廣東省中山市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

中山市高二年級2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號和準(zhǔn)考證號(考號)填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡指定位置.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4．考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某校為了研究學(xué)生的性別和對待某一活動的態(tài)度(支持與不支持)的關(guān)系，運用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗．經(jīng)計算，則所得到的統(tǒng)計學(xué)結(jié)論是：有()的把握認為“學(xué)生性別與支持該活動有關(guān)系”．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A.2.5% B.1% C.97.5% D.99%2.要判斷成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度的強弱，可以通過比較它們的樣本相關(guān)系數(shù)r的大小，以下是四組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)的值，則線性相關(guān)最強的是()A. B.C. D.3.6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須在一起的不同排法共有()A.36種 B.72種 C.144種 D.720種4.下列求導(dǎo)數(shù)計算錯誤的是()A. B.C. D.5.一個盒子里裝有大小相同的4個黑球和3個白球，從中不放回地取出3個球，則白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望是()A. B. C. D.6.已知隨機變量服從正態(tài)分布，有下列四個命題：甲：乙：丙：?。喝暨@四個命題中有且只有一個是假命題，則該假命題為()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁7.設(shè)，分別為等比數(shù)列，的前項和．若(，為常數(shù))，則()A. B. C. D.8.下列關(guān)于數(shù)列的判斷中正確的是()A.對一切都有B.對一切都有C.對一切都有，且存在使D.對一切都有，且存在使二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則()A.為函數(shù)零點 B.為函數(shù)的極小值點C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.是函數(shù)的最小值10.已知，則()A B.C. D.11.已知等差數(shù)列的前n項和為，公差，則下列數(shù)列一定遞增的是()A. B.C. D.12.設(shè)，下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.在，，…，中，最大三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知離散型隨機變量X服從兩點分布，且，則隨機變量X的方差為_________．14.某人投籃命中的概率為0.3，投籃15次，最有可能命中______次．15.若函數(shù)在區(qū)間上最大值為，最小值為，則實數(shù)__________．16.楊輝三角在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著《詳解九章算法》一書中被記載，它的開頭幾行如圖所示，它包含了很多有趣的組合數(shù)性質(zhì)，如果將楊輝三角從第1行開始的每一個數(shù)都換成分數(shù)，得到的三角形稱為“萊布尼茨三角形”，萊布尼茨由它得到了很多定理，甚至影響到了微積分的創(chuàng)立，則“萊布尼茨三角形”第8行第5個數(shù)是____________；若，則____________(用含n的代數(shù)式作答).四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在的展開式中，前三項的二項式系數(shù)之和等于79.(1)求的值；(2)若展開式中的常數(shù)項為，求的值.18.已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：.19.已知各項均為正數(shù)等比數(shù)列滿足，．(1)求的通項公式；(2)令，將數(shù)列與中的項合并在一起，按從小到大的順序重新排列構(gòu)成新數(shù)列，求的前50項的和．20.“業(yè)務(wù)技能測試”是量化考核員工績效等級的一項重要參考依據(jù)．某公司為量化考核員工績效等級設(shè)計了兩套測試方案，現(xiàn)各抽取100名員工參加兩套測試方案的預(yù)測試，統(tǒng)計成績(滿分100分)，得到如下頻率分布表．成績頻率方案0.020.110.220.300.240.080.03方案0.160180.340.100.100.080.04(1)從預(yù)測試成績在的員工中隨機抽取3人，求恰有1人參加測試方案的概率；(2)由于方案的預(yù)測試成績更接近正態(tài)分布，該公司選擇方案進行業(yè)務(wù)技能測試．測試后，公司統(tǒng)計了若干部門測試的平均成績與績效等級優(yōu)秀率，如下表所示：324154687480920.280.340.440.580.660.740.94根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點圖，初步判斷，選用作為回歸方程．令，經(jīng)計算得，．(ⅰ)若某部門測試的平均成績?yōu)?0，則其績效等級優(yōu)秀率的預(yù)報值為多少？(ⅱ)根據(jù)統(tǒng)計分析，大致認為各部門測試平均成績，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差，求某個部門績效等級優(yōu)秀率不低于0.78的概率為多少？參考公式與數(shù)據(jù)：(1)．(2)線性回歸方程中，．(3)若隨機變量，則，，．21.根據(jù)社會人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個家庭有個孩子的概率模型為：1230概率其中.每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為且相互獨立，事件表示一個家庭有個孩子，事件表示一個家庭的男孩比女孩多(例如：一個家庭恰有一個男孩，則該家庭男孩多).(1)若，求和；(2)為了調(diào)控未來人口結(jié)構(gòu)，其中參數(shù)受到各種因素的影響(例如生育保險的增加，教育?醫(yī)療福利的增加等).①若希望增大，如何調(diào)控的值？②是否存在的值使得，請說明理由.22.已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的極值；(2)當(dāng)時，證明：存在唯一極值點，且.

中山市高二年級2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號和準(zhǔn)考證號(考號)填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡指定位置.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4．考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某校為了研究學(xué)生的性別和對待某一活動的態(tài)度(支持與不支持)的關(guān)系，運用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗．經(jīng)計算，則所得到的統(tǒng)計學(xué)結(jié)論是：有()的把握認為“學(xué)生性別與支持該活動有關(guān)系”．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A.2.5% B.1% C.97.5% D.99%【答案】C【解析】【分析】將的值與表中數(shù)據(jù)比較大小可知，由此確定出相應(yīng)的把握有多少.【詳解】因為，對照表格：，因為1－0.025＝0.975＝97.5%，所以有97.5%的把握認為“學(xué)生性別與是否支持該活動有關(guān)系”.故選：C.2.要判斷成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度的強弱，可以通過比較它們的樣本相關(guān)系數(shù)r的大小，以下是四組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)的值，則線性相關(guān)最強的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用相關(guān)系數(shù)的含義,判斷每個選項里的相關(guān)系數(shù)的絕對值的大小即可.【詳解】當(dāng)時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)時，表明兩個變量負相關(guān)；，且越接近于1，相關(guān)程度越大；越接近于0，相關(guān)程度越小，故，因此線性相關(guān)最強的是A,故選：A3.6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須在一起的不同排法共有()A.36種 B.72種 C.144種 D.720種【答案】C【解析】【分析】利用捆綁法可求不同的排法.【詳解】甲、乙、丙三人在一起，有種不同的排法，把甲、乙、丙看成一個整體，與其余的3個人混排，共有種不同的排法，故共有種，故選：C.4.下列求導(dǎo)數(shù)計算錯誤的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運算法則及簡單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計算即可.【詳解】，A正確；，B錯誤；，C正確；，D正確.故選：B.5.一個盒子里裝有大小相同的4個黑球和3個白球，從中不放回地取出3個球，則白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，白球個數(shù)X服從超幾何分布，再借助超幾何分布的期望公式計算作答.【詳解】依題意，取出3球中白球個數(shù)X為隨機變量，，X服從超幾何分布，所以白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望是.故選：B6.已知隨機變量服從正態(tài)分布，有下列四個命題：甲：乙：丙：丁：若這四個命題中有且只有一個是假命題，則該假命題為()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】【分析】由甲乙兩個有一個正確得的均值為，可得甲乙正確，然后由正態(tài)分布的性質(zhì)判斷丙丁．【詳解】首先甲、乙中至少有一個正確，因此是的均值，從而甲乙兩個均正確，，丙正確，而，丁錯誤．故選：D．7.設(shè)，分別為等比數(shù)列，的前項和．若(，為常數(shù))，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】設(shè)，項和轉(zhuǎn)換，求解即可【詳解】由題意，設(shè)則故選：C8.下列關(guān)于數(shù)列的判斷中正確的是()A.對一切都有B.對一切都有C.對一切都有，且存在使D.對一切都有，且存在使【答案】A【解析】【分析】利用均值不等式可得，結(jié)合二項式定理和裂項相消法可得.【詳解】我們先證明一個不等式：.證明：要證，即證，即證：,由均值不等式可得.故不等式成立.我們再證明一個不等式：.證明：由二項式定理可得，而當(dāng)時，，故，故.故A正確，BCD錯誤.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則()A.為函數(shù)的零點 B.為函數(shù)的極小值點C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.是函數(shù)的最小值【答案】BC【解析】【分析】由圖中與0的大小關(guān)系可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值、零點和最值的定義判斷各選項的正誤即可得出答案.【詳解】解：由的圖象可知，在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，所以為的極小值點，所以B，C均正確；是的零點，但不一定是的零點，所以A錯誤；是函數(shù)的極小值，但不一定是最小值，所以D錯誤.故選：BC.10.已知，則()A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式、全概率公式、和事件公式可以判斷答案.【詳解】B選項：，對；C選項：,C對；A選項：由全概率公式得：,,A錯；D選項：D對；故選：BCD11.已知等差數(shù)列的前n項和為，公差，則下列數(shù)列一定遞增的是()A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前項和公式，利用數(shù)列單調(diào)性的概念，結(jié)合作差法即可判斷.【詳解】對于A，，，，則數(shù)列是遞增數(shù)列，A正確；對于B，，∵，∴不一定是正實數(shù)，即數(shù)列不一定是遞增數(shù)列，B錯誤；對于C，，∵，∴不一定正實數(shù)，即數(shù)列不一定是遞增數(shù)列，C錯誤；對于D，，故數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確．故選：AD．12.設(shè)，下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.在，，…，中，最大【答案】ABD【解析】【分析】采用賦值法，兩式相加即可判斷A；求出的通項求出可判斷B；對多項式兩邊求導(dǎo)，令，可判斷C；求出的通項知為正，為負，可判斷D.【詳解】令，所以①，令，所以②，所以①②得：，所以，所以A正確；，則的通項為：所以令，則，所以，令，則，所以，所以，故B正確；對兩邊同時求導(dǎo)，則，令，所以，所以C錯誤；由的通項知為正，為負，所以，，在，，…，中，最大，所以D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知離散型隨機變量X服從兩點分布，且，則隨機變量X的方差為_________．【答案】【解析】【分析】因為離散型隨機變量X服從兩點分布，設(shè)，所以，由題意可求出，所以可求出．【詳解】因為離散型隨機變量X服從兩點分布，設(shè)，所以，所以，代入有：，解得：，，因為離散型隨機變量X服從兩點分布，所以.故答案為：.14.某人投籃命中的概率為0.3，投籃15次，最有可能命中______次．【答案】4【解析】【分析】易知投籃命中次數(shù)服從二項分布，設(shè)最有可能命中m次，于是，解出不等式即可得到答案.【詳解】投籃命中次數(shù)，設(shè)最有可能命中次，則，，．最有可能命中4次．故答案為：4.15.若函數(shù)在區(qū)間上最大值為，最小值為，則實數(shù)__________．【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的極小值，再求出區(qū)間端點處的函數(shù)值，即可求出函數(shù)的最值，即可得解.【詳解】因為，所以，所以當(dāng)時，時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，又，，，因為，所以，，所以，，則.

故答案為：16.楊輝三角在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著《詳解九章算法》一書中被記載，它的開頭幾行如圖所示，它包含了很多有趣的組合數(shù)性質(zhì)，如果將楊輝三角從第1行開始的每一個數(shù)都換成分數(shù)，得到的三角形稱為“萊布尼茨三角形”，萊布尼茨由它得到了很多定理，甚至影響到了微積分的創(chuàng)立，則“萊布尼茨三角形”第8行第5個數(shù)是____________；若，則____________(用含n的代數(shù)式作答).【答案】①.②.【解析】【分析】類比楊輝三角，根據(jù)“萊布尼茨三角形”的特點求解即可．【詳解】由題意知，將楊輝三角從第1行開始的每一個數(shù)都換成分數(shù)，得到的三角形為“萊布尼茨三角形”，觀察表中數(shù)字，題中要求第8行第5個數(shù)，所以，，所以第8行第5個數(shù)為.由萊布尼茨三角形的特點可知，每個數(shù)均等于其“腳下”兩個數(shù)之和，∵，，，…，，，將上述各式相加，得，∴，.故答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在的展開式中，前三項的二項式系數(shù)之和等于79.(1)求的值；(2)若展開式中的常數(shù)項為，求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)二項式系數(shù)的定義及組合數(shù)計算即可；(2)設(shè)二項式的展開式通項，待定系數(shù)計算即可.【小問1詳解】因為前三項的二項式系數(shù)之和等于79，所以，解得或.因為，所以.【小問2詳解】設(shè)的通項為，所以當(dāng)時，，此時，常數(shù)項為，解得.18.已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，結(jié)合可得切線方程；(2)設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，結(jié)合可得單調(diào)性，得到，由此可證得結(jié)論.【小問1詳解】，，又，所求切線方程為：.【小問2詳解】設(shè)，則定義域為，，令，則，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求解切線方程、不等式的證明問題；本題證明不等式的關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題，從而利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值.19.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，．(1)求的通項公式；(2)令，將數(shù)列與中的項合并在一起，按從小到大的順序重新排列構(gòu)成新數(shù)列，求的前50項的和．【答案】(1)(2)3181．【解析】【分析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，然后根據(jù)題意列出等式，進行聯(lián)立即可得到，，即可求解；(2)先得到的前50項是由的前5項與的前45項組成，然后利用分組求和法即可求解【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意得，因為等比數(shù)列中，，所以，又，解得，所以，即的通項公式為．【小問2詳解】由(1)知，因為，，所以的前50項是由的前5項與的前45項組成，記的前50項的和為，則．所以的前50項的和為3181．20.“業(yè)務(wù)技能測試”是量化考核員工績效等級的一項重要參考依據(jù)．某公司為量化考核員工績效等級設(shè)計了兩套測試方案，現(xiàn)各抽取100名員工參加兩套測試方案的預(yù)測試，統(tǒng)計成績(滿分100分)，得到如下頻率分布表．成績頻率方案0.020.110.220.300.240.080.03方案0.160.180.340.100.100.080.04(1)從預(yù)測試成績在的員工中隨機抽取3人，求恰有1人參加測試方案的概率；(2)由于方案的預(yù)測試成績更接近正態(tài)分布，該公司選擇方案進行業(yè)務(wù)技能測試．測試后，公司統(tǒng)計了若干部門測試的平均成績與績效等級優(yōu)秀率，如下表所示：324154687480920.280.340.440.580.660.740.94根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點圖，初步判斷，選用作為回歸方程．令，經(jīng)計算得，．(ⅰ)若某部門測試的平均成績?yōu)?0，則其績效等級優(yōu)秀率的預(yù)報值為多少？(ⅱ)根據(jù)統(tǒng)計分析，大致認為各部門測試平均成績，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差，求某個部門績效等級優(yōu)秀率不低于0.78的概率為多少？參考公式與數(shù)據(jù)：(1)．(2)線性回歸方程中，．(3)若隨機變量，則，，．【答案】(1)(2)(ⅰ)0.498；(ⅱ)0.1587【解析】【分析】(1)由古典概型概率計算公式求解即可；(2)(ⅰ)兩邊取對數(shù)得，即，利用所給一元線性回歸方程公式求得的值，再將代入即可求解；(ⅱ)根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】由圖表可得方案測試成績在的員工的有人，方案測試成績在的員工的有人，所以從預(yù)測試成績在的員工中隨機抽取3人，求恰有1人參加測試方案的概率.【小問2詳解】(ⅰ)由題意兩邊取對數(shù)得，即，根據(jù)所給公式可得，又因為，，所以，即，故，當(dāng)時，，即若某部門測試的平均成績?yōu)?0，則其績效等級優(yōu)秀率的預(yù)報值為.(ⅱ)由(ⅰ)及參考數(shù)據(jù)可得，，由即可得，解得，又，，由正態(tài)分布的性質(zhì)得，即績效等級優(yōu)秀率不低于0.78的概率為0.1587.21.根據(jù)社會人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個家庭有個孩子的概率模型為：1230概率其中.每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為且相互獨立，事件表示一個家庭有個孩子，事件表示一個家庭的男孩比女孩多(例如：一個家庭恰有一個男孩，則該家庭男孩多).(1)若，求和；(2)為了調(diào)控未來人口結(jié)構(gòu)，其中參數(shù)受到各種因素的影響(例如生育保險的增加，教育?醫(yī)療福利的增加等).①若希望增大，如何調(diào)控的值？②是否存在的值使得，請說明理由.【答案】(1)，；(2)①增加p的取值；②不存在，理由見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)條件概率計算方法求