數據擬合完整版本

ExperimentsinMathematics數據擬合Z?'

函數擬合1.擬合的基本原理；3.用Matlab作最小二乘擬合；4.如何用擬合解決實際問題。2.最小二乘擬合；

設

R=at+ba,b為待定系數求電阻R隨溫度t的變化規(guī)律。已知熱敏電阻數據：溫度t(0C)20.532.751.073.095.7電阻R()7658268739421032引例1：熱敏電阻電阻值的變化規(guī)律

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01對某人用快速靜脈注射方式一次性注射某種藥物300mg后，經過時間t采集血樣，測得血藥濃度c如下表：求血藥濃度隨時間的變化規(guī)律c(t).半對數坐標系(semilogy)下的圖形Log10c(t)=at+b引例2：血藥濃度的變化規(guī)律曲線擬合問題的提法已知一組（二維）數據，即平面上n個點（xi,yi)i=1,…n,

尋求一個函數（曲線）y=f(x),

使f(x)

在某種準則下與所有數據點最為接近，即曲線擬合得最好。

+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)

i

i為點（xi,yi)與曲線y=f(x)的距離最小二乘擬合

第一步：先選定一類函數f(x，a1，a2，

…，am)其準則為（最小二乘準則）：使n個點（xi,yi)與曲線y=f(x，a1，a2，

…，am)的距離

i的平方和最小

。其中

a1,a2,…am

為待定常數。f可以為一些簡單的“基函數”（如冪函數，三角函數等等）的線性組合：第二步：確定參數a1,a2,…am，問題歸結為，求

a1,a2,…am

使

J(a1,a2,…am)

最小。這樣的擬合稱為最小二乘擬合。除了最小二乘準則（即各點誤差的平方和最?。?，你認為還可以用怎樣的擬合準則？比較起來，最小二乘準則有什么優(yōu)點？思考記最小二乘擬合函數f(x，a1，…am)的選取

++++++++++++++++++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1exp(a2x)+++++f=a1exp(a2x)1.通過機理分析建立數學模型來確定f；2.將數據(xi,yi)i=1,…,n作圖，通過直觀判斷確定f：2.作一般的最小二乘曲線擬合，可利用已有程序lsqcurvefit,其調用格式為：

a=lsqcurvefit(‘f’,a0,x,y)1.作多項式f(x)=a1xm+…+amx+am+1函數擬合,可利用已有程序polyfit,其調用格式為:a=polyfit(x,y,m)用MATLAB作最小二乘擬合數據點擬合多項式次數系數注：f為擬合函數y=f(a,x)的函數M—文件，f(a,x)為擬合函數。數據點待定常數a的初值函數M文件用MATLAB作多項式最小二乘擬合example12.用命令polyfit(x,y,m)得到a1=3.3940,a2=702.49181.選取函數R=

a1t+a2溫度t(0C)20.532.751.073.095.7電阻R()7658268739421032例.由數據擬合R=f(t)用MATLAB作最小二乘曲線擬合例：用函數f(x)=a1*exp(-a2*x)+a3*exp(-a4*x)擬合下列數據點：xdata=[0:.1:2]ydata=[5.89553.56392.51731.97901.89901.39381.13591.00961.03430.84350.68560.61000.53920.39460.39030.54740.34590.13700.22110.17040.2636]用命令lsqcurvefit(‘f’,a0,x,y)

example2fun1擬合的應用——參數辨識數學建模的方法：機理分析和測試分析。機理分析是根據對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數量規(guī)律，建立的模型常有明確的物理意義。測試分析將研究的對象看作一個“黑箱”，通過對實驗數據的統(tǒng)計分析，找出與數據擬合得最好的模型。機理分析——>模型結構實驗數據——>未知參數范例：薄膜滲透率的測定一、問題：某種醫(yī)用薄膜，具有從高濃度的溶液向低濃度的溶液擴散的功能，在試制時需測定薄膜被物質分子穿透的能力。測定方法：用面積為S的薄膜將容器分成體積分別為的兩部份，在兩部分中分別注滿該物質的兩種不同濃度的溶液。此時該物質分子就會從高濃度溶液穿過薄膜向低濃度溶液中擴散。平均每單位時間通過單位面積薄膜的物質分子量與膜兩側溶液的濃度差成正比，比例系數K表征了薄膜被該物質分子穿透的能力，稱為滲透率。定時測量容器中薄膜某一側的溶液濃度，以此確定K。VAVBS二、問題分析考察時段[t，t+Δt]薄膜兩側容器中該物質質量的變化。設，對容器的B部分溶液濃度的測試結果如下表：（濃度單位）

1）在容器的一側，物質質量的增加是由于另一側的物質向該側滲透的結果，因此物質質量的增量應等于另一側的該物質向這側的滲透量。以容器A側為例，在時段[t，t+Δt]物質質量的增量為：分別表示在時刻t膜兩側溶液設的濃度，濃度單位:由于平均每單位時間通過單位面積薄膜的物質分子量與膜兩側溶液的濃度差成正比，比例系數為K。因此，在時段[t，t+Δt]，從B側滲透至A側的該物質的質量為：于是有：兩邊除以Δt，并令Δt→0取極限再稍加整理即得：分別表示在初始時刻兩側溶液的濃度其中（1）2)注意到整個容器的溶液中含有該物質的質量不變,與初始時刻該物質的含量相同，因此

從而：加上初值條件：代入式（1）得：便可得出CB(t)的變化規(guī)律，從而根據實驗數據進行擬合，估計出參數K,。三、數學模型假設：1）薄膜兩側的溶液始終是均勻的；2）平均每單位時間通過單位面積薄膜的物質分子量與膜兩側溶液的濃度差成正比。3）薄膜是雙向同性的即物質從膜的任何一側向另一側滲透的性能是相同的?；诩僭O和前面的分析，B側的濃度CB(t)應滿足如下微分方程和初始條件：四、求解方法：1.函數擬合法前面得到的模型是一個帶初值的一階線性微分方程，解之得：問題歸結為利用CB在時刻tj的測量數據Cj(j=1,2,...,N)來辨識K和。引入從而用函數CB(t)來擬合所給的實驗數據，從而估計出其中的參數a,b,K。將代入上式有：用MATLAB軟件進行計算.1）編寫函數M-文件nongdu.mfunctionf=nongdu(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata);其中x(1)=a;x(2)=b;x(3)=k;2)在工作空間中執(zhí)行以下命令(test1.m)

tdata=linspace(100,1000,10);

cdata=[4.544.995.355.655.906.10...6.266.396.506.59];x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqcurvefit

(‘nongdu’,x0,tdata,cdata)3)輸出結果:x=0.007-0.0030.1012

即k=0.1012,a=0.007,b=-0.003,nongdutest1進一步求得：2.非線性規(guī)劃法利用CB在時刻tj的測量數據Cj(j=1,2,...,N)來辨識K和。問題可轉化為求函數即求函數的最小值點（K，a，b）。3.導函數擬合法前面得到的微分方程為：令上式變?yōu)椋哼@可以看作隨CB的變化規(guī)律(j=1,2,...,N)若知道一組數據則可用最小二乘擬合的方法來求出函數中的未知參數K和h。即為求參數K,a使下列誤差函數達到最小：該問題等價于用函數f(K,a,CB)=K(0.01a-0.02CB)來擬合數據(j=1,2,...,N)用MATLAB軟件進行計算.％求數據點(j=1,2,...,N)tdata=linspace(100,1000,10);cdata=1e-05.*[454499535565590...

610626639650659];[d,ifail]=e01bef(tdata,cdata);[cj,dcj]=e01bgf(tdata,cdata,d,tdata);1）編寫函數M-文件baomof.mfunctionf=baomof(x,cdata)f=x(1)*(0.01*x(2)-0.02*cdata)其中x(1)=K;x(2)=h2)編寫命令M文件(baomo21.m)3)輸出結果:x=0.10090.014

即k=0.1009,h=0.014％作函數擬合x0=[0.2,0.1];x=lsqcurvefit

('baomof',x0,cdata,dcj')4.線性化迭代法前面帶初始條件的一階線性微分方程的解為其中：

如果得到了參數K的一個較好的近似值K*，則將CB(t)關于K在K*處展開，略去

K的二次及以上的項得CB(t)的一個近似式通過極小化確定a,b,d,再由

K=d/0.02b得到K*的修正值

K。K*K*-K,得到K的一個新的近似值，用同樣的方法再求新的修正值

K。這個過程可以不斷重復，直到修正值足夠小為止。1）當K的初值取為k=0.3時，出現奇異情況，迭代不收斂；2）當K的初值取為k=0.2時，經四次迭代，已經收斂到一個很好的解。迭代結果如下表。五、結果及誤差分析幾種方法得出的結果及相應的誤差總結于下表，誤差為計算數據與實驗數據之差的平方和。注：導函數擬合法得出的參數值精度有限，線性化迭代法要求參數的初值比較接近精確值。因此可將導函數擬合法和線性化迭代法結合起來使用，把前者得到的參數K的值作為迭代法中K的初值，這樣可使迭代法收斂或收斂更快。3）取K的初值為k=0.1009,只一次迭代就得到2）中的最后結果。函數擬合法的擬合效果求解參數辨識模型的方法：函數擬合；非線性規(guī)劃；導函數擬合；線性化迭代；其它方法。布置“函數擬合”實驗目的

1.掌握用MATLAB計算函數擬合的方法內容

2.用函數擬合方法解決實際問題。?給藥方案一種新藥用于臨床之前，必須設計給藥方案。在快速靜脈注射下，所謂給藥方案是指，每次注射計量多大，間隔時間多長。藥物進入肌體后隨血液輸送到全身，在這過程中不斷被吸收、分解、代謝，最終排出體外。藥物向體外排出的速率與血藥濃度成正比。單位體積血液中的藥物含量，稱血藥濃度。臨床上，每種藥物有一個最小有效濃度c1和最大治療濃度c2。設計給藥方案時，要使血藥濃度保持在c1——c2之間，設本題研究的藥物的c1=10(g/ml),c2=25(g/ml),對某人用快速靜脈注射方式一次注入該藥物300mg后，在一定時刻t（小時）采集血樣，測得血藥濃度c(g/ml),如下頁表。試設計該藥