2024高考數(shù)學(xué)講義：函數(shù)

2024高考數(shù)學(xué)講義：函數(shù)

目錄

1.函數(shù)及其表示................................................................1

2.函數(shù)的單調(diào)性與最值........................................................13

3.函數(shù)的奇偶性及周期性......................................................24

4.二次函數(shù)與塞函數(shù)..........................................................37

5.指數(shù)函數(shù)..................................................................48

6.對數(shù)函數(shù)...................................................................60

7.函數(shù)的圖象................................................................72

8.函數(shù)與方程................................................................85

9.函數(shù)模型及其應(yīng)用..........................................................96

1.函數(shù)及其表示

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測

1.通過豐富實例，進一步體會函數(shù)

是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)

模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的

考情分析：以基本初等函數(shù)為載

語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫

體，考查函數(shù)的表示法、定義域，分段

函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要

函數(shù)以及函數(shù)與其他知識的綜合仍是高

素,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.

考的熱點，題型既有選擇、填空題，又

2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需

有解答題，難度中等偏上.

要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、

學(xué)科素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算.

解析法）表示函數(shù).

3.通過具體實例，了解簡單的分段

函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.

??分步落實

V學(xué)生用書P22

I整知識I........................................................>?

第1頁共106頁

1.函數(shù)的定義

函數(shù)

前提條件集合A,8是兩個非空的數(shù)集

對應(yīng)按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系/,使對于集合A中的任意一個數(shù)

關(guān)系尤，在集合B中都有唯一確定的數(shù)/U)和它對應(yīng)

名稱稱/：A—B為從集合A到集合3的一個函數(shù)

記法y=*x),

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域

在函數(shù)y=/U),xGA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義

域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值

域.顯然，值域是集合8的子集.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個函數(shù)

相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).

(4)函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法.

［注意］函數(shù)圖象的特征：與x軸垂直的直線與其最多有一個公共點.利用

這個特征可以判斷一個圖形能否作為一個函數(shù)的圖象.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)

系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是

一個函數(shù).

［注意］分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段

定義域的并集，值域是各段值域的并集.

?常用結(jié)論

(1)直線無是常數(shù))與函數(shù)y=/(x)的圖象有0個或1個交點.

(2)判斷兩個函數(shù)相等的依據(jù)是兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致.

I練基礎(chǔ)I..............................................................?>

第2頁共106頁

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“或“X”)

(1)函數(shù)y=/(x)的圖象與直線尤=1有兩個交點.()

(2)定義域相同，值域也相同的兩個函數(shù)一定是相等函數(shù).()

(3)二次函數(shù)y=f—1的值域可以表示為｛y|y=f—1,x《R｝,即為｛y|y孑

-1).()

(4)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的.()

答案：⑴X⑵X(3)V(4JX

10g3X,X>0廠

2.已知函數(shù)於尸，則歡一小))=()

z

1Kx,xW0

A.-2B.2C.-1D.1

D區(qū)一小)=3,則膽一小))=/[3)=log33=l,故選D.]

3.(多選)(2020.海南?？诘谒闹袑W(xué)期中)下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是

()

A..*x)=l,g(x)=x°

B.火x)=N?,g(x)=|x|

c.火x)=x+l,g(x)=±7

x,x20,

D.兀r)=|x|,g(x)="

〔一x，x<0

BD[對于A項，y(x)=l的定義域為R,g(x)=x°的定義域為｛x|九WO｝,兩

個函數(shù)的定義域不同，所以它們是不同函數(shù)；對于B項，段)=正=國的定義

域為R,g(x)=|x|的定義域為R,且兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同，所以它們是同一

f一1

函數(shù)；對于C項，,/(x)=x+l的定義域為R,g(x)=一的定義域為｛x|xWl｝,

41

兩個函數(shù)的定義域不同，所以它們是不同函數(shù)；對于D項，X-V)=W=

x,x20,\x,x20,

g(x)=1兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系與定義域都相同，所以它

~x,x<0,1—x,x<0,

們是同一函數(shù).故選BD.]

4.函數(shù)yuor2—6x+7a(aW0)的值域為［―2,+°°),則a的值為()

A.-1B.-C.1D.2

第3頁共106頁

C［由函數(shù)了=加一6x+7o（aW0）的值域為［—2,+8）知公>（）,且當(dāng)工=一

5，即x=（時，y=aX（\）2—6X1+7.=—2,即7屋+2a—9=0,所以a=

9

1或。=一］（舍去）.］

5.已知5X）=MX+3，若|-2）=0,則a的值為.

解析：因為人x）=-x+3+［二，

所以/（一2）=<-2+3+_；+.=0,

解得?=1.

答案：1

6.如果jg）=亡；，則式》）=?

解析：由/J）=~T~，知xWO且xWL

J\xj1-X

令;=t,得x=：QWO且r#l）,

1

，加）=~4==（學(xué)0且左1）,

=

?A,-__11(xWO且xWl).

答案：(XWO且X#1)

v學(xué)生用書P23

求函數(shù)的定義域

［題組練透］

1.函數(shù)/）=,1-4/+ln（3x—l）的定義域為（）

A.成，1）B.（；,3］

第4頁共106頁

,-----11-4f0,]

B[要使函數(shù)/+1II(3L1)有意義，則有J.，八=Q

13x—1>0。

cxW3.故選B.]

2.如果函數(shù)_/U）=ln（—2%+〃）的定義域為（-8,1）,那么實數(shù)。的值為

()

A.-2B.-1

C.1D.2

D[因為一2x+a>0,所以x號，又因為函數(shù)定義域為（一8,1）,所以搭=

1,所以a=2.]

3.函數(shù)y=TZT7+的定義域為

[2-kl^O,fxW±2,

解析：由2I、八得，I4所以函數(shù)的定義域為{RxW—1

[x2—1NO,—1或九N1.

或xN1且xW±2}.

答案：{x|x<-1或xNl且xW±2}

4.已知函數(shù)y=/（x）的定義域為[-8,1],則函數(shù)g（x）=/）的定義

域是.

9

解析：由題意得一8W2x+1W1,解得一/WxWO,由x+2W0,解得xW

-2,故函數(shù)的定義域是U(-2,0].

9

答案-

-2-2U(-2,01

1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法

求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子（運算）

有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解（如題1）；對于實際問題，定義域應(yīng)

第5頁共106頁

使實際問題有意義.

2.求抽象函數(shù)定義域的方法

求函數(shù)的解析式

(1)已知二次函數(shù)./U)滿足y(2x+l)=4/-6x+5,求./U)的解析式；

(2)已知，求yu)的解析式；

(3)已知7U)滿足紈x)+/g)=3x-l,求ZU)的解析式.

t—1

解析：⑴法一：(換元法)令2x+l=*/WR),則x=-^—,所以刖=

4(三12-6X—+5=戶-5/+9QWR),所以,危：)=*2—5X+9(XWR).

法二：(配湊法)因為/(2r+l)=4/-6x+5=(2x+l)2-l(k+4=(2x+l)2-

5(2x+1)+9,所以人均二%2—5x+9.

法三：(待定系數(shù)法)因為/U)是二次函數(shù)，所以設(shè)40=加+法+以4/0),

則/(2x+l)=a(2x+1)2+/>(2X+1)+,=4加+(4。+2/?)X+“+/?+，.因為,/(2x+l)

{4a=4,(a=\,

4a+2b=-6,解得{匕=-5,

a+b+c=5,lc=9.

所以兀c)=f—5x+9.

2

(2)由于4+5)=V+E=(x+3-2,

所以—2,%22或冗<—2,

故外)的解析式是人幻=/一2(x22或1〈一2).

(3)已知=3x—1①，

第6頁共106頁

以《代替①中的MxWO),得

2/Q+Ax)=|-1②，

3

①X2—②，得3/U)=6x—;—1,

故火x)=2x—:—|(xWO).

［注意］由于函數(shù)的解析式相同，定義域不同，則為不相同的函數(shù)，因此求

函數(shù)的解析式時，如果定義域不是R,一定要注明函數(shù)的定義域.

一.—___I______________~――____

-—I=}.

1.（多選）（2020?臺州期中）已知函數(shù)/U）是一次函數(shù)，滿足用（x））=9x+8,則

7U)的解析式可能為()

A./x)=3x+2B.7U)=3x—2

C./U)=-3x+4D./(x)=-3x+4

AD［設(shè)yu)=丘+伙上工0),

因為歐%))=9尤+8,

所以心》））=依比+與+b=3x+妨+b=9x+8

點=9,k=3,k=一3,

所以，解得或'

Jcb+b=8,b=2,/>=—4.

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所以火x)=3x+2或4￥)=—3x—4.

故選AD.]

2.已知人1—cosx)=sin2%,則於)=.

解析：人1—cosx)=sin2%=1—cos?x.令1—cosx=K[0,2],則cosx=

1—3所以>f)=l—(1-—=2f一己r￡[0,2].

答案：2x—x2,X￡[0,2]

分段函數(shù)

角度一分段函數(shù)的求值問題

x+',x>2,

(1)(2020.山東蒲澤市模擬)已知函數(shù)/)=jx—2則順1))

、/+2,xW2,

=()

A.—2B.2

C.4D.11

—1(x^2)

(2)(2020.湖北省部分重點中學(xué)聯(lián)考)設(shè)函數(shù)若加”)

Jogw(0<x<2).

=3,則式|—m)=.

解析：(1)因為/(1)=12+2=3,所以順1))=/[3)=3+占=4.故選C.

(2)當(dāng)〃[22時，w2—1=3,所以〃?=2或〃z=—2(舍)；

當(dāng)0</w<2時，log2機=3,所以機=8(舍).

所以〃2=2.所以J(|—)=log21=-1.

答案：⑴C(2)-1

用歸納升華

分段函數(shù)的求值問題的解題思路

(1)求函數(shù)值：先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解

析式求值，當(dāng)出現(xiàn)膽a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求

出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗.

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角度二分段函數(shù)的方程、不等式問題

（2020?廣東六校聯(lián)盟第二次聯(lián)考）已知函數(shù)/）={'，若於

x>0

-4）次2x—3）,則實數(shù)x的取值范圍是（）

A.（―1,+°°）B.（一8,—1）

C.（-1,4）D.（一8,1）

"]+《xW0

C[函數(shù)；在（一8,0]上是減函數(shù)，在（0,+8）上函數(shù)

x>0

fx—4Vo

值保持不變，若/（x—4）次2x—3）,則彳或x—4<2x—3W0,解得“￡（一

.2x—3三0

1,4）,故選C.]

慟歸納升華

已知函數(shù)值（或函數(shù)值范圍）求自變量的值（或取值范圍）

（1）先根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值（或取

值范圍）是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍，然后將各段的結(jié)果求并集即可;

（2）如果分段函數(shù)的圖象易得，也可以畫出函數(shù)圖象后結(jié)合圖象求解.

變式訓(xùn)練

元+1,xNO,

1.設(shè)函數(shù)段尸」八則歡—1))=()

A.|B.啦+1

C.1D.3

D[由題意知五一1)=2,因此膽一l))=/[2)=2+l=3.故選D.]

yfx,0<x<l,1

2.設(shè)危)=j若%)=尬+1),則4])=()

A.2B.4

C.6D.8

C[法一：當(dāng)0<?<l時，a+l>l.

所以4a)=犯，/(a+l)=2(a+l—1)=2A.

由_f(a)=f(a+1)得"\/^=1ci,

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所以.

此時式[)=A4)=2X(4-1)=6.

當(dāng)a》l時，?+1>1,

所以/(a)=2(a—l),J(a+l)=2(a+l-l)=2A.

由犬。)=犬。+1)得2(。-1)=2”，無解.

綜上，,若)=6.故選C.

法二：因為當(dāng)0a<1時，危)=#，為增函數(shù).

當(dāng)時，?r)=2(x—1),為增函數(shù).

又為a)=f(a+l),所以3=2(a+l—l),

所以a=；.

所以?)=14)=6.]

'/2+尤,%20,

3.已知函數(shù)°:’若以穴①一穴一。)]>0,則實數(shù)a的取值范

、3x9x<0,

圍為()

A.(1,+°°)B.(2,+°°)

C.(一8,-1)U(1,+°o)D.(—8,-2)u(2,+°o)

D[當(dāng)a〉0時，不等式a[/(a)—大—a)]>0可化為/十^—3a〉0,解得a>2.當(dāng)

a<0時，不等式ci\f^a)—fi—a)]>0可化為一a2—2a<0,解得a<—2.綜上所述，a

的取值范圍為(-8,-2)U(2,+8).]

微專題系列4[交匯創(chuàng)新]

新定義下的函數(shù)問題

所謂''新定義”函數(shù)，是相對于高中教材而言，指在高中教材中不曾出現(xiàn)或

尚未介紹的一類函數(shù).函數(shù)新定義問題的一般形式是：由命題者先給出一個新的

概念、新的運算法則、或者給出一個抽象函數(shù)的性質(zhì)等，然后讓學(xué)生按照這種

“新定義”去解決相關(guān)的問題.

第10頁共106頁

(多選X2020?廣東深圳3月模擬)在平面直角坐標(biāo)系中.橫坐標(biāo)、縱坐

標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點，若函數(shù)/U)的圖象恰好經(jīng)過以〃GN*)個整點，則稱

函數(shù)/U)為〃階整點函數(shù).給出下列函數(shù)，其中是一階整點函數(shù)的是()

A../(x)=sin2xB.g(x)=j?

C.//(x)=(g尸D.O(x)=lnx

AD［對于函數(shù)>U)=sin2x,它的圖象(圖略)只經(jīng)過一個整點(0,0),所以

它是一階整點函數(shù)；對于函數(shù)g(x)=x\它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(0,0),(1,

1),…，所以它不是一階整點函數(shù)；對于函數(shù)/?(》)=《尸，它的圖象(圖略)經(jīng)過

整點(0,1),(-1,3),所以它不是一階整點函數(shù)，排除C,對于磯x)=lnx,

它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(1,0),所以它是一階整點函數(shù).］

變式訓(xùn)練

1.若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)

為“同族函數(shù)”，則函數(shù)解析式為丫=_?+1,值域為｛1,3｝的同族函數(shù)有()

A.1個B.2個

C.3個D.4個

C［由f+l=l得x=0,由f+l=3得x=/,所以函數(shù)的定義域可以

是｛0,72｝,｛0,—巾｝,｛0,也，一加｝,故值域為｛1,3｝的同族函數(shù)共有

3個.］

2.若函數(shù)./U)同時滿足下列兩個條件，則稱該函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”：

(1)▼尤GR,都有人一劃+危:)=0；

l(XI)-/(X2)

(2)Vxi,X2￡R,且X1WX2,都有2-------------<0.

7XI—X2

①/(x)=sinx；②Ax)=—2/；③/(x)=l—x.

以上三個函數(shù)中，“優(yōu)美函數(shù)”的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

B［由條件(1),得7U)是奇函數(shù)，由條件(2),得/U)是R上的減函數(shù).

對于①，/U)=sinx在R上不單調(diào)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”；對于②，的=

—2?既是奇函數(shù)，又在R上單調(diào)遞減，故是“優(yōu)美函數(shù)”；對于③，4x)=1—

第11頁共106頁

X不是奇函數(shù)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”.故選B.］

［友情提示］每道習(xí)題都是一個高考點，每項訓(xùn)練都是對能力的檢驗，認(rèn)真

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第12頁共106頁

2.函數(shù)的單調(diào)性與最值

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測

考情分析：以基本初等函數(shù)為載

體，考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函

1.借助函數(shù)圖象，會用符號語言表

數(shù)最值的確定與應(yīng)用，其中函數(shù)單調(diào)性

達(dá)函數(shù)的單調(diào)，最大值、最小值.

及應(yīng)用仍是高考考查的熱點，題型多以

2.理解函數(shù)單調(diào)性，最大值、最小

選擇題為主，屬中檔題.

值的作用和實際意義.

學(xué)科素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、

數(shù)學(xué)運算.

?等分步落實

精梳理、巧診斷，過好雙基關(guān)

V學(xué)生用書P25

I整知識I................................................

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)增函數(shù)和減函數(shù)

分類增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)次幻的定義域為/,區(qū)間。G/,如果

要求XI,X2

對于任意XI,X2GD,且X142

要求式XI)與

都有面)<"2)都有-1)>心2)

義於2)

函數(shù)凡r)在區(qū)間D上是函數(shù)7U)在區(qū)間。上

結(jié)論

增函數(shù)是減函數(shù)

/a?■

1■W

圖象描述

自左向右看圖象是

自左向右看圖象是

上升的

下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

第13頁共106頁

如果函數(shù)v=/U）在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=/U）在這

一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y=/U）的單調(diào)區(qū)間.

［注意］有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開寫，不能用符號“U”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”

聯(lián)結(jié)，只能用“逗號”或“和”聯(lián)結(jié).

2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域為/,如果存在MdR

①對于任意的X，都有①對于任意的xe/,都有

代（）WM

條件

②存在xo￡/,使得②存在XoW/,使得

1）=M,x（））=M

結(jié)論M是ZU）的最大值M是/U）的最小值

?常用結(jié)論

1.函數(shù)單調(diào)性的兩個等價結(jié)論

設(shè)Dxi,X2e0（XI#X2）,則

f（X］）—f（X2）

（1）-----瓦W---->0（或（XLX2）［/U1）—./（X2）］>0）OAX）在D上單調(diào)遞增.

f（1］）—f（X2）

（2y-------一—<0（或（XL元2）［/（K）—AX2）］<O）Q/（X）在。上單調(diào)遞減?

X\X2

2.函數(shù)最值的兩個結(jié)論

（1）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.

當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點取到.

（2）開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值（或最小值）.

I練基礎(chǔ)I.....................................》

1.判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“或“義”）

（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,o）u（O,+oo）.（）

（2）具有相同單調(diào)性的函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)還具有相同的單調(diào)

性.（）

（3）若定義在R上的函數(shù)/U）有人-1）勺（3）,則函數(shù)/U）在R上為增函

第14頁共106頁

數(shù)?()

(4)函數(shù)y=/(x)在［1,+8)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+

°°).()

(5)如果一個函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個函數(shù)在

定義域上是增函數(shù).()

(6)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間端點取到.()

答案：⑴X(2)X⑶*(4)X(5)X(6)V

2.(必修1P39習(xí)題B組T3改編)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減

的是()

1

A.y=~—xB.y=x^9—x

C.y=\nx-xD.丁=^

A［對于選項A,在(0,+8)內(nèi)是減函數(shù)，了=%在(0,+8)內(nèi)是增函

數(shù)，則y=:—%在(0,十8)內(nèi)是減函數(shù)；B,c選項中的函數(shù)在(0,十8)上均

不單調(diào)；選項D中，y=e*在(0,+8)上是增函數(shù).］

3.函數(shù)y=(2m—l)x+。在R上是減函數(shù)，則()

A.機>；B.機

-11

C.m>~2D.m<—/

B［要使y=(2m—l)x+b在R上是減函數(shù)，則2m—1<0,即機弓.］

4.設(shè)定義在［-1,7］上的函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=/(x)的增

區(qū)間為.

解析：由圖可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［—1,1］和［5,7］.

答案：［-1,1］,［5,7］

2

5.(必修1P31例4改編)函數(shù)在［2，3］上的最大值是

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解析：該函數(shù)在［2,3］上單調(diào)遞減，故當(dāng)x=2時，函數(shù)取得最大值，最大

值為2.

答案：2

6?分類突破微點撥、多維練，研透命題點

V學(xué)生用書P26

確定函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）講練型

（1）試討論函數(shù)/）=意（aWO）在（-1,1）上的單調(diào)性;

（2）求函數(shù)?r）=—f+2|x|+l的單調(diào)區(qū)間.

解析：⑴設(shè)一1<X1<X2<1,

=a（l+占），

於D—/2）=。（1+占）—小+時）

_____a（X2—xi）

（Xl-1）（X2-1）’

由于一1<即42<1,

所以X2—Xl>0,Xl_1<O,X2~1<O,

故當(dāng)4>0時，加1）一共12）>0,即/Ul）?>2）,函數(shù)/（X）在（一1,1）上遞減;

當(dāng)。<0時，犬笛）一父龍2）<0,即人》）勺（犬2）,函數(shù)在（一1,1）上遞增.

—x2+2x+1,x2O,

W）=|—°,

一（x—1）2+2,%N0,

—<

.—（x+1）2+2,x<0.

畫出函數(shù)圖象如圖所示，可知單調(diào)遞增區(qū)間為（一8,—1］和［0,1］,單調(diào)遞

減區(qū)間為［―1,0］和［1,+8）.

口歸納升華

第16頁共106頁

1.定義法證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

2.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法

(1)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義來求.

(2)圖象法：如果貝x)是以圖象形式給出的，或者/力的圖象易作出，可由

圖象的升、降寫出它的單調(diào)區(qū)間(如本例(2)).

(3)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正、負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

_______I________~――__

-—1,

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上為減函數(shù)的是()

A.y=yjx+\B.y=x2—1

C.y=(1尸D.y=log2X

C［函數(shù)y=dx+l在區(qū)間［—1,+8)上為增函數(shù)；函數(shù)ynx2—1在區(qū)間

(0,+8)上為增函數(shù)；函數(shù)y=(g廠在區(qū)間(0,+8)上為減函數(shù)；函數(shù)y=Iog2_x

在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù).綜上所述，選C.］

2.(變條件)若將本例(2)中函數(shù)變?yōu)?r)=|-?+2x+l|,如何求解？

解析：函數(shù)〉=|一/+"+1|的圖象如圖所示.由圖象可知，函數(shù)＞=|一

V+2尤+1|的單調(diào)遞增區(qū)間為(1—啦，1)和(1+啦，+8)；單調(diào)遞減區(qū)間為(一

8,1-72)和(1,1+V2).

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用多維型

角度一比較函數(shù)值的大小

第17頁共106頁

(2020.重慶模擬)已知函數(shù)_/U)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，當(dāng)X2>X1>1

時，［/(x2)—/(xi)］(x2—xi)<0恒成立，設(shè)a=/(—；),b=j\2),c=/e),則a,

b,c的大小關(guān)系為()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>hD.b>a>c

D［因為yu)的圖象關(guān)于x=i對稱，所以.大一;)=犬|),又由已知可得

於)在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以丸2)次|)次e),即丸2)次—3)次e).］

慟歸納升華

利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的方法

比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則要利用函數(shù)

性質(zhì)，將自變量的值轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上進行比較，對于選擇題、填空題通

常選用數(shù)形結(jié)合的方法進行求解.

角度二求函數(shù)的最值

(1)函數(shù)式?=3-'+log2(x+2)在區(qū)間［-1,2］上的最大值為.

(2)(2020.深圳模擬)函數(shù)的最大值為.

解析：(1)由于y=3*在R上單調(diào)遞增，y=log2(x+2)在［―1,2］上單調(diào)

遞增，所以兀0在［-1,2］上單調(diào)遞增，故_/U)在［-1，2］上的最大值為丸2)=

11.

(2)令I(lǐng)\/—+4=t,則t22,

%.?.產(chǎn)普=-4，

設(shè)〃(/)=/+:,則力⑺在［2,+8)上為增函數(shù)，

51

--2

2y5=7（x=0時取等號）.

-

2

2

-

5

答案：(1)11(2)|

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歸納升華利用函數(shù)單調(diào)性求最值應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求

最值.(可結(jié)合本節(jié)微專題理解)

[注意](1)求函數(shù)的最值時，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域.

(2)求分段函數(shù)的最值時，應(yīng)先求出每一段上的最值，再選取其中最大的作

為分段函數(shù)的最大值，最小的作為分段函數(shù)的最小值.

角度三解函數(shù)不等式問題

定義在[-2,2]上的函數(shù)式X)滿足(X1-X2)[AX1)—_AX2)]>O，X|WX2,且犬/

-d)>fila-T),則實數(shù)。的取值范圍為()

A.[-1,2)B.[0,2)C.[0,1)D.[-1,1)

C[函數(shù)/U)滿足⑶-X2)[/UD-/U2)]>0,X1#X2,.?.函數(shù)在[-2,2]上單調(diào)

遞增，

(—2W/—&W2,j-lWaW2,

.乂一2W2a—2W2,0<tz<2,

V2a—2<a1—a,la<l或a>2.

，0Wa<l,故選C.]

,歸納升華

利用函數(shù)的單調(diào)性求解或證明不等式的方法

若7U)在定義域上(或某一區(qū)間上)是增(減)函數(shù)，則人幻)勺1X2)0

X1<X2(X1>X2),在解決“與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式”問題時，可通過"脫去”函

數(shù)符號'尸化為一般不等式求解，但無論如何都必須在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行.需

要說明的是，若不等式一邊沒有'了’，而是常數(shù)，則應(yīng)將常數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值.如

若已知0=/1),加一1)<0,則火》一1)勺(1).

角度四求參數(shù)的取值范圍或值

(3。-1)x+4a,x<l,

若/U)=《是定義在R上的減函數(shù)，則。的

—ax,x^l

取值范圍為.

解析：由題意知，

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3a—1<0,畤,

1

<(367-1)X1+4〃2一訪解得<>-

4\8

U>0,

4>O

所以D.

答案：ID

歸納升華

利用單調(diào)性求參數(shù)的方法

(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)

間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；

(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間［a,切上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集

上也是單調(diào)的.

變式訓(xùn)練

21,x<l9

i.若函數(shù)yu)=<,則函數(shù)/U)的值域是()

logu>xNl,

A.(—8,2)B.(—8,2］

C.［0,+8)D.(—8,0)U(0,2)

A［當(dāng)x<l時，0<2'<2；

當(dāng)時，?r)=—log比W—log21=0.

綜上yu)<2,即函數(shù)的值域為(一8,2).］

2.若函數(shù)_/U)=|2尤+a|的單調(diào)遞增區(qū)間是［3,+8),則。的值為()

A.-2B.2C.-6D.6

C［作y=|2x+a|的圖象(圖略)，由圖象易知函數(shù)/U)=|2x+〃|的單調(diào)增區(qū)間

是L卷，+°°),令一？=3,得a=-6.］

3.已知函數(shù)加)=一小|,x￡(—1,1),則不等式用一㈤勺(加一1)的解集為

fx2,-1<XW0,

解析：由已知得危)=彳9八?

［一力，0<x<l,

第20頁共106頁

則於）在（一1,1）上單調(diào)遞減,

-1<1—m<\,

—l<m2—1<1,解得0<m<l.

{機2—1<1—m,

???所求解集為（0,1）.

答案：（0，1）

微專題系列5［思想方法］

求函數(shù)最值的常用方法

一、單調(diào)性法

函數(shù)兀V）=—：+伙。>0）在；，2上的值域為3，2,則a=

,b=.

解析：???危）=一：+仇”>0）在售，21上是增函數(shù)，

?,-fi,X）min=fQ）=2，X-X）max=/{2）=2.

（-2a+h=^,

即J解得4=1,

［一升/?=2,—

答案：1|

上1利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的值域是最基本的方法，解題的關(guān)

鍵是準(zhǔn)確確定函數(shù)的單調(diào)性.

二、不等式法

主要是指運用均值不等式及其變形公式來解決函數(shù)最值問題的一種方

法.常用的不等式有以下幾種：

伏a,h為實數(shù)）；

。+bI—

2^yjab（a20,b20）；

（a+6\2c^+b2

abf^^~2~）W-y—（a,人為實數(shù)）.

第21頁共106頁

已知函數(shù)|尤)=—肅*，則/(X)的最大值為

解析：設(shè)f=sinx+2,則fC[l,3],則sin2x=(f—2產(chǎn)，則g(f)=

=4一(/+9=0,當(dāng)且僅當(dāng),即f=2時取等號.

答案：0

9名師點怦在利用均值不等式法求函數(shù)最值時，必須注意‘‘一正"''二

定，，“三相等”，特別是“三相等”能否取到，是我們易忽略的地方，容易產(chǎn)生

失誤.

三、換元法

換元法有兩類，即代數(shù)換元和三角換元，我們可以根據(jù)具體問題及題目形式

去靈活選擇換元的方法，以便將復(fù)雜的函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的最值問

題，從而求出原函數(shù)的最值.如可用三角代換解決形如/+〃=1及部分根式函

數(shù)形式的最值問題.

(1)函數(shù)兀Q=尤+2/彳的最大值為;

(2)求函數(shù)y=x-=4—J的值域.

解析：⑴設(shè)解1-%=/(/設(shè)0),所以x=l-P.所以y=/(x)=x+2qi-x

ul—F+Zfu—e+Zf+ln—a—1)2+2.所以當(dāng)Z=1即X=0時，ymax=/U)max=

2.

(2)由4—fNO,得一2WxW2,

設(shè)x=2cosn]),

貝！Jy=2cos^4—4COS2<9=2COS2sin0

=2^2cos，

因it為sie+a7Te[兀不T5兀J>

所以COS(。+￡)E—1,乎],

所以yd[—2也，2].

答案：(1)2(2?0一2/，2]

在使用換元法時注意換元后新元的范圍(即定義域)，特別是三角

第22頁共106頁

換元后新函數(shù)的周期性對值域的影響.

四、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法，是指利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助幾何方法及函數(shù)的圖象

求函數(shù)最值的一種常用方法.

a,a'b,

對a,記max{a,b}=]函數(shù)/(x)=max(|x+1|,|x—

[b,a<b,

2|}(x￡R)的最小值是.

解析：令|x+l閆%—2|,

得(x+l)22(x—2)2,解得尤2T.

fk+1|,龍

所以yu)=J]

1|尤—2],x<^.

其圖象如圖所示：

由圖象易知，當(dāng)時，函數(shù)有最小值，所以/(x)min

=/8=|%|=2-

3

答案：5

?名師點評找出函數(shù)的解析式，并作出對應(yīng)圖象是解題的關(guān)鍵.

「友情提示]每道習(xí)題都是一個高考點，每項訓(xùn)練都是對能力的檢驗，認(rèn)真

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第23頁共106頁

3.函數(shù)的奇偶性及周期性

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測

1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性

考情分析：以理解函數(shù)的奇偶性、

的含義.

會用函數(shù)的奇偶性為主，其中與函數(shù)的

2.會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)

單調(diào)性、周期性交匯的問題仍是高考考

的奇偶性.

查的熱點.題型以選擇、填空題為主，

3.結(jié)合三角函數(shù)，了解周期性的含

難度中等偏上.

義和幾何意義、會應(yīng)用簡單函數(shù)的周期

學(xué)科素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理.

性.

?等分步落實

精梳理、巧診斷，過好雙基關(guān)

V學(xué)生用書P28

I整知識I........................................................?>

1.