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編號(hào):031課題:§4數(shù)列復(fù)習(xí)課教學(xué)課時(shí)安排1、上課時(shí)間:_________________.2、課時(shí)安排:_________________.3、上課班級(jí)___________________.學(xué)科目標(biāo)要求1、理解并掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算.2、理解并掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.3、理解并掌握數(shù)列的通項(xiàng)與求和.4、理解并掌握等差、等比數(shù)列的判定.5、理解與掌握數(shù)列與函數(shù).學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)在數(shù)學(xué)中,數(shù)列的內(nèi)容涉及函數(shù)、極限、級(jí)數(shù)等,它實(shí)際上是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁.由于數(shù)列在日常生活中廣泛的應(yīng)用性,以及數(shù)列在今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)性,奠定了本章內(nèi)容在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位.本章教材的設(shè)計(jì),注意體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體的思想.在給出大量的生活實(shí)例之后,給學(xué)生一定的思考和探索空間,促使教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式的改變.讓學(xué)生通過(guò)觀察、操作、歸納、猜想、驗(yàn)證、推理、討論和交流體驗(yàn)數(shù)學(xué);在習(xí)題中設(shè)置了“探究·拓展”欄目,為學(xué)有余力的學(xué)生提供一些富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題,進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,拓寬視野,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng);教材設(shè)置了旁白、思考、閱讀、鏈接等內(nèi)容,為學(xué)生主動(dòng)探究數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展提供了空間.本節(jié)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn):等差、等比數(shù)列的判定;難點(diǎn):數(shù)列與函數(shù).教學(xué)過(guò)程賞析思維結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖基礎(chǔ)知識(shí)積累1.數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列按照_____________排列的一列數(shù)稱為數(shù)列項(xiàng)數(shù)列中的__________都叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)首項(xiàng)數(shù)列的第____項(xiàng)稱為首項(xiàng)①一般形式:;②字母表示:上面數(shù)列通常記為.3.?dāng)?shù)列的分類類別含義按項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)________的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)________的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都________它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都________它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)都________的數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)________它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)________它的前一項(xiàng)的數(shù)列4.?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式一般地,如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系從函數(shù)的觀點(diǎn)看,數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù),它們的關(guān)系如下表:定義域正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,})解析式數(shù)列的通項(xiàng)公式值域自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)成表示方法(1)__________(解析法);(2)________;(3)_______6.遞推公式(1)概念:如果已知一個(gè)數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)________來(lái)表示,那么這個(gè)________叫作這個(gè)數(shù)列的遞推公式.(2)作用:利用________通過(guò)賦值逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng),直至求出數(shù)列的任何一項(xiàng).7.?dāng)?shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法有____________法、________法、________法、____________法,以數(shù)列2,4,6,8,10,12,…為例,表示如下:①通項(xiàng)公式法:an=2n.②遞推公式法:③列表法:n123…k…an246…2k…④圖象法:8.?dāng)?shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系遞推公式通項(xiàng)公式區(qū)別表示an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))之間的關(guān)系表示an與n之間的關(guān)系聯(lián)系(1)都是表示數(shù)列的一種方法;(2)由遞推公式求出前幾項(xiàng)可歸納猜想出通項(xiàng)公式.9.等差數(shù)列的定義(1)條件:①?gòu)牡赺____項(xiàng)起.②每一項(xiàng)與它的__________的差都等于___________常數(shù).(2)結(jié)論:這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.(3)相關(guān)概念:這個(gè)常數(shù)叫作等差數(shù)列的________,常用______表示.10.等差中項(xiàng)(1)前提:三個(gè)數(shù)a,A,b成等差數(shù)列.(2)結(jié)論:_______叫作a與b的等差中項(xiàng).(3)滿足的關(guān)系式:2A=_______.11.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式遞推公式通項(xiàng)公式____________=d(n∈N*)an=____________(n∈N*)12.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng),末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng),公差與項(xiàng)數(shù)求和公式Sn=_____________Sn=_________________在等差數(shù)列{an}中,an=a1+(n-1)d,Sn=eq\f(n(a1+an),2)或Sn=na1+eq\f(n(n-1),2)d.涉及a1,d,n,an及Sn五個(gè)基本量,它們分別表示等差數(shù)列的首項(xiàng),公差,項(xiàng)數(shù),項(xiàng)和前n項(xiàng)和.依據(jù)方程的思想,在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中已知其中三個(gè)量可求另外兩個(gè)量,即“知三求二”.13.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系將等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn=na1+eq\f(n(n-1),2)d整理成關(guān)于n的函數(shù)可得Sn=____n2+________n.14.等比數(shù)列一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的__________的比都等于__________常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫作等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的________,公比通常用字母____表示.15.等比中項(xiàng)在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成____________,那么G叫作a與b的等比中項(xiàng).16.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為a1,公比是q(q≠0)的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)____________.17.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公比與末項(xiàng)求和公式Sn=________________________Sn=_______________________18.錯(cuò)位相減法(1)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的方法叫________________.(2)該方法一般適用于求一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列_______________的前n項(xiàng)和,即若{bn}是公差d≠0的等差數(shù)列,{cn}是公比q≠1的等比數(shù)列,求數(shù)列{bn·cn}的前n項(xiàng)和Sn時(shí),可以用這種方法.【當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練】題1.已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=則a6= ()A.16B.25C.28D.33題2.在等差數(shù)列{an}中,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a3+a16=9,S5=10,則數(shù)列的公差為 ()A.1 B.4 C.4 D.1題中,a1=2,點(diǎn)(,)在直線xy=0上,則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn等于 ()A.2n1 B.2n+12C. D.題中,a2,a14是方程x2+8x+6=0的根,則的值為 ()A.4+ B.C. D.或題5.音樂(lè)與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系,我國(guó)春秋時(shí)期有個(gè)著名的“三分損益法”:以“宮”為基本音,“宮”經(jīng)過(guò)一次“損”,頻率變?yōu)樵瓉?lái)的,得到“徵”;“徵”經(jīng)過(guò)一次“益”,頻率變?yōu)樵瓉?lái)的,得到“商”…….依次損益交替變化,獲得了“宮、徵、商、羽、角”五個(gè)音階.據(jù)此可推得 ()A.“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列B.“宮、徵、商”的頻率成等比數(shù)列C.“商、羽、角”的頻率成等比數(shù)列D.“徵、商、羽”的頻率成等比數(shù)列題的前n項(xiàng)和為Sn,a1+a4+a7=9,a2+a5+a8=18,則S9= ()A.27 B.36 C.63 D.72題的前n項(xiàng)和為Sn,且3Sn+1=4an,則使不等式++…+<1000成立的n的最大值為 ()A.7B.8C.9D.10題8.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=(n∈N*).記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則 ()A.<S100<3 B.3<S100<4C.4<S100< D.<S100<5題9(多選題).已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若a9=S17,下列說(shuō)法正確的是 ()A.a8=0 B.a9=0C.a1=S16 D.S8>S10題10(多選題).在數(shù)列中,若=p(n≥2,n∈N*,p為非零常數(shù)),則稱為“等方差數(shù)列”,p稱為“公方差”,下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是 ()A.是等方差數(shù)列B.若正項(xiàng)等方差數(shù)列的首項(xiàng)a1=1,且a1,a2,a5是等比數(shù)列,則=2n1C.等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列D.存在數(shù)列既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列題11(多選題).我國(guó)明代音樂(lè)理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉在所著的《律學(xué)新說(shuō)》一書(shū)中提出了“十二平均律”的音樂(lè)理論,該理論后被意大利傳教士利瑪竇帶到西方,對(duì)西方的音樂(lè)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.以鋼琴為首的眾多鍵盤(pán)樂(lè)器就是基于“十二平均律”的理論指導(dǎo)設(shè)計(jì)的.圖中鋼琴上的每12個(gè)琴鍵(7個(gè)白鍵5個(gè)黑鍵)構(gòu)成一個(gè)“八度”,每個(gè)“八度”各音階的音高都是前一個(gè)“八度”對(duì)應(yīng)音階的兩倍,如圖中所示的琴鍵的音高C5=2·C4(C4稱為“中央C”).將每個(gè)“八度”(如C4與CA4鍵調(diào)為標(biāo)準(zhǔn)音440Hz時(shí),下列選項(xiàng)中的哪些頻率(單位:Hz)的音可以是此時(shí)的鋼琴發(fā)出的音 ()(參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.260,≈1.189,≈1.149,≈1.122,≈1.059)A.110 B.233 C.505 D.1244題12(多選題).已知單調(diào)遞增數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn=an,且Sn>0,記數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n,則使得Tn>2020成立的n的值有()A.7B.8C.10D.11題13(多選題).已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,公差為,若,則A. B. C. D.題14(多選題).關(guān)于遞增等比數(shù)列,下列說(shuō)法正確的是A.當(dāng)時(shí), B.當(dāng)時(shí), C.當(dāng)時(shí), D.題15(多選題).?dāng)?shù)列滿足,,,定義函數(shù)是數(shù)列的特征函數(shù),則下列說(shuō)法正確的是A.當(dāng)時(shí),數(shù)列單調(diào)遞增 B.當(dāng)時(shí), C.當(dāng)時(shí), D.當(dāng)方程有唯一解時(shí),存在,對(duì)任意,都有題16(多選題).以下敘述不正確的是A.若等比數(shù)列單調(diào)遞減,則其公比滿足 B.等比數(shù)列滿足,,則 C.等差數(shù)列滿足,則 D.公差為負(fù)的等差數(shù)列滿足,則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)其前項(xiàng)和取得最大值題17.已知是等差數(shù)列,a2=5,a5=14,設(shè)bn=(1)n+1an,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,則S2022=.題18.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若a3=3,S3=39,則a7=.題19.數(shù)列{an}滿足an+2+(1)nan=3n1,前16項(xiàng)和為540,則a1=.題20.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí),發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折.規(guī)格為20dm×12dm的長(zhǎng)方形紙,對(duì)折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S1=240dm2,對(duì)折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S2=180dm2,以此類推,則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為;如果對(duì)折n次,那么Sk=dm2.題21.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,a1+a6=6,a4=2.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求Sn的最大值及相應(yīng)的n的值.題22.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn=2ann,(1)求a1,a2,a3,并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.題23.已知函數(shù)f(x)=logkx(k為常數(shù),k>0且k≠1).(1)在下列條件中選擇哪個(gè)可以使數(shù)列成等比數(shù)列,說(shuō)明理由;①數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列;②數(shù)列是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列;③數(shù)列是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列.(2)在(1)的條件下,當(dāng)k=時(shí),設(shè)anbn=,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.題24.設(shè){an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=.已知a1,3a2,9a3成等差數(shù)列.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;(2)記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項(xiàng)和.證明:Tn<.題25.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意n∈N*都有Sn=3n2+an.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記bn=an+4(n∈N*),證明:++…+<(n∈N*)題26.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=an+1+n2,n∈N*,a1=2.(1)證明:數(shù)列{an1}是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=(n∈N*)的前n項(xiàng)和為T(mén)n,證明:Tn<6.編號(hào):031課題:§4數(shù)列復(fù)習(xí)課教學(xué)課時(shí)安排1、上課時(shí)間:_________________.2、課時(shí)安排:_________________.3、上課班級(jí)___________________.學(xué)科目標(biāo)要求1、理解并掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算.2、理解并掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.3、理解并掌握數(shù)列的通項(xiàng)與求和.4、理解并掌握等差、等比數(shù)列的判定.5、理解與掌握數(shù)列與函數(shù).學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)在數(shù)學(xué)中,數(shù)列的內(nèi)容涉及函數(shù)、極限、級(jí)數(shù)等,它實(shí)際上是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁.由于數(shù)列在日常生活中廣泛的應(yīng)用性,以及數(shù)列在今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)性,奠定了本章內(nèi)容在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位.本章教材的設(shè)計(jì),注意體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體的思想.在給出大量的生活實(shí)例之后,給學(xué)生一定的思考和探索空間,促使教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式的改變.讓學(xué)生通過(guò)觀察、操作、歸納、猜想、驗(yàn)證、推理、討論和交流體驗(yàn)數(shù)學(xué);在習(xí)題中設(shè)置了“探究·拓展”欄目,為學(xué)有余力的學(xué)生提供一些富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題,進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,拓寬視野,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng);教材設(shè)置了旁白、思考、閱讀、鏈接等內(nèi)容,為學(xué)生主動(dòng)探究數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展提供了空間.本節(jié)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn):等差、等比數(shù)列的判定;難點(diǎn):數(shù)列與函數(shù).教學(xué)過(guò)程賞析思維結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖基礎(chǔ)知識(shí)積累1.數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列項(xiàng)數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)首項(xiàng)數(shù)列的第1項(xiàng)稱為首項(xiàng)①一般形式:;②字母表示:上面數(shù)列通常記為.3.?dāng)?shù)列的分類類別含義按項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列4.?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式一般地,如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系從函數(shù)的觀點(diǎn)看,數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù),它們的關(guān)系如下表:定義域正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,})解析式數(shù)列的通項(xiàng)公式值域自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)成表示方法(1)通項(xiàng)公式(解析法);(2)列表法;(3)圖象法6.遞推公式(1)概念:如果已知一個(gè)數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫作這個(gè)數(shù)列的遞推公式.(2)作用:利用遞推公式通過(guò)賦值逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng),直至求出數(shù)列的任何一項(xiàng).7.?dāng)?shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法有通項(xiàng)公式法、圖象法、列表法、遞推公式法,以數(shù)列2,4,6,8,10,12,…為例,表示如下:①通項(xiàng)公式法:an=2n.②遞推公式法:③列表法:n123…k…an246…2k…④圖象法:8.?dāng)?shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系遞推公式通項(xiàng)公式區(qū)別表示an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))之間的關(guān)系表示an與n之間的關(guān)系聯(lián)系(1)都是表示數(shù)列的一種方法;(2)由遞推公式求出前幾項(xiàng)可歸納猜想出通項(xiàng)公式.9.等差數(shù)列的定義(1)條件:①?gòu)牡?項(xiàng)起.②每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù).(2)結(jié)論:這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.(3)相關(guān)概念:這個(gè)常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差,常用d表示.10.等差中項(xiàng)(1)前提:三個(gè)數(shù)a,A,b成等差數(shù)列.(2)結(jié)論:A叫作a與b的等差中項(xiàng).(3)滿足的關(guān)系式:2A=a+b.11.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式遞推公式通項(xiàng)公式__an+1-an=d(n∈N*)an=a1+(n-1)d(n∈N*)12.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng),末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng),公差與項(xiàng)數(shù)求和公式Sn=eq\f(n(a1+an),2)Sn=na1+eq\f(n(n-1),2)d在等差數(shù)列{an}中,an=a1+(n-1)d,Sn=eq\f(n(a1+an),2)或Sn=na1+eq\f(n(n-1),2)d.涉及a1,d,n,an及Sn五個(gè)基本量,它們分別表示等差數(shù)列的首項(xiàng),公差,項(xiàng)數(shù),項(xiàng)和前n項(xiàng)和.依據(jù)方程的思想,在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中已知其中三個(gè)量可求另外兩個(gè)量,即“知三求二”.13.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系將等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn=na1+eq\f(n(n-1),2)d整理成關(guān)于n的函數(shù)可得Sn=eq\f(d,2)n2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1-\f(d,2)))n.14.等比數(shù)列一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫作等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示.15.等比中項(xiàng)在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫作a與b的等比中項(xiàng).16.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為a1,公比是q(q≠0)的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1.17.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公比與末項(xiàng)求和公式Sn=Sn=18.錯(cuò)位相減法(1)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的方法叫錯(cuò)位相減法.(2)該方法一般適用于求一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積的前n項(xiàng)和,即若{bn}是公差d≠0的等差數(shù)列,{cn}是公比q≠1的等比數(shù)列,求數(shù)列{bn·cn}的前n項(xiàng)和Sn時(shí),可以用這種方法.【當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練】題1.已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=則a6= ()A.16B.25C.28D.33【解析】選C.因?yàn)閍1=1,所以a2=a1+3=4,a3=2a2+1=9,a4=a3+3=12,a5=2a4+1=25,a6=a5+3=28.題2.在等差數(shù)列{an}中,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a3+a16=9,S5=10,則數(shù)列的公差為 ()A.1 B.4 C.4 D.1【解析】選A.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍3+a16=9,S5=10,所以,解得.題中,a1=2,點(diǎn)(,)在直線xy=0上,則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn等于 ()A.2n1 B.2n+12C. D.【解析】選B.由題意,點(diǎn)(,)(n≥2)在直線xy=0上,得=0,可得an=2an1,所以=2(n≥2),又由a1=2,所以數(shù)列是以2為首項(xiàng),以2的公比的等比數(shù)列,所以Sn==2n+12.題中,a2,a14是方程x2+8x+6=0的根,則的值為 ()A.4+ B.C. D.或【解析】選C.在等比數(shù)列中,a2,a14是方程x2+8x+6=0的根,Δ=6424=40>0.由根與系數(shù)的關(guān)系:a2+a14=8<0,a2a14=6,所以a2,a14同為負(fù)數(shù),等比數(shù)列所有偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同,所以a8<0,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì):a2a14=a3a13==6,a8=,所以==.題5.音樂(lè)與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系,我國(guó)春秋時(shí)期有個(gè)著名的“三分損益法”:以“宮”為基本音,“宮”經(jīng)過(guò)一次“損”,頻率變?yōu)樵瓉?lái)的,得到“徵”;“徵”經(jīng)過(guò)一次“益”,頻率變?yōu)樵瓉?lái)的,得到“商”…….依次損益交替變化,獲得了“宮、徵、商、羽、角”五個(gè)音階.據(jù)此可推得 ()A.“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列B.“宮、徵、商”的頻率成等比數(shù)列C.“商、羽、角”的頻率成等比數(shù)列D.“徵、商、羽”的頻率成等比數(shù)列【解析】選A.設(shè)“宮”的頻率為a,由題意經(jīng)過(guò)一次“損”,可得“徵”的頻率是a;“徵”經(jīng)過(guò)一次“益”,可得“商”的頻率是a,“商”經(jīng)過(guò)一次“損”,可得“羽”的頻率是a;最后“羽”經(jīng)過(guò)一次“益”,可得“角”的頻率是a,由于a,a,a成等比數(shù)列,所以“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列.題的前n項(xiàng)和為Sn,a1+a4+a7=9,a2+a5+a8=18,則S9= ()A.27 B.36 C.63 D.72【解析】選C.設(shè)等比數(shù)列的公比為q,所以a2+a5+a8=(a1+a4+a7)q,所以q=2,又a3+a6+a9=(a2+a5+a8)q=36,所以S9=a1+a4+a7+a2+a5+a8+a3+a6+a9=9+18+36=63.題的前n項(xiàng)和為Sn,且3Sn+1=4an,則使不等式++…+<1000成立的n的最大值為 ()A.7B.8C.9D.10【解析】選C.因?yàn)?Sn+1=4an,所以Sn=an,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=a1,即a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an=SnSn1==anan1即an=4an1,所以數(shù)列是首項(xiàng)a1=1,公比qan=a1qn1=4n1即===2n1,所以++…+=20+21+…+2n1==2n1,若使不等式++…+<1000成立,則需2n1<1000即n≤9,所以n的最大值為9.題8.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=(n∈N*).記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則 ()A.<S100<3 B.3<S100<4C.4<S100< D.<S100<5【解析】選A.因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1=1,an+1=(n∈N*),所以a2=,a3=1,0<an+1<an≤1.由an+1=,可得=+=,所以<,所以<+,即<.由累加法,得≤1+=,當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí),等號(hào)成立.所以≥,所以an+1=≤=an,所以≤,則····…··≤····…··,即≤,所以an≤=6,所以S100≤6=6×<6×=3,顯然S100>a1=1>.綜上所述,<S100<3.題9(多選題).已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若a9=S17,下列說(shuō)法正確的是 ()A.a8=0 B.a9=0C.a1=S16 D.S8>S10【解析】選BC.由題意可知,在等差數(shù)列中,因?yàn)閍9=S17,所以a9===17a9,則a9=0,故選項(xiàng)B正確;因?yàn)楣頳≠0,所以a8≠0,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;因?yàn)閍9=0,所以a1+8d=0,所以a1=8d,所以S16=16a1+d=16(a1+d)=16×()d=8d=a1,所以選項(xiàng)C正確;因?yàn)镾10S8=a9+a10=a10=a1+9d=8d+9d=d,且d未知正負(fù),所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.題10(多選題).在數(shù)列中,若=p(n≥2,n∈N*,p為非零常數(shù)),則稱為“等方差數(shù)列”,p稱為“公方差”,下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是 ()A.是等方差數(shù)列B.若正項(xiàng)等方差數(shù)列的首項(xiàng)a1=1,且a1,a2,a5是等比數(shù)列,則=2n1C.等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列D.存在數(shù)列既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列【解析】選BC.設(shè)an=(1)n,則=11=0,p=0不滿足p為非零常數(shù),所以不是等方差數(shù)列,故A錯(cuò)誤;由題意得=1+(n1)p,則a2=,a5=,即1+p=,解得p=2或p=0(舍去),當(dāng)p=2時(shí),=2n1滿足題意,故B正確;設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列,不妨設(shè)an=cqn,則an1=cqn1,所以=c2q2n2(q21),若c2q2n2(q21)為常數(shù),則q=±1,但此時(shí)c2q2n2(q21)=0,不滿足題意,故C正確;若數(shù)列既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,不妨設(shè)=p(n≥2,n∈N*,p為非零常數(shù)),anan1=d(d≠0),所以(an+an1)d=p,即an+an1=,所以2and=,即an=+,所以為常數(shù)列,這與anan1=d(d≠0),=p(p≠0)矛盾,故D錯(cuò)誤.題11(多選題).我國(guó)明代音樂(lè)理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉在所著的《律學(xué)新說(shuō)》一書(shū)中提出了“十二平均律”的音樂(lè)理論,該理論后被意大利傳教士利瑪竇帶到西方,對(duì)西方的音樂(lè)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.以鋼琴為首的眾多鍵盤(pán)樂(lè)器就是基于“十二平均律”的理論指導(dǎo)設(shè)計(jì)的.圖中鋼琴上的每12個(gè)琴鍵(7個(gè)白鍵5個(gè)黑鍵)構(gòu)成一個(gè)“八度”,每個(gè)“八度”各音階的音高都是前一個(gè)“八度”對(duì)應(yīng)音階的兩倍,如圖中所示的琴鍵的音高C5=2·C4(C4稱為“中央C”).將每個(gè)“八度”(如C4與CA4鍵調(diào)為標(biāo)準(zhǔn)音440Hz時(shí),下列選項(xiàng)中的哪些頻率(單位:Hz)的音可以是此時(shí)的鋼琴發(fā)出的音 ()(參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.260,≈1.189,≈1.149,≈1.122,≈1.059)A.110 B.233 C.505 D.1244【解析】選ABD.因?yàn)锳4=440,=4=22,故110Hz是A4往左兩個(gè)“八度”A2鍵的音,Aq,則=2=q12,所以q=.而A3=220,A4=440,A5=880,≈1.059==q,B正確;相近,且不等于qn(n∈N*),C不正確;≈1.414≈=q6,D正確.題12(多選題).已知單調(diào)遞增數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn=an,且Sn>0,記數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n,則使得Tn>2020成立的n的值有()A.7B.8C.10D.11【解析】選BCD.由題意,2Sn=an,當(dāng)n≥2時(shí),2Sn1=an1,所以2an=2Sn2Sn1=anan1,整理得=0,因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增且Sn>0,所以an+an1≠0,anan11=0,即an=an1+1,當(dāng)n=1時(shí),2S1=a1,所以a1=1,所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),公差為1的等差數(shù)列,所以an=n,所以Tn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n,2Tn=1·22+2·23+3·24+…+·2n+n·2n+1,所以Tn=2+22+23+24+…+2nn·2n+1=n·2n+1=·2n+12,所以Tn=·2n+1+2,所以T7=6×28+2=1538,T8=7×29+2=3586,所以Tn>2020成立的n的最小值為8.題13(多選題).已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,公差為,若,則A. B. C. D.【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的定義與性質(zhì),對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析判斷即可.【解答】解:等差數(shù)列中,因?yàn)椋?,,所以,選項(xiàng)正確;又因?yàn)?,所以選項(xiàng)錯(cuò)誤;因?yàn)?,所以選項(xiàng)錯(cuò)誤;因?yàn)?,所以選項(xiàng)正確.故選:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和的定義與性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題,也考查了推理與判斷能力,是基礎(chǔ)題.題14(多選題).關(guān)于遞增等比數(shù)列,下列說(shuō)法正確的是A.當(dāng)時(shí), B.當(dāng)時(shí), C.當(dāng)時(shí), D.【分析】根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性判斷正誤即可.【解答】解:設(shè)數(shù)列的公比為,則,數(shù)列是遞增數(shù)列,,當(dāng)時(shí),,此時(shí),當(dāng)時(shí),,此時(shí),錯(cuò)誤,正確,故選:.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.題15(多選題).?dāng)?shù)列滿足,,,定義函數(shù)是數(shù)列的特征函數(shù),則下列說(shuō)法正確的是A.當(dāng)時(shí),數(shù)列單調(diào)遞增 B.當(dāng)時(shí), C.當(dāng)時(shí), D.當(dāng)方程有唯一解時(shí),存在,對(duì)任意,都有【分析】由題意,利用不等式及函數(shù)的單調(diào)性,逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確,從而得出結(jié)論.【解答】解:由于數(shù)列滿足,,,對(duì)于選項(xiàng):當(dāng)時(shí),,故數(shù)列單調(diào)遞減,故選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng):當(dāng)時(shí),,即成立,故數(shù)列是以2為公比,為首項(xiàng)的等比數(shù)列,,故選項(xiàng)正確.對(duì)于選項(xiàng):當(dāng)時(shí),則,因?yàn)?,則,,故,,根據(jù)數(shù)列迭代遞推,不完全歸納猜想:成立,用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:證明:(1)顯然,當(dāng)時(shí),.(2)假設(shè)當(dāng),時(shí),,則當(dāng)時(shí),,,,,.綜上,,故選項(xiàng)正確;對(duì)于選項(xiàng):取,易知為在處切線,此時(shí),方程有唯一解,,則,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的快慢可知,當(dāng)趨于時(shí),趨于,故選項(xiàng)錯(cuò)誤,故選:.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的函數(shù)特性,不等式及函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.題16(多選題).以下敘述不正確的是A.若等比數(shù)列單調(diào)遞減,則其公比滿足 B.等比數(shù)列滿足,,則 C.等差數(shù)列滿足,則 D.公差為負(fù)的等差數(shù)列滿足,則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)其前項(xiàng)和取得最大值【分析】由題意,利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)、通項(xiàng)公式,得出結(jié)論.【解答】解:等比數(shù)列單調(diào)遞減,其公比,則滿足,,或,,故錯(cuò)誤;等比數(shù)列滿足,,設(shè)公比為,則,,,故錯(cuò)誤;等差數(shù)列滿足,則,故正確;公差為負(fù)的等差數(shù)列滿足,由于前6項(xiàng)為正數(shù),分別為,,,,,,第7項(xiàng)為0,從第8項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)數(shù),故當(dāng)且僅當(dāng)或7時(shí),其前項(xiàng)和取得最大值,故錯(cuò)誤,故選:.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)、通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.題17.已知是等差數(shù)列,a2=5,a5=14,設(shè)bn=(1)n+1an,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,則S2022=.【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,且a2=5,a5=14,所以3d=a5a2=9,解得d=3,所以an=a2+(n2)d=3n1,則bn=(1)n+1an=(1)n+1(3n1),所以S2022=b1+b2+…+b2022=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2021+b2022)=(3+3+…+3)=3×1011=3033.答案:3033題18.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若a3=3,S3=39,則a7=.【解析】設(shè)的公比為q,則,解得q=或q=(舍去).所以a7=a3q4=3×=.答案:題19.數(shù)列{an}滿足an+2+(1)nan=3n1,前16項(xiàng)和為540,則a1=.【解析】方法一:因?yàn)閍n+2+(1)nan=3n1,所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an+2+an=3n1,所以a4+a2=5,a8+a6=17,a12+a10=29,a16+a14=41,所以a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=92.因?yàn)閿?shù)列{an}的前16項(xiàng)和為540,所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=54092=448.①因?yàn)楫?dāng)n為奇數(shù)時(shí),an+2an=3n1,所以a3a1=2,a7a5=14,a11a9=26,a15a13=38,所以(a3+a7+a11+a15)(a1+a5+a9+a13)=80.②由①②得a1+a5+a9+a13a3=a1+2,a5=a3+8=a1+10,a7=a5+14=a1+24,a9=a7+20=a1+44,a11=a9+26=a1+70,a13=a11+32=a1+102,所以a1+a1+10+a1+44+a1+102=184,所以a1=7.方法二:同方法一得a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),有an+2an=3n1,由累加法得an+2a1=3(1+3+5+…+n)=(1+n)·=n2+n+,所以an+2=n2+n++a1.所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=a1+(×12+1++a1)+(×32+3++a1)+(×52+5++a1)+(×72+7++a1)+(×92+9++a1)+(×112+11++a1)+(×132+13++a1)=8a1+392=448,解得a1=7.答案:7題20.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí),發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折.規(guī)格為20dm×12dm的長(zhǎng)方形紙,對(duì)折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S1=240dm2,對(duì)折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S2=180dm2,以此類推,則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為;如果對(duì)折n次,那么Sk=dm2.【解析】對(duì)折3次有2.5×12,6×5,3×10,20×1.5共4種,面積和為S3=4×30=120dm2,對(duì)折4次有1.25×12,2.5×6,3×5,1.5×10,20×0.75共5種,面積和為S4=5×15=75dm2,對(duì)折n次有n+1種類型,Sn=(n+1),因此Sk=240·,Sk=240·,所以Sk=240·dm2.答案:5240·題21.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,a1+a6=6,a4=2.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求Sn的最大值及相應(yīng)的n的值.【解析】(1)在等差數(shù)列中,因?yàn)閍1+a6=6,a4=2,所以,解得,所以an=a1+(n1)d=102n;(2)因?yàn)閍1=8,d=2,所以Sn=na1+d=8n+·(2)=n2+9n,所以當(dāng)n=4或n=5時(shí),Sn有最大值20.題22.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn=2ann,(1)求a1,a2,a3,并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.【解析】(1)因?yàn)镾n=2ann,當(dāng)n=1時(shí),a1=1,且Sn+1=2an+1n1,于是an+1=2an+1,從而可以得到a2=3,a3=7,猜想通項(xiàng)公式an=2n1;(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:an=2n1.①當(dāng)n=1時(shí),a1=1滿足通項(xiàng)公式;②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),命題成立,即ak=2k1,由(1)知ak+1=2ak+1=2+1,ak+1=2k+11,即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.由①②可證an=2n1成立.題23.已知函數(shù)f(x)=logkx(k為常數(shù),k>0且k≠1).(1)在下列條件中選擇哪個(gè)可以使數(shù)列成等比數(shù)列,說(shuō)明理由;①數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列;②數(shù)列是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列
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