2016年高三創(chuàng)新設(shè)計(jì)資料包（理科）教師資料：11-12章

第十一章計(jì)數(shù)原理最新考綱1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理；2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.基礎(chǔ)診斷梳理自劃，理解亡憶1.分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m?種不同的方法，在第二類方案中有m?種不同的方法，……,在第n類方案中有m,種不同的方法，則完成這件事情，共有N=m?+m?+…+m,種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事情需要分成n個(gè)不同的步驟，完成第一步有m?種不同的方法，完成第二步有m?種不同的方法，……,完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有N=m?×m2×…×m種不同的方法，3.分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法的種數(shù).它們的區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成.(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.(×)(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.(√)(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成后，這件事情才算完成.(√)(4)如果完成一件事情有n個(gè)不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法m,(i=1,2,3,…,n),那么完成這件事共有m?m?m?…m,種方法.(√)2.從集合{1,2,3,…,10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()解析以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1,2,4;1,3,9;以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2,4,8;以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4,6,9;把這四個(gè)數(shù)列順序顛倒，又得到4個(gè)數(shù)列，∴所求的數(shù)列共有2(2+1+1)=8(個(gè)).答案D3.所有兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)共有()解析個(gè)位數(shù)字為2的有1個(gè)，個(gè)位數(shù)字為3的有2個(gè)，……,個(gè)位數(shù)字為9的有8個(gè)，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共4.現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()解析按A→B→C→D順序分四步涂色，共有4×3×2×2=48(種).5.(人教A選修2-3P13B2改編)5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法有種.解析每位同學(xué)都有2種報(bào)名方法，因此，可分五步安排5名同學(xué)報(bào)名，由分步乘法原理，總的報(bào)名方法共2×2×2×2×2=32(種).考點(diǎn)突破分類講練，以例求法社社PT名師講解【例1】(1)某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有()且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0解析(1)贈(zèng)送1本畫冊(cè)，3本集郵冊(cè)，需從4人中選取一人贈(zèng)送畫冊(cè)，其余送郵冊(cè)，有Cl種方法.贈(zèng)送2本畫冊(cè)，2本集郵冊(cè)，只需從4人中選出2人送畫冊(cè)，其余2人送郵冊(cè)，②當(dāng)a≠0時(shí)，則方程有實(shí)根，∴△=4-4ab≥0,所以ab≤1.(*)有4種.(iii)當(dāng)a=2時(shí)，b=-1,0,有2種可能.共有4+4+3+2=13(個(gè)).【訓(xùn)練1】在某種信息傳輸過程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))解析與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類：第一類：與信息0110有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C2=6(個(gè));第二類：與信息0110有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C4=4(個(gè));第三類：與信息0110沒有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C4=1(個(gè));故與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息有6+4+1=11(個(gè)).【例2】有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法?(不一定六名同學(xué)都能參加)知共有選法3?=729(種).種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目只有4種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有報(bào)名方法6×5×4=120(種).(3)由于每人參加的項(xiàng)目不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參賽，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有不同的報(bào)名方法63=216(種).規(guī)律方法利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題：(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的.(2)分步要做到“步驟完整”,只有完成了所有步驟，才完成任務(wù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).)某體育彩票規(guī)定：從01至36共36個(gè)號(hào)中抽出7個(gè)號(hào)為一注，每注2元.某人想從01至10中選3個(gè)連續(xù)的號(hào)，從11至20中選2個(gè)連續(xù)的號(hào)，從21至30中選1個(gè)號(hào)，從31至36中選1個(gè)號(hào)組成一注，則這人把這種特殊要求的號(hào)買全，至少要花()(2)用0,1,2,3,4,5可組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).解析(1)從01至10中選3個(gè)連續(xù)的號(hào)共有8種選法；從11至20中選2個(gè)連續(xù)的號(hào)共有9種選法；從21至30中選1個(gè)號(hào)有10種選法；從31至36中選一個(gè)號(hào)有6種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有8×9×10×6=4320(種)選法，至少需花4320×2=8640(元).(2)可分三步給百、十、個(gè)位放數(shù)字，第一步：百位數(shù)字共5種放法；第二步：十位數(shù)字有5種放法；第三步：個(gè)位數(shù)字有4種放法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，三位數(shù)個(gè)數(shù)為5×5×4=100(個(gè)).【例3】將一個(gè)四棱錐S-ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少?5×4×3=60(種)染色方法.由于C點(diǎn)的顏色可能與A同色或不同色，這影響C與A同色時(shí)(此時(shí)C對(duì)顏色的選取方法唯一),D應(yīng)與A(C),S不同色，有3而對(duì)C、D染色有1×3+2×2=7(種)染色方法.由乘法原理，總的染色方法有60×7=420(種).法二根據(jù)所用顏色種數(shù)分類可分三類第一類：用三種顏色，此時(shí)A與C,B與D分別同色，問題相當(dāng)于從5種顏色中選3種涂三個(gè)點(diǎn).共A}=60(種)涂法；第二類：用4種顏色，此時(shí)A與C,B與D中有且只有一組同色，涂法種數(shù)為第三類：用5種顏色，涂法種數(shù)共A3=120(種).綜上可知，滿足題意的染色方法總數(shù)為60+240+120=420(種).的問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化.【訓(xùn)練3】如果一個(gè)三位正整數(shù)如“a?aza?”滿足a?<az,且a?>a?,則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等),那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為()解析若a?=2,則“凸數(shù)”為120與121,共1×2=2個(gè).若a?=3,則“凸數(shù)”有2×3=6個(gè).若a?=4,滿足條件的“凸數(shù)”有3×4=12個(gè)，…,若a?=9,滿足條件的“凸數(shù)”有8×9=72個(gè).∴所有凸數(shù)有2+6+12+20+30+42+56+72=240(個(gè)).課堂總結(jié)反忠歸納，悠性提升法，怎樣才算是完成這件事.事，而不需要再用到其他辦法.2.使用分步乘法計(jì)數(shù)原理的關(guān)注點(diǎn)(1)明確題目中的“完成這件事”是什么,確定步都是獨(dú)立的.所有步驟都完成了，整個(gè)事件才算完成，這是分步的基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵.從計(jì)數(shù)上來看，各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù).還要注意元素是否可以重復(fù)選取.1.切實(shí)理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行.3.確定題目中是否有特殊條件限制.課時(shí)作業(yè)分座訓(xùn)練，擅升能力基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)1.從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選1人主持本班某次主題班會(huì)，不同選法種數(shù)為解析由分類加法計(jì)算原理知總方法數(shù)為3+2=5(種).2.4位同學(xué)從甲、乙、丙3門課程中各選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同解析分三步，第一步先從4位同學(xué)中選2人選修課程甲.共有C種不同選法，第二步給第3位同學(xué)選課程，有2種選法.第三步給第4位同學(xué)選課程，也有2種不同選法.故共有C}×2×2=24(種).3.從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，解析三位數(shù)可分成兩種情況：(1)奇偶奇；(2)偶奇奇.對(duì)于(1),個(gè)位(3種選擇),十位(2種選擇),百位(2種選擇),共12種；對(duì)于(2),個(gè)位(3種選擇),十位(2種選擇),百位(1種選擇),共6種，即12+6=18.故選B.4.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作橫坐標(biāo)，共4×2=8個(gè)點(diǎn)，由分類加法原理知點(diǎn)的個(gè)數(shù)共6+8=14個(gè).5.(2013·四川卷)從1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為從1,3,5,7,9中任取兩個(gè)作有A3種，同，-lgb的不同值的個(gè)數(shù)有A}-2=18.6.用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3解析數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，包括以下情況：“2”出現(xiàn)1次，“3”出現(xiàn)3次，共可組成C4=4(個(gè))四位數(shù).“2”出現(xiàn)2次，“3”出現(xiàn)2次，共可組成C?=6(個(gè))四位數(shù).“2”出現(xiàn)3次，“3”出現(xiàn)1次，共可組成C3=4(個(gè))四位數(shù).綜上所述，共可組成14個(gè)這樣的四位數(shù).答).選1人當(dāng)文娛委員，有3種選法.第二步，從剩下的4人中選學(xué)習(xí)委員和體育委員，又可分兩步進(jìn)行：先選學(xué)習(xí)委員有4種選法，再選體育委員有3種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的選法共有3×4×3=36(種).8.將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)方格中，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有種.解析編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字2,共有3種不同填法；編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字3,共有3種不同填法；編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字4,共有3種不同填法.于是由分類加法計(jì)數(shù)原理，得共有3+3+3=9(種)不同的填法.9.有一項(xiàng)活動(dòng)需在3名老師，6名男同學(xué)和8名女同學(xué)中選人參加，法，總方法數(shù)為3+6+8=17(種).(2)分兩步，先選教師共3種選法，再選學(xué)生共6+8=14種選法，由分步乘法總方法數(shù)為3×14=42(種).(3)教師、男、女同學(xué)各一人可分三步，每步方法依次為3,6,8種.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知方法數(shù)為3×6×8=144(種).10.電視臺(tái)在“歡樂在今宵”節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱，其中放著競(jìng)猜中成績(jī)優(yōu)秀的觀眾來信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾，若先確定一名幸運(yùn)之星，再?gòu)膬上渲懈鞔_定一名幸運(yùn)觀眾，有多少種不同結(jié)果?運(yùn)觀眾有30×29×20=17400(種).(2)幸運(yùn)之星在乙箱中抽取，有20×19×30=11400(種).共有不同結(jié)果17400+11400=28800(種).(建議用時(shí)：25分鐘)11.將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有()由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同選派方案共有2×6=12(種).12.(2013·山東卷)用0,1,…,9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的解析0,1,2,…,9共能組成9×10×10=900(個(gè))三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8=648(個(gè)),∴有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900-648=252(個(gè)).13.回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22,121,3443,94249等.顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11,22,33,…,99.3位回文數(shù)有90個(gè)：101,111,121,…,191,202,…,999.則(1)4位回文數(shù)有個(gè)；(2)2n+1(n∈N*)位回文數(shù)有個(gè).解析(1)4位回文數(shù)相當(dāng)于填4個(gè)方格，首尾相同，且不為0,共9種填法，中間兩位一樣，有10種填法，共計(jì)9×10=90(種)填法，即4位回文數(shù)有90個(gè).結(jié)合計(jì)數(shù)原理，知有9×10"種填法.14.將紅、黃、綠、黑4種不同的顏色分別涂入圖中的五個(gè)區(qū)域內(nèi)，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域的顏色都不相同，則有多少種不同涂色方法?解法一本題利用了分步原理求涂色問題.給出區(qū)域標(biāo)記號(hào)A,B,C,D,E(如圖),則A區(qū)域有4種不同的涂色方法，B區(qū)域有3種，C區(qū)域有2種，D區(qū)域有2種，但E區(qū)域的涂色依賴于B與D涂的顏色，如果B與D顏色相同有2種涂色方法，不相同，則只有一種.因此應(yīng)先分類后分步.①當(dāng)B與D同色時(shí)，有4×3×2×1×2=48(種).②當(dāng)B與D不同色時(shí)，有4×3×2×1×1=24(種).故共有48+24=72(種)不同的涂色的方法.注：本例若按A,B,E,D,C順序涂色，在最后給區(qū)域C涂色時(shí)，就應(yīng)考慮A與E,B與D是否同色這兩種法二按用3種或用4種顏色分兩類，第一類用3種，此時(shí)A與E,B與D分別同色，于是涂法種數(shù)為A3=24(種);第二類用4種，此時(shí)，A與E,B與D有且只有一組同色，涂法種數(shù)為2A4=48(種).由分類加法計(jì)數(shù)原理知涂法總數(shù)為24+48=72(種).第2講排列與組合基礎(chǔ)診斷格理自劫，理解：憶名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)不同元素按照一定的順序排成一列組合合成一組公式,Hm≤n).特別地Cn=1性質(zhì)診斷自測(cè)2.用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()解析當(dāng)個(gè)位數(shù)字為2時(shí)，從1,3,4,5中取3個(gè)數(shù)字排千位、百位與十位，所以排成的四位偶數(shù)有CA}=24種；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為4時(shí)，從1,2,3,5中取分類加法計(jì)數(shù)原理，共有24+24=48種.3.(2014·大綱全國(guó)卷)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組.則不同的選法共有()解析從6名男醫(yī)生中選出2名有C3種選法，從5名女醫(yī)生中選出1名有C種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的選法共有C3·C}=75種.故選C.配方案共有種.解析先將4名大學(xué)生分成3組，共C種分法，再將3組分到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，共A}種安排方法，所以總分配方案共C3·A}=36(種).5.(人教A選修2-3P28A17改編)從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，其中男女生都有的選法種數(shù)為種.數(shù)為ClC}+C3C}=12+18=30(種).也可用間接法C3-C3-C3=30.考點(diǎn)突破考點(diǎn)一典型的排列問題【例1】3名女生和5名男生排成一排(1)如果女生全排在一起，有多少種不同排法?法.【訓(xùn)練1】用0,1,2,3,4,5這6個(gè)數(shù)字.(2)先排0,2,4,再讓1,3,5插空，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為C1C6+C3C3+C1CG+C4CH=246(種).法二“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”,可用間接法求從10人中任選5人有C10種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C8種.所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法為C1o-CG=246(種).“只有男隊(duì)長(zhǎng)”的選法為C?;“只有女隊(duì)長(zhǎng)”的選法為C?;“男、女隊(duì)長(zhǎng)都入選”的選法為C8;所以共有2C8+C&=196(種)選法.法二(間接法)從10人中任選5人有Cl?種選法.其中不選隊(duì)長(zhǎng)的方法有C8種.所以“至少有1名隊(duì)長(zhǎng)”的選法為Cio-C8=196(種).(4)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人任意選，共有C種選法.不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有C種選法，其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C種，所以不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)的選法共有C8-C種選法.所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有C+C8-C=191(種).間接求解.【訓(xùn)練2】甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，求：(1)甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有多少種?解(1)甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，且甲、乙所選課程中恰有1門相(2)甲、乙兩人從4門課程中各選兩門不同的選法種數(shù)為C3C3,又甲、乙兩人所選的兩門課程都相同的選法種數(shù)為C種，因此滿足條件的不同選法種數(shù)為共有C}A?種分法.總獲獎(jiǎng)情況共有A3+C}A2=60(種).(2)通過分析，對(duì)事件進(jìn)行合理的分類、分步，或考(3)分析上述解法中有沒有重復(fù)和遺漏現(xiàn)象，若有，則計(jì)算出重復(fù)數(shù)和遺漏數(shù).2.對(duì)于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個(gè)途徑考慮合數(shù).3.排列、組合問題的求解方法與技巧1.區(qū)分一個(gè)問題屬于排列問題還是組合問題，關(guān)鍵在于是否與順序有關(guān).2.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏.基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1.(2014·遼寧卷)6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)A.144B.120解析先把三把椅子隔開擺好，它們之間和兩端有4個(gè)位置，再把三人帶椅子插放在四個(gè)位置，共有A3=24(種)放法，故選D.答案D2.(2014·四川卷)六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()解析若最左端排甲，其他位置共有A?=120(種)排法；若最左端排乙，最右端共有4種排法，其余4個(gè)位置有A4=24(種)排法，所以共有120+4×24=答案B3.若從1,2,3,…,9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()解析共有4個(gè)不同的偶數(shù)和5個(gè)不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，則4個(gè)數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，故不同的取法有CS+C4+CC}=答案D4.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分法的種數(shù)為()解析四名學(xué)生中有兩名學(xué)生恰好分在一個(gè)班，共有CfA}種分法，而甲、乙被分在同一個(gè)班的有A}種，所以不同的分法種數(shù)是C+A3-A3=30.答案C5.在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序B和C在實(shí)施時(shí)必須相鄰，問實(shí)驗(yàn)順序的編排方解析程序A有Al=2(種)結(jié)果，將程序B和C看作元素集團(tuán)與除A外的元素排列有A3A4=48(種),∴由分步乘法計(jì)數(shù)原理，實(shí)驗(yàn)編排共有2×48=96(種)方法.答案C二、填空題6.7位身高均不等的同學(xué)排成一排照相，要求中間最高，依次往兩端身高逐漸降低，共有種排法.解析先排最中間位置有一種排法，再排左邊3個(gè)位置，由于順序一定，共有C;種排法，再排剩下右邊三個(gè)位置，共一種排法，所以排法答案207.若把英語單詞“good”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤方法共有解析把g、o、o、d4個(gè)字母排一列，可分兩步進(jìn)行，第一步：排g和d,共有A3種排法；第二步：排兩個(gè)o.共一種排法，所以總的排法種數(shù)為A2=12(種).其中正確的有一種，所以錯(cuò)誤的共A}-1=12-1=11(種).答案118.(2014·北京卷)把5件不同產(chǎn)品擺成一排.若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A解析記5件產(chǎn)品為A、B、C、D、E,A、B相鄰視為一個(gè)元素，先與D、E排列，有A3A3種方法；再將C插入，僅有3個(gè)空位可選，共有=36(種)不同的擺法.三、解答題解比43251大的數(shù)有下列幾類：所以43251是第120—32=88項(xiàng).10.從5名男生和3名女生中選5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，分別求符合下列條件的方法數(shù)：能力提升題組11.某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市中投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè)，則該外商不同的投資方案有()解析法一(直接法)若3個(gè)不同的項(xiàng)目投資到4個(gè)城市中的3個(gè)，每個(gè)城市一項(xiàng)，共A種方法；若3個(gè)不同的項(xiàng)目投資到4個(gè)城市中的2個(gè)，一個(gè)城市一項(xiàng)、一個(gè)城市兩項(xiàng)共C}A}種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知共A3+C}Aj=法二(間接法)先任意安排3個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目各有4種安排方法，共43=64種排法，其中3個(gè)項(xiàng)目落入同一城市的排法不符合要求共4種，所以總投資方案共43-4=64-4=60種.12.(2014·重慶卷)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()解析先不考慮小品類節(jié)目是否相鄰，保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共有A3·A3=144種，再剔除小品類節(jié)目相鄰的情況，共有A}·A2·A2=24種，于是符合題意的排法共有144-24=120種.13.(2015·杭州調(diào)研)四名優(yōu)等生保送到三所學(xué)校去，每所學(xué)校至少得一名，則不同的保送方案有種，解析分兩步：先將四名優(yōu)等生分成2,1,1三組，共有C種；而后，對(duì)三組學(xué)生全排三所學(xué)校，即進(jìn)行全排列，有A3種.依分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有N14.某國(guó)際旅行社共有9名專業(yè)導(dǎo)游，其中6人會(huì)英語，4人會(huì)日語，若在同一天要接待5個(gè)不同的外國(guó)旅游團(tuán)隊(duì)，其中3個(gè)隊(duì)要安排會(huì)英語的導(dǎo)游，2個(gè)隊(duì)要安排會(huì)日語的導(dǎo)游，則不同的安排方法共有多少種?解依題意，導(dǎo)游中有5人只會(huì)英語，3人只會(huì)日語，一人既會(huì)英語又會(huì)日語.按只會(huì)英語的導(dǎo)游分類：①3個(gè)英語導(dǎo)游從只會(huì)英語人員中選取，則有A}×A2=720(種).②3個(gè)英語導(dǎo)游從只會(huì)英語的導(dǎo)游中選2名，另一名由既會(huì)英語又會(huì)日語的導(dǎo)游擔(dān)任，則有C}A}·A}=360(種).故不同的安排方法共有所以不同的安排方法共有1080種.第3講二項(xiàng)式定理基礎(chǔ)診斷燒理身題，理耀；憶二項(xiàng)式定理二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式T+i=Ca"-b',它表示第r+1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)C,C,…,Cn項(xiàng)和項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為(2)二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng).(×)(3)(a+b)"的展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a,b無關(guān).(√)(4)(a+b)2"中系數(shù)最大的項(xiàng)是第n項(xiàng).(×)的系數(shù)是84,則實(shí)數(shù)a=()A.2B.√答案C3.的展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則展開式中常數(shù)項(xiàng)項(xiàng)為7.答案7729,即3”=3?,所以n=6,所以(答案A考點(diǎn)突破分類講練，以例求法B密靖初PVT名師講解考點(diǎn)一通項(xiàng)公式及其應(yīng)用的展開式中常數(shù)項(xiàng)為A,則A = 事事解析注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n,r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r,如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等);第二步是A.-4B.-3(2);的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開式的解析(1)∵(1+x)°=ao+ajx+a?x2+…+ax",令x=1,則(1+1)"=ao+ai+a?+…+an=64,∴n=6,∴(1+x)?的展開式系數(shù)最大項(xiàng)為T?=Cx3=20x3.求解過程中，常因把n的等量關(guān)系表示為,而求錯(cuò)n的值.母因式的值或目標(biāo)式的值為1,-1.【訓(xùn)練2】(1)二項(xiàng)的展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則的值為.解析(1)由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，得n=10,.則r=2,從而T?=4Cǐ?=180.則答案(1)A(2)-1【例3】(1)設(shè)a∈Z,且O≤a<13,若5120l2+a能被13整除，則a=()=C2012·522012-C2012·522011+…+C28B×52·(-1)201I因此a可取值12.也能被13整除.2"=(1+1)=C+C+…+C-1+C≥C9=9(C9×9?-C×9?+…+C)-2.課堂總結(jié)反類典納，根供提升念.課時(shí)作業(yè)分座訓(xùn)練，提升能力r=2,n=5時(shí)成立.答案B=2.答案C又a?+a?+a?+…+a?=63,∴(1+m)?=64=2?,∴m=1或m=-3.x)]1?=ao+a?(1-x)+a?(1-x)2+…+ai(1-x)?,所以ag=Cio22(-1)?=180.答案B二、填空題,8.若(1+x+x2)?=ao+ax+a?x2+…+auzx12,則a?+a?+…+ap=.解析令x=1,則ao+an+a?+…+aiz=的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為256.∴2”=256,解得n=8.∴偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和能力提升題組2)=C6·C2=36,(0,3)=C=4,所以/(3,0)+?(2,1)+/(1,2)+/(0,3)=120,故選C.答案C,∴解得m=6,經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解，選B.令上式中x=1,得a?+2a?+3a?+4a?+14.求證：1+2+22+…+25n-|(n∈N)能被31整除.階段回扣練11計(jì)數(shù)原理2門B,有C|C=3×6=18種，∴共12+18=30種選法.有C3-C}-C3=35-1-4=30種選法.故選A.答案A答案B答案AA.74B.121C.-7 =(-1)".答案A8.將10個(gè)三好名額分到7個(gè)班中，每班至少一名，則分法種數(shù)為()A.A]?B.CoC.84種.9.將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中.若每個(gè)信封答案D二、填空題答案2令12-3r=3,則r=3.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)，即a2+b2的最小值為2.”解析根據(jù)題意知ao=1,a?=3,az=4,解得a=3.=96種方法.答案336答案1080第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布第1講隨機(jī)事件的概率最新考綱1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意確定事件必然事件的必然事件不可能事件S的不可能事件隨機(jī)事件在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)n?為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例為事件A出現(xiàn)的頻率.穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A),稱為事件A的概率，簡(jiǎn)稱為A的概率.3.事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號(hào)表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B2A(或ACB)相等關(guān)系若B2A且A2B并事件(和事若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)AUB(或A+B)交事件(積事若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥對(duì)立事件若A∩B為不可能事件，AUB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件①如果事件A與事件B互斥，則P(AUB)=P(A)+P(B).②若事件B與事件A互為對(duì)立事件，則P(A)=1-P(B)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(×)(3)兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件都得發(fā)生.(×)2.一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶B.兩次都中靶C.只有一次中靶D.兩次都不中靶解析事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶兩次”兩種情況，由互斥事件的定義，可知“兩次都不中靶”與之互斥.3.從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2,解析因?yàn)楸厝皇录l(fā)生的概率是1,所以該同學(xué)的身高超過175cm的概率為1-0.2-0.5=0.3,故選B.4.從一副不包括大小王的混合后的撲克牌(52張)中，隨機(jī)抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”,事件B為“抽得黑桃”,則概率P(AUB)=_(結(jié)果,且A與B是互斥事件.“>”、“<”、“≥”、“≤”).考點(diǎn)突破分類講練，以例蒸法虛計(jì)初PPT名師進(jìn)解考點(diǎn)一隨機(jī)事件的頻率與概率抽取球數(shù)n優(yōu)等品頻率(2)從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個(gè)，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)?,計(jì)算出表中乒乓球優(yōu)等品的頻率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球數(shù)n不同，計(jì)算得到的頻率值不同，但隨著抽取球數(shù)的增多，頻率在常數(shù)0.950的附近擺動(dòng)，所以質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率約為0.950.規(guī)律方法頻率是個(gè)不確定的數(shù)，在一定程度上頻率可以反映事件發(fā)生的可能性大小，但無法從根本上刻畫事件發(fā)生的可能性大小.但從大量重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率就會(huì)穩(wěn)定于某一固定的值，該值就是概率.【訓(xùn)練1】假設(shè)甲、乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場(chǎng)上銷售量相等，為了解它們的使用壽命，現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示.(1)估計(jì)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率；(2)這兩種品牌產(chǎn)品中，某個(gè)產(chǎn)品已使用了200小時(shí)，試估計(jì)該產(chǎn)品是甲品牌的概率.解(1)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的頻率用頻率估計(jì)概率，可得甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率(2)根據(jù)抽樣結(jié)果，可得壽命大于200小時(shí)的兩種品牌產(chǎn)品共有75+70=145(個(gè)),其中甲品牌產(chǎn)品有75個(gè)，所以在樣本中，壽命大于200小時(shí)的產(chǎn)品是甲品牌的頻率：據(jù)此估計(jì)已使用了200小時(shí)的該產(chǎn)品是甲品牌的概考點(diǎn)二隨機(jī)事件的關(guān)系【例2】一個(gè)均勻的正方體玩具的各個(gè)面上分別標(biāo)以數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個(gè)玩具向上拋擲1次，設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3,事件C表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4,則()出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3},事件A,B不關(guān)系.【訓(xùn)練2】對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈.設(shè)A={兩次都擊中飛機(jī)},B={兩次都沒擊中飛機(jī)},C={恰有一次擊中飛機(jī)},D={至少有一次擊中飛機(jī)},其中彼此互斥的事件是,互為對(duì)立事件的是.解析設(shè)I為對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況，因?yàn)锳∩B=o,A∩C而B∩D=o,BUD=I,故B與D互為對(duì)立事件.(排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少?(2)至少3人排隊(duì)等候的概率是多少?解記“無人排隊(duì)等候”為事件A,“1人排隊(duì)等候”為事件B,“2人排隊(duì)等候”為事件C,“3人排隊(duì)等候”為事件D,“4人排隊(duì)等候”為事件E,“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F,則事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G,則G=A+B+C,所以P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)法一記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H,則H=D+E+F,所以P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.法二記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H,則其對(duì)立事件為事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.【訓(xùn)練3】某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購(gòu)物量9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)/人Xy結(jié)算時(shí)間/(分鐘/123已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過8件的顧客占55%.(2)求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率(將頻率視為概率).解(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，顧客一次購(gòu)物(2)記A表示事件“一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘”,A?,A?,A?分別表示事件“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1分鐘”“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1.5分鐘”“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為2分鐘”.將頻率視,·,因?yàn)锳=A?UA?UA?,且事件A?,A?,A?彼此互斥，所以P(A)=P(A?UA?UA?)=P(A?)+P(A?)+P(A?)故一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率課堂總結(jié)反思配納，概快提升2.需準(zhǔn)確理解題意，特別留心“至多……”,“至少……”,“不少于……”課時(shí)作業(yè)分應(yīng)訓(xùn)練，搓抖能力1.(2015·襄陽模擬)有一個(gè)游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)解析由于每人一個(gè)方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是對(duì)立事件，故選A.2.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事件“抽到的不是一等品”的概率為()解析事件“抽到的不是一等品”與事件A是對(duì)立事件，由于P(A)=0.65,所以由對(duì)立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率為P=1-P(A)=1-答案C3.從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是C.至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球解析對(duì)于A中的兩個(gè)事件不互斥，對(duì)于B中兩個(gè)事件互斥且對(duì)立，對(duì)于C中兩個(gè)事件不互斥，對(duì)于D中的兩個(gè)事件互斥而不對(duì)立.答案D4.對(duì)一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度(單位：毫米)進(jìn)行抽樣檢測(cè)，下圖為檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間(20,25)上為一等品，在區(qū)間(15,20)和[25,30)上為二等品，在區(qū)間[10,15]和[30,35]上為三等品.用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，則其為二等品的概率是()A.0.09B.0.20C.0.25解析由頻率分布直方圖可知，一等品的頻率為0.06×5=0.3,三等品的頻率為0.02×5+0.03×5=0.25,所以二等品的頻率為1-(0.3+0.25)=0.45.用頻率估計(jì)概率可得其為二等品的概率為0.45.二、填空題6.在200件產(chǎn)品中，有192件一級(jí)品，8件二級(jí)品，則下列事件：①在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是一級(jí)品；②在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是二級(jí)品；③在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，不全是二級(jí)品.7.拋擲一粒骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件B為出現(xiàn)2點(diǎn)，已知?jiǎng)t出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率為點(diǎn)，已知,解析因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，所以2-3答案8.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率為0.42,摸出白球的概率為0.28,若紅球有21個(gè)，則黑球有個(gè).解析摸出黑球的概率為1-0.42-0.28=0.30,口袋內(nèi)球的個(gè)數(shù)為21÷0.42=50,所以黑球的個(gè)數(shù)為50×0.30=15.答案15賠付金額(元)0車輛數(shù)(輛)(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%,在賠付金額為元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%,估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率.解(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”,B表示事件“賠付金額為4000元”,以頻率估計(jì)概率得,·,由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對(duì)應(yīng)的情形是賠付金額為3000元和4000元，所以其概率為P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元”,由已知，樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.1×1000=100(輛),而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機(jī)的有0.2×120=24(輛),所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為由頻率估計(jì)概率得P(C)=0.24.10.一盒中裝有12個(gè)球，其中5個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，1個(gè)綠球.從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率.解法一(利用互斥事件求概率)記事件A?={任取1球?yàn)榧t球},A?={任取1球?yàn)楹谇騷,A?={任取1球?yàn)榘浊騷,A?={任取1球?yàn)榫G球},’根據(jù)題意知，事件A?,A?,A?,A?彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P(A?UA?UA?)=P(A?)+P(A?)+P(A?)法二(利用對(duì)立事件求概率)(1)由法一知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A?UA?的對(duì)立事件為A?UA?,所以取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A?UA?)=1-P(A?UA?)=1-(2)因?yàn)锳?UA?UA?的對(duì)立事件為A?,所以取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為能力提升題組11.在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3,則下列說法正確的是A.A+B與C是互斥事件，也是對(duì)立事件B.B+C與D是互斥事件，也是對(duì)立事件C.A+C與B+D是互斥事件，但不是對(duì)立事件D.A與B+C+D是互斥事件，也是對(duì)立事件解析由于A,B,C,D彼此互斥，且A+B+C+D是一個(gè)必然事件，故其事件的關(guān)系可由如圖所示的Venn圖表示，由圖可知，任何一個(gè)事件與其余3個(gè)事件的和事件必然是對(duì)立事件，任何兩個(gè)事件的和事件與其余兩個(gè)事件的和事件也是對(duì)立事件.故選D.12.在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2A.至多有一張移動(dòng)卡B.恰有一張移動(dòng)卡C.都不是移動(dòng)卡D.至少有一張移動(dòng)卡解析因?yàn)槎?張全是移動(dòng)卡”的對(duì)立事件是“至多有一張移動(dòng)卡”,故選A.13.某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)、英語、音樂3個(gè)課外興趣小組，3個(gè)小組分別有39,32,現(xiàn)隨機(jī)選取一個(gè)成員，他屬于至少2個(gè)小組的概率是,他屬于不超過2個(gè)小組的概率是解析“至少2個(gè)小組”包含“2個(gè)小組”和“3個(gè)小組”兩種情況，故他屬于至少2個(gè)小組的概率為“不超過2個(gè)小組”包含“1個(gè)小組”和“2個(gè)小組”,其對(duì)立事件是“3個(gè)小組”.故他屬于不超過2個(gè)小組的概率是答案所用時(shí)間(分鐘)選擇L?的人數(shù)6選擇L?的人數(shù)044(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可解(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44(人),(2)選擇L?的有60人，選擇L?的有40人，所用時(shí)間(分鐘)L?的頻率L?的頻率0別表示乙選擇L?和L?時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站.由(2)知P(A?)=0.1+0.2第2講古典概型基礎(chǔ)診斷燒理身韌，理解憶,那么事件A的概率·件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.(×)果是等可能事件.(×)典概型.(×)2.(2014·陜西卷)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為()解析根據(jù)題意知，取兩個(gè)點(diǎn)的所有情況為C?種，2個(gè)點(diǎn)的距離小于該正方形邊長(zhǎng)的情況有4種，故所求概率故選C.活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為()解析由題意知，4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)有24種情況，而4位同學(xué)都選周六有1種情況，4位同學(xué)都選周日也有1種情況，故周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為故選D.4.(人教A必修3P127例3改編)同時(shí)擲兩個(gè)骰子，向上點(diǎn)數(shù)不相同的概率為 4解析擲兩個(gè)骰子一次，向上的點(diǎn)數(shù)共6×6=36個(gè)可能的結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)相同的結(jié)果共有6個(gè)，所以點(diǎn)數(shù)不同的概率答案5.從分別寫1,2,3,4,5的五張卡片中任取兩張，假設(shè)每張卡片被取到概解析法一從分別寫有1,2,3,4,5的五張卡片中任取兩張，可能情況有4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15種，其中和為偶數(shù)的情況有(1,3),(1,5),(2,4),(2,6),(3,5),(4,6),共6種，所以所求的概率2考點(diǎn)突破分類講練，以例錄法安社利P]T名師講解【例1】現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答.試求：確使用.【訓(xùn)練1】袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3;藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號(hào)分別為1,2.種卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率.解(1)從5張卡片中任取兩張，共有n=C3=10種方法.記“兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4”為事件A,則A包含基本事件m=(2)從6張卡片中任取兩張，共有n=C6=15個(gè)基本事件，記“兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4”為事件B,則事件B包含基本事件∴所求事件的概率考點(diǎn)二復(fù)雜的古典概型的概率(2)以第一次向上點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)x,第二次向上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)y的點(diǎn)(x,y)在圓x2+y2=15的外部或圓上的概率.解由題意，先后擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)(x,y)共有n=6×6=36種等可能結(jié)果，為古典概型.(1)記“兩數(shù)中至少有一個(gè)奇數(shù)”為事件B,則事件B與“兩數(shù)均為偶數(shù)”為對(duì)立事件，記為B.∵事件B包含的基本事件數(shù)m=C}C}=9.,.因此，兩數(shù)中至少有一個(gè)奇數(shù)的概率)=15上或圓的外部”.又事件C包含基本事件：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共有8個(gè)，∴點(diǎn)(x,y)在圓x2+y2=15上或圓外部的概率題6道，判斷題4道，甲、乙兩人依次各抽一題.解甲、乙兩人從10道題中不放回地各抽一道題，先抽的有10種抽法，后抽的有9種抽法，故所有可能的抽法是10×9=90種，即基本事件總數(shù)是90.甲抽選擇題有6種抽法，乙抽判斷題有4種抽法，所以事件A的基本事件數(shù)為是“甲、乙兩人都未抽到選擇題”,即都抽到判斷題.則事件B包含的基本事件數(shù)為4×3=12,【例3】為了解學(xué)生身高情況，某校以10%的比例對(duì)全校700名學(xué)生按性別(2)估計(jì)該校學(xué)生身高在170～185cm之間的概率；(3)從樣本中身高在165～180cm之間的女生中任選2人，求至少有1人身高在170～180cm之間的概率.解(1)樣本中男生人數(shù)為40,由分層抽樣比例為10%估計(jì)全校男生人數(shù)為400.(2)由統(tǒng)計(jì)圖知，樣本中身高在170～185cm之間的學(xué)生有14+13+4+3+1=∵樣本容量為70,故估計(jì)該校學(xué)生身高在170～185cm之間的概率P=0.5.(3)樣本中女生身高在165～180cm之間的人數(shù)為10,身高在170～180cm之間的人數(shù)為4.設(shè)A表示事件“從樣本中身高在165～180cm之間的女生中任取2人，至少有1人身高在170～180cm之間”,規(guī)律方法有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型，已成為高考考查的熱點(diǎn)，概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題，無論是直接描述還是利用概率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只需要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決.【訓(xùn)練3】(2013·廣東卷)某車間共有12名工人，隨機(jī)抽取6名，他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù).(2)日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人?(3)從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率.解(1)由莖葉圖可知：樣本數(shù)據(jù)為17,19,20,21,25,30.則故樣本均值為22.(2)日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人有2名，該車間12名工人中優(yōu)秀工人大約有故該車間約有4名優(yōu)秀工人.(3)記“恰有1名優(yōu)秀工人”為事件A,其包含的基本事件總數(shù)為CCk=32,所有基本事件的總數(shù)為Ci?=66.由古典概型概率公式，得所以恰有1名優(yōu)秀工人的概率反定歸納，想性提升[思想方法]1.古典概型計(jì)算三步曲第一，本試驗(yàn)是否是等可能的；第二，本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；第三，事件A是什么,它包含的基本事件有多少個(gè).2.確定基本事件個(gè)數(shù)的方法列舉法、列表法、樹狀圖法或利用排列、組合.[易錯(cuò)防范]總數(shù)和事件包括的基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，它們是否是等可能的.2.對(duì)較復(fù)雜的古典概型，其基本事件的個(gè)數(shù)常涉及排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算， 課時(shí)作業(yè)分應(yīng)詘練，摧升能力基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題則這兩數(shù)之和等于4的概率是C解析從A,B中任意取一個(gè)數(shù)，共有C2·C}=6種情形，兩數(shù)和等于4的情形只有(2,2),(3,1)兩種，2.有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為()解析甲、乙兩人都有3種選擇，共有3×3=9種情況，甲、乙兩人參加同一興趣小組共有3種情況，∴甲、乙兩人參加同一興趣小組的概率故解析設(shè)事件“甲或乙被錄用”為事件A,則A表示甲、乙都未被錄用，由古,4.連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m,n,的概率是則向量(m,n)與向量(一1,1)的夾角O>90°基本事件總共有6×6=36(個(gè)),符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),…,(5,4),(6,1),…,(6,5),共1+2+3+4+5=15(個(gè)).故選A.中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概解析三位同學(xué)每人選擇三項(xiàng)中的兩項(xiàng)有C3CC}=3×3×3=27種選法，其中有且僅有兩人所選項(xiàng)目完全相同的有CC3C!=3×3×2=18(種)選法.∴所求二、填空題6.(2014-江蘇卷)從1,2,3,6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù)，則所取2個(gè)數(shù)的乘積為6的概率是解析從1,2,3,6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù)，有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6種情況.滿足條件的有(2,3),(1,6),共2種情況.故答案7.(2014·廣東卷)從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個(gè)不同的數(shù)，則這七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的概率為.解析從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個(gè)不同的數(shù)有C]o種選法.要使抽取的七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6,則6,7,8,9必須取，再?gòu)?,1,2,3,4,答案1件次品的概率是.解析從10件產(chǎn)品中任取4件共C1o種取法，取出的4件產(chǎn)品中恰有一件次品，有C3C}種取法，則所求概率答案三、解答題9.在甲、乙兩個(gè)盒子中分別裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)小球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各取出1個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性相等.(1)求取出的兩個(gè)小球上的標(biāo)號(hào)為相鄰整數(shù)的概率；(2)求取出的兩個(gè)小球上的標(biāo)號(hào)之和能被3整除的概率.解法一利用樹狀圖可以列出從甲、乙兩個(gè)盒子中各取出1個(gè)球的所有可能可以看出，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)為16種.(1)所取兩個(gè)小球上的標(biāo)號(hào)為相鄰整數(shù)的結(jié)果有1—2,2—1,2—3,3—2,3—4,4—3,共6種，故所求概率(2)所取兩個(gè)小球上的標(biāo)號(hào)之和能被3整除的結(jié)果有1—2,2—1,2—4,3—3,4—2,共5種.故所求概率·法二設(shè)從甲、乙兩個(gè)盒子中各取1個(gè)小球，其標(biāo)號(hào)分別記為x、y,用(x,y)表示抽取結(jié)果，則所有可能有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),4),共16種.(1)所取兩個(gè)小球上的標(biāo)號(hào)為相鄰整數(shù)的結(jié)果有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),共6種.故所求概率(2)所取兩個(gè)小球上的標(biāo)號(hào)和能被3整除的結(jié)果有(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2),共5種.故所求概率10.(2015·鄭州質(zhì)檢)某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查.(1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目；(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，求抽到小學(xué)、中學(xué)各一所的概率.從小學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為從中學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為從大學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為故從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1(2)記“抽到小學(xué)、中學(xué)各一所”為事件A,則事件A共有基本事件m=C}·C!=6(種)抽法，又從6所學(xué)校任抽取2所有n=C3=15種抽法.因此，所求事件的概率(建議用時(shí)：25分鐘)11.(2015·東北八校二模)甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為a,再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就稱甲、乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為解析任意找兩人玩這個(gè)游戲，共有6×6=36①若a=1,則b=1,2;②若a=2,則b=1,2,3;③若a=3,則b=2,3,4;④若a=4,則b=3,4,5;⑤若a=5,則b=4,5,6;⑥若a=6,則b=5,6,總共16種，故他們“心有靈犀”的概率為12.一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6,解析連續(xù)拋擲三次，共有63=216種情況，記三次點(diǎn)數(shù)分別為a,b,c,則旦a、c確定，b也唯一確定，故a,c共有2×32=18種，所以所求概率為以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物.則從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上各分別隨機(jī)選取一株作物，它們恰好“相近”的概率為(注：這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米)解析所種作物總株數(shù)N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3,邊界上的作物株數(shù)為12,從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上各分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有C}Cl?=36種.選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3+3+2=8種.故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上各分別隨機(jī)選取一株作物，它們恰好“相近”答案記“選出的2名老師來自同一學(xué)校”為事件B,則事件B包含基本事件總數(shù)m=2C}=6.∴選出2名教師來自同一學(xué)校的概率第3講幾何概型基礎(chǔ)診斷梳理自刻，理解憶解析[-2,3]的區(qū)間長(zhǎng)度為5,滿足X≤1的區(qū)間長(zhǎng)度為3,B.解析由題意知球的半徑為1,其體積為23=8,則這一點(diǎn)不在球內(nèi)的概率解析如圖可設(shè)AB與AB的長(zhǎng)度等于1,則由幾何概型可知其整體事件是其周長(zhǎng)3,則其概率考點(diǎn)突破分類講練，以例求法社P名師進(jìn)辭(2)當(dāng)AM=AC時(shí)，△ACM為以∠A為頂點(diǎn)的等腰三角形，∠ACM=所以AM小于AC的概率答案規(guī)律方法(1)設(shè)線段1是線段L的一部分，向線段L上任投一點(diǎn)，點(diǎn)落在線段1上的概率為*(2)當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，如扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算概率，且不可用線段代替，這是兩種不同的度量手段.【訓(xùn)練1】(2015·信陽二模)設(shè)A為圓周上一點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連接，則弦長(zhǎng)超過半徑√2倍的概率是()與面積、體積有關(guān)的幾何概型不等式：確定的平面區(qū)域記為Ω2,在Ω?中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰::好在Ω2內(nèi)的概率為()D.內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，則此動(dòng)點(diǎn)在三棱椎A(chǔ)-A?BD內(nèi)的概率為.=2,圖中陰影部分的面積為則所求A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計(jì)算，基本方法是數(shù)形結(jié)合.(2)對(duì)于基化為空間幾何體的體積計(jì)算.【訓(xùn)練2】設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是()解析如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D,且區(qū)域D的面積為4,而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到原點(diǎn)距離大于2的區(qū)域，易知該陰影部分的面積為4-π,因此滿足條件的概率；.故選D.答案D考點(diǎn)三生活中的幾何概型問題【例3】甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的.如果甲船停泊時(shí)間為1h,乙船停泊時(shí)間為2h,求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率.解設(shè)甲、乙兩艘船到達(dá)碼頭的時(shí)刻分別為x與y,記事件A為“兩船都不需要等待碼頭空出”,則O≤x≤24,0≤y≤24,要使兩船都不需要等待碼頭空出，當(dāng)且僅當(dāng)甲比乙早到達(dá)1h以上或乙比甲早到達(dá)2h以上，即y-x≥1或x-y≥2.故所求事件構(gòu)成集合A={(x,y)ly-x≥1或x-y≥2,x∈[0,24],y∈[0,24]}.A為圖中陰影部分，全部結(jié)果構(gòu)成集合Ω為邊長(zhǎng)是24的正方形及其內(nèi)部.規(guī)律方法有關(guān)會(huì)面問題利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成面積問題的幾何概型，難點(diǎn)是把題轉(zhuǎn)化為平面圖形的面積問題，轉(zhuǎn)化成面積型幾何概型問題.【訓(xùn)練3】張先生訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人在早上6:30～7:30之間把報(bào)紙送到他家，張先生離開家去上班的時(shí)間在早上7:00～8:00之間，則張先生在離開家之前能得到報(bào)紙的概率是.解析以橫坐標(biāo)x表示報(bào)紙送到時(shí)間，以縱坐標(biāo)y表示張先生離家時(shí)間，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)殡S機(jī)試驗(yàn)落在方形區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，所以符合幾何概型的條件.根據(jù)題意只要點(diǎn)落到陰影部分，就表示張先生在離開家前能得到報(bào)紙，即所求事件A發(fā)生，所以轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用利用幾何概型概率公式.數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標(biāo)系建立與體積有關(guān)的幾何概型.可以考慮使用幾何概型解決.2.在幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.課時(shí)作業(yè)(建議用時(shí)：40分鐘)1.取一根長(zhǎng)度為4m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少BAB利用三角函數(shù)性質(zhì)解得利用三角函數(shù)性質(zhì)解得,解析設(shè)AC=xcm,0<x<12,則CB=(12-x)cm,要使矩形面積大于20cm2,只要x(12-x)>20,則x2-12x+20<0,解得2<x<10,所求概率為,,內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則所取的點(diǎn)恰好滿足x+y≤V2的概率是AB解析不等式組表示的平面區(qū)域的面積為22=4,不等式組表示的平面區(qū)域的面積；1,因此所求的概率故選C.二、填空題6.(2015·太原模擬)在區(qū)間[-2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,若x滿足|2x|<a的概率則實(shí)數(shù)α=.解析因?yàn)閰^(qū)間[-2,4]的長(zhǎng)度是6,滿足不等式概率是所以區(qū)長(zhǎng)度為4,見解得a=4.;答案47.一只蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1,稱其為“安全飛行”,則蜜蜂“安全飛行”的概率為.解析由已知條件，可知蜜蜂只能在一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體內(nèi)飛行，結(jié)合幾何概型，可得蜜蜂“安全飛行”的概率為答案為圓心，1為半徑作四分之一個(gè)圓弧DE,在∠DAB內(nèi)任作射線AP,則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為解析因?yàn)樵凇螪AB內(nèi)任作射線AP,則等可能基本事件為“∠DAB內(nèi)作射線AP”,所以它的所有等可能事件所在的區(qū)域H是∠DAB,當(dāng)射線AP與線段BC有公共點(diǎn)時(shí)，射線AP落在∠CAB內(nèi)，區(qū)域h為∠CA