高三5月第四次模擬考試數(shù)學(xué)

揚(yáng)州中學(xué)高三數(shù)學(xué)試卷2018.5.18必做題部分一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1、已知集合則▲．2、已知復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位，），若是純虛數(shù)，則的值為▲．3、從集合{1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素，記為，從集合{2,3,4}中隨機(jī)取一個(gè)元素，記為，則的概率為▲．4、對(duì)一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度（單位:毫米）進(jìn)行抽樣檢測(cè)，樣本容量為400，右圖為檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖，根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，單件產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間的為一等品，在區(qū)間和的為二等品，其余均為三等品，則樣本中三等品的件數(shù)為▲．5、運(yùn)行右面的算法偽代碼，輸出的結(jié)果為S=▲．6、若雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為▲．7、正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐AB1DC1的體積為▲．8、函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，與函數(shù)的圖象重合，則▲．9、若函數(shù)為偶函數(shù)，則a=▲．10、已知數(shù)列與均為等差數(shù)列（），且，則▲．11、若直線與直線交于點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最大值為▲．ABCMD(第12題圖)12、如圖，已知，，MABCMD(第12題圖)則的最小值是▲．13、已知函數(shù)，函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是▲．14、已知均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的取值范圍為▲．二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟．15、已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,向量，，且.(1)求角A的大小；(2)若，求的值16、如圖，四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是線段PC中點(diǎn)，G為線段EC中點(diǎn)．（1）求證：FG//平面PBD；（2）求證：BD⊥FG．17、已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線與直線垂直，垂足為，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若，分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).18、中國(guó)古建筑中的窗飾是藝術(shù)和技術(shù)的統(tǒng)一，給人以美的享受．如圖為一花窗中的一部分，呈長(zhǎng)方形，長(zhǎng)30cm，寬26cm，其內(nèi)部窗芯（不含長(zhǎng)方形邊框）用一種條形木料做成，由兩個(gè)菱形和六根支條構(gòu)成，整個(gè)窗芯關(guān)于長(zhǎng)方形邊框的兩條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱．設(shè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為xcm和ycm，窗芯所需條形木料的長(zhǎng)度之和為L(zhǎng)．（1）試用x，y表示L；（2）如果要求六根支條的長(zhǎng)度均不小于2cm，每個(gè)菱形的面積為130cm2，那么做這樣一個(gè)窗芯至少需要多長(zhǎng)的條形木料（不計(jì)榫卯及其它損耗）？19、已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20、已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，均有（是常數(shù)，且）成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若數(shù)列為“數(shù)列”，且為整數(shù)，試問：是否存在數(shù)列，使得對(duì)任意，成立？如果存在，求出這樣數(shù)列的的所有可能值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。揚(yáng)州中學(xué)高三數(shù)學(xué)試卷2018.5.18附加題21A．選修41：幾何證明選講如圖，⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，E為⊙O上一點(diǎn)，AE=AC，DE交AB于點(diǎn)F．求證：△PDF∽△POC．21B．選修42：矩陣與變換已知矩陣，求矩陣M的特征值及其相應(yīng)的特征向量．21C．選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線與曲線的交點(diǎn)P的直角坐標(biāo)。21D．選修45：不等式選講設(shè)a，b，c，d都是正數(shù)，且．求證：．22、甲、乙兩班各派三名同學(xué)參加知識(shí)競(jìng)賽，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分，假設(shè)甲班三名同學(xué)答對(duì)的概率都是，乙班三名同學(xué)答對(duì)的概率分別是，且這六名同學(xué)答題正確與否相互之間沒有影響．

（1）記“甲、乙兩班總得分之和是60分”為事件A，求事件A發(fā)生的概率；（2）用X表示甲班總得分，求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望．23、已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，．（1）求，；（2）猜想的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論．揚(yáng)州中學(xué)高三數(shù)學(xué)試卷參考答案2018.5.181.{－1}；2.－4；3.eq\f(8,9)；4.100；5.eq\f(10,11)；6.y＝±3x；7.1；8.；9.1；10.20；11.；12.；13.；14.14.解：因?yàn)?，所以，令，則．．當(dāng)且，即或時(shí)取等號(hào)；另一方面，當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以．15.解：(1)由題意得又因?yàn)?，所以，解得或…?分(2)在中，由余弦定理得=1\*GB3①又，∴，代入=1\*GB3①整理得，解得，∴，于是即為等邊三角形，……14分16．證明：（Ⅰ）連結(jié)PE，因?yàn)镚.、F為EC和PC的中點(diǎn)，，……3分又平面，平面，所以平面……7分（II）因?yàn)榱庑蜛BCD，所以，又PA⊥面ABCD，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，且，平面，平面，BD⊥FG……14分17.解（1）（過程略）……6分（2）方法1：“點(diǎn)參”設(shè)，則直線的方程為，所以所以……8分由在橢圓上得，所以……10分所以，解得或（舍），所以……14分方法2：“參”設(shè)直線的方程為，由得因?yàn)?，所以，所以…?0分又，所以，所以，解得，故，所以……14分18.解：（1）水平方向每根支條長(zhǎng)為cm，豎直方向每根支條長(zhǎng)為cm，菱形的一條邊長(zhǎng)為cm．所以L=cm．……6分（2）由題意得，即，由得．……8分所以．令，其導(dǎo)函數(shù)，（），故在上單調(diào)遞減，故．……10分所以，其中定義域……12分求導(dǎo)得，所以在上為增函數(shù)，故當(dāng)，即時(shí)L有最小值．答：做這樣一個(gè)窗芯至少需要cm長(zhǎng)的條形木料．……16分19.解：（1），020極小值極大值所以單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間為、………4分（2）函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)。證明如下：………5分因?yàn)闀r(shí)，所以，由，，且在上單調(diào)遞增且連續(xù)得在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，………7分由上面可得時(shí)，，即，故時(shí)，，所以，由得，平方得，所以由，，且在上單調(diào)遞增且連續(xù)得在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，綜上得：函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)………10分（3）記函數(shù)，下面考察的符號(hào)．求導(dǎo)得．當(dāng)時(shí)恒成立．當(dāng)時(shí)，，從而．∴在上恒成立，故在上單調(diào)遞減．∵，∴，又因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理得惟一的，使………12分∴．∴∴因?yàn)樵谏显銮疫B續(xù)，所以在，上恒成立．=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即在上恒成立．記，則，當(dāng)變化時(shí)，，變化情況如下表：極小值∴．故，即．=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上恒成立．綜合（1）（2）知，實(shí)數(shù)的取值范圍是．………16分20.（1）因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”，所以，故兩式相減得在中令，則可得，故所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列，所以，所以………6分（2）由題意得，故，兩式相減得………8分所以，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)樗运运援?dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列，………11分所以………12分所以因?yàn)樗栽谥辛?，則可得，所以又時(shí)且為整數(shù)所以可解得………16分附加題答案2018.5.1821.A．選修41：幾何證明選講證明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，又∠CDE=∠P+∠PDF，∠AOC=∠P+∠OCP，從而∠PDF=∠OCP．在△PDF與△POC中，∠P=∠P，∠PDF=∠OCP，故△PDF∽△POC．B．選修42：矩陣與變換解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為，令f（λ）=0，解得λ1=1，λ2=2，………4分將λ1=1代入二元一次方程組解得x=0，所以矩陣M屬于特征值1的一個(gè)特征向量為；同理，矩陣M屬于特征值2的一個(gè)特征向量為………10分C．選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為，所以直線的普通方程為，又因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，聯(lián)立解方程組得或．根據(jù)的范圍應(yīng)舍去,故點(diǎn)的直角坐標(biāo)為………10分注：多一解扣2分D．選修45：不等式選講證明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）﹣（a2c2+2abcd+b2d2）=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2成立，又a，b，c，d都是正數(shù)，∴?≥ac+bd＞0，①同理?≥ad+bc＞0，∴xy≥．22.