6：曲線與曲面市公開課特等獎市賽課微課一等獎課件

第六章曲線與曲面

6.1曲線

6.2曲面

1第1頁§6-1曲線

曲線能夠看作是由以下三種方式形成：1.不停改變方向點連續(xù)運動軌跡。2.曲面立體表面交線。3.直線族或曲線族包絡。一、曲線形成和分類點運動軌跡曲表面交線包絡曲線2第2頁

曲線分類：

可分為規(guī)則曲線與不規(guī)則曲線，比如圓是規(guī)則曲線，地面等高線是不規(guī)則曲線；又可分為平面曲線和空間曲線，曲線上全部點都位于一個平面上，這么曲線叫平面曲線；連續(xù)四個點不在同一平面上曲線叫空間曲線。圓柱螺旋線就是空間曲線例子。3第3頁

畫出曲線上一系列點投影，可得到曲線投影。為了準確地表示曲線，普通應畫出曲線上特殊點投影，方便控制好曲線形狀。

曲線投影性質：

1.曲線投影普通仍為曲線，特殊情形下平面曲線投影可能退化成直線；二、曲線投影4第4頁

2.曲線切線在某投影面上投影仍與曲線在該投影面上投影相切，而且切點投影仍為切點；

3.二次曲線投影普通仍為二次曲線，比如圓投影普通為橢圓。5第5頁

平面曲線投影，其形狀視平面與投影面傾斜狀態(tài)而定，當平面平行于投影面時，曲線投影反應曲線實形；當平面垂直于投影面時，曲線投影退化為直線；當平面傾斜于投影面時，曲線投影為變了形曲線。反應實形退化成直線變了形曲線6第6頁1.投影面垂直面上圓

圓在所垂直那個投影面上投影為直線段，線段長度等于圓直徑，圓另外兩投影為橢圓，橢圓長軸長度等于圓直徑。三、圓投影

7第7頁

例6-1已知直徑為d圓位于鉛垂面內，并知圓心

O和

PH位置，試作出其投影。

解：水平投影為線段，長度等于d，重合在

PH上；正面投影和側面投影為橢圓，長軸豎直，長度等于d，短軸水平，長度依據(jù)水平投影作出。利用圓輔助投影可作出橢圓上一些中間點。8第8頁2.普通斜平面上圓

圓所在平面傾斜于三個投影面時，圓任一投影都是橢圓，橢圓長軸長度總是等于圓直徑d。9第9頁例6-2半徑為r圓位于普通傾斜平面□ABCD上，并知圓心位置，試作出其投影。

解：首先，在水平投影中作橢圓長短軸：長軸方向為面內水平線水平投影方向，長度等于圓直徑2r。短軸垂直于長軸，長度利用直角三角形法求出。（點擊鼠標看過程）10第10頁

其次，求出水平投影中長短軸在正面投影中投影，它們是一對共軛直徑1′2′、3′4′。依據(jù)共軛直徑可求出橢圓上其余四個點5′、6′、7′、8′，用八點法畫出正面投影橢圓。11第11頁最終，利用平面上定點方法求出水平投影中5、6、7、8四點，從而畫出水平投影橢圓。12第12頁四、螺旋線

當一個動點沿著一直線等速移動，而該直線同時繞與它平行一軸線等速旋轉時，動點軌跡就是一根圓柱螺旋線。1.圓柱螺旋線形成13第13頁2.螺旋線畫法

螺旋線軸線為鉛垂線時，螺旋線水平投影為圓。把圓周等分（比如12等分），分點按旋向依次編號為0、1、2……；在正面投影中把導程也作相同等分，過各分點作水平線；由水平投影中各分點作豎直線與正面投影上對應水平線相交，得0’、1’、2’……,把這些點連成光滑曲線，即為螺旋線正面投影。14第14頁

曲面分為規(guī)則曲面和不規(guī)則曲面。規(guī)則曲面能夠看成是運動線按照一定規(guī)則或受某種控制運動軌跡。運動線稱為母線，曲面上任意位置母線稱為素線。控制母線運動線或面，稱為導線或導面?！?-2曲面一、曲面形成和分類15第15頁

由直母線運動生成曲面稱為直紋面，比如圓柱面、圓錐面；只能由曲母線運動生成曲面稱為曲線面，比如球面。16第16頁依據(jù)母線運動時有沒有旋轉軸，曲面能夠分為旋轉面和非旋轉面。在旋轉面中，由直母線旋轉生成叫旋轉直紋面，由曲母線旋轉生成叫旋轉曲線面。17第17頁

平行于某個投射方向而且與曲面相切投射線，形成投射平面或柱面，它們與曲面相切切線稱為該投射方向曲面外形輪廓線，簡稱外形線。曲面在某個投影面上投影，能夠用該投射方向上外形線投影來表示。另外，有時還需同時畫出曲面上若干條素線。二、曲面投影

18第18頁

外形線同時還是曲面在該投射方向下可見與不可見部分分界限。19第19頁

曲面上點投影在曲面同面投影上。這里討論問題是，已知曲面投影，依據(jù)曲面上點一個投影怎樣求出它其余投影。與平面上定點類似，這里也要借助于輔助線。曲面上選取輔助線，其投影應為直線或圓。對于直紋面，可選取其直素線為輔助線，用這種方法求點投影稱為素線法。對于旋轉面能夠選取緯圓作為輔助線，用這種方法求點投影稱為緯圓法。三、曲面上點投影20第20頁在圓錐面上用素線法和緯圓法求點投影例子：21第21頁

直紋面分為旋轉直紋面和非旋轉直紋面。圓柱面、圓錐面、旋轉單葉雙曲面等屬于旋轉直紋面，切線面、雙曲拋物面、錐狀面、柱狀面等屬于非旋轉直紋面。

直母線l

沿著一條導曲線運動，且一直平行于某一固定方向T，這么形成曲面稱為柱面。柱面全部素線均相互平行，畫柱面投影時需畫出外形線投影（輪廓素線）。一、柱面2.2.1直紋面22第22頁在柱面上求點投影，普通可用素線法。23第23頁

柱面曲導線普通為平面曲線。柱面是按正截面形狀取名，正截面是圓時，稱為圓柱面；正截面是橢圓時，稱為橢圓柱面，等等。假如柱面有兩個以上對稱平面，則對稱平面交線稱為柱面軸。下面是幾個有軸柱面投影。24第24頁

直母線沿著一條曲導線C

運動，且一直經過定點S，這么形成曲面稱為錐面。S稱為錐頂，全部素線都經過它。在投影圖上，應畫出錐頂、導曲線和錐面外形線投影。二、錐面25第25頁

在錐面上作點，普通利用素線法。當用投影面平行面能截出圓形交線時，也能夠用緯圓法作點。

下面是幾個有軸錐面。26第26頁

直母線

l

沿著一條曲導線C

運動，且一直與C

相切，這么形成曲面稱為切線面。曲導線C

是空間曲線，稱為切線面脊線。三、切線面27第27頁

工程中彎曲坡道兩側邊坡往往設計成切線面，而且使切線面全部切線與地面成同一角度，這么設計成切線面稱為同坡曲面。28第28頁

直母線l

沿著兩條交叉直導線AB、CD運動，且一直平行于某一導平面Q，這么形成曲面稱為雙曲拋物面，工程上也稱扭面。

雙曲拋物面投影圖中，只需畫出兩條直導線和若干素線投影，而無須畫出導平面。四、雙曲拋物面29第29頁1.雙曲拋物面形成P導平面直導線直導線直母線30第30頁2.雙曲拋物面畫法31第31頁3.雙曲拋物面截交線32第32頁雙曲拋物面在工程上有廣泛用途。水渠邊坡漸變段道路邊坡過渡段33第33頁

對于同一個雙曲拋物面，也能夠把它看作是以AD、BC為交叉直導線，以平行于端點連線AB、CD

平面P

為導平面所形成。也就是說，雙曲拋物面上有兩族素線，其中每一條素線與同族全部素線都不相交，而與另一族全部素線都相交。34第34頁

直母線

l

沿著一條直導線EF

和一條曲導線ABC

運動，且一直平行于導平面P（P平行于兩條導線端點連線AE和CF），這么形成曲面稱為錐狀面。

五、錐狀面35第35頁1．錐狀面形成P導平面曲導線直導線36第36頁2.錐狀面畫法37第37頁六、柱狀面

直母線

l

沿著兩條曲導線運動，且一直平行于某一導平面，這么形成曲面稱為柱狀面。

柱狀面橋墩柱狀面管道38第38頁P1．柱狀面形成導平面曲導線曲導線39第39頁

柱狀面全部素線都平行于導平面，而彼此間則成交叉狀態(tài)。投影圖上只需表示兩條導線和若干條素線投影，而不畫出導平面。以正平面為導平面柱狀面管道40第40頁2.柱狀面畫法41第41頁

直母線繞一條與它交叉直線OO

旋轉，這么形成曲面稱為旋轉單葉雙曲面，直線OO稱為旋轉軸。七、旋轉單葉雙曲面42第42頁

投影圖上應畫出旋轉軸和若干條素線投影、直母線兩端點軌跡投影，以及素線包絡線。

43第43頁2.單葉雙曲回轉面畫法44第44頁

旋轉中母線上每個點都在作圓周運動，其軌跡是緯圓。母線上距軸線最近點，其軌跡是最小緯圓，叫喉圓。過旋轉單葉雙曲面上每個點，還能夠畫出另外一條素線，也就是說，同一個旋轉單葉雙曲面上存在著兩族素線，同族素線間均不相交，而每一條素線都與另一族全部素線相交。45第45頁工程用例：水塔支架冷卻塔46第46頁八正螺旋柱狀面1.正螺旋柱狀面形成