工程力學(xué)：第五章 材料的力學(xué)性能

1第五章材料的力學(xué)性能5.1概述5.2低碳鋼拉伸應(yīng)力—應(yīng)變曲線5.3不同材料拉伸壓縮時的機(jī)械性能5.4真應(yīng)力、真應(yīng)變5.6不同材料模型下的力學(xué)分析5.5應(yīng)力—應(yīng)變曲線的理想化模型2第五章材料的力學(xué)性能力的平衡條件變形幾何協(xié)調(diào)條件力與變形間的物理關(guān)系變形體力學(xué)，研究主線：5.1概述2)變形幾何協(xié)調(diào)條件:

l2=2

l1

；

3)力與變形間的物理關(guān)系：

l1=N1l/E1A1

；

l2=N2l/E2A2.解：1)力的平衡：平衡方程為：

mA(F)=N1a+2N2a-3Pa=0

Y=YA+N1+N2-P=0

aaaABPYAN1N212lDD1l2l回憶例：剛性梁AB受力P作用，求各桿內(nèi)力。3材料變形直至破壞的行為？什么條件下會發(fā)生破壞？如何控制設(shè)計(jì)才能保證構(gòu)件有必要的強(qiáng)度和剛度？力的平衡：小變形下，與材料無關(guān)；用平衡方程描述。幾何協(xié)調(diào)條件：變形應(yīng)滿足的幾何關(guān)系，不涉及材料。力與變形間的物理關(guān)系：顯然與材料有關(guān)。不同材料，在不同載荷作用下，力學(xué)性能不同。構(gòu)件必須“強(qiáng)”，不發(fā)生破壞；必須“剛硬”，不因變形過大而影響正常工作。變形幾何協(xié)調(diào)條件:

l2=2

l1

；物理關(guān)系：

l1=N1l/E1A1

；

l2=N2l/E2A2.力的平衡方程：

mA(F)=N1a+2N2a-3Pa=0

Y=YA+N1+N2-P=045.2低碳鋼拉伸應(yīng)力—應(yīng)變曲線常用拉伸試樣(圓截面):標(biāo)距長度：

l=10d或5d施加拉伸載荷P，記錄P—

l曲線;或

(=P/A)—

(=

/)曲線。低碳鋼拉伸應(yīng)力—應(yīng)變曲線:頸縮階段：到k點(diǎn)發(fā)生斷裂。四個階段：

頸縮

屈服強(qiáng)化

彈性彈性階段：卸載后變形可恢復(fù)。屈服階段：變形迅速增大，材料似乎失去抵抗變形的能力。強(qiáng)化階段：恢復(fù)抵抗變形的能力。516由

-

曲線定義若干重要的比例極限

p：

=E

-

關(guān)系是線性、彈性的。材料性能和指標(biāo)：彈性模量

(ElasticModulus)

E=

/

：op段直線的斜率,反映材料抵抗彈性變形的能力。彈性極限

e：彈性，pe段為非線性。

e與

p數(shù)值相近。

屈服極限或屈服強(qiáng)度(yieldstrength)

ys：

材料是否出現(xiàn)塑性變形的重要強(qiáng)度指標(biāo)。sopesybk=PAk'eDll=/

ys

p

eE17seosbeepe11EEAA'Beeep總應(yīng)變

是彈性應(yīng)變與塑性應(yīng)變之和。屈服后卸載，卸載線斜率為E。殘余的塑性應(yīng)變?yōu)?/p>

p；恢復(fù)的彈性應(yīng)變?yōu)?/p>

e，則有：

=

e+

p.彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變強(qiáng)化階段卸載，可使屈服極限

ys提高，塑性變形減小。（如預(yù)應(yīng)力鋼筋等）。

應(yīng)變硬化：反映材料是否破壞的重要強(qiáng)度指標(biāo)。極限強(qiáng)度(ultimatestrength)

b：

ys

b8延性和脆性：

延伸率

n:1面縮率

：A1A0度量材料塑性性能的重要指標(biāo)。

>5%,如低碳鋼、低合金鋼、青銅等延性材料：脆性材料：

<5%,如鑄鐵、硬質(zhì)合金、石料等。低碳鋼，

約25%左右，

約為60%。9材料的力學(xué)性能（或機(jī)械性能）指標(biāo)為：E1彈性指標(biāo)：彈性模量E:

材料抵抗彈性變形的能力；

ys

b強(qiáng)度指標(biāo)：屈服強(qiáng)度

ys-材料發(fā)生屈服極限強(qiáng)度

b-材料發(fā)生破壞延性指標(biāo)：延伸率

和/或

面縮率

。105.3不同材料拉伸壓縮時的機(jī)械性能1)不同材料的拉伸

—

曲線脆性材料無

ys,無頸縮，強(qiáng)度指標(biāo)

b。彈性階段

--

間也可有非線性關(guān)系。延性材料可以沒有屈服平臺，名義屈服強(qiáng)度

0.2為產(chǎn)生0.2%塑性應(yīng)變時的應(yīng)力。(%)se0(MPa)1020500200A3鋼16Mn500se0(%)(MPa)20010.5灰鑄鐵玻璃鋼se0(%)(MPa)20050020鋁合金球墨鑄鐵青銅1116Mn、A3鋼拉伸曲線錳鋼硬鋁球鐵青銅拉伸曲線灰鑄鐵、玻璃鋼、拉伸曲線122)壓縮時的機(jī)械性能sess0ysys(a)A鋼3拉伸壓縮sess0bcbt(b)鑄鐵

壓縮與拉伸的

-

曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。有基本相同的E、

ys。

材料愈壓愈扁，往往測不出抗壓極限強(qiáng)度。延性材料:拉、壓縮機(jī)械性能常常有較大的區(qū)別，抗壓極限強(qiáng)度

bc>>抗拉極限強(qiáng)度

bt。如鑄鐵、混凝土、石料等。脆性材料：13低碳鋼壓縮,

愈壓愈扁鑄鐵壓縮,

約45

開裂143)泊松(Poisson)比沿載荷方向（縱向）的應(yīng)變:

1=

L/L0;垂直于載荷方向（橫向）的應(yīng)變：

2=(d-d0)/d0=-

d/d0材料沿加載方向伸長/縮短的同時，在垂直于加載方向發(fā)生的縮短/伸長現(xiàn)象。泊松效應(yīng):橫向與縱向應(yīng)變之比的負(fù)值。

=-

2/

1.一般，彈性階段，

=0.25-0.35。塑性階段，

=0.5。泊松比

:15材料體元V0=abc縱向應(yīng)變

x=

，則橫向應(yīng)變

y=

z=-

變形后尺寸為a+

a=a(1+

)、b(1-

)和c(1-

)。

體積為：V=abc(1+

)(1-

)2應(yīng)變

遠(yuǎn)小于1，略去高階小量，得到：

V=abc[1+(1-2

)]故體積的改變量為：

V=V-V0=abc(1-2

)

體積變化率：a(1+e)c(1-me)b(1-me)xyz

V/V0=(1-2

)

=(1-2

)

/E當(dāng)

=0.2%,

=0.3時,

V/V0=0.08%。塑性階段，

0.5，有

V

0。體積變化率為:彈性體積變化小塑性體積變化可忽略16討論1：直徑d0=20mm,長L0=300mm的桿，受力P=6.28kN作用后，長度增加0.3mm,直徑減小0.0006mm；試計(jì)算材料的彈性模量E和泊松比

。桿橫截面上的應(yīng)力為：

=6.28103

/3.140.012=2107

(Pa)=20(MPa)彈性模量:E=/

軸向=2107

/110-4=21011

(Pa)=200(GPa)解：桿的縱向應(yīng)變?yōu)椋?/p>

軸向=0.3/3000=110-4

橫向應(yīng)變?yōu)椋?/p>

橫向=-0.0006/20=-310-5

故，泊松比：

=-

橫向/

軸向=0.317討論2：鋁塊(E=70GPa、=0.3)如圖，力P=200kN通過剛性板均勻作用于上端橫截面上。試計(jì)算其尺寸和體積的改變

V。解:

z=P/A=200103

/100200=10(MPa)

z=/E=10/(70103)=1.4310-4橫截面上的壓應(yīng)力、壓應(yīng)變?yōu)椋?/p>

Lz=

zLz

=1.4310-4300=0.043mm縱向縮短:

Lx=

xLx=

zLx

=0.3

1.4310-4100=0.0043mmLy=

yLy=

zLy=0.0086mm橫向伸長:

V/V0=(1-2

)

z

=0.4

1.4310-4=5.7210-5

體積變化率為：100mm200mm300mmPxyz185.4真應(yīng)力、真應(yīng)變dP應(yīng)變0應(yīng)力均勻變形S,es,eD0llllsys

真應(yīng)力

、真應(yīng)變

：

；一般工程問題：e<0.01誤差小，二者可不加區(qū)別誤差：工程應(yīng)力S、工程應(yīng)變e:S=P/A0

；e=Dl/l0=(l-l0)/l0

=P/A=Pl

/A0l0=(P/A0)[(l0+

l

)/l0]=S(1+e)>Se=ln(1+e)=e-e2/2+e3/3-…<e關(guān)系：均勻變形，假定體積不變，A0l0=Al，則有：

19小結(jié)：低碳鋼拉伸s-e曲線

彈性屈服強(qiáng)化頸縮

ys

bE1總應(yīng)變

是彈性應(yīng)變與塑性應(yīng)變之和,

=

e+

p彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變材料的力學(xué)性能指標(biāo)為：彈性：E;強(qiáng)度：

ysor

0.2;

b;延性指標(biāo)：

,

。20脆性材料:拉、壓縮性能常有較大的區(qū)別。一般：抗壓極限強(qiáng)度

bc>>抗拉極限強(qiáng)度

bt。真應(yīng)力、應(yīng)變與工程應(yīng)力、e的關(guān)系：

=P/A=S(1+e)e=ln(1+e)延性材料:

壓縮與拉伸有基本相同的E、

ys。

材料沿加載方向伸長/縮短的同時，在垂直于加載方向發(fā)生的縮短/伸長現(xiàn)象。泊松效應(yīng):體積變化率為：

V/V0=(1-2

)

彈性體積變化很小。（

1=/E；

2=

3=-

1）泊松比

:

=-

2/

1.21思考題：5-1；5-2；5-3習(xí)題：5-1；5-222第五章材料的力學(xué)性能5.1概述5.2低碳鋼拉伸應(yīng)力—應(yīng)變曲線5.3不同材料拉伸壓縮時的機(jī)械性能5.4真應(yīng)力、真應(yīng)變5.6不同材料模型下的力學(xué)分析5.5應(yīng)力—應(yīng)變曲線的理想化模型23前節(jié)回顧：低碳鋼拉伸s-e曲線

彈性屈服強(qiáng)化頸縮

ys

bE1總應(yīng)變

是彈性應(yīng)變與塑性應(yīng)變之和,

=

e+

p彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變材料的力學(xué)性能指標(biāo)為：彈性指標(biāo)：E強(qiáng)度指標(biāo)：

ys;

b延性指標(biāo)：

,

24低碳鋼拉伸曲線錳鋼硬鋁球鐵青銅拉伸曲線灰鑄鐵、玻璃鋼、拉伸曲線不同材料有不同的性能低碳鋼拉伸曲線最典型金屬材料屈服應(yīng)變約0.2%

屈服平臺應(yīng)變約3-5%255.5應(yīng)力—應(yīng)變曲線的理想化模型1)線彈性模型:

=E

(

<

b；或

<

ys)

研究彈性、小變形問題。se0(MPa)20010.5灰鑄鐵玻璃鋼500(%)sesyssb或02)非線性彈性模型:

=k

n(

<

b；或

<

ys)用于有非線性彈性行為材料的分析。非線性影響不大時，可線性近似。材料的

—

曲線各種各樣，如何描述？必須建立反映材料

-

關(guān)系的物理模型。模型應(yīng)當(dāng)物理真實(shí)，數(shù)學(xué)簡單。se0(%)(MPa)1020500200A3鋼16Mnsesyssb或0263)剛性理想塑性模型：se0(%)(MPa)1020500200A3鋼16Mn用于有明顯屈服平臺的材料，研究彈塑性變形的問題。sesys0用于有明顯屈服平臺的材料，彈性變形比塑性變形小得多時，研究可忽略彈性變形的問題。忽略彈性變形，也不考慮應(yīng)變硬化。當(dāng)

<

ys時，

=0

當(dāng)

>0時，

=

ys4)彈性理想塑性模型：線彈性+理想塑性。當(dāng)

ys

時,

=E

當(dāng)

>

ys

時,

=

ys=E

ys

sesys027se0(%)(MPa)20050020鋁合金球墨鑄鐵青銅5)冪硬化彈塑性模型：總應(yīng)變：

=

e+

p。

實(shí)驗(yàn)給出應(yīng)力與彈、塑性應(yīng)變的關(guān)系：

=E

e；及

=K

p1/n；

故有Remberg-Osgood應(yīng)力-應(yīng)變系：

=

e+

p=(

/E)+(

/K)n.K為強(qiáng)度系數(shù)，應(yīng)力量綱；n為應(yīng)變硬化指數(shù)。綜合描述彈塑性性能，用于無明顯屈服平臺的材料。6)線性硬化彈塑性模型：

彈性部分用線彈性，硬化用線性近似。

=E

當(dāng)

ys

時；

=

ys+E1(

-

ys)當(dāng)

>

ys

時。

常數(shù)E、E1分別為OA、AB的斜率。sesysO11EE1ABseeeepA028討論：研究彈性變形問題，用

或

模型？線彈性非線性彈性彈性理想塑性剛性理想塑性冪硬化彈塑性不可能用一個模型描述各種材料；也難于用一個簡單的方程表達(dá)整條應(yīng)力—應(yīng)變曲線。需要若干不同的模型，適應(yīng)不同材料、不同問題。研究鋁合金材料彈塑性問題，用

模型？16Mn鋼彈塑性問題，不考慮硬化，可用

模型？若忽略其彈性變形，可用

模型？灰鑄鐵用線彈性模型，球鐵用線性硬化彈塑性，可否？295.6不同材料模型下的力學(xué)分析P132C例5.1三桿鉸接于C點(diǎn)，受力P如圖。桿截面積、材料均相同，材料

-

關(guān)系為

=E

，求三桿內(nèi)力。

材料模型力與變形間物理關(guān)系解：1)力的平衡方程：受力如圖。有平衡方程：

N2=N3---(a)N1+2N2cos

=P---(b)

三個未知量，二個方程，一次靜不定。2)變形幾何條件：桿系變形如圖。有：

1cos

=

2.---(c)303)力與變形間的物理關(guān)系（

-

關(guān)系）由線彈性模型有

=E

，即N/A=E

L/L。

故可知各桿的伸長

L=

為：

1=N1L1/EA；

2=N2L2/EA---(d)至此，共有5個方程，可解N1、N2、N3、

1、

2。P132CaL1L2---(1)注意到L1=L2cos

，由(c)、(d)二式得到：

N2=N1cos2

---(e)再由方程(a)、(b)、(e)解得：N1=P/(1+2cos3

)N2=N3=Pcos2

/(1+2cos3

)31注意同樣有L1=L2cos

，由(c)、(d’)式可得：

N2/N1=(

2/

1)n×(L1/L2)n=cos2n

即有：N2=N1cos2n

---(e')討論一：材料

-

關(guān)系用非線性彈性模型，

=k

n，再求三桿內(nèi)力。---(2)N1=P/(1+2cos2n+1

)N2=N3=Pcos2n

/(1+2cos2n+1

)與(b)式聯(lián)立解得：---(d')材料模型不影響力的平衡和變形幾何協(xié)調(diào)條件。故前述方程(a)、(b)、(c)仍然成立。力與變形間的物理關(guān)系由非線彈性模型

=k

n有：

1=k

1n

N1/A=k(

1/L1)n.

2=k

2n

N2/A=k(

2/L2)n.32設(shè)載荷為Ps發(fā)生屈服，即

1=

ys，故：

1=N1/A=Ps/A(1+2cos3

)=

ys.得到屈服載荷Ps為：---(3)Ps=

ysA(1+2cos3

)

討論二：材料為彈性理想塑性，如圖。求桿系能承受的最大載荷P。屈服載荷Ps：“結(jié)構(gòu)中任一處達(dá)到屈服應(yīng)力時的載荷”。彈性解(1)有：N1=P/(1+2cos3

)N2=N3=Pcos2

/(1+2cos3

)知，N1>N2=N3;三桿A、E相同，P增大，桿1先屈服。E133當(dāng)P=Ps時，

1=

ys,；

2=

3<

ys。

故桿2、3承受的載荷仍可繼續(xù)增加。超過屈服載荷Ps后，

1

ys，N1

ysA。代入平衡方程N(yùn)1+2N2cos

=P，當(dāng)Ps

P

Pu時，有：N2=N3=(P-

ysA)/2cos

；

2=

3=[(P/A)-

ys]/2cos

---(4)極限載荷Pu：“結(jié)構(gòu)整體進(jìn)入屈服極限狀態(tài)時，因塑性變形而喪失繼續(xù)承載能力的載荷”。P132CNNN213極限狀態(tài)下P=Pu

，

1=

2=

3=

ys，N1=N2=N3=

ysA，由平衡方程可直接確定Pu為：Pu=N1+2N2cos

=

ysA(1+2cos

)---(5)34不同材料模型下分析結(jié)果的比較線性彈性：

=E(P<Ps)

越大，N1越大，=0，

N1=P/3；=90，N1=P。aaPCNNN213N1=P/(1+2cos3

)N2=N3=Pcos2

/(1+2cos3

).N1=P/(1+2cos2n+1

)N2=N3=Pcos2n

/(1+2cos2n+1

)非線性彈性：

=k

n(P<Ps)n=1,k=E,非線性彈性退化為線彈性結(jié)果。Ps=

ysA(1+2cos3

)N1

ysAN2=N3=(P-

ysA)/2cos

；Pu=N1+2N2cos

=

ysA(1+2cos

)理想彈塑性：(Ps

P

Pu)考慮塑性，結(jié)構(gòu)的承載能力可以大一些。極限載荷Pu>屈服載荷Ps若=60，Pu=1.6Ps。35

討論三：變形與位移

(理想彈塑性模型)

結(jié)構(gòu)C點(diǎn)的位移，等于桿1的伸長。P132CP<Ps時：彈性變形為：

1=

N1L1/EA

=PL1/(1+2cos3

)EA

P=Ps時，N1

ysA，到達(dá)屈服載荷Ps的變形為：

s=

1=N1L1/EA=

ysL1/E;Ps

P

Pu時：桿1屈服，可自由伸長。但C點(diǎn)變形受桿2、3約束，

1必須滿足幾何協(xié)調(diào)條件

(c)。注意：

1=

2/cos

，

L1=L2cos

，

N2=(P-

ysA)/2cos

；有：

1=

2/cos=N2L2/EAcos

=(P-

ysA)L1/2cos3EA；P=Pu=

ysA(1+2cos

),到達(dá)極限載荷時的位移為：

u=

1=

2/cos

=N2L2/EAcos

=

ysL1/Ecos2

.360解：平衡方程：

N2=N3;N1+2N2cos

=P極限狀態(tài)下，三桿均屈服，

N1=N2=N3=

ysA，極限載荷Pu為：

Pu=N1+2N2cos

=

ysA(1+2cos

)剛性理想塑性模型給出與理想彈塑性模型相同的極限載荷,但得不到屈服載荷，也得不到變形。問題討論1：若材料模型用剛性理想塑性，試求三桿結(jié)構(gòu)的極限載荷Pu。NNN21337對于靜不定問題：約束力、內(nèi)力、應(yīng)力的求解是否與材料有關(guān)？屈服載荷和/或極限載荷是否與材料有關(guān)？屈服載荷

極限載荷？(><=)問題討論2.

變形體靜力學(xué)分析中是是

<<否是對于靜定問題：約束力、內(nèi)力、應(yīng)力的求解是否與材料有關(guān)？應(yīng)變、變形、屈服載荷是否與材料有關(guān)？38問題討論3：材料為彈性-理想塑性的二桿結(jié)構(gòu)如圖。桿1屈服后,問題是否仍為小變形？如何重寫平衡方程？結(jié)構(gòu)的極限載荷Pu如何？

桿1屈服后,C點(diǎn)位移迅速增大，桿1已不再是小變形。

Pa212haCP12gbCN1