也談數(shù)學(xué)概念的定義方式

精品文檔-下載后可編輯也談數(shù)學(xué)概念的定義方式近期，貴刊連續(xù)刊登了張奠宙教授、戎松魁老師和馬建平老師的文章，其中均涉及對(duì)數(shù)學(xué)概念定義方式的不同理解。對(duì)此，筆者也談些粗淺的感受。

眾所周知，數(shù)學(xué)概念是建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基本要素，是數(shù)學(xué)判斷、推理的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力和發(fā)展智力的起點(diǎn)。因此，概念教學(xué)歷來是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一。

就小學(xué)生而言，對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解水平既是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本體現(xiàn)，更關(guān)系到掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)是否扎實(shí)。但是，鑒于小學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和思維能力，小學(xué)課本對(duì)于許多數(shù)學(xué)概念并沒有給出符合邏輯學(xué)要求的嚴(yán)格定義，但這并不意味著概念的呈現(xiàn)可以“生活化”，可以隨心所欲，而同樣應(yīng)該體現(xiàn)數(shù)學(xué)的特性、數(shù)學(xué)的魅力。這種“數(shù)學(xué)的熏陶”能從小就給學(xué)生以邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性感受，這是其他學(xué)科所難以替代的。

數(shù)學(xué)概念的定義方式是多樣的，在初等數(shù)學(xué)中用得最多的是屬加種差定義。這是因?yàn)槲覀冋J(rèn)識(shí)客觀世界大多遵循從已知到未知，用已知解釋未知，進(jìn)而把未知變?yōu)橐阎耐鶑?fù)循環(huán)、逐步深入的過程。而屬加種差的定義概念方式是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程最好的詮釋。另一方面，在同一數(shù)學(xué)知識(shí)體系中總會(huì)有一系列概念屬于同一類型，例如，四邊形平行四邊形矩形、菱形正方形等。這些概念之間的外延存在包含關(guān)系，稱之為屬種關(guān)系。即前面的概念是后面概念的屬概念、后面的概念是前面概念的種概念。因而，利用已知的屬概念和其他已知的可用來表述種差的有關(guān)概念來解釋未知的種概念便成為可能。

例如，“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（長方形）”這一定義表明，矩形是一種平行四邊形，它和其他平行四邊形的區(qū)別是“有一個(gè)角是直角”。

一般而言，在屬加種差定義中指明了兩點(diǎn)：①指出了一個(gè)更一般的概念（屬概念），被定義的概念則是它的特例；②指出了被定義概念從屬概念中劃分出來所依據(jù)的屬性（種差）。因而，屬加種差定義可用公式表示為：屬概念+種差=被定義概念。

基于上述理解，筆者認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)概念（即使是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的有關(guān)概念）下定義應(yīng)該注意以下幾個(gè)方面。

一、用屬加種差的方式給概念下定義應(yīng)選取與被定義的概念最鄰近的屬概念

如給“矩形”下定義，先要找到它的屬概念。眾所周知，平行四邊形和四邊形都可以作為矩形的屬概念，但平行四邊形是與矩形更鄰近的屬。在平行四邊形這個(gè)屬里，除了包含矩形這個(gè)種外，還包含其他種，所以還需要進(jìn)一步找出矩形所具有的、區(qū)別于其他種的本質(zhì)屬性（即種差）。顯然，“一個(gè)角是直角”是矩形最簡單的一個(gè)種差。于是就有了“有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形”的定義。當(dāng)然，“屬概念一般應(yīng)該與被定義概念是最鄰近的”意味著也可以從較“遠(yuǎn)”的屬概念出發(fā)定義，但這就導(dǎo)致需要更多的種差來區(qū)分不同的種概念。如作為矩形屬概念的四邊形，由于其外延更大，平行四邊形、梯形等都是其種概念，因而，要區(qū)別于更多的其他種概念，從四邊形出發(fā)定義矩形就需要找更多的種差，如“直角”就需要從一個(gè)增加到三個(gè)。由此不難理解，屬概念與被定義的概念越鄰近，種差就越簡單。

由此可知，首先，從最鄰近的屬概念出發(fā)定義種概念可以最完美地體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)，更易使知識(shí)系統(tǒng)化。其次，根據(jù)學(xué)生的接受能力，在已知概念的基礎(chǔ)上增加最少的知識(shí)所形成的新的概念在理解和掌握上會(huì)更容易些，會(huì)更有利于形成合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。再次，用與被定義概念最鄰近的屬概念定義，使新概念有一個(gè)良好的歸屬，有利于概念的分類。試想，直接從四邊形出發(fā)定義矩形，對(duì)四邊形和特殊四邊形的分類將出現(xiàn)何等尷尬的現(xiàn)象？

所以，用屬加種差方式定義數(shù)學(xué)概念盡量不要越級(jí)選取屬概念。

二、數(shù)學(xué)概念下定義要嚴(yán)謹(jǐn)

首先，不能用對(duì)生活常識(shí)概念的理解方式去理解數(shù)學(xué)概念。即一個(gè)數(shù)學(xué)概念的定義在顧及學(xué)生能夠理解的同時(shí)，也應(yīng)該考慮其嚴(yán)謹(jǐn)性。那種“我的課堂我做主”的隨意性在這里是要不得的。例如，將漢語詞典中的一些名詞解釋作為數(shù)學(xué)概念的定義就不是研究學(xué)問的好方法。

其次，給數(shù)學(xué)概念下定義必須簡明。就是說，定義中不能包含可以互相經(jīng)過推理而得出的屬性。“種差”少了，無法刻畫這個(gè)概念準(zhǔn)確的內(nèi)涵（導(dǎo)致外延擴(kuò)大），當(dāng)然不行；而多了同樣不行，即使不矛盾也是累贅而不夠簡潔。因而，“種差不多也不少”也是下定義的基本要求。例如，將矩形定義為“四個(gè)角是直角的四邊形”顯然不夠簡明，因?yàn)橛谩坝腥齻€(gè)角是直角”這個(gè)“種差”就可以了。

三、定義數(shù)學(xué)概念既要尊重學(xué)生現(xiàn)實(shí)又要體現(xiàn)數(shù)學(xué)特性

眾所周知，數(shù)學(xué)概念的定義是人為的，如同我們熟知的歐氏幾何是從平行公理（過已知直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行）作為起點(diǎn)之一，定義幾何概念，形成歐氏幾何體系；而非歐幾何又是從各自的平行公理（過直線外一點(diǎn)至少有兩條直線與已知直線平行和過直線外一點(diǎn)沒有一條直線與已知直線平行）作為重要的出發(fā)點(diǎn)之一而形成了以“三角形內(nèi)角和大于（小于）180°”為顯著特征的非歐幾何學(xué)體系。但是，數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)概念還是按教材中給出的定義教學(xué)為好，因?yàn)榻滩南鄬?duì)較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)體系的遞進(jìn)關(guān)系和兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的漸進(jìn)程序。像“矩形”這種長期以來已被大家所認(rèn)可并且在教材中固定下來的定義，我們就不必再去重新定義了。

“矩形”在小學(xué)階段沒有下定義，它的定義出現(xiàn)在初中教材中。小學(xué)教學(xué)中是通過揭示長方形的主要內(nèi)涵：“四條邊，對(duì)邊長相等；四個(gè)角，都是直角”等來描述，這便于學(xué)生對(duì)長方形概念的理解與運(yùn)用，但它不是數(shù)學(xué)意義上的長方形定義。所以，說到長方形（矩形）的定義，還是以與初中教材相銜接為好。

另外，即使找到與被定義概念最鄰近的屬概念，但由于種差有時(shí)是不唯一的，這會(huì)導(dǎo)致用屬加種差方式所做出的定義也不唯一。例如，若用“兩條對(duì)角線相等”做種差，矩形的定義就成為這樣：“兩條對(duì)角線相等的平行四邊形叫做矩形?！笨梢宰C明這個(gè)定義與“有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形”是等價(jià)的，但在小學(xué)教學(xué)中還是選擇有利于學(xué)生理解又不失數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性的“一個(gè)角是直角”作為“種差”為好。

由張奠宙教授主編的《中學(xué)教學(xué)全書數(shù)學(xué)卷