福建省莆田市石碼中學高三數學理下學期摸底試題含解析

福建省莆田市石碼中學高三數學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知為第二象限角，，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：2.下列有關命題的說法正確的是A．命題“若則”的逆否命題為真命題.B．函數的定義域為.C．命題“使得”的否定是：“均有”.

D．“”是“直線與垂直”的必要不充分條件.參考答案：A3.在中，，，，的面積為，則A．

B．

C．

D．參考答案：C4.設是兩條不同直線，是兩個平面，則的一個充分條件是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：Ｃ5.從一群游戲的孩子中隨機抽出k人，每人分一個蘋果，讓他們返回繼續(xù)游戲。過一會兒，再從中任取m人，發(fā)現其中有n個孩子曾分過蘋果，估計參加游戲的孩子的人數為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B6.已知雙曲線的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率的取值范圍是A.(1,2] B．(1,2) C．[2,+) D．(2,+)參考答案：C7.下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個圓形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則A.p1＝p2B.p1＝p3C.p2＝p3D.p1＝p2＋p3

參考答案：A解答：取,則，∴區(qū)域Ⅰ的面積為，區(qū)域Ⅲ的面積為，區(qū)域Ⅱ的面積為，故.

8.已知某幾何體的三視圖如圖，其中正視圖中半圓

(

)半徑為1，則該幾何體體積為

A．

B．C．

D．參考答案：A9.已知函數f(x)＝|lgx|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，則a＋b的取值范圍是()A．(1，＋∞)

B．1，＋∞)C．(2，＋∞)

D．2，＋∞)參考答案：C10.已知集合A={x∈R|3x+2＞0}B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0}則A∩B=A．（-，-1）

B．（-1，-）

C．（-,3）

D．(3,+)參考答案：D和往年一樣，依然的集合(交集)運算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。因為，利用二次不等式可得或畫出數軸易得：．故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知角,構成公差為的等差數列.若，則=__________.參考答案：略12.已知關于的不等式，若此不等式對于任意恒成立，則實數的取值范圍是

；若此不等式對于任意的恒成立，則實數的取值范圍是

。參考答案：13.已知和是平面內互相垂直的兩條直線，它們的交點為，動點分別在和上，且，則過三點的動圓掃過的區(qū)域的面積為__________．參考答案：18π略14.曲線的切線被坐標軸所截得線段的長的最小值為

。參考答案：答案：15.已知f（x）為奇函數，當x＜0時，f（x）=ln（﹣x）﹣3x，則曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為

．參考答案：4x+y﹣1=0

【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】設x＞0，則﹣x＜0，運用已知解析式和奇函數的定義，可得x＞0的解析式，求得導數，代入x=1，計算得到所求切線的斜率，即可求出切線方程．．【解答】解：設x＞0，則﹣x＜0，f（﹣x）=lnx+3x，由f（x）為奇函數，可得f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）=﹣lnx﹣3x，x＞0．導數為f′（x）=﹣﹣3，則曲線y=f（x）在x=1處的切線斜率為﹣4，∵f（1）=﹣3，∴．曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y+3=﹣4（x﹣1），即4x+y﹣1=0，故答案為4x+y﹣1=0．【點評】本題考查函數的奇偶性的定義的運用：求解析式，考查導數的運用：求切線的斜率，求得解析式和導數是解題的關鍵，屬于中檔題．16.（坐標系與參數方程選做題）在平面直角坐標系中，曲線和的參數方程分別為（為參數，）和（為參數），則曲線和的交點坐標為

.參考答案：曲線的方程為（），曲線的方程為，

由或（舍去），則曲線和的交點坐標為.17.已知α為第二象限角，，則cos2α=．參考答案：【考點】二倍角的正弦；同角三角函數間的基本關系．【專題】計算題；壓軸題；三角函數的求值．【分析】由α為第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，從而可求得sinα﹣cosα的值，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α．【解答】解：∵，兩邊平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α為第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=．故答案為：．【點評】本題考查同角三角函數間的基本關系，突出二倍角的正弦與余弦的應用，求得sinα﹣cosα的值是關鍵，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）（2014秋?豐臺區(qū)期末）已知函數f（x）=x+e﹣x﹣1．（Ⅰ）求函數f（x）的極小值；（Ⅱ）如果直線y=kx﹣1與函數f（x）的圖象無交點，求k的取值范圍．參考答案：考點：利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性．

專題：導數的綜合應用．分析：（Ⅰ）利用導數求出函數f（x）的單調區(qū)間，進而求出函數的極小值；（Ⅱ）先利用特殊值，判斷兩函數值的大小，再構造函數g（x）=g（x）﹣（kx﹣1），根據函數g（x）的最值來對k進行分類討論．解答：解：（Ⅰ）函數的定義域為R．∵f（x）=x+e﹣x﹣1，∴．令f′（x）=0，則x=0．當x＜0時，f′（x）＜0，當；x＞0x＞0時，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，∴當x=0時函數有極小值f′（x）極小值=f（0）=0．（Ⅱ）∵函數，當x=0時，y=k?0﹣1=﹣1，所以要使y=kx﹣1與f（x）無交點，等價于f（x）＞kx﹣1恒成立．令，即g（x）=（1﹣k）x+e﹣x，所以．①當k=1時，，滿足y=kx﹣1與f（x）無交點；②當k＞1時，，而，，所以，此時不滿足y=kx﹣1與f（x）無交點．③當k＜1時，令，則x=﹣ln（1﹣k），當x∈（﹣∞，﹣ln（1﹣k））時，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，﹣ln（1﹣k））上單調遞減上單調遞減；當x∈（﹣ln（1﹣k），+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（﹣ln（1﹣k），+∞）上單調遞增；當x=﹣ln（1﹣k）時，g（x）min=g（﹣ln（1﹣k））=（1﹣k）（1﹣ln（1﹣k））．由（1﹣k）[1﹣ln（1﹣k）]＞0得1﹣e＜k＜1，即y=kx﹣1與f（x）無交點．綜上所述當k∈（1﹣e，1]時，y=kx﹣1與f（x）無交點．點評：本題考查了，函數的最值，單調性，圖象的交點，運用了等價轉化、分類討論思想，是一道導數的綜合題，難度較大．19.（12分）已知函數是奇函數，的定義域為，當時，（為自然數的底數）（1）若函數在區(qū)間上存在極值點，求實數的取值范圍；（2）如果當時，不等式恒成立，求實數的范圍。參考答案：【知識點】導數B11【答案解析】（1）（2）（-∞，2]解析：解：x＞0時，f(x)＝?f(?x)＝

（1）當x＞0時，有，f'（x）＞0?lnx＜0?0＜x＜1；f'（x）＜0?lnx＞0?x＞1

所以f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，∞）上單調遞減，函數f（x）在x=1處取得唯一的極值．

由題意a＞0，且，解得所求實數a的取值范圍為

（2）當x≥1時，令，由題意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立

…（8分）令h（x）=x-lnx（x≥1），則，當且僅當x=1時取等號．

所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上單調遞增，h（x）≥h（1）=1＞0

因此，，g（x）在[1，+∞）上單調遞增，g（x）min=g（1）=2．

所以k≤2．所以所求實數k的取值范圍為（-∞，2]…（12分）【思路點撥】（1）求出x＞0時的解析式，確定f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，∞）上單調遞減，函數f（x）在x=1處取得唯一的極值，利用函數f（x）在區(qū)間（a＞0）上存在極值點，即可求實數a的取值范圍；

（2）令由題意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，求出g（x）min=g（1）=2，即可求實數k的取值范圍．20.設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=3，b=4，．（1）求△ABC的面積；（2）求sin（B﹣C）的值．參考答案：考點：余弦定理；同角三角函數間的基本關系；正弦定理．專題：計算題；解三角形．分析：（1）在△ABC中，依題意可求得sinC，從而可得△ABC的面積；（2）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=9+16﹣16=9可求得c，再由正弦定理=可求得sinB，繼而可求得cosB，最后利用兩角差的正弦即可求得sin（B﹣C）．解答：解：（1）在△ABC中，∵cosC=，∴sinC===．

…（2分）∴S△ABC=absinC=2．

…（5分）（2）由余弦定理可得，c2=a2+b2﹣2abcosC=9+16﹣16=9∴c=3．

…（7分）又由正弦定理得，=，∴sinB===．

…（9分）cosB==…（10分）∴sin（B﹣C）=sinBcosC﹣cosBsinC=×﹣×=．

…（12分）點評：本題考查余弦定理與正弦定理，考查同角三角函數間的基本關系，考查兩角差的正弦，屬于中檔題．21.如圖，已知中的兩條角平分線和相交于，，在上，且。

（1）證明：四點共圓；（2）證明：平分。參考答案：解：（Ⅰ）在△ABC中，因為∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA-=120°.因為AD,CE是角平分線，所以∠HAC+∠HCA=60°，

故∠AHC=120°.于是∠EHD=∠AHC=120°.因為∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四點共圓。（Ⅱ）連結BH，則BH為的平分線，得30°

由（Ⅰ）知B，D，H，E