現(xiàn)代通信原理答案(-羅新民)

第一章緒論1-1英文字母中e出現(xiàn)概率為0.105,c出現(xiàn)的概率為0.023,j出現(xiàn)的概率為0.001。試分別計(jì)算它們的信息量。解題思路：考查信息量的基本概念，用公式底數(shù)a一般采用2,這時(shí)信息量l.=-log?P?=-log?0.023≈5.44bit,I,=-log?P,=-log?0.001≈9.97bir1-2有一組12個(gè)符號(hào)組成的消息，每個(gè)符號(hào)平均有四種電平，設(shè)四種電平發(fā)生的概率相等，試求這一組消息所包含的信息量。若每秒傳輸10組消息，則一分鐘傳輸多少信息量?解題思路：考查平均信息量及信息量疊加的概念。每個(gè)符號(hào)有四種等概電平可能，因此先用計(jì)算其平均信息量。整個(gè)消息的總信息量是12個(gè)符號(hào)的各自平均信息量(相等)的和。解：(1)N=12,每個(gè)符號(hào)的平均信息量為比特/符號(hào)，則由12個(gè)符號(hào)組成的一組消息的信息量為I=N*I=24bit(2)每秒傳輸10組消息，則一分鐘傳輸10×60組信息，因此信息傳輸速率為10×60×24比特/分鐘=14400比特/分鐘1-3消息序列是由4種符號(hào)0、1、2、3組成的，四種符號(hào)出現(xiàn)的概率分別為3/8、1/4、1/4、1/8,而且每個(gè)符號(hào)出現(xiàn)都是相互獨(dú)立的，求下列長(zhǎng)度為58個(gè)符號(hào)組成的消息序列“2010201303213001203210100321010023102002010312032100120210”的信息量和每個(gè)符號(hào)的平均信息量。解題思路：考查平均信息量的概念?？梢韵惹蟪雒總€(gè)符號(hào)的信息量，根據(jù)消息序列中各符號(hào)出現(xiàn)的次數(shù)得到消息序列的總信息量，再用符號(hào)數(shù)平均從而得到符號(hào)平均信息量。也可以先直接求出這四種符號(hào)的平均信息量，再根據(jù)消息序列中符號(hào)個(gè)數(shù)得到消息序列的總平均信息量。解：方法一：0,1,2,3每符號(hào)各自攜帶的信息量分別為則這58個(gè)符號(hào)所帶的總信息量為I=23×I?+14×I?+13×I?+8×I?=23×1.415+14×2+13×2+8×3;=110.545bit而每個(gè)符號(hào)的平均信息量I=58×H(x)=110.2bit1-4某氣象員用明碼報(bào)告氣象狀態(tài)，有四種可能的消息：晴、云、雨、霧。若每個(gè)消息是等概率的，則發(fā)送每個(gè)消息所需的最少二進(jìn)制脈沖數(shù)是多少?若該4個(gè)消息出現(xiàn)的概率不等，且分別為1/4、1/8、1/8、1/2,試計(jì)算每個(gè)消息的平均信息量。解題思路：考查從工程角度對(duì)信息量的定義。傳輸兩個(gè)相互等概的消息時(shí)，要區(qū)別這兩種消息，至少需要1位二進(jìn)制脈沖；若要傳輸4個(gè)獨(dú)立等概的消息之一，則至少需要2位二進(jìn)制解：(1)需log?4=2個(gè)1-5設(shè)數(shù)字信源發(fā)送-1.0V和0.0V電平的概率均為0.15,發(fā)送+3.0V和+4.0V電平的概率均解題思路：考查信源平均信息量計(jì)算方法，采用=-(2×0.15×log,0.15+2×0.35×log?0.35)1-6對(duì)二進(jìn)制信源，證明當(dāng)發(fā)送二進(jìn)制碼元1的概率和發(fā)送二進(jìn)制碼元0的概率相同時(shí)，信解題思路：設(shè)發(fā)“1”的概率和發(fā)“0”的概率分別為P和1-P,則信源熵可表達(dá)為P的函數(shù)H(P),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求H(P)的最值及取到最值時(shí)P的取值。(1)證明：設(shè)發(fā)“1”的概率為P,則發(fā)“0”的概率為1-P。這時(shí)信源熵為由此得到,求得即當(dāng)發(fā)送二進(jìn)制碼元“1”的概率和發(fā)送二進(jìn)制碼元“0”的概率相同時(shí)，信源熵最大。(2)解：將1-7一個(gè)由字母A、B、C、D組成的信源，對(duì)傳輸?shù)拿恳粋€(gè)字母用二進(jìn)制脈沖編碼：00代表A,01代表B,10代表C,11代表D。又知每個(gè)二進(jìn)制脈沖的寬度為5ms。①不同字母等概率出現(xiàn)時(shí)，試計(jì)算傳輸?shù)钠骄畔⑺俾室约皞鬏數(shù)姆?hào)速率；均信息傳輸速率。解題思路：考查信息傳輸速率和符號(hào)傳輸速率的概念及其關(guān)系。由每個(gè)脈沖的時(shí)間寬度可得每個(gè)字母(符號(hào))的時(shí)間寬度，其倒數(shù)就是符號(hào)傳輸速率r。無(wú)論4個(gè)字母等概與否，符號(hào)傳輸速率是一定的。根據(jù)教材式(1.10)R=rH(x),分別計(jì)算出①、②中的字母(符號(hào))平均信息量H(x),就可以得到平均信息傳輸速率R。解：(1)每個(gè)脈沖寬5ms,則每個(gè)字母(符號(hào))占時(shí)寬為2×5×10-3=10-2秒平均信息速率為R=rH(x)=2×100=200bit/s平均信息速率為1.9855×100=198.55bit/s1-8設(shè)數(shù)字鍵盤(pán)上有數(shù)字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,發(fā)送任一數(shù)字的概率都相同。試問(wèn)應(yīng)以多快的速率發(fā)送數(shù)字，才能達(dá)到2b/s的信息速率?解題思路：仍然考查的是對(duì)R=rH(x)的理解。解：信源平均信息量為所以，至少應(yīng)以0.603符號(hào)/秒的速率發(fā)送數(shù)字，才能達(dá)到2比特/秒的信息速率。1-9①假設(shè)計(jì)算機(jī)的終端鍵盤(pán)上有110個(gè)字符，每個(gè)字符用二進(jìn)制碼元來(lái)表示。問(wèn)每個(gè)字符需要用幾位二進(jìn)制碼元來(lái)表示?②在一條帶寬為300Hz,信噪比(SNR)為20dB的電話線路上，能以多快的速度(字符/秒)發(fā)送字符?③如果以相同的概率發(fā)送每個(gè)字符，試求每個(gè)字符包含的信息量。解題思路：②考查信道容量的含義和香農(nóng)公式的應(yīng)用。信道容量表示信道的信息量傳輸速率上界。已知信道的信噪比和帶寬，就可以由香農(nóng)公式求出信道容量C=Rx。再求得每個(gè)字符的信息量，由R=rH(x)就可以求得符號(hào)傳輸速率r的上界。(2)信噪比每個(gè)字符用7位二進(jìn)制碼元表示。對(duì)于110個(gè)7位二進(jìn)制碼元，可以認(rèn)為每個(gè)碼元(“0”或“1”)是等概出現(xiàn)，因此每個(gè)二進(jìn)制碼元的信息量是1比特，所以每個(gè)符號(hào)的信息量是7比特，因此可以得到(3)等概率發(fā)送時(shí)，每個(gè)字符的出現(xiàn)概率是,因此每個(gè)字符包含的信息量是1-10什么是模擬通信?什么是數(shù)字通信?數(shù)字通信有哪些主要優(yōu)點(diǎn)?你對(duì)今后“數(shù)字通信系統(tǒng)將取代模擬通信系統(tǒng)”有什么看法?解：傳遞連續(xù)消息(信號(hào))的通信過(guò)程稱為模擬通信。傳遞數(shù)字消息(信號(hào))的通信過(guò)程稱為數(shù)字通信。數(shù)字通信的優(yōu)點(diǎn)是①抗干擾能力強(qiáng)，可靠性好；②體積小，功耗低，易于集成；③便于進(jìn)行各種數(shù)字信號(hào)處理；④有利于實(shí)現(xiàn)綜合業(yè)務(wù)傳輸；⑤便于加密。1-11數(shù)字通信系統(tǒng)模型中各主要組成部分的功能是什么?解：信源一把原始消息轉(zhuǎn)化為電信號(hào)。發(fā)送設(shè)備一把信源發(fā)出的電信號(hào)轉(zhuǎn)換為適于信道傳輸?shù)男盘?hào)形式。信道一傳輸信號(hào)的媒質(zhì)。接受設(shè)備一把接收的信號(hào)恢復(fù)為原信號(hào)。信宿一把信號(hào)還原為原始消息。1-12由信道容量公式討論C與B和之間的關(guān)系，并證明：當(dāng)B→0時(shí)，信息傳輸速率達(dá)到信道容量極限，即R=C時(shí)，試證明碼元能量與噪聲功率譜密(分貝)是極限最小信噪比。證明：由教材(1.19)式，當(dāng)B→o且R=C時(shí)，S表示信號(hào)(碼元)平均功率，表示每比特碼元的時(shí)寬T,則S/R=ST=E,表示每比特碼元能量。并且R=C時(shí)R取到最大值，對(duì)應(yīng)S/R=ST=E,取到最小值，是極限最小信噪比。1-13一個(gè)平均功率受限制的理想信道，帶寬為1MHz,受高斯白噪聲干擾，信噪比為10(倍),①信道容量；②若信噪比降為5(倍),在信道容量相同時(shí)的信道帶寬；③若帶寬降到0.5MHz,保持同樣信道容量時(shí)的信噪比。解題思路：考查香農(nóng)公式中帶寬、信噪比和信道容量三個(gè)量之間的相互關(guān)系。(2)Blog?(1+5)=3.46×101-14具有1MHz帶寬的高斯信道，若信號(hào)功率與噪聲的功率譜密度之比為解題思路：考查香農(nóng)信道公式之外，還考查白噪聲功率譜密度與帶限噪聲功率之間的計(jì)算關(guān)00系。高斯白噪聲的功率譜在整個(gè)頻域(-o到+o)上是常數(shù)，該常數(shù)通常用表示，稱為雙邊功率譜密度。高斯白噪聲通過(guò)帶寬為B的理想帶通濾波器后稱為帶限噪聲。這種帶1-15一個(gè)系統(tǒng)傳輸四脈沖組，每個(gè)脈沖寬度為1ms,高度分別為：0、1V、2V和3V,且等概率出現(xiàn)。每四個(gè)脈沖之后緊跟一個(gè)寬度為1ms的-1V脈沖(即不帶信息的同步脈沖)把各組脈沖分開(kāi)。試計(jì)算系統(tǒng)傳輸信息的平均速率。解題思路：考查平均信息傳輸速率的概念。包括同步脈沖在內(nèi)的5個(gè)脈沖的時(shí)間寬度內(nèi)傳輸了四脈沖組包含的總信息量。平均信息傳輸速率應(yīng)為總信息量被傳輸這些信息量所花費(fèi)的時(shí)間除。比特/脈沖，四脈沖組總信息量每組脈沖中，信息脈沖及同步脈沖共5個(gè)，占時(shí)5ms,傳送8比特信息。故信息傳輸平均速率為1-16設(shè)一數(shù)字傳輸系統(tǒng)傳輸二進(jìn)制碼元，碼元速率為2400Baud,試求該系統(tǒng)的信息傳輸速率。若該系統(tǒng)改為傳輸十六進(jìn)制碼元，碼元速率為2400Baud,該系統(tǒng)的信息傳輸速率又為多少?解題思路：考查傳信率和傳碼率之間的換算關(guān)系，即R,=R。log?M1-17一個(gè)多進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)每隔0.8ms向信道發(fā)送16種可能取的電平值中的一個(gè)。試問(wèn)：①每個(gè)電平值所對(duì)應(yīng)的比特?cái)?shù)是多少?②符號(hào)率(波特)為多少?③比特率為多少?解題思路：①考查信息量的定義；②、③分別考查傳碼率和傳信率的定義。解：(1)電平數(shù)L=16,當(dāng)各電平等概出現(xiàn)時(shí)，每個(gè)電平值對(duì)應(yīng)的信息量(平均信息量),即(2)每隔0.8ms向信道發(fā)送一個(gè)多進(jìn)制符號(hào)，因此符號(hào)率為1-18計(jì)算機(jī)終端通過(guò)電話信道傳輸數(shù)據(jù)，設(shè)該終端輸出128個(gè)符號(hào)，各符號(hào)相互獨(dú)立。等概出現(xiàn)。已知電話信道帶寬為3.4kHz,信道輸出信噪比為20dB。試求①信道容量；②無(wú)誤傳輸?shù)淖罡叻?hào)速率。解題思路：將信噪比的dB值轉(zhuǎn)化為比值倍數(shù)，代入香農(nóng)公式，就可以求得信道容量；信道容量C是信道信息傳輸速率R的最大值，由R=rH(x)就可以求得對(duì)應(yīng)無(wú)誤傳輸?shù)淖罡叻猓?1)(2)每個(gè)符號(hào)的平均信息量為因此無(wú)誤傳輸?shù)淖罡叻?hào)速率為1-19一通信系統(tǒng)的接收機(jī)收到的信號(hào)功率為-134dBm,接收到的噪聲功率譜密度為-164dBm/Hz,系統(tǒng)帶寬為2000Hz,求系統(tǒng)無(wú)錯(cuò)誤信息傳送的最大速率。解題思路：將題目所給信號(hào)功率和噪聲功率譜密度的dBm帶寬B一起代入香農(nóng)公式，就可以求得信道容量，也就是信息傳輸速率的最大值。解：信號(hào)功率：,由香農(nóng)公式得到第二章確定信號(hào)分析①證明這些函數(shù)在區(qū)間(-4,4)內(nèi)是相互正交的。③用(2)中的標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)集將下面的波形展開(kāi)為標(biāo)準(zhǔn)正交級(jí)數(shù)：④利用下式計(jì)算(3)中展開(kāi)的標(biāo)準(zhǔn)正交級(jí)數(shù)的均方誤差：⑤對(duì)下面的波形重復(fù)(3)和(4):⑥解：對(duì)③中的s(t),均方誤差為0,圖中所示的三個(gè)函數(shù)對(duì)s(t)組成完備正交函數(shù)集。對(duì)④中的s(t),均方誤差不為0,圖中所示的三個(gè)函數(shù)s(t)不構(gòu)成完備正交函數(shù)集證明：①因?yàn)閒(t)=f.(-t),fo(t)=-fo(-t)②階越函數(shù)U(t):2-3證明一個(gè)偶周期性函數(shù)的指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)是實(shí)數(shù)，而一個(gè)奇周期函數(shù)的指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)是虛數(shù)。即,得證。f(t)F(o)a.twb.twc.twd.tww利用奇函數(shù)在(-0,+o)上的積分為0、偶函數(shù)在(-o,+o)上的積分是其在(0,+o)上的積∴由①中的(1)式可以得到由①中的(1)式可以得到2-6利用卷積性質(zhì)，求下面波形的頻譜：3[cos2πf?t]=π[δ(o-2πf?(Ⅱ(f/2B)表示高度為1,寬度為2B,關(guān)于縱軸對(duì)稱的矩形)=2ABSa(2πBt)=2ABSinc(2驗(yàn)證：傅里葉變換的對(duì)偶性質(zhì)為一般令t=2B,則應(yīng)有而2-8求圖E2.2所示的周期信號(hào)的傅里葉變換。其中，根據(jù)教材式(2.18),可以得到因此,信號(hào)周期T?=8因此2-9證明下式成立：[提示：利用2-10確定下面的信號(hào)是能量信號(hào)還是功率信號(hào)，并計(jì)算相應(yīng)的能量或功率。①o(t)=Ⅱ(t/T?)②o(t)=I(t/T?)coso?1解題思路：根據(jù)能量信號(hào)和功率信號(hào)的定義來(lái)判斷和計(jì)算。解：①信號(hào)能量,所以該信號(hào)是能量信號(hào)。②信號(hào)能量,所以該信號(hào)是能量信號(hào)。,所以信號(hào)是功率信號(hào)，并且信號(hào)是周期信號(hào)，周期為。信號(hào)平均功率為2-11按如下分類方法對(duì)下列信號(hào)進(jìn)行分類：(1)功率有限或能量有限，(2)周期或非周期。并且指出功率信號(hào)的功率，能量信號(hào)的能量，以及周期信號(hào)的周期。②exp(-10ltl)③I(t+1/2)-I(t-1/2)⑤cos120πt+cos377t解題思路：根據(jù)信號(hào)能量和信號(hào)功率的定義進(jìn)行分類和計(jì)算。解：①由余弦信號(hào)和正弦信號(hào)的時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)的特性，可以知道該信號(hào)是能量無(wú)限信號(hào)。同時(shí)，該信號(hào)是周期信號(hào)。令其周期為T(mén),則可以得到信號(hào)功率為可以得到信號(hào)周期為T(mén)?=1。所以信號(hào)是功率信號(hào)。②該信號(hào)是非周期信號(hào)。,所以信號(hào)是能量信號(hào)。③該信號(hào)是非周期信號(hào)。信號(hào)能量為所以信號(hào)是能量信號(hào)。(函數(shù)Ⅱ(t)是在[-1,+1]上幅度為恒1的門(mén)函數(shù))。④該信號(hào)是非周期信號(hào)。信號(hào)能量所以信號(hào)是能量信號(hào)。⑤該信號(hào)是非周期信號(hào)，證明如下：cos120πt的最小周期假設(shè)和信號(hào)T·n=T?·m=T?也就是由余弦信號(hào)的時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)特性可以知道該信號(hào)是能量無(wú)限信號(hào)。信號(hào)功率為所以信號(hào)是功率信號(hào)。2-12試分別用相關(guān)定理及卷積定理推導(dǎo)帕斯瓦爾(Parseval)定理。f(r)*f(-t)→F(o)F(-o)=F(o)F°(o)=|F(o)2,以故可得即為Parseval定理。該截?cái)嘈盘?hào)可看做兩個(gè)三角形函數(shù)的和：其中表示底寬為2r',高為1的等腰三角形函數(shù)：其傅里葉變換為因此，可以得到n≠0時(shí)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的系數(shù)為n=0時(shí)因此,=x(-t+T)+x(-t-T?)自相關(guān)函數(shù)的波形如下圖a所示：圖bh(t)=δ(t-T?12)+δ(t+T?/4),,圖c圖d自相關(guān)函數(shù)的波形如下圖e所示：中能得出什么樣的結(jié)論?[提示：中能得出什么樣的結(jié)論?[提示：解：由所以我們可以得出這樣的結(jié)論：高斯函數(shù)的傅里葉變換仍為高斯型函數(shù)。解：(1)由自相關(guān)函數(shù)的定義有=A2T22-17設(shè)有兩個(gè)正弦信號(hào)：(1=acos(o+@)及(a)=asin(o+6),試證明f(Z)同理可求得得證既然兩者有相同的自相關(guān)函數(shù)，而功率譜密度函數(shù)是自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，因此也有相同的功率譜密度函數(shù)。功率譜密度函數(shù)為平均功率為=25+72cosO?t=25δ(f)+36[δ(f-10?)+δ(f+10③由于被積函數(shù)為奇函數(shù)，所以積分結(jié)果為0。②利用①中的結(jié)果求出所給信號(hào)f0的解析信號(hào)形式：③畫(huà)出②中求出的解析信號(hào)的幅度譜圖。③畫(huà)出②中求出的解析信號(hào)的幅度譜圖。②根據(jù)解析信號(hào)的定義，可以得到f(t)的解析信號(hào)形式為③由因此解析信號(hào)的幅度譜為如下圖所示2-21分別求出下列兩個(gè)脈沖信號(hào)的希爾伯特變換。2-21分別求出下列兩個(gè)脈沖信號(hào)的希爾伯特變換。解題思路：根據(jù)兩個(gè)脈沖信號(hào)的時(shí)域和頻域特性的不同，對(duì)①選擇先求出其希爾伯特變換式的頻譜密度函數(shù)，再做傅里葉反變換求其時(shí)域希爾伯特變換式；對(duì)②選擇直接在時(shí)域求出其F(o)=-jsgn(o)F(o)=-jπsgn(o)e,于是(2)由于③若滿足窄帶條件，寫(xiě)出其解析信號(hào)表達(dá)式。解：①可以用兩種方法求f(t)的頻譜密度函數(shù)。②由于向左右搬因此，只要中心頻率③當(dāng)f(t)滿足窄帶條件時(shí)，它的復(fù)信號(hào)形式就是其解析形式，即這時(shí)其解析信號(hào)的頻譜密度函數(shù)為出信號(hào)的能量譜密度，并確定輸入信號(hào)與輸出信號(hào)能量之間的關(guān)系。解：由于所以輸出信號(hào)的頻譜為于是輸出信號(hào)的能量譜密度為輸入信號(hào)能量為輸出信號(hào)能量為顯然，輸出信號(hào)的能量小于輸入信號(hào)的能量。時(shí)，該系統(tǒng)輸入、輸出信號(hào)的功率譜密度及平均功率。及解：由于f(t)為周期為T(mén)的周期信號(hào)，,其一個(gè)周期為一底寬為T(mén)的三角形信號(hào)，因此可以得到其截?cái)嗪瘮?shù)的傅立葉變換為因此，其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的系數(shù)為時(shí)，輸入信號(hào)功率譜密度：平均輸入功率：輸出信號(hào)功率譜密度：平均輸出功率：,,輸入信號(hào)功率譜密度：平均輸入功率：輸出信號(hào)功率譜密度：P(o)=P(o)|H(o)2平均輸出功率：輸入信號(hào)功率譜密度：平均輸入功率：輸出信號(hào)功率譜密度：平均輸出功率：P=0的傅里葉變換。信號(hào)和和(注：上面的證明用到了兩個(gè)常用信號(hào)的傅里葉變換。信號(hào)和和波形分別如下，00其傅里葉變換分別是,對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換，則有再根據(jù)提示：對(duì)上式兩邊做傅里葉變換，即得證。件是什么?x(t)=e"cos1000πt=Re[e.e11000]a(t)=e-ltl。③g(t)=exp(-at)U(t)-exp(at)U(-t);解：①當(dāng)r≥0時(shí)(2)當(dāng)τ≥0時(shí)(3)當(dāng)t≥0時(shí)(4)當(dāng)O≤r≤T時(shí)當(dāng)t≥T時(shí)R(t)=0第三章隨機(jī)信號(hào)與噪聲分析3-1設(shè)某微波中繼站由5個(gè)站組成，每個(gè)站故障率為P,求該線路正常工作的概率及故障概解：每個(gè)站的正常工作概率為1-P,則5個(gè)站均正常工作即線路正常工作的概率為(1-P)?,線路故障概率為1-(1-P)?。X(t)=At+B①若B為常數(shù)，A在-1和+1之間均勻分布，畫(huà)出一些樣本函數(shù)。②若A為常數(shù)，B在0和2之間均勻分布，畫(huà)出一些樣本函數(shù)。解：①樣本函數(shù)是一簇通過(guò)(0,B)點(diǎn)、均勻分布在圖中虛線確定的區(qū)域I和Ⅱ內(nèi)的直線。②樣本函數(shù)是一簇斜率均為A、均勻分布在圖中區(qū)域I內(nèi)的平行直線解題思路：根據(jù)均值的定義可以證明第一問(wèn)。證明第二問(wèn)時(shí)，由于自相關(guān)函數(shù)定義為Z=Y(t,)Y(t?)的分布。再根據(jù)均值的定義就可以求出Z的均值，即Y(t)的自相關(guān)函數(shù)。證明：由均值的定義可以得到E[Y(1)]=P(X(1)≤x)×1+P(X(1)>x)×0=P(X(t)≤x)由Y(t)的分布，可以得到因此所以可以得到Y(jié)(t)的自相關(guān)函數(shù)為=P(X(?)≤xj,X(t?)≤x?)恰為X(t)的二維分布函數(shù)。得證。Y(t)=X(t+a)-X(t)=E[(X(t+a)-X(t)(X(t+a+t)-X(t+t))]=E[X(t+a)X(t+a+t)-X(t+a)X(t+t)-X()X(t+a+t)+X(t)X(t+t)]=R(t+a,t+a+t)-Rx(t+a,t+t)-Rx(t,t+a+t)+Rx(t,t+t)立的正態(tài)隨機(jī)變量，而且E[A]=E[B]=0,E[A2]=E[B2]=σ2,試求X(t)的均值和自相關(guān)解：直接對(duì)X(t)求均值，可以得到將X(t)=Acosot+Bsinot代入其自相關(guān)函數(shù)表達(dá)式Rx(t,t+t)=E[X(t)X(t+t)],可以得到Rx(t,t+t)=E[(Acosot+Bsinot)(Acoso(t+t)+Bsino(t+t))]=E[A2]cosotcoso(=E[A2]cosofcoso(t+t)+E[B2]sinorsino(t+t)3-6平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的功率譜密度如圖E3.1所示。試求④對(duì)X(t)進(jìn)行抽樣，若要求抽樣值不相關(guān)時(shí)，最高抽樣率為多少?這些抽樣值是否統(tǒng)計(jì)獨(dú)立?②直流功率為③交流功率為④若要抽樣間隔為r的抽樣值之間不相關(guān)，則應(yīng)有此時(shí)，最小抽樣間隔為所以最高抽樣速率為fm。這些抽樣值是否獨(dú)立取決于隨機(jī)過(guò)程X(t)的分布。若X(t)服從高斯分布，那么任意間隔r的抽樣值均是高斯變量。當(dāng)這些抽樣值之間互不相關(guān)時(shí)，也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。3-7設(shè)隨機(jī)變量z服從均勻分布，其概率密度函數(shù)為現(xiàn)按下列關(guān)系構(gòu)造兩個(gè)新的隨機(jī)變量X和Y:X=sinz,Y=cosz①試分別寫(xiě)出X和Y的概率密度函數(shù)；②試證明X和Y是兩個(gè)互不相關(guān)的隨機(jī)變量；解題思路：根據(jù)分布函數(shù)的定義求出X和Y的分布函數(shù)Fx(x)和F,(y),然后對(duì)其求導(dǎo)可以得到各自的概率密度函數(shù)；證明X和Y不相關(guān)只需運(yùn)用互相關(guān)的定義即可；由于X和Y是隨機(jī)變量z的函數(shù)，當(dāng)O≤z≤2π時(shí)-1≤x≤1、-1≤y≤1,并且兩者的關(guān)系是x>1或x<-1②由互相關(guān)的定義，可以得到=E[sinzcosz]-E[sinz]E[cosz]③由于X2+Y2=1因此由Z的概率密度函數(shù)可以得到X和Y的聯(lián)合概率密度為所以X和Y不是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。函數(shù)為解題思路：判斷一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是否平穩(wěn)，主要是看該隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望(均值)是否是常數(shù)，同時(shí)其自相關(guān)是否僅與時(shí)間間隔z有關(guān)而與t無(wú)關(guān)。E[X(t)]=E[sin2πFt]Rx(t,t+t)=E[X(t)X(t+t)]X(t)=Acos(o?t+θ)E[X(t)]是與t有關(guān)的量，因此隨機(jī)過(guò)程X(t)是非平穩(wěn)的。少少Rx(t)=2e(e'*+e-j)+cosP(o)=S?(o)*S,(o)而②R,(t,t+t)=E{[A?coso?t+n(t)][A?coso?(t+t)+n(t+t)]}=A?coso,tcoso?(t+t)+E[n(t)n(t+t)]+E[n(t)]+E[n(t+t)]R(t)=E[x(t)x(t+t)]=E{[m,+y(t)][m,+y(t+r)]}=m2+m,E[y(t+r)]+m,E[y()]+R,(t,t+r)R,(t,t+t)=R,(t)E[y(t)y(t+t)]=E[y(t)]·E[y(t+t)]=0③由X(t)=Acos(o?t+θ)Rx(t,t+t)=E[X(t)X(t+t)]3-15若x(t)是周期函數(shù)(或者含有周期成分),證明：R(t,t+t)=E{[x?(t)+x?(t)][x?(t+t)x?(t+t)]}=E[x;(t)x?(t+t)+x;(t)x?(t+t)+x;(t+r)x?(t)+x?(t)x?(t+t)]=R(t)+R?(t)+R??(t)+R?R??(t)=E[x?(t)x?(t+t)]=E[x?(t)x?(t+t+T?)]=R??(t+T?)①證明R,(r)=R,(t)+R,(r)+R(r)+R(r)R,(t,t+t)=E[r(t)r(r+t=E{[s(t)+n(t)][s(t+t)n(t+t)]}=E[s(t)s(t+t)+s(t)n(t+t)+n(t)s(t+t)n(t)n(t+t)]=R,(t)+R,(r)+R(r)+R(r)R(t)=E[s(t)n(t+t)]=E[s(t)]·E[n(t+t)]R(t)=E[n(t)s(t+t)]=E[n(t)]·E[s(t+t)]而n(t)均值為零，即E[n(t)]=因此得證。E3.2解題思路：該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。首先由系統(tǒng)的頻響函數(shù)求得其脈沖響應(yīng)函數(shù)。根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)對(duì)其做傅立葉反變換，得RC電路系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為所以，輸出過(guò)程Y(t)的自相關(guān)函數(shù)為其均方值為R,(t)=3'[P(o)]E[Z(t)]=E[X(t)Y(t)]=E[X(t)]·E[Y(t)]=mxm與時(shí)間t無(wú)關(guān)。R?(t,t+t)=E[Z(t)Z(t+t)]=E[X(t)Y(t)X(t+t)Y(t+t)]=E[X(t)X(t+t)]·E[Y(t)Y(t+t)]得證。3-20證明若兩隨機(jī)過(guò)程x(t)和y(t)是相互獨(dú)立的，則它們是互不相關(guān)的，即R(t)=E[x(t)y(t+t)]x(t)和y(t)的互B(t,t+t)=E{[x(t)-E(x(t))][y(t+t)-E(y(t+t))]}=E[x(t)y(t+t)]-E[x(t)]E[y(t+t)]=R(t,t+t)-E[x(t)]E[y(t+t)]R(t,t+)=E[x(1)y(t+t)]=E[x(I)]E[y(t+r)]=m,m,R(t)=E[x(t?)y(t?)]=10sin(2πt)B(t)=R(t)-E[x(t)]E[y=10sin(2πt)P(o)=2P(o)(1+cosot)。P3.12聞+大寫(xiě)解題思路：應(yīng)用“平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系過(guò)程的功率譜密度與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)模平方的乘積”證明。H(o)=1+e-jor=1+coswt-jsinwt其模平方為所以解題思路：利用求出輸出過(guò)程的功率譜密度后，對(duì)其做傅里葉反變換，得到輸出隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)。此RL電路系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為密度為P(f)=IH(f)2P(f)AR(r)=3'[P(f)]=N?BSa(2πBt)E[y]=E[y(t?)]=0,E[y?]=E[y(t?)]=0令有R,(t)=E[y;]E[y?]=0R,(t)=31[P(f)]=N?BSa(2πBt)P(f)=IH(f)2Px(f)電流功率為P=P(o)·2B=2BI?q=1.6×10-17WI=√P=4×10°A環(huán)境絕對(duì)溫度T=273+27=300K。由式(3.84),均方根電壓為：≈1.29×10-?VU?=√P≈4×10?V3-27由一電阻源產(chǎn)生的有效噪聲功率為P=kTW,其中k=1.38×10-23J/K是波爾茲曼常數(shù)，T為熱力學(xué)溫度。請(qǐng)計(jì)算在室溫時(shí)(T=290K)由電阻產(chǎn)生的有效功率譜密度(每赫解：電阻熱噪聲的頻率范圍為O<f<1013Hz,噪聲功率在該范圍內(nèi)近似均勻分布，所以=2×10-34W/Hz3-28測(cè)得某線性系統(tǒng)輸出噪聲的均方根電壓值為2mV,噪聲為高斯型起伏噪聲，試求噪聲電壓在-4mV～+4mV之間變化的概率為多少?解：設(shè)噪聲均值為0。噪聲電壓在-4mV～+4mV之間變化的概率為=①(2)-①(-2)=2φ(2)-1=0.9544隨機(jī)變量x具有以下不同的概率密度函數(shù)，試分別求出相應(yīng)的輸出電壓y的概率密度函數(shù)，①f(x)=10<x<1;②f(x)=e*x>0:解題思路：由概率知識(shí)：若隨機(jī)變量X的函數(shù)為Y=g(X),X的概率密度函數(shù)為fx(x),函f?(y)=fx[h(y)]lh(y)l。由此可以解出a、c。b、d中y不是x的單調(diào)函數(shù)。因此采用其他方法：利用概率分布函數(shù)與概率密度函數(shù)之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，先求出Y的分布函數(shù)(用X的分布函數(shù)表示),然后求導(dǎo)得到Y(jié)的概率密度函數(shù)。(a)y=g(x)=ax+b是單調(diào)函數(shù)，所以也是單調(diào)函數(shù)。(為簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)即②fx(x)=e*0<x<1:x>0:b<y<a+b。y>bb)y=ax2F,(y)=P(Y<y)00c)y=g(x)=kx①f(x)=10<x<1:x>0:y>a.同樣由圖分析可以得到3④證明：該瑞利分布的隨機(jī)變量的均值為F(x)=P(X≤x)②③欲找到f(x)的最值點(diǎn)，令得到④根據(jù)得證。解：由教材式(3.99)得到R(r)=R,(r)coso?T+R(t)sinoot即R(r)=2R?(r)coso?r|LP對(duì)上式做傅里葉變換，有因此所以①試證明該噪聲的均方根電壓值約為0.45V;①電壓功率為②R,(t)=31(P,(f))=0.2Sa(2π×10?t)③=1-0.841345=0.158655=1-0.97725=0.02275④×n,(t)2cos2πft=[n(t)cos2πft-n,(t)sin2π兩者均通過(guò)理想低通濾波器后得到的和輸出為η(t)=1.5+n.(t)③=φ(-1)==1-φ(1)=1-0.8413=0.1587④P(η(t)<0)=F?(n<0)=①(-1.5)=1-φ(1.5)=1-0.9332=0.06683-34設(shè)理想低通濾波器的輸入是功率譜密度為W/Hz的白噪聲，理想低通濾波器的帶寬為BHz,傳輸函數(shù)的幅度為A,試求：3-35功率譜密度均值為零的高斯白噪聲，通過(guò)一個(gè)中心頻率為fo、帶寬為2B的理想帶通濾波器，求輸出自相關(guān)函數(shù)。解：輸出過(guò)程的功率譜密度為的傅里葉反變換為2BSa(2πBt),因此輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為R?(t)=31[P(f)]①=2ABSa(2πBt)el2πhr+2ABSa②③R,(r)=R(r)coso?t-R(r)sino?rR,(r)=R,(t)coso?t+R(t)sinot3[R(r)]=3[R,(t)]=P(f-f?)+P(f+f?)/LPE[x2(t)]=E[y2(t)]=R(0)=R,(0)=4AB第五章幅度調(diào)制系統(tǒng)準(zhǔn)幅度調(diào)制，試其中n=0,±1,±2,…。②取方波信號(hào)一個(gè)周期的截?cái)嘈盘?hào),求得其傅里葉變換為則根據(jù)式(2.17)可以得到方波信號(hào)的傅里葉變換為所以已調(diào)信號(hào)的傅里葉變換為設(shè)o?=62,試分別畫(huà)出S?(t)和S?(t)的波形圖和頻譜圖。(頻率較高，快變化)、一個(gè)為基帶調(diào)制信號(hào)(頻率較低，慢變化),均可以將慢變化基帶信號(hào)看作包絡(luò)，快變化載頻看做高頻振蕩載波，以此作圖。F(f)=I(f120)②調(diào)制指數(shù)為0.5的AM調(diào)制；②由于f(t)=3'[F(f)]=20Sa(20πt)因此A?=405-4已知調(diào)制信號(hào)f(t)=Acos2πFt,載波c(t)=A.cos2nft,實(shí)現(xiàn)DSB調(diào)制，試畫(huà)出該解：設(shè)調(diào)制載波為c?(t)=cos(o?t),存在相位誤差的解調(diào)載波為cSpsμ(t)=f(t)cos(o?t)Spsp(t)·c(t)/LPF=f(t)coso,tcos(o,t+△θ)/LP(t)是數(shù)字信號(hào)時(shí)影響解調(diào)；包絡(luò)檢波器的輸入端。試確定檢波器的輸出波形，并說(shuō)明輸出波形是否產(chǎn)生失真?若產(chǎn)生失真原因何在?怎么才能作到不失真檢出?f(t)t息還包含在已調(diào)信號(hào)相位上。當(dāng)采用包絡(luò)檢波時(shí)，,只得到了部分幅度信息，因此有失真。要想無(wú)失真，應(yīng)對(duì)DSB-SC信號(hào)插入同頻大載波A,cosot,Ao≥1f(1)l。5-7用雙音測(cè)試信號(hào)計(jì)算一個(gè)50kW(未調(diào)制時(shí))的AM廣播發(fā)射機(jī)。發(fā)射機(jī)外接50Ω負(fù)載，②確定90%調(diào)制(調(diào)幅指數(shù)m=90%)下的A?值③確定90%調(diào)制時(shí)通過(guò)502負(fù)載的電流峰值和電流有效值。解：①未調(diào)制載波信號(hào)為c(t)=A?coso?t,在外接50Ω負(fù)載的情況下信號(hào)功率為A?≈2236VSm(t)=[A?+m(t)]coso?t因此AM信號(hào)包絡(luò)為2236+A②根據(jù)定義，調(diào)幅指數(shù)可表示為因此A?=0.45A?=1006V③通過(guò)502負(fù)載的峰值電壓為A?+2A,=1.9A?=4248.4V,因此電流峰值為載波5-8對(duì)基帶信號(hào)m(t)進(jìn)行DSB調(diào)制，m(t)=cosw?t+2cos2o?t,w?=2πfj,fi=500HZ,載波幅度為1。試：①寫(xiě)出該DSB信號(hào)的表達(dá)式，畫(huà)出該波形；②計(jì)算并畫(huà)出該DSB信號(hào)的頻譜；③確定已調(diào)信號(hào)的平均功率。解：①DSB信號(hào)的表達(dá)式為②該DSB信號(hào)的頻譜為+δ(o+0?-0)+δ(w+O?+0)+2δ(o+o?③已調(diào)信號(hào)的平均功率為5-9設(shè)SSB發(fā)射機(jī)被一正弦信號(hào)m(t)調(diào)制，m(t)=5cosw?t,w?=2πfj,f?=500Hz,載波幅度為1。試：①計(jì)算m(t)的希爾伯特變換m^(t);②確定下邊帶SSB信號(hào)的表達(dá)式；③確定SSB信號(hào)的均方根(rms)值；⑤確定SSB信號(hào)的平均功率。解：①m(t)=5cosw?t,其傅里葉變換為M(o)=5π[δ(o-o?)+δ(o+o)]其希爾伯特變換的頻譜為m(t)=H[m(t)]=5sinot=√5cos(as-a)f⑤SSB信號(hào)平均功率為f(t)=cos(2π×1000t)+cos(2π×2000t)載波信號(hào)為c(t)=2cos(2π×100×103則DSB信號(hào)為=2cos(2π×1000r)cos(2π×100×103t)+2cos(2π×2000r)cos(2π×100×103t)=cos(2π×101×103t)+cos(2π×99×103t)+cos(2π×102×103t)+cos(2π×98×103t)濾去下邊帶，得Susg(t)=cos(202π×103t)+cos(204π×103t);濾去上邊帶，得Susg(I)=cos(196π×103t)+cos(198π×103t)Sus(f)=π[δ(o-202π×102)+δ(o+202π×102)]+π[δ(o-204π×103)+δ(o+204π×103)]Ssg(f)=π[δ(o-196π×102)+6(o+196π×102)]+π[δ(o-198π×103)+δ(o+198π×102)]S,sg(1)=cos(202π×105-11設(shè)調(diào)制系統(tǒng)如圖E5.2所示，為了在輸出端分別得到f?(t)和f?(t),試確定接收端的2coso?[f(t)coso?t+f?(t)sin=f?(t)(1-cos2o,t)+f(t)5-12設(shè)調(diào)制信號(hào)為f(t)=A,coso,t,載波為C(t)=A?cosoot,用該調(diào)制信號(hào)對(duì)載波進(jìn)解：已知標(biāo)準(zhǔn)振幅調(diào)制信號(hào)為其中，載波功率為,邊帶功率;2ooAm=0時(shí)，調(diào)制信號(hào)為0,因此已調(diào)信號(hào)就是載波，PB=0,Po=PAM。5-13調(diào)幅發(fā)射機(jī)在500Ω無(wú)感電阻上的未調(diào)制功率為100W,而當(dāng)以5V峰值的單音調(diào)制信號(hào)進(jìn)行幅度調(diào)制時(shí)，測(cè)得輸出端的平均功率增加了50%,設(shè)已調(diào)信號(hào)可表示為試求①每個(gè)邊帶分量的輸出平均功率；S(1)解題思路：本題應(yīng)注意，β并不是表示對(duì)單音調(diào)制信號(hào)f(t),已調(diào)信號(hào)可表示為Sm(1)=A,[1+βAcosO,I]cosot。解：①由AM已調(diào)信號(hào)表達(dá)式可知載波為因此