng)點(diǎn)P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。模型1-4.定邊對(duì)定角（或直角）模型1）一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。鐖D，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB=90°，則動(dòng)點(diǎn)P是以AB為直徑的圓或圓弧。2）一條定邊所對(duì)的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓?。鐖D，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓弧?！灸Ｐ驮怼縿?dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。例1．（2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長(zhǎng)的最大值為．【答案】/【分析】作，使得，，則，，，由，推出，即（定長(zhǎng)），由點(diǎn)是定點(diǎn)，是定長(zhǎng)，點(diǎn)在半徑為1的上，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，作，使得，，則，，，，，，，，，即（定長(zhǎng)），點(diǎn)是定點(diǎn)，是定長(zhǎng)，點(diǎn)在半徑為1的上，，的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系、軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．例2．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，是正方形邊的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，線段以為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的最小值為．

【答案】【分析】連接，將以中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，由的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，可得：的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，再根據(jù)“圓外一定點(diǎn)到圓上任一點(diǎn)的距離，在圓心、定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)，三點(diǎn)共線時(shí)定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間的距離最短”，所以當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，可求，從而可求解．【詳解】解，如圖，連接，將以中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，

的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，如圖，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，四邊形是正方形，，，是的中點(diǎn)，，，由旋轉(zhuǎn)得：，，，的值最小為．故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段最小值問(wèn)題，掌握相關(guān)的性質(zhì)，根據(jù)題意找出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2023上·江蘇連云港·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知矩形為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，若點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則的最小值為．

【答案】【分析】在矩形外，以邊為斜邊作等腰直角三角形，，再以點(diǎn)O為圓心，為半徑作，點(diǎn)P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，所以點(diǎn)P在的劣弧上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，所以，，則，所以當(dāng)最小時(shí)，最小，然后連接，交于P，此時(shí)，最小，則也最小，最后過(guò)點(diǎn)O作于E，交延長(zhǎng)線于F，利用勾股定理求出，的長(zhǎng)，從而求得，即可求解．【詳解】解：在矩形外，以邊為斜邊作等腰直角三角形，，再以點(diǎn)O為圓心，為半徑作，如圖，

∵點(diǎn)P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，∴點(diǎn)P在的劣弧上運(yùn)動(dòng)，∵點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，∴，，∴∴當(dāng)最小時(shí)，，連接，交于P，此時(shí)，最小，則也最小，在中，∵，，∴，∴，過(guò)點(diǎn)O作于E，交延長(zhǎng)線于F，∴，∵，，∴∵矩形∴∴∴四邊形正方形，∴，∴，在中，由勾股定理，得，∴∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓滿的性質(zhì)，勾股定理，作出輔助圓，得出取最小值的點(diǎn)P位置是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2023下·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）問(wèn)題提出：（1）如圖①，在中，，，，則的長(zhǎng)為__________；問(wèn)題探究：（2）如圖②，已知矩形，，，點(diǎn)P是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，連接，求線段的最小值；問(wèn)題解決：（3）如圖③所示，我市城市綠化工程計(jì)劃打造一片四邊形綠地，其中，，，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，且，，為了美化環(huán)境，要求四邊形的面積盡可能大，求綠化區(qū)域面積的最大值．【答案】（1）4；（2）；（3）【分析】（1）作于點(diǎn)H，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，，然后利用銳角三角函數(shù)的知識(shí)可求得的長(zhǎng)；（2）由題意可知，點(diǎn)P在以為直徑，以的中點(diǎn)O為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)O，P，C共線時(shí)，線段的值最小，利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可求解；（3）延長(zhǎng)、，相交于點(diǎn)F．由，求出，作交于點(diǎn)G，作于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，可得，設(shè)，求出，所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，綠化區(qū)域的面積最大，求出的面積即可求解．【詳解】（1）如圖1，作于點(diǎn)H．∵，，，∴，．∵，∴．故答案為：4；（2）如圖2，∵，∴點(diǎn)P在以為直徑，以的中點(diǎn)O為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)O，P，C共線時(shí)，線段的值最?。撸?，∴，∴段的值最小值；（3）如圖3，延長(zhǎng)、，相交于點(diǎn)F．∵，∴，∴，∵，，∴，∴．作交于點(diǎn)G，作于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，，∴，∴當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，綠化區(qū)域的面積最大．當(dāng)E在的中點(diǎn)時(shí)，的面積最大．連接，交于點(diǎn)H，則．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，難度較大，屬中考?jí)狠S題．1．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，A是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（）A． B．4 C． D．6【答案】A【分析】以為邊向上作等邊三角形，連接，證明得到，分析出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓，在求出點(diǎn)D到線段的最大距離，即可求出面積的最大值．【詳解】解：如圖，以為邊向上作等邊三角形，連接，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓，要使的面積最大，則求出點(diǎn)D到線段的最大距離，∵是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，∴點(diǎn)M到的距離為，∴點(diǎn)D到的最大距離為，∴的面積最大值是，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓的問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是利用構(gòu)造全等三角形找到動(dòng)