2023新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)蝗制練習(xí)新人教A版必修第一冊(cè)

5.1.2弧度制

知識(shí)對(duì)點(diǎn)練

知識(shí)點(diǎn)一弧度制的概念

1.下列說法正確的是（）

A.1弧度角的大小與圓的半徑無關(guān)

B.大圓中1弧度角比小圓中1弧度角大

C.圓心角為1弧度的扇形的弧長都相等

D.用弧度表示的角都是正角

答案A

解析長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，與半徑的大小無關(guān)，故A正

確，B,C錯(cuò)誤.弧度可表示任意角，故D錯(cuò)誤.

29n

2.角一一彳的終邊所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

29Ji19n19n

解析一不-=-4"+不-'的終邊位于第四象限.

知識(shí)點(diǎn)二角度與弧度的互化

3.-150°角的弧度數(shù)是（）

5n4冗2人3n

A.—r-B.——C.-r-D.——

6334

答案A

,JIJI5n

解析V1°=力？???-150°=-150X—.

1801806

4.牛對(duì)應(yīng)的角度為（）

A.75°B.125°C.135°D.155°

答案C

解析由于1rad=（華〉,所以等=135°,故選C.

5.（多選）下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是（）

.、.3n

A.67°30'化成弧度是丁

O

B.一半化成角度是一600°

C.-140?；苫《仁且?-

6

I).會(huì)化成角度是15°

答案ABD

it3n10Jt10itfl80

解析對(duì)于A,67°30'=67.5X—=—,正確；對(duì)于B,一一—=——X—

loUooJ\Ji,

—600°,正確；對(duì)于C,—1400=-140X—=——,錯(cuò)誤；對(duì)于D,—=—X—

iouyiziz\,

15°,正確.

6.已知兩角和為1弧度，且兩角差為1°,則這兩個(gè)角的弧度數(shù)分別是.

1"1n

答案+

2-2-

360360

解析設(shè)兩個(gè)角的弧度數(shù)分別為X,y.

_1,2L

JS-2+360,

因?yàn)?°rad,所以1Jl解得一

1oUk尸演，

所以所求兩角的弧度數(shù)分別為2+息,

7.將下列角度與弧度進(jìn)行互化：

7n4n

(1)20°；(2)-800°；(3)—；(4)一-

1/0

解(1)20°=20*念=微

iouy

4n11JI

8.設(shè)。i=510°,。2=-750°,￡1=~~二~?￡2=一—7.

56

(1)將小,用弧度表示出來，并指出它們各自終邊所在的象限；

(2)將B\,自用角度表示出來，并在(一360°,360°)內(nèi)找出與它們各自終邊相同的所

有的角.

解=念rad,

10U

JI17n5n

..“尸51。。=51。義麗=丁=2"+T；

n25n11n

5—75。。=-750X—=-3X2K+—

.?.角明的終邊在第二象限，角。2的終邊在第四象限.

4n’4冗180'

~x~°=144°.

設(shè)出=★?360°+144°UeZ）.

?.?-360°<%<360°,.?.-360°<k?360°+144°<360°,

/.k=—1或k=0.

???在（一360°,360°）內(nèi)與角⑶終邊相同的角是一216°.

￡八產(chǎn)一11丁JI=（一11丁n義1小80\。=一33?！恪?

設(shè)4=K360°-330°（A-SZ）.

?360°<%<360°,.,.-360°<k?360°-330°<360°,：.k=0或A=l....在（一

360°,360°）內(nèi)與角氏終邊相同的角是30°.

知識(shí)點(diǎn)三用弧度制表示角的集合

9.終邊在y軸正半軸上的角的集合是（）

A.{。|4=女兀，AGZ}B.a=kTi

C.{o\a=24兀,AeZ}D.\a。=24兀+彳~,AEZ

答案D

解析A項(xiàng)表示的是終邊在x軸上的角；B項(xiàng)表示的是終邊在y軸上的角；C項(xiàng)表示的是

終邊在x軸正半軸上的角；D項(xiàng)表示的是終邊在y軸正半軸上的角，故選D.

10.用弧度制表示與150。角的終邊相同的角的集合為（）

A.p￡=一*+24口，AGZ|

B.p￡=子+4?360°,Z-6Z

[2Ji1

C.j￡7?=—+2An,MZ；

[5Ji1

D,￡/?=-+2A-JT,AGZ

答案D

解析150°=150*三；=?,故與150°角終邊相同的角的集合為

1806

f1

萬=-^-+2*”，A-ez|.

11.用弧度制表示終邊落在x軸上方的角。的集合為

答案{。|2々31<a<2An+n,A6Z}

解析若角。的終邊落在x軸上方，則24。<2后+滅(代Z).

12.角a,￡的終邊關(guān)于直線x+尸0對(duì)稱，且。=一+，則￡=.

答案2kb-jAez

0

解析因?yàn)榻?。，￡的終邊關(guān)于直線x+尸0對(duì)稱，且。=一；，

所以￡=24兀一/，k^Z.

6

13.在平面直角坐標(biāo)系中，。=一空，當(dāng)角￡的終邊與角a的終邊分別有如下關(guān)系時(shí),

求￡：

(1)角。，￡的終邊關(guān)于*軸對(duì)稱；

(2)角。，￡的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱；

(3)角*B的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

解(1)如圖①，可得￡=?+24”，Aez.

JI

(2)如圖②，可得￡=一彳+24"，AGZ.

O

JI

(3)如圖③，可得尸=W+2AJI,kGZ.

o

14.(1)把一1480°寫成a+2An々GZ)的形式，其中0Wa<2n；

(2)用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界，如圖所示).

解

74n,16Ji16Ji16n

丁10天十丁5X2JT+—,其中<z=—.

（2）330°=360°-30°=2”一3，而60°=之，

b3

nn

它所表示的區(qū)域位于一云與可之間且跨越x軸的正半軸，

o3

71JI

二角的集合為92^31--<0<2kn+—,z-ez.

o3

知識(shí)點(diǎn)四扇形的弧長公式與面積公式的應(yīng)用

15.已知扇形的半徑為2,面積為4,則這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）

A.#B.2C.2^/2D.2小

答案B

解析設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為a,則扇形面積S=［。*2?=4,解得a—2.

16.如圖，點(diǎn)48,，是圓0上的點(diǎn)，且444,N/G?=30°,則劣弧46的長為（）

JIJT

A————

6,3

4n

C.4.~

,5

答案D

解析連接4。，如因?yàn)橐宜?/如=《，△/必為等邊三角形，故圓。的半

63

—it4Ji

徑r=AB=4,劣弧AB的長為77><片=".

17.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作.其中《方田》章給出計(jì)算弧田面

積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積=/弦義矢+矢2）.弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦圍成，公

式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為手,

半徑為4m的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是（）

A.6m?B.9m2C.12m2D.15m2

答案B

解析根據(jù)題設(shè)，弦=2X4sinT"=4#m,矢=4-2=2m,故弧田面積=；(弦X矢+

矢2)=1x(4V3X2+22)=dV3+2^9(m2).

18.已知扇形的圓心角所對(duì)的弦長為2,圓心角為蜉弧度.則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長為

O

,這個(gè)扇形的面積為

答案號(hào)等

因?yàn)樯刃蔚膱A心角所對(duì)的弦長為2,圓心角為冷弧度，所以半徑J____2_

解析

O尹

99Ji4A/Bn

所以這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長，=忑乂3一=竺六.

扇形的面積S=；X奉X"g』~=等.

/y/3?y

19.已知一個(gè)扇形的周長為外求當(dāng)扇形的圓心角多大時(shí)，扇形的面積最大，并求這個(gè)

最大值.

解設(shè)扇形的弧長為A半徑為八圓心角為明面積為￡

由已知,得2r+J=a,即/=a—2r.

1,1/\.3

S=-l?r=-（a-2r）?r=-r2+p——

Vr>0,l=a-2r>0,

a才

當(dāng)時(shí)，Wax=正.

,,,aa1

此時(shí)，l=a-2?7=-,，。=一=2.

42r

2

故當(dāng)扇形的圓心角為2rad時(shí)，扇形的面積最大，最大值%

易錯(cuò)特別練

易錯(cuò)點(diǎn)角度制和弧度制混用致錯(cuò)

求終邊在如圖所示陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角。的集合.

易錯(cuò)分析本題容易出現(xiàn)以下錯(cuò)解：

錯(cuò)解一：{。|4?360°+330°<3600+60°,AeZ}.

錯(cuò)解二：{。|24又一30。<a<2kn+60°,AGZ}.

上述錯(cuò)解一中若給左賦一個(gè)值，則集合中不等式右邊的角反而小于左邊的角.錯(cuò)解二中,

同一不等式中混用了角度制與弧度制.

正解J。2AJt-y<a<2kn+y,AeZJ,也可寫成{。|公360°—

30°<a<k>360°+60°,AGZ}.

綜合練

一、單項(xiàng)選擇題

O兀

1.把一M化成角度是（）

O

A.-960°B.-480°C.-120°D.-60°

答案B

=一4800.

2.將分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是（）

答案D

解析將分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度為一60°,-60°=-60X*;=—5

loUo

故選I）.

3.若。=-3,則角。的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案c

JIJI

解析因?yàn)?＜3＜兀，所以一“＜一3〈一萬，故角。的終邊在第三象限.

4.將一1485°化成a+2C（0Wa〈2n,々《Z）的形式是（）

n7n

A.———8nB.^-r—8n

44

n7n

C.——10nD.10n

4

答案D

7JT

解析一14850=-5X360°+315°，化為。+24兀（0W。＜2n,4eZ）的形式為一;-一

10n,選D.

5,若集合4=xAn+冗，AWZ,夕=3—24后2},則力門6為（）

jiJi

A.[―l,0]u[y,1B.—,2

"ji-]rJI_1rJT

C.[—2,0]U—,2D.—2,—U—,2

o4J

答案c

解析力=（才左冗+可WxW/rn+兀，〃WZ2JiJT

=…UounU…

T3

JI

406=[—2,0]U—,2.

o

JIJT

6.集合。在n+了WaW%n+萬，4eZ中的角所表示的范圍（陰影部分）是（）

答案C

解析當(dāng)幺=2m,mWZ時(shí)，2/?n+-^-WaW2加"十萬，加eZ；當(dāng)仁2W+1,/?WZ時(shí),

5n3n,

2加九十-Wa+-^-,/eZ.故選C.

7.如圖是一個(gè)半徑為火的扇形，它的周長為4兄則這個(gè)扇形所含弓形（陰影區(qū)域）的面

積是（）

A.g(2—sinlcosl)#

^sinlcosl

B.

c.%

D.(1—sinlcosl)

答案I)

ATIIL-11O1I

解析，：1=4R—2R=2R,：.。=R=2.；S弓彩=S闞彩一8=5a〃一點(diǎn)27fcin-j?

=~X2XA?—#sinlcosl=(1—sinlcosl)

8.若角〃與角x+寧有相同的終邊,角萬與角x一?有相同的終邊，那么〃與￡間

的關(guān)系為()

A.。+￡=0B.。一￡=0

C.a+B=2kb(AeZ)D.。—￡=24冗+萬(4eZ)

答案D

JIn

解析a=x+—r+2k\n(AGZ),￡=x--7+242兀(jfeeZ),/.o—j3=—+2(k\—

4

：.k-k^l.：.。一萬=^-+2AJI(A-eZ).

kz)?w(k￡Z,A2eZ).VAiSZ,&ez,

二、多項(xiàng)選擇題

9.下列命題中，真命題是()

A.“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位

B.1°的角是周角的焉，1rad的角是周角的/

C.1rad的角比1°的角要大

D.用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)

答案ABC

解析根據(jù)1度、1弧度的定義可知A,B,C為真命題，D為假命題，故選ABC.

10.下列結(jié)論中正確的為()

n

A.-rad=60°B.10°=-rad

lo

n5n

C.36°=_radD.rad=115°

58

答案ABC

,,Jl1JlJT

解析Vrad=-x180°=60°,A正確；10°=10XTTTrad=—rad,B正確；36°

ooloUlo

JIn.5兀5

=36X--TTrad=—rad,C正確；rad=-TX180°=112.5°，D錯(cuò)誤.故選ABC.

loUOoo

11.下列各對(duì)角中，終邊相同的是（）

3H3n，兀_22兀

和2〃nT-（A^Z）B.—三和—-

N/0□

答案AC

解析在弧度制下，終邊相同的角相差2貝的整數(shù)倍.故選AC.

12.已知扇形的周長是6cm,面積是2cm）下列選項(xiàng)中可能正確的有（）

A.圓的半徑為2

B.圓的半徑為1

C.圓心角的弧度數(shù)是1

D.圓心角的弧度數(shù)是2

答案ABC

‘2r+ar=6,

解析設(shè)扇形半徑為「，圓心角弧度數(shù)為。，則由題意得2解得

g"=2,

r=l,|r=2,

或可得圓的半徑為1或2,圓心角的弧度數(shù)是4或1.故選ABC.

a=4I67=1.

三、填空題

13.已知集合4={x|2AnWxW24w+貝，AeZ},集合Q{不|-4WxW4},貝ljHCQ

答案[-4,n]

解析如圖所示,

-2n-4-x0x42TC3nx

-Jt]U[0,K].

14.（1）1°的圓心角所對(duì)弧長為1米，則此圓半徑為米;

(2)1rad的圓心角所對(duì)弧長為1米，則此圓半徑為米?

/、180/、

答案(D—(2)1

解析(1)因?yàn)镮。1=1°=7^7?/=1,

loU

11180

所以二百=三=丁

180

1

⑵因?yàn)閍所以廣

7=1,||=1,-a=1.

15.角的集合+"|"'kwZJI

與集合Xx=2k^±萬，keZ之間的

關(guān)系為

答案A=B

ji

解析|x|x=2kn+~^-,分別表示終邊在y軸的

正、負(fù)半軸上的集合，,集合8表示終邊落在y軸上的角的集合，??.4=8.

JI

16.若角a的終邊與角高的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且ae(—4",4n),則。=

O

11冗5JiJT7n

答案T"T,~

解析由題意,角a與角的終邊相同,

5o

,，n

故a=—+2kTi,攵￡Z.

o

又ae(-4n,4n),—4Jt<4Jt,"GZ,

15

—%蹙..?.2—2,—1,0,1.

11n5nn7n

故a

33~

四、解答題

17.一條鐵路在轉(zhuǎn)彎處成圓弧形，圓弧的半徑為2km,一列火車用30km/h的速度通過,

求火車經(jīng)過10s后轉(zhuǎn)過的弧度數(shù).

解10s內(nèi)火車轉(zhuǎn)過的圓形弧長為

瀛X30/(km).

1

?21

所以轉(zhuǎn)過的角。=方=方(弧度).

18.己知a=-800°.

(D把a(bǔ)改寫成B+2k工GeZ,0W￡<2〃)的形式，并指出a是第幾象限的角；

(2)求角y,使y與角a的終邊相同，且蚱(一，，

,14n

解(1)因?yàn)橐?000=-3X360°+280°,280°=的一，

14Ji

所以。=^-+(-3)X2n.

y

因?yàn)榻莂與1看4n終邊相同，所以角a是第四象限角.