小學(xué)數(shù)學(xué)成人計(jì)算整數(shù)除法的試商策略探查

【摘

要】試商是整數(shù)除法的重點(diǎn)和難點(diǎn)。當(dāng)前教材對(duì)試商策略的編排較為繁瑣，未能關(guān)注到通性通法，導(dǎo)致學(xué)生頻繁出現(xiàn)試商錯(cuò)誤，而成人在計(jì)算整數(shù)除法時(shí)，總能表現(xiàn)得游刃有余。為探究易于學(xué)生掌握且長(zhǎng)久有效的試商策略，研究調(diào)查了成人計(jì)算不同類型的整數(shù)除法時(shí)采用的試商策略，并與教材編排的試商策略進(jìn)行比較。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：成人在采用教材中的四條試商策略之余，還生成了教材之外的“五舍試商法”與“直接試商法”；無(wú)論“五入”試商是否需要調(diào)商，成人均主要采用“五舍試商法”；“四舍”或“五入”試商均需調(diào)商時(shí)，部分成人一貫采用“直接試商法”。最后，對(duì)教材編寫與教師教學(xué)提出建議?！娟P(guān)鍵詞】成人；整數(shù)除法；試商；策略一、研究緣起《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了在運(yùn)算教學(xué)中要注重運(yùn)算能力的培養(yǎng)。加、減、乘、除運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與運(yùn)算”中最重要的知識(shí)與技能，其中，除法雖然是四則運(yùn)算中最后學(xué)習(xí)的運(yùn)算，但從學(xué)習(xí)的邏輯順序和內(nèi)容比重上看，它的重要性和難度都不容小覷［1］?，F(xiàn)行不同版本教材都以螺旋上升的方式編排有關(guān)整數(shù)除法的內(nèi)容，而“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元是小學(xué)階段整數(shù)除法最后安排的教學(xué)內(nèi)容，在此單元中解決整數(shù)除法的算法問(wèn)題，可以促進(jìn)算法的遷移［2］。除此之外，相較于其他整數(shù)除法內(nèi)容，“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”無(wú)法直接利用口訣試商，且需要多次調(diào)商，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，學(xué)生容易出現(xiàn)算法錯(cuò)誤。因此，研究“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”的算法問(wèn)題具有典型性，其中試商更是學(xué)生運(yùn)算過(guò)程中的“重災(zāi)區(qū)”。學(xué)生在計(jì)算除數(shù)是兩位數(shù)的除法時(shí)，存在試商速度較慢、試商的除數(shù)選擇不恰當(dāng)?shù)葐?wèn)題，使得計(jì)算結(jié)果容易出現(xiàn)偏差［3］14。原因可能是教材在“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元中，過(guò)于強(qiáng)調(diào)用“四舍五入法”進(jìn)行試商［4］，且針對(duì)不同類型的算式還呈現(xiàn)了“湊五試商法”“同頭無(wú)除試商8、9”“除數(shù)折半估商5”等多種試商策略，使得認(rèn)知水平較低的學(xué)生掌握的試商策略過(guò)于繁雜，無(wú)法形成試商技能［5］，最終導(dǎo)致學(xué)生在計(jì)算整數(shù)除法時(shí)困難重重。與之相反，成人在計(jì)算整數(shù)除法時(shí)往往游刃有余。作為整數(shù)除法的關(guān)鍵運(yùn)算技能，試商是否被成人完全掌握？成人是否會(huì)生成教材之外的試商策略？本研究通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查，梳理成人計(jì)算除數(shù)是兩位數(shù)和除數(shù)是三位數(shù)的除法時(shí)的試商策略，并與教材呈現(xiàn)的試商策略進(jìn)行比較，進(jìn)而為教材編寫與教師教學(xué)提出建議。二、研究設(shè)計(jì)（一）研究對(duì)象本研究的調(diào)查對(duì)象為浙江省某師范大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的在校大學(xué)生，也就是本文所說(shuō)的成人。其中，男生26人，女生37人。（二）研究方法1.問(wèn)卷法為探查成人計(jì)算整數(shù)除法的試商策略，設(shè)計(jì)了四道計(jì)算題。發(fā)放問(wèn)卷63份，回收有效問(wèn)卷63份。2.訪談法為深入了解成人的試商策略，問(wèn)卷測(cè)試完成之后，挑選若干名被試，針對(duì)問(wèn)卷內(nèi)容進(jìn)行一對(duì)一訪談，并用錄音筆記錄訪談內(nèi)容。（三）問(wèn)卷設(shè)計(jì)問(wèn)卷共有四個(gè)問(wèn)題，均為整數(shù)除法計(jì)算題，但類型有所不同，包括“四舍、無(wú)調(diào)商”“四舍、需調(diào)商”“五入、無(wú)調(diào)商”和“五入、需調(diào)商”四種類型，具體內(nèi)容如下?？紤]到成人心算的能力已經(jīng)十分成熟，試商的過(guò)程可能隱含在成人心算的過(guò)程中。因此，要求被試在問(wèn)卷中不僅要保留筆算過(guò)程，還要借助文字或橫式表達(dá)出計(jì)算的全過(guò)程，從而完整地展示被試的試商策略。例如在計(jì)算7942÷47時(shí)，可以分兩步來(lái)表達(dá)心算過(guò)程：第一步，每一次試商時(shí)，腦海里最先想到商幾，是如何想到這個(gè)數(shù)的？第二步，想到商幾后，通過(guò)什么方法驗(yàn)證試商的結(jié)果是合適的？（四）數(shù)據(jù)處理問(wèn)卷回收后，對(duì)問(wèn)卷內(nèi)容進(jìn)行賦分［6］：計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤，記0分；計(jì)算結(jié)果正確，記1分。此外，由兩名評(píng)分者對(duì)被試計(jì)算整數(shù)除法的試商策略分別編碼（具體策略見(jiàn)下文），結(jié)果顯示編碼的一致性信度為0.943，說(shuō)明編碼的信度較高，并針對(duì)不一致的編碼結(jié)果進(jìn)行討論，形成一致意見(jiàn)。三、研究結(jié)果與分析（一）成人計(jì)算整數(shù)除法的試商策略1.策略類型通過(guò)對(duì)問(wèn)卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)被試主要采取以下五種策略進(jìn)行試商。策略一：“四舍試商法”。當(dāng)除數(shù)的個(gè)位介于0～4之間時(shí)，通過(guò)“四舍”將除數(shù)看成與它接近的整十?dāng)?shù)，利用乘法口訣試除被除數(shù)［3］15。例如，在計(jì)算238÷32時(shí)，使用“四舍試商法”，無(wú)需調(diào)商。由于除數(shù)是兩位數(shù)，故與被除數(shù)前兩位進(jìn)行比較，23＜32，則商在個(gè)位且被除數(shù)向后多看一位；將32“四舍”為30，計(jì)算238÷30，聯(lián)想3的乘法口訣，幾×3（十）最接近且小于238，得到個(gè)位試商7（如圖1）。策略二：“五入試商法”。當(dāng)除數(shù)的個(gè)位介于5～9之間時(shí)，通過(guò)“五入”將除數(shù)看成與它接近的整十?dāng)?shù)，利用乘法口訣試除被除數(shù)［3］15。例如，在計(jì)算7942÷47時(shí)，使用“五入試商法”，無(wú)需調(diào)商。由于除數(shù)是兩位數(shù)，故與7942的前兩位進(jìn)行比較，79>47，則商在百位；將47“五入”為50，計(jì)算79÷50，聯(lián)想5的乘法口訣，幾×5（十）最接近且小于等于79，得到百位試商1。同理，由于余數(shù)32<47，故商在十位且被除數(shù)向后多看一位，仍將47“五入”為50，計(jì)算324÷50，聯(lián)想5的乘法口訣，幾×5（十）最接近且小于等于324，得到十位試商6。以此類推，得到個(gè)位試商8（如圖2）。策略三：“五舍試商法”。當(dāng)除數(shù)的個(gè)位介于5～9之間時(shí)，將除數(shù)“五舍”為整十?dāng)?shù)后，再利用乘法口訣試除被除數(shù)。例如，在計(jì)算7942÷47時(shí)，使用“五舍試商法”，需要調(diào)商。由于除數(shù)是兩位數(shù)，故與7942的前兩位進(jìn)行比較，79>47，則商在百位；將47“五舍”為40，計(jì)算79÷40，聯(lián)想4的乘法口訣，幾×4（十）最接近且小于等于79，得到百位試商1。同理，由于余數(shù)32<47，故商在十位且被除數(shù)向后多看一位，仍將47“五舍”為40，計(jì)算324÷40，聯(lián)想4的乘法口訣，幾×4（十）最接近且小于等于324，得到十位試商8。以此類推，再在個(gè)位試商9（如圖3）。策略四：“湊五試商法”。當(dāng)除數(shù)的個(gè)位為4、5、6時(shí)，將除數(shù)看作□5（幾十五），通過(guò)口算找到幾×□5最接近被除數(shù)，進(jìn)行試商。例如，在計(jì)算682÷24時(shí)，使用“湊五試商法”，無(wú)需調(diào)商。由于除數(shù)是兩位數(shù)，故與682的前兩位進(jìn)行比較，68>25，則商在十位；將24“湊五”成25，計(jì)算68÷25，易得3×25>68>2×25，所以十位試商2。同理，由于余數(shù)20<24，故商在個(gè)位且被除數(shù)向后多看一位，仍將24“湊五”成25，計(jì)算202÷25，易得25×4=100，所以個(gè)位試商8（如圖4）。策略五：“直接試商法”。直接利用做除法想乘法，口算（）×除數(shù)最接近被除數(shù)，跳躍加商進(jìn)而調(diào)商［7］。例如，在計(jì)算7942÷47時(shí)，使用“直接試商法”，需要調(diào)商。由于除數(shù)是兩位數(shù)，故與7942的前兩位進(jìn)行比較，79>47，則商在百位，且47×2>79>47×1，因此在百位上商1；又由于余數(shù)32<47，故商在十位且被除數(shù)向后多看一位，計(jì)算324÷47，口算幾×47最接近324，易知1×47和2×47遠(yuǎn)小于324，故跳著試商，發(fā)現(xiàn)5×47和6×47依然小于324，但7×47>324，所以十位商6；最后，由于余數(shù)42<47，故被除數(shù)再向后多看一位，計(jì)算422÷47，口算10×47接近但大于422，所以嘗試商9和8，發(fā)現(xiàn)9×47>422，8×47<422，因此在個(gè)位商8（如圖5）。此外，在成人計(jì)算過(guò)程中，極少部分出現(xiàn)了“除數(shù)折半估商5”和“同頭無(wú)除試商8、9”的試商策略，但這是成人在特殊情形下所采用的試商策略，不屬于本研究調(diào)查的四種除法類型下成人所采用的試商策略，故下文不作統(tǒng)計(jì)。2.策略統(tǒng)計(jì)通過(guò)統(tǒng)計(jì)，得到不同試商策略在不同類型除法算式中的使用率及正確率，如表1所示。從表1中可以發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)除法算式滿足“四舍、無(wú)調(diào)商”時(shí)，95.24%的被試采用“四舍試商法”試商，且正確率達(dá)到98.33%；還有4.76%的被試選擇“直接試商法”，且正確率達(dá)到100.00%。（2）滿足“四舍、需調(diào)商”時(shí)，有58.73%的被試仍采用“四舍試商法”試商，且正確率達(dá)到94.59％；有12.70%的被試選擇“湊五試商法”，且正確率達(dá)到100.00%；還有28.57%的被試選擇“直接試商法”，且正確率達(dá)到94.44%。（3）滿足“五入、無(wú)調(diào)商”時(shí)，有17.46%的被試選擇“五入試商法”試商，且正確率達(dá)到90.91%；有20.64%的被試選擇“直接試商法”，且正確率達(dá)到92.31%；還有61.90%的被試選擇“五舍試商法”，且正確率達(dá)到94.87%。（4）滿足“五入、需調(diào)商”時(shí)，8.57%的被試仍選擇“五入試商法”試商，且正確率達(dá)到100.00%；還有2.86%的被試選擇“湊五試商法”，且正確率達(dá)到100.00%；然而有34.29%的被試選擇“直接試商法”，且正確率達(dá)到91.67%；甚至有54.28%的被試選擇“五舍試商法”，且正確率達(dá)到94.74%。綜上所述，成人在計(jì)算不同類型的整數(shù)除法時(shí)主要選擇“四舍試商法”或“五舍試商法”，即把除數(shù)看作與它最高位的數(shù)字所對(duì)應(yīng)的整十或整百數(shù)進(jìn)行試商，并且正確率較高。（二）教材中關(guān)于整數(shù)除法計(jì)算的試商策略通過(guò)梳理人教版教材中“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元中的例題與課后習(xí)題，得到教材中關(guān)于整數(shù)除法的試商策略，如表2所示。同樣，通過(guò)統(tǒng)計(jì)教材中對(duì)于不同類型的除數(shù)是兩位數(shù)的除法所采用的策略，得到不同策略在不同類型除法算式中的使用率，如表3所示。（三）成人與教材的試商策略比較分析1.一致性（1）除法算式滿足“四舍、無(wú)調(diào)商”時(shí)，成人的計(jì)算策略與教材的策略均為“四舍試商法”通過(guò)上述調(diào)查統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于滿足“四舍、無(wú)調(diào)商”的除法算式，教材采用“四舍試商法”，即把除數(shù)看作和它接近的整十?dāng)?shù)去試除被除數(shù)。在此類除法中，95.24%的被試采用的策略與教材策略一致。（2）除法算式滿足“四舍、需調(diào)商”時(shí)，成人的主要計(jì)算策略與教材的主要策略均為“四舍試商法”對(duì)于滿足“四舍、需調(diào)商”的除法算式，教材主要采用“四舍試商法”，僅在少部分習(xí)題中選擇“湊五試商法”。在此類除法中，有58.73%的被試采用“四舍試商法”，12.70%的被試采用“湊五試商法”。因此，超七成的被試采用的策略與教材策略一致。2.差異性（1）除法算式滿足“五入、無(wú)調(diào)商”時(shí)，教材使用“五入試商法”，成人主要采用“五舍試商法”對(duì)于滿足“五入、無(wú)調(diào)商”的除法算式，教材僅介紹“五入試商法”。在調(diào)查中，僅有17.46%的被試采用與教材一致的試商策略。另有61.90%的被試選擇“五舍試商法”、20.64%的被試選擇“直接試商法”試商，這與教材中的策略產(chǎn)生了差異。通過(guò)訪談得知，成人認(rèn)為，“五舍試商法”將除數(shù)“五舍”后，保持除數(shù)的最高位不變，可以直接觀察最高位快速試商，無(wú)需人為賦予一個(gè)新的除數(shù)，盡管調(diào)商次數(shù)可能會(huì)增加，但只需重復(fù)調(diào)小余數(shù)直至小于除數(shù)即可；“直接試商法”可以直接通過(guò)口算乘法試商并通過(guò)跳躍加或減商進(jìn)行調(diào)整，直至余數(shù)小于除數(shù)。兩種策略的產(chǎn)生均源于成人追求直觀且熟練口算乘法。（2）除法算式滿足“五入、需調(diào)商”時(shí)，教材主要使用“五入試商法”，成人主要采用“五舍試商法”以及“直接試商法”對(duì)于滿足“五入、需調(diào)商”的除法算式，教材主要采用“五入試商法”，僅在少部分習(xí)題中使用“湊五試商法”。在調(diào)查中，僅有11.43%的被試采用的策略與教材策略一致。另有54.28%的被試采用“五舍試商法”試商，34.29%的被試采用“直接試商法”試商，這與教材中的策略產(chǎn)生了差異。這同樣也是因?yàn)槌扇藢?duì)直觀的追求以及對(duì)口算乘法的熟練掌握。此外，只有當(dāng)除數(shù)為25或26時(shí)，成人才會(huì)考慮使用“湊五試商法”，一方面是因?yàn)?5易于構(gòu)建整百數(shù)，另一方面是由于成人經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的練習(xí)，對(duì)25的幾倍數(shù)已形成長(zhǎng)時(shí)記憶，可直接將25的幾倍數(shù)與被除數(shù)進(jìn)行比較，提高了試商效率。四、研究結(jié)論與建議（一）結(jié)論1.成人仍繼續(xù)使用教材中的四種試商策略，并生成了“五舍試商法”與“直接試商法”成人在整數(shù)除法的運(yùn)算過(guò)程中依然繼續(xù)使用教材中的“四舍試商法”“五入試商法”“湊五試商法”“同頭無(wú)除試商8、9”四種試商策略，但也使用了教材之外的“五舍試商法”與“直接試商法”。但是，針對(duì)不同類型的整數(shù)除法，成人采用的主要試商策略與教材并不完全一致，并且成人已不常用“五入試商法”與“湊五試商法”。2.無(wú)論“五入”試商是否需要調(diào)商，成人均主要采用“五舍試商法”在各種類型的整數(shù)除法中，成人主要考慮使用“舍”的策略進(jìn)行試商。其中，在計(jì)算“四舍、無(wú)調(diào)商”和“四舍、需調(diào)商”類型的除法算式時(shí)，成人與教材采用的策略一致，均主要采用“四舍試商法”。然而，在計(jì)算“五入、無(wú)調(diào)商”和“五入、需調(diào)商”類型的除法算式時(shí)，為了提高試商的效率，成人使用的策略不同于教材，主要采用“五舍試商法”。3.“四舍”或“五入”試商均需調(diào)商時(shí)，部分成人一貫采用“直接試商法”在各種類型的整數(shù)除法中，均有成人使用“直接試商法”試商。其中，在計(jì)算“四舍、需調(diào)商”和“五舍、需調(diào)商”類型的除法算式時(shí)，更多的成人采用“直接試商法”試商。這恰恰說(shuō)明大部分成人在計(jì)算復(fù)雜的除法時(shí)，會(huì)拋棄生硬的技巧，回歸最直接的乘除法的關(guān)系進(jìn)行找商。（二）建議1.適當(dāng)補(bǔ)充“五舍試商法”，幫助學(xué)生養(yǎng)成靈活試商的意識(shí)眾所周知，教材只是一個(gè)教學(xué)工具，教師應(yīng)該“用教材”，而不是“教教材”。在“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元中補(bǔ)充“五舍試商法”內(nèi)容作為思考環(huán)節(jié)，有助于教師引導(dǎo)學(xué)生比較“五入試商法”和“五舍試商法”二者的優(yōu)缺點(diǎn)，感受“五舍試商法”與“五入試商法”并無(wú)本質(zhì)區(qū)別，僅在找商的效率上有所不同，進(jìn)而幫助學(xué)生選擇試商策略，養(yǎng)成靈活試商的意識(shí)。2.貫徹“直接試商法”，促進(jìn)學(xué)生掌握除法運(yùn)算的通性通法運(yùn)算過(guò)程中對(duì)通性通法的追求可以使個(gè)體的思維更加靈活，運(yùn)算更加優(yōu)化［8］?！爸苯釉嚿谭ā弊鳛閭€(gè)體除法運(yùn)算的自然狀態(tài)，應(yīng)該是除法運(yùn)算的通性通法，能夠帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)