離散時間系統(tǒng)及卷積

第十章離散時間系統(tǒng)及卷積1可編輯ppt10.1離散時間系統(tǒng)2可編輯ppt1、離散系統(tǒng)的概念離散時間系統(tǒng)是指輸入及輸出信號均是離散信號的系統(tǒng)。系統(tǒng)輸入si(n)輸出so(n)3可編輯ppt2、離散系統(tǒng)的互聯(lián)系統(tǒng)1輸入系統(tǒng)2輸出a.系統(tǒng)的級聯(lián)系統(tǒng)1輸入系統(tǒng)2輸出b.系統(tǒng)的并聯(lián)系統(tǒng)1輸入系統(tǒng)3輸出系統(tǒng)2系統(tǒng)4c.系統(tǒng)的混聯(lián)4可編輯ppt3、離散時間系統(tǒng)的模型5可編輯ppt10.2離散時間系統(tǒng)的分類6可編輯ppt1、線性系統(tǒng)7可編輯ppt2、時不變系統(tǒng)8可編輯ppt3、因果系統(tǒng)9可編輯ppt4、穩(wěn)定系統(tǒng)對有界輸入信號的響應(yīng)還是有界信號的系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)?；蛘哒f，如果輸入信號的幅度限制在某個范圍之內(nèi)，則輸出信號的幅度也限制在某個范圍之內(nèi)。10可編輯ppt10.3離散時間系統(tǒng)的描述11可編輯ppt1、系統(tǒng)函數(shù)對應(yīng)連續(xù)時間系統(tǒng)中的h(t)，離散時間系統(tǒng)中有h(n)。12可編輯ppt2、系統(tǒng)函數(shù)的物理含義13可編輯ppt3、從系統(tǒng)函數(shù)到卷積系統(tǒng)h(n)n(n)nTf(n)14可編輯ppt系統(tǒng)h(n)f(0)t于是輸入信號f(n)的輸出就等于一系列h(n)（經(jīng)過加權(quán)和移位）的疊加Tf(t)h(n-1)f(1)th(n-k)f(k)t…s(t)15可編輯ppt16可編輯ppt于是，借助系統(tǒng)函數(shù)-即沖激響應(yīng)函數(shù)，我們就在系統(tǒng)的輸入信號與輸出信號之間建立了一種明確的數(shù)學(xué)關(guān)系，這種數(shù)學(xué)關(guān)系就是卷積關(guān)系。17可編輯ppt4、卷積的性質(zhì)及一類特殊的卷積卷積具有如下重要性質(zhì)：交換率：s

(n)h(n)=h(n)s

(n)分配率：s

(n)[h1(n)+h2(n)]=s(n)h1

(n)+s(t)h2

(n)18可編輯ppt5、一類特殊的卷積19可編輯ppth(n)=(n)的系統(tǒng)又被稱為恒等系統(tǒng)20可編輯ppt10.4離散互聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)21可編輯ppt1、級聯(lián)系統(tǒng)系統(tǒng)1輸入系統(tǒng)2輸出h1(n)h2(n)系統(tǒng)h(n)此種情況下，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)：h(n)=h1(n)

h2(n)22可編輯ppt2、并聯(lián)系統(tǒng)h1(n)h2(n)系統(tǒng)h(n)此種情況下，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)：h(n)=h1(n)+h2(n)系統(tǒng)1輸入系統(tǒng)2輸出23可編輯ppt3、混聯(lián)系統(tǒng)此種情況下，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)：h(t)={[h1(t)

h2(t)]+h3(t)}

h4(t)系統(tǒng)h(t)系統(tǒng)1輸入系統(tǒng)3輸出系統(tǒng)2系統(tǒng)4h1(t)h2(t)h3(t)h4(t)24可編輯ppt10.5卷積的頻域性質(zhì)25可編輯ppt1、時域與頻域的關(guān)系時域卷積等價于頻域乘積，即26可編輯ppt于是，我們在系統(tǒng)沖激響應(yīng)函數(shù)、輸入信號、輸出信號之間建立了聯(lián)系，這種聯(lián)系不僅體現(xiàn)在時域中，而且體現(xiàn)在頻域中。基于這些聯(lián)系，我們可以分析和解決很多問題27可編輯ppt1）級聯(lián)系統(tǒng)系統(tǒng)1輸入系統(tǒng)2輸出h1(n)h2(n)系統(tǒng)h(n)此種情況下，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)：h(n)=h1(n)

h2(n)H()=H1()·H2()28可編輯ppt2）并聯(lián)系統(tǒng)h1(n)h2(n)系統(tǒng)h(n)此種情況下，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)：h(n)=h1(n)+h2(n)H()=H1()+H2()系統(tǒng)1輸入系統(tǒng)2輸出29可編輯ppt3）混聯(lián)系統(tǒng)此種情況下，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)：h(n)={[h1(n)

h2(n)]+h3(n)}

h4(n)H()={H1()·H2()+H3()}·H4()系統(tǒng)h(n)系統(tǒng)1輸入系統(tǒng)3輸出系統(tǒng)2系統(tǒng)4h1(n)h2(n)h3(n)h4(n)30可編輯ppt2、輸出信號的求解31可編輯ppt應(yīng)當(dāng)注意的是，有些情況下，采用時域法求解較為容易，而有些情況下，采用頻域法較為方便。32可編輯ppt舉例：33可編輯pptsi(n)h(n)nnsi(0)si(1)si(0)引起的輸出=2h(n)si(1)引起的輸出=3h(n-1)nn總的輸出=2h(n)+3h(n-1)n23121242363278334可編輯ppt3、時域卷積等價與頻域乘積的物理意義從廣義上看，任何一個系統(tǒng)h(n)，都可以看成是一個濾波器。因為它們均實現(xiàn)了一定的頻率選擇性。解釋同連續(xù)時間系統(tǒng)35可編輯ppt10.6系統(tǒng)沖激響應(yīng)函數(shù)的求解36可編輯ppt37可編輯ppt得到H(

)之后可以通過逆離散付里葉變換反解出系統(tǒng)沖激響應(yīng)函數(shù)h(n)。38可編輯ppt10.7DFT和圓周卷積39可編輯ppt1、園周移位x(n)，n=0,1,2,…N-1的信號的圓周移位又寫成<x(n-k)>N具體方法如下圖。nX(n)n<X(n-1)>Nn<X(n-2)>N333n<X(n-3)>N3n<X(n-4)>N340可編輯ppt2、園周卷積我們知道，前面介紹求解輸出信號時可以采用頻域法，即對輸入x(n)，系統(tǒng)h(n)，求解輸出y(n)時，可以先求Y(

)=X(

)H(

)，再反變換回去得y(n)，不過，反變換涉及積分，不太方便計算機處理。問題，有沒有其他的辦法在頻域也離散化，即根據(jù)Y(k)來求解y(n)？？？41可編輯ppt回答：有，而且實際的處理中，結(jié)合FFT，IFFT，就是用這種方法來處理的。我們知道：對x(n)，h(n)，n[0,N)，其周期拓展后的信號的離散付里葉變換(DFT)為X(k)，H(k)，k[0,N)。假設(shè)Y(k)=X(k)·H(k)。那么問題是，Y(k)做逆離散付里葉變換(IDFT)得到的y(n)是什么？？42可編輯ppt43可編輯ppt44可編輯ppt45可編輯ppt舉例來看：h(n)n3n3……n3……n3在[0,N-1]內(nèi)=圓周移位<h(n-1)>N46可編輯pptn3…n3在[0,N-1]內(nèi)=圓周移位<h(n-2)>Nn3…n3……在[0,N-1]內(nèi)=圓周移位<h(n-m)>N47可編輯ppt48可編輯ppt回答，如不做特殊處理，園卷積與正常卷積不同，在做特殊處理之后，可以相同。問題：一個K點的h(n)和一個L點的x(n)正常卷積可以得到一個多少點的y(n)？？回答：K+L-1點。49可編輯ppt例如：h(n)=[1,2,3,4]n3x(n)=[1,2,2,1]n3h(0-m)m3x(m)m350可編輯ppt同理：h(1-m)m3x(m)m351可編輯ppt繼續(xù)移動，最終正常卷積得到的y(n)=[1,4,9,15,16,11,4]共7點下面看園周卷積52可編輯ppt園周卷積：<h(0-m)>Nm3x(m)m353可編輯ppt解釋：<h(0-m)>N是怎樣得來的：h(m)m3h(-m)m3周期延拓m3取0~N-1點m<h(0-m)>N3有了<h(0-m)>N，自然求解<h(n-m)>N就方便了，實際上就是不斷地向右做園周移位54可編輯ppt園周卷積：<h(1-m)>Nm3x(m)m355可編輯ppt依次有：y’(n)=[17,15,13,15]。顯然同前面的y(n)不同。問題，如何處理才能使y’(n)=y(n)??回答：將K點的x(n)，L點的h(n)通過補0分別展成K+L-1點的序列，再做園周卷積即可。56可編輯ppt還用上例：h(n)=[1,2,3,4,0,0,0]n7x(n)=[1,2,2,1,0,0,0]n7??????補0展長后的序列57可編輯ppt展長后的園周卷積：<h(0-m)>Nm7x(m)m7??????注：<h(0-m)>N的獲取仍采用前面介紹過的方法58可編輯ppt展長后的園周卷積：<h(1-m)>Nm7x(m)m7??????59可編輯ppt依次可得y’(n)=[1,4,9,15,16,11,4]=y(n)上述方法的頻域?qū)崿F(xiàn)是：第一步，將K點的x(n)和L點的h(n)展成K+L-1點的序列。第二步，分別做展長后的序列的離散付里葉變換X(k)和H(k)第三步，將X(k)和H(k)相乘得Y(k)第四步，將Y(k)做反離散付里葉變換得y(n)即可。60可編輯ppt需要說明的是，展長序列的長度只要大于K+L-1即可。故在實際使用中，往往選擇一個長度（2M），該值是大于K+L-1的且最貼近K+L-1的2的整數(shù)次冪，當(dāng)然也可以選其他的2的整數(shù)次冪，只要大于K+L-1即可，但這樣做會使運算量大增，所以誰也不這樣用。于是可以利用FFT和IFFT完成上述步驟。具體描述如下。61可編輯ppt第一步，將K點的x(n)和L點的h(n)展成大于K+L-1點且最貼近的2M長序列。第二步，分別做展長后的序列的FFT變換得X(k)和H(k)第三步，將X(k)和H(k)相乘得Y(k)第四步，將Y(k)做IFFT變換得y(n)即可。62可編輯ppt10.8總結(jié)63可編輯ppt這一章，我們介紹了離散時間系統(tǒng)的概念，及性質(zhì)：線性、移不變、因果、穩(wěn)定介紹了離散系統(tǒng)函數(shù)，及離散沖激響應(yīng)函數(shù)，并從離散輸出輸入的關(guān)系引出離散卷積的概念，并介紹了離散卷積的性質(zhì)。然后就離散輸入輸出之間的關(guān)系問題在時域和頻域分別進行了討論，