高中物理競賽-話題5：多質(zhì)點(diǎn)在動態(tài)多邊形頂點(diǎn)的相遇問題和多解問題

PAGEPAGE4話題5：多質(zhì)點(diǎn)在動態(tài)多邊形頂點(diǎn)的相遇問題和多解問題一、問題引入有兩個運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)位于一條線段的兩端，作相對運(yùn)動，兩質(zhì)點(diǎn)一定會相遇。大量質(zhì)點(diǎn)位于一個圓周上，一個質(zhì)點(diǎn)接一個質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動，結(jié)果運(yùn)動沿圓周循環(huán)運(yùn)動，永不相遇。這是多邊形兩種極限情況，那么對于其間邊形情況如何呢?二、物理模型兩兩相距均為的三個質(zhì)點(diǎn)、、，同時(shí)分別以相同的勻速率運(yùn)動，運(yùn)動過程中的運(yùn)動速度方向始終指著當(dāng)時(shí)所在的位置、始終指著當(dāng)時(shí)所在的位置、始終指著當(dāng)時(shí)所在的位置。試問經(jīng)過多少時(shí)間三個質(zhì)點(diǎn)相遇？1、證明三個質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動始終還是正三角形。三個質(zhì)點(diǎn)剛開始在很小一段時(shí)間內(nèi)每個質(zhì)點(diǎn)移動，由于很小，可以認(rèn)為在此時(shí)間內(nèi)運(yùn)動方向不變。三個質(zhì)點(diǎn)在后運(yùn)動到了,則因，易知仍為正三角形，而且原的中心仍為新的中心。2、求三個質(zhì)點(diǎn)從開始到相聚所用時(shí)間。任意時(shí)刻,第一個質(zhì)點(diǎn)朝著點(diǎn)的速度分量恒為由對稱性可知，第二、第三個質(zhì)點(diǎn)朝著點(diǎn)的速度分量也為上述。這樣經(jīng)過,三質(zhì)點(diǎn)相聚。從開始到相聚第個質(zhì)點(diǎn)走過路程為.3、討論每個質(zhì)點(diǎn)加速度的大小變化。考慮在開始時(shí)，設(shè)在一極短的時(shí)間間隔后，三個質(zhì)點(diǎn)從,,三點(diǎn)分別到達(dá)相應(yīng),,，在這段短時(shí)間內(nèi)第一個質(zhì)點(diǎn)近似經(jīng)歷，引起速度方向改變的小角度，如圖所示，從圖中可看出曲率半徑表達(dá)式為最后得質(zhì)點(diǎn)開始的加速度大小為從表達(dá)式可知，隨著三角形的逐漸收縮，加速度越來越大。4、對運(yùn)動軌跡的思考質(zhì)點(diǎn)所走的軌跡到底是什么曲線呢？很難描繪它們的運(yùn)動軌跡。用具體而形象的思維去簡化與純化它們的運(yùn)動，在一個追一個循環(huán)運(yùn)動規(guī)則聯(lián)系下，按一定的時(shí)間順序和空間關(guān)系，考慮對稱性，三個質(zhì)點(diǎn)總是位于新三角形的三個頂點(diǎn)上，而新三角形在不斷翻轉(zhuǎn)和收縮，最終他們會聚在原三角形的中心。（如圖所示）將運(yùn)行軌跡的計(jì)算歸納如下：考慮當(dāng)一個物體以恒定的速度圍繞固定點(diǎn)運(yùn)動，其速度和位置矢量之間的夾角為一定值。假設(shè)位置矢量的初始值為,當(dāng)其轉(zhuǎn)過一個小角度后，其長度變化為，則由于的定值這個公式很像輻射衰減方程,已知此方程的解為,與此類似，在極坐標(biāo)中質(zhì)點(diǎn)移動路徑的方程為即這個方程就是所謂的對數(shù)螺旋方程，表明三個質(zhì)點(diǎn)所走的軌跡是半徑在轉(zhuǎn)過無窮多圈后趨向于零，角速度越來越大的“螺旋環(huán)”。這一點(diǎn)與前面得到的結(jié)論是一致的，最后理論上當(dāng)經(jīng)過有限的時(shí)間角速度趨于無限大時(shí)，三個質(zhì)點(diǎn)在中心相遇。三、模型的其它解法解法二：由前面分析，結(jié)合小量近似有：以上各式中，，,并有，（三人相遇）。所以，三個質(zhì)點(diǎn)一起運(yùn)動到目標(biāo)于原正三角形的中心，所需的時(shí)間為解法三：設(shè)t時(shí)刻三角形邊長為，經(jīng)極短時(shí)間后邊長變?yōu)椤８鶕?jù)圖中的幾何關(guān)系，應(yīng)用三角形的余弦定理可得在時(shí)，可略去二階小量項(xiàng)，因此這表明等邊三角形邊長的收縮率為。從初始邊長縮短到需時(shí)間為所以根據(jù)分運(yùn)動與和運(yùn)動的等時(shí)性，相遇時(shí)間解法四：以B為參照系，在兩者連線方向上對B的相對速率恒為。最終追及，相對運(yùn)動距離為，所用時(shí)間為四、模型的拓展1：如四個質(zhì)點(diǎn)從正方形頂點(diǎn)出發(fā)，已知正方形邊長為，結(jié)果如何？（答案：）2：有五個花樣滑冰運(yùn)動員表演一種節(jié)目，表演的動作規(guī)定為：開始時(shí)五人分別從正五邊形的五個頂點(diǎn)出發(fā)，