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文檔簡介
山西省晉中市段純中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知中,分別是角所對的邊,若則角B的大小為A.
B.
C.
D.參考答案:C運(yùn)用正弦定理,將邊角關(guān)系統(tǒng)一為角的關(guān)系,經(jīng)恒等變形化簡解得,.選C.2.已知實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C3.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則下列命題: (1)若數(shù)列是遞增數(shù)列,則數(shù)列也是遞增數(shù)列; (2)數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù); (3)若是等差數(shù)列(公差),則的充要條件是 (4)若是等比數(shù)列,則的充要條件是 其中,正確命題的個(gè)數(shù)是(
) A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)參考答案:B4.“”是“直線與直線互相垂直”的(
)A.充要條件;B.充分不必要條件;C.必要不充分條件;D.既不充分也不必要條件.參考答案:B5.設(shè)α、β為兩個(gè)不同的平面,直線l?α,則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 參考答案:A【考點(diǎn)】直線與平面垂直的性質(zhì);必要條件、充分條件與充要條件的判斷. 【專題】計(jì)算題. 【分析】面面平行的判定定理:一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.根據(jù)題意由判斷定理得l⊥β?α⊥β.若α⊥β,直線l?α則直線l⊥β,或直線l∥β,或直線l與平面β相交,或直線l在平面β內(nèi).由α⊥β,直線l?α得不到l⊥β,所以所以“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件. 【解答】解:面面平行的判定定理:一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直. 因?yàn)橹本€l?α,且l⊥β 所以由判斷定理得α⊥β. 所以直線l?α,且l⊥β?α⊥β 若α⊥β,直線l?α則直線l⊥β,或直線l∥β,或直線l與平面β相交,或直線l在平面β內(nèi). 所以“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件. 故答案為充分不必要. 【點(diǎn)評(píng)】解決此類問題的關(guān)鍵是判斷充要條件可以先判斷命題的真假,最好用?來表示,再轉(zhuǎn)換為是什么樣的命題,最后轉(zhuǎn)化是什么樣的條件. 6.設(shè),
,,則的大小關(guān)系為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B7.變量x,y滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)z=3|x|+|y﹣2|的取值范圍是()A.[1,8] B.[3,8] C.[1,3] D.[1,6]參考答案:A【考點(diǎn)】7C:簡單線性規(guī)劃.【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用z的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【解答】解:變量x,y滿足約束條件,對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:∴x≥0,y≤2,∴z=3|x|+|y﹣2|=3x﹣y+2,由z=3x﹣y+2得y=3x﹣z+2,平移直線y=3x﹣z+2,由圖象可知當(dāng)直線y=3x﹣z+3經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),直線y=3x﹣z+3的截距最大,此時(shí)z最小,由,解得A(0,1),此時(shí)zmin=3×0﹣1+2=1,當(dāng)直線y=3x﹣z+2經(jīng)過點(diǎn)B(2,0)時(shí),直線y=3x﹣z+2的截距最小,此時(shí)z最大,此時(shí)zmax=3×2﹣0+2=8,故1≤z≤8,故選:A.8.已知集合M={-1,1},則滿足M∪N={-1,1,2}的集合N的個(gè)數(shù)是()A.1
B.2C.3
D.4參考答案:D解析:依題意,得滿足M∪N={-1,1,2}的集合N有{2},{-1,2},{1,2},{-1,1,2},共4個(gè).9.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù),可得該幾何體的表面積是()A.9π B.10π C.11π D.12π參考答案:D【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.【專題】計(jì)算題.【分析】由題意可知,幾何體是由一個(gè)球和一個(gè)圓柱組合而成的,依次求表面積即可.【解答】解:從三視圖可以看出該幾何體是由一個(gè)球和一個(gè)圓柱組合而成的,其表面為S=4π×12+π×12×2+2π×1×3=12π故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生的空間想象能力,是基礎(chǔ)題.10.平行四邊形ABCD中,AB=AD=2,?=﹣2,+=,則?的值為()A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2參考答案:A【考點(diǎn)】9R:平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【分析】由題意利用兩個(gè)向量的加減法的法則,以及其幾何意義,兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式求得?的值.【解答】解:如圖:平行四邊形ABCD中,∵AB=AD=2,?=﹣2,+=,∴M為CD的中點(diǎn),∴=?(+)=?(﹣)=﹣=﹣2﹣=﹣4,故選:A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.規(guī)定矩陣A3=A?A?A,若矩陣,則x的值是
.參考答案:【考點(diǎn)】二階行列式的定義.【專題】計(jì)算題.【分析】按照規(guī)定的矩陣運(yùn)算,進(jìn)行化簡,利用矩陣相等的概念,列出關(guān)于x的方程,并解出x即可.【解答】解:==,∴3x=1,x=故答案為:【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩陣的運(yùn)算,方程思想,屬于基礎(chǔ)題.12.如圖所示,在正三角形ABC中,D、E、F分別為各邊的中點(diǎn),I為DE的中點(diǎn),G、H分別在FC、EC上,且,將△ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐后,異面直線GH與BI所成的角的余弦值為__________
參考答案:答案:
13.執(zhí)行右下程序框圖,其輸出結(jié)果為___
__。參考答案:14.兩個(gè)正整數(shù)的公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù),叫做互質(zhì)數(shù),例如:2與7互質(zhì),3與4互質(zhì),在2,3,4,5,6,7的任一排列中使相鄰兩數(shù)都互質(zhì)的不同排列方式共有
種(用數(shù)字作答)。參考答案:7215.已知向量,,若向量,則實(shí)數(shù)的值是
.參考答案:-316.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講選做題)圓C:(θ為參數(shù))的圓心到直線l:(t為參數(shù))的距離為
.參考答案:217.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈,若存在非零實(shí)數(shù)使得對于任意,有,則稱為M上的高調(diào)函數(shù)。現(xiàn)給出下列命題:①函數(shù)為R上的1高調(diào)函數(shù);②函數(shù)為R上的高調(diào)函數(shù);③如果定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為上的m高調(diào)函數(shù),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是.其中正確的命題是
。(寫出所有正確命題的序號(hào))參考答案:②③略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.成都市為增強(qiáng)市民的環(huán)保意識(shí),面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.(Ⅰ)若從第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參廣場的宣傳活動(dòng),應(yīng)從第3,4,5組各抽取多少名志愿者?(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,決定在這6名志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn),求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率.參考答案:【知識(shí)點(diǎn)】等可能事件的概率;頻率分布直方圖.(Ⅰ)應(yīng)從第3,4,5組中分別抽取3人,2人,1人.(Ⅱ)概率為解:第3組的人數(shù)為0.3×100=30,
第4組的人數(shù)為0.2×100=20,
第5組的人數(shù)為0.1×100=10.…………3分因?yàn)榈?,4,5組共有60名志愿者,所以利用分層抽樣的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每組抽取的人數(shù)分別為:第3組:×6=3;第4組:×6=2;第5組:×6=1.所以應(yīng)從第3,4,5組中分別抽取3人,2人,1人.…………6分(2)記第3組的3名志愿者為A1,A2,A3,第4組的2名志愿者為B1,B2,第5組的1名志愿者為C1.則從6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15種.…………8分其中第4組的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有9種,………10分所以第4組至少有一名志愿者被抽中的概率為…………12分【思路點(diǎn)撥】Ⅰ)先分別求出這3組的人數(shù),再利用分層抽樣的方法即可得出答案;(Ⅱ)從6名志愿者中抽取2名志愿者有15種情況,其中第4組的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中有9種情況,再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出.【典型總結(jié)】熟練掌握頻率分布直方圖、分層抽樣的定義、古典概型的概率計(jì)算公式、互斥事件及相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C1的參數(shù)方程為,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線C1與曲線C2兩交點(diǎn)所在直線的極坐標(biāo)方程;(2)若直線l的極坐標(biāo)方程為,直線l與y軸的交點(diǎn)為M,與曲線C1相交于A,B兩點(diǎn),求的值.參考答案:(1);(2)【分析】(1)先將和化為普通方程,可知是兩個(gè)圓,由圓心的距離判斷出兩者相交,進(jìn)而得相交直線的普通方程,再化成極坐標(biāo)方程即可;(2)先求出l的普通方程有,點(diǎn),寫出直線l的參數(shù)方程,代入曲線:,設(shè)交點(diǎn)兩點(diǎn)的參數(shù)為,,根據(jù)韋達(dá)定理可得和,進(jìn)而求得的值?!驹斀狻?1)曲線的普通方程為:曲線的普通方程為:,即由兩圓心的距離,所以兩圓相交,所以兩方程相減可得交線為,即.所以直線的極坐標(biāo)方程為.(2)直線的直角坐標(biāo)方程:,則與軸的交點(diǎn)為直線的參數(shù)方程為,帶入曲線得.設(shè)兩點(diǎn)的參數(shù)為,所以,,所以,同號(hào).所以【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo),參數(shù)方程和普通方程的互化和用參數(shù)方程計(jì)算長度,是常見考題。20.(本小題滿分14分)已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間和最小值;(2)若對任意恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值.參考答案:【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;函數(shù)恒成立問題.B11B12
【答案解析】(1)函數(shù)在上遞增,在上遞減,最小值為(2)4
解析:(1),。有,函數(shù)在上遞增
…..3分有,函數(shù)在上遞減
…..5分在處取得最小值,最小值為
…..6分(2)∵2f(x)≥﹣x2+mx﹣3,即mx≤2x?lnx+x2+3,又x>0,∴,令,令h'(x)=0,解得x=1或x=﹣3(舍)當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h'(x)<0,函數(shù)h(x)在(0,1)上遞減當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h'(x)>0,函數(shù)h(x)在(1,+∞)上遞增,∴h(x)max=h(1)=4.即m的最大值為4.【思路點(diǎn)撥】(l)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性和極值之間的關(guān)系即可求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)利用不等式恒成立,進(jìn)行參數(shù)分離,利用導(dǎo)數(shù)即可求出實(shí)數(shù)m的最大值.21.某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響,在若干地區(qū)各投入萬元廣告費(fèi)用,并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從開始計(jì)數(shù)的.(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長方形的寬度;(Ⅱ)估計(jì)該公司投入萬元廣告費(fèi)用之后,對應(yīng)銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值);(Ⅲ)該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:廣告投入x(單位:萬元)12345銷售收益y(單位:萬元)232
7表中的數(shù)據(jù)顯示,與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系,請將(Ⅱ)的結(jié)果填入空白欄,并計(jì)算y關(guān)于的回歸方程.回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為=,=﹣.參考答案:【考點(diǎn)】線性回歸方程.【分析】(Ⅰ)由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1,建立方程,即可求得結(jié)論;(Ⅱ)利用組中值,求出對應(yīng)銷售收益的平均值;(Ⅲ)利用公式求出b,a,即可計(jì)算y關(guān)于x的回歸方程.【解答】解:(Ⅰ)設(shè)長方形的寬度為m,由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1,可知(0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02)m=1,∴m=2;…(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可知個(gè)小組依次是[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),其中點(diǎn)分別為1,3,5,7,9,11,對應(yīng)的頻率分別為0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04,故可估計(jì)平均值為1×0.16+3×0.20+5×0.28+7×0.24+9×0.08+11×0.04=5;(8分)(Ⅲ)空白欄中填5.由題意可知,=3,=3.8,xiyi=69,xi2=55,∴b==1.2,=﹣=3.8﹣1.2×3=0.2,∴y關(guān)于x的回歸方程為y=1.2x+0.2.…(12分)【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖,考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用,本題解題的關(guān)鍵是看出這組變量是線性相關(guān)的,進(jìn)而正確運(yùn)算求出線性回歸方程的系數(shù),本題是一個(gè)中檔題.22.(本題滿分8分)某服裝生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額,擬在2015年度進(jìn)行一系列促銷活動(dòng),經(jīng)過市場調(diào)查和測算,服裝的年銷量萬件與年促銷萬元之間滿足關(guān)系式(
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