專題十二：二次函數(shù)與圓有關(guān)的綜合題（解析版）

專題十二：二次函數(shù)與圓有關(guān)的綜合題典例分析例：（2021宜賓中考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），連結(jié)BC、BE、CE．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）判斷△BCE的形狀，并說明理由；（3）如圖2，以C為圓心，為半徑作⊙C，在⊙C上是否存在點(diǎn)P，使得BP＋EP的值最小，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y=x2+2x+6；（2）直角三角形，見解析；（3）存在，【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）分別求出三角形三邊的平方，然后運(yùn)用勾股定理逆定理即可證明；（3）在CE上截取CF=（即CF等于半徑的一半），連接BF交⊙C于點(diǎn)P，連接EP，則BF的長即為所求．【詳解】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），∴設(shè)該拋物線表達(dá)式為y=a（x-2）2+8，∵與y軸交于點(diǎn)C（0，6），∴把點(diǎn)C（0，6）代入得：a=，∴該拋物線的表達(dá)式為y=x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴當(dāng)y=0時(shí)，（x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x2=6，∴A（-2，0），B（6，0），∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80，∴BE2=BC2+CE2，∴∠BCE=90°，∴△BCE是直角三角形；（3）如圖，在CE上截取CF=（即CF等于半徑的一半），連接BF交⊙C于點(diǎn)P，連接EP，

則BF的長即為所求．連接CP，∵CP半徑，∴，又∵∠FCP=∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴，F(xiàn)P=EP，∴BF=BP+EP，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：BF的長即BP+EP為最小值．∵CF=CE，E（2，8），∴F（，），∴BF=【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，題目綜合性較強(qiáng)，屬于中考?jí)狠S題，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．專題過關(guān)1、（2021廣元中考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，下表給出了這條拋物線上部分點(diǎn)的坐標(biāo)值：x…0123…y…03430…（1）求出這條拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）是拋物線對(duì)稱軸上長為1的一條動(dòng)線段（點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方），求的最小值；（3）如圖2，點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸，垂足為F，的外接圓與相交于點(diǎn)E．試問：線段的長是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；；（2）；（3）是，1．【解析】【分析】（1）依據(jù)表格數(shù)據(jù)，設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）利用平移和找對(duì)稱點(diǎn)方式，將的長轉(zhuǎn)化為，再利用兩點(diǎn)之間線段最短確定的最小值等于CE的長，加1后即能確定的最小值；（3）設(shè)出圓心和D點(diǎn)的坐標(biāo)，接著表示出E點(diǎn)的坐標(biāo)，利用圓心到B點(diǎn)的距離等于圓心到D點(diǎn)的距離，求出q和e的關(guān)系，得到E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而確定EF的長為定值．【詳解】解：（1）由表格數(shù)據(jù)可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）設(shè)拋物線解析式為：，將點(diǎn)（0,3）代入解析式得：3=a+4，∴，∴拋物線解析式為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）由表格可知，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1,0），C（0,3），如圖3，將A點(diǎn)向上平移一個(gè)單位，得到，則∴四邊形是平行四邊形，∴，作關(guān)于MQ的對(duì)稱點(diǎn)E，則∴，∴，當(dāng)P、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，最短，設(shè)直線CE的解析式為：，將C、E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得：，∴，∴直線CE的解析式為：，令，則，∴當(dāng)時(shí)，P、E、C三點(diǎn)共線，此時(shí)最短，∴的最小值為．（3）是；理由：設(shè)，因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以圓心位于該直線上，所以可設(shè)的外接圓的圓心為，作，垂足為點(diǎn)N，則，由軸，∴，∵，且由表格數(shù)據(jù)可知∴，化簡得：，∵點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且拋物線解析式為，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即的長不變，為1．【點(diǎn)睛】本題涉及到了動(dòng)點(diǎn)問題，綜合考查了用待定系數(shù)法求拋物線解析式、點(diǎn)的平移、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、最短路徑問題、圓的性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是理解并掌握相關(guān)概念與公式，能將題干信息與圖形相結(jié)合，挖掘圖中隱含信息，本題有一定的計(jì)算量，對(duì)學(xué)生的綜合分析與計(jì)算能力都有較高的要求，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等．2、（2021張家界中考）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)且與軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式；（3）判斷的形狀，試說明理由；（4）若點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，且的半徑為，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以每秒1個(gè)單位長度的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值．【答案】（1）；（2），；（3）等腰直角三角形，理由見解析；（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，運(yùn)用待定系數(shù)法直接列方程組求解即可；（2）根據(jù)（1）中二次函數(shù)解析式，直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即可，再根據(jù)點(diǎn)A、B坐標(biāo)求出AB解析式即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性可知為等腰三角形，再根據(jù)O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)，求出三條線段的長，利用勾股定理驗(yàn)證即可；（4）根據(jù)題意可知?jiǎng)狱c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，在上取點(diǎn)，使，可證明，根據(jù)相似三角形比例關(guān)系得，即，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)一步計(jì)算即可．【詳解】解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，且與軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)∴，二次函數(shù)表達(dá)式可設(shè)為：將，代入得：解這個(gè)方程組得∵二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為（2）∵點(diǎn)為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有：解之得：∴直線的函數(shù)表達(dá)式為（3）是等腰直角三角形，過點(diǎn)作于點(diǎn)，易知其坐標(biāo)為∵的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，∴，且滿足∴是等腰直角三角形（4）如圖，以為圓心，為半徑作圓，則點(diǎn)在圓周上，依題意知：動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為在上取點(diǎn)，使，連接，則和中，滿足：，，∴，∴，從而得：∴顯然當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由于，且為等腰直角三角形，則有，，∴動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，將運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值轉(zhuǎn)換為線段長度的最小值是解題的關(guān)鍵．3、（2021樂山中考）（3分）如圖，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P與OB、AB均相切，點(diǎn)P是線段AC與拋物線y＝ax2的交點(diǎn)，則a的值為（）A．4 B． C． D．5【分析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x+6），由點(diǎn)P、A的坐標(biāo)得，PA＝（6﹣x），則AN＝＝，由AB＝10＝BN+AN，得到10＝+2+x，進(jìn)而求解．【解答】解：設(shè)⊙P與OB、AB分別相切于點(diǎn)M、N，連接PM、PN，設(shè)圓的半徑為x，則PN＝PM＝x，由題意知，OC＝AO＝6，則直線BA與y軸的夾角為45°，則CM＝MP＝x，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得，直線AC的表達(dá)式為y＝﹣x+6，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x+6），由點(diǎn)P、A的坐標(biāo)得，PA＝（6﹣x），則AN＝＝，∵⊙P與OB、AB分別相切于點(diǎn)M、N，故BN＝BM＝BC+CM＝2+x，在Rt△ABO中，OA＝6，OB＝8，則AB＝10＝BN+AN，即10＝+2+x，解得x＝1，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，5），將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y＝ax2得5＝a，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題為幾何和函數(shù)綜合題，涉及一次函數(shù)的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用等，綜合性強(qiáng)，難度適中．4、（2021鞍山中考）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），D是拋物線的頂點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（0≤m≤3），AE∥PD交直線l：y＝x+2于點(diǎn)E，AP交DE于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)Q．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)△PDF的面積為S1，△AEF的面積為S2，當(dāng)S1＝S2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接BQ，點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上（位于第一象限內(nèi)），且∠BMQ＝45°，在點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)，直接寫出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)t的取值范圍．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型；運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用意識(shí)．【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；（2）P（，﹣）；（3）2≤t≤．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，即可求得答案；（2）利用配方法可求得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)D（1，﹣4），由AE∥PD得△AEF∽△PDF，再根據(jù)△PDF與△AEF的面積相等，可得△AEF≌△PDF，故點(diǎn)F分別是AP、ED的中點(diǎn)，設(shè)E（e，e+2），P（m，m2﹣2m﹣3），結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程求解即可；（3）根據(jù)題意，分別求出t的最大值和最小值：①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，此時(shí)t的值最大，如圖2，以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△O′OB，以O(shè)′為圓心，OO′為半徑作⊙O′，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M（1，t），過點(diǎn)O′作O′H⊥y軸于點(diǎn)H，運(yùn)用勾股定理即可求得答案，②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，此時(shí)t的值最小，如圖3，連接BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作⊙O交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，連接OM，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，運(yùn)用勾股定理即可求得答案．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），∴將A、B坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得：，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如圖，∵D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），∵AE∥PD交直線l：y＝x+2于點(diǎn)E，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（0≤m≤3），∴△AEF∽△PDF，設(shè)E（e，e+2），P（m，m2﹣2m﹣3），又∵△PDF的面積為S1，△AEF的面積為S2，S1＝S2，∴△AEF≌△PDF，∴AF＝PF，EF＝DF，即點(diǎn)F分別是AP、ED的中點(diǎn)，又∵A（﹣1，0），P（m，m2﹣2m﹣3），E（e，e+2），D（1，﹣4），∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得：m1＝0（與“AE∥PD”不符，應(yīng)舍去），m2＝，∴t2＝，∴P（，﹣），E（，）；（3）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，此時(shí)t的值最大，如圖2，以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△O′OB，則O′（，），OO′＝O′B＝，以O(shè)′為圓心，OO′為半徑作⊙O′，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M（1，t），過點(diǎn)O′作O′H⊥y軸于點(diǎn)H，則∠O′HM＝90°，O′H＝，O′M＝OO′＝，∴MH＝＝＝，∴t＝+＝，②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，此時(shí)t的值最小，如圖3，連接BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作⊙O交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，∵OB＝OC＝3，∴⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，連接OM，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，則OM＝OB＝3，OE＝1，∵∠MEO＝90°，∴ME＝＝＝2，∴t＝2，綜上所述，2≤t≤．5、（2020遵義中考）如圖，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，3）與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MP∥y軸，交拋物線于點(diǎn)P．（1）求該拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求出⊙M的半徑．【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）不存在，理由見解析；（3）⊙M的半徑為，，，【解析】【分析】（1）已知拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)C(0,3)，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式；（2）在拋物線上找到一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形，過點(diǎn)Q作OM⊥OB于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN⊥OC于點(diǎn)N，根據(jù)△QCO是等邊三角形，求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，再驗(yàn)證Q點(diǎn)是否在拋物線上；（3）分四種情況①當(dāng)⊙M與y軸相切，如圖所示，令M點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，PM=t，將PM用t表示出來，列出關(guān)于t的一元二次方程，求得t，進(jìn)而求得半徑；②⊙M與x軸相切，過點(diǎn)M作MN⊥OB于N，如圖所示，令M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，因?yàn)镻N=2MN，列出關(guān)于m的一元二次方程，即可求出m，同理③④種情況，進(jìn)而求得⊙M的半徑．【詳解】（1）∵拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)C(0,3)∴解得∴該拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+3故答案為：y＝﹣x2+x+3（2）在拋物線上找到一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形，過點(diǎn)Q作QM⊥OB于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作QN⊥OC于點(diǎn)N∵△QCO是等邊三角形，OC=3∴CN=∴NQ=即Q(,)當(dāng)x=時(shí)，y＝﹣×()2+×+3=≠∴Q(,)不在拋物線上y＝﹣x2+x+3故答案為：不存在，理由見解析（3）①⊙M與y軸相切，如圖所示∵y＝﹣x2+x+3當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+x+3=0解得x1=-1，x2=4∴B(4,0)令直線BC的解析式為y=kx+b解得∴直線BC的解析式為令M點(diǎn)橫坐標(biāo)為t∵M(jìn)P∥y軸，⊙M與y軸相切∴t=﹣t2+t+3-解得t=⊙M的半徑為②⊙M與x軸相切，過點(diǎn)M作MN⊥OB于N，如圖所示令M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m∵PN=2MN∴解得m=1或m=4（舍去）∴⊙M的半徑為：③當(dāng)與軸相切時(shí)，如圖3：點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)半徑④當(dāng)與軸相切時(shí)如圖4：設(shè)，則，因解得，（舍去）半徑綜上所述：的半徑為，，，【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，是二次函數(shù)的綜合題，涉及了二次函數(shù)與幾何問題，二次函數(shù)與圓的問題，其中考查了圓切線的性質(zhì)．6、（2020荊州中考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，，以O(shè)為圓心，OA的長為半徑的半圓O交AO的延長線于C，連接AB，BC，過O作ED//BC分別交AB和半圓O于E，D，連接OB，CD．（1）求證：BC是半圓O的切線；（2）試判斷四邊形OBCD的形狀，并說明理由；（3）如圖2，若拋物線經(jīng)過點(diǎn)D，且頂點(diǎn)為E，求此拋物線的解析式；點(diǎn)P是此拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以E，D，P為頂點(diǎn)的三角形與相似，問拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得，若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）見解析；（2）平行四邊形，見解析；（3）拋物線的解析式為，存在，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或或【解析】【分析】（1）證得OE是△ABC的中位線，求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，分別求得AB、AC、BC的長，利用勾股定理的逆定理證得是直角三角形，從而證明結(jié)論；（2）求得BC=OD=OA=，利用平行四邊形的判定定理可證得四邊形OBCD是平行四邊形；（3）證明Rt△ODNRt△OEM，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得此拋物線的解析式；分△PED△OAB和△DEP△OAB兩種情況討論，利用相似三角形的性質(zhì)求得PE的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【詳解】（1）如圖1，設(shè)AB與y軸交于點(diǎn)M，則AM=2，OM=1，AB=5，則OA=OC，∵OE∥BC，∴OE是△ABC的中位線，∴AE=AB=，BC=2EO，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，)，ME=，OM=1，∴OE=，∴BC=2OE=，∵，是直角三角形，即，所以BC是半圓的O的切線；（2）四邊形OBCD是平行四邊形，由圖知：BC=OD=OA=，∵OD∥BC，∴四邊形OBCD是平行四邊形；（3）①由（2）知：OD=OA=，E為AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸，則DN//ME，∴Rt△ODNRt△OEM，∴，∴，∴，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)D(，)，且頂點(diǎn)為E(，)，∴設(shè)此拋物線的解析式為，則∴，∴此拋物線的解析式為，即，如圖，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交AC于F，由（1）知：∠AOE=∠ACB=90，∠AEF=90，∴∠OEF+∠AEO=90，∠A+∠AEO=90，∴∠OEF=∠A，∵以E，D，P為頂點(diǎn)的三角形與相似，∴分△PED△OAB和△DEP△OAB兩種情況討論，當(dāng)△PED△OAB時(shí)，ED=OE+OD=，即，∴，∵，設(shè)點(diǎn)Q到PE的距離為h，∴，即，∴，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為或；當(dāng)△DEP△OAB時(shí)，ED=OE+OD=，即，∴，∵，設(shè)點(diǎn)Q到PE的距離為，∴，即，∴，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為或；∴符合條件的Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，圓的切線的判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理，平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，此題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，對(duì)學(xué)生提出較高的要求．注意：不要漏解，分類討論思想的巧妙運(yùn)用．7、（2020武漢中考）將拋物線向下平移6個(gè)單位長度得到拋物線，再將拋物線向左平移2個(gè)單位長度得到拋物線．（1）直接寫出拋物線，的解析式；（2）如圖（1），點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)上，點(diǎn)在對(duì)稱軸上，是以為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖（2），直線（，為常數(shù)）與拋物線交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)；直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．求證：直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．【答案】（1）拋物線的解析式為：y=x2-4x-2；拋物線的解析式為：y=x2-6；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，3）或（4，-2）；（3）直線經(jīng)過定點(diǎn)（0，2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象上下平移：函數(shù)值上加下減；左右平移：自變量左加右減寫出函數(shù)解析式并化簡即可；（2）先判斷出點(diǎn)A、B、O、D四點(diǎn)共圓，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，從而證出是等腰直角三角形．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代數(shù)式表示出來，利用DC=AC列方程求解即可，注意有兩種情況；（3）根據(jù)直線（，為常數(shù)）與拋物線交于，兩點(diǎn)，聯(lián)立兩個(gè)解析式，得到關(guān)于x一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出縱坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線MN的解析式，從而判斷直線MN經(jīng)過的定點(diǎn)即可．【詳解】解：（1）∵拋物線向下平移6個(gè)單位長度得到拋物線，再將拋物線向左平移2個(gè)單位長度得到拋物線，∴拋物線的解析式為：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2，拋物線的解析式為：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6．（2）如下圖，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，連接AD，∵是等腰直角三角形，∴∠BOA=45°，又∵∠BDO=∠BAO=90°，∴點(diǎn)A、B、O、D四點(diǎn)共圓，∴∠BDA=∠BOA=45°，∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，∴是等腰直角三角形，∴DC=AC．∵點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)上，點(diǎn)在對(duì)稱軸上，∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，x2-4x-2），∴DC=x-2，AC=x2-4x-2，∴x-2=x2-4x-2，解得：x=5或x=0（舍去），∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，3）；同理，當(dāng)點(diǎn)B、點(diǎn)A在x軸的下方時(shí)，x-2=-(x2-4x-2)，x=4或x=-1（舍去），∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，-2），綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，3）或（4，-2）．（3）∵直線（，為常數(shù)）與拋物線交于，兩點(diǎn)，∴，∴x2-kx-6=0，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為xE，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為xF，∴xE+xF=k，∴中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM==，中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM=kx=，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）；同理可得：點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，），設(shè)直線MN的解析式為y=ax+b（a≠0），將M（，）、N（，）代入得：，解得：，∴直線MN的解析式為y=·x+2（），不論k取何值時(shí)（），當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴直線經(jīng)過定點(diǎn)（0，2）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)D象平移的規(guī)律、判斷點(diǎn)A、B、O、D四點(diǎn)共圓的方法、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的步驟是解題的關(guān)鍵．8、（2020濟(jì)寧中考）我們把方程(x-m)2+(y-n)2=r2稱為圓心為(m，n)、半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．例如，圓心為(1,-2)、半徑長為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐標(biāo)系中,圓C與軸交于點(diǎn)A．B．且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8．0),與y軸相切于點(diǎn)D(0,4)，過點(diǎn)A,B,D的拋物線的頂點(diǎn)為E．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)試判斷直線AE與圓C的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2）相切，理由見解析【解析】【分析】（1）連接CD，CB，過C作CF⊥AB，分別表示出BF和CF，再在△BCF中利用勾股定理構(gòu)造方程求解即可得到圓C半徑以及點(diǎn)C坐標(biāo)，從而得到標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由（1）可得點(diǎn)A坐標(biāo)，求出拋物線表達(dá)式，得到點(diǎn)E坐標(biāo)，再求出直線AE的表達(dá)式，聯(lián)立直線AE和圓C的表達(dá)式，通過判斷方程根的個(gè)數(shù)即可得到兩者交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判斷位置關(guān)系.【詳解】解：連接CD，CB，過C作CF⊥AB，∵點(diǎn)D（0，4），B（8，0），設(shè)圓C半徑為r，圓C與y軸切于點(diǎn)D，則CD=BC=OF=r，CF=4，∵CF⊥AB，∴AF=BF=8-r，在△BCF中，，即，解得：r=5，∴CD=OF=5，即C（5，4），∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）由（1）可得：BF=3=AF，則OA=OB-AB=2，即A（2，0），設(shè)拋物線表達(dá)式為：，將A，B，D坐標(biāo)代入，，解得：，∴拋物線表達(dá)式為：，∴可得點(diǎn)E（5，），設(shè)直線AE表達(dá)式為：y=mx+n，將A和E代入，可得：，解得：，∴直線AE的表達(dá)式為：，∵圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，聯(lián)立，解得：x=2，故圓C與直線AE只有一個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)為2，即圓C與直線AE相切.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的新定義，二次函數(shù)，一次函數(shù)，切線的判定，垂徑定理，有一定難度，解題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化思想，將求位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問題.9、（2020德州中考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，在x軸上任取一點(diǎn)M．連接AM，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)M為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于G，H兩點(diǎn)，作直線GH，過點(diǎn)M作x軸的垂線l交直線GH于點(diǎn)P．根據(jù)以上操作，完成下列問題．探究：（1）線段PA與PM的數(shù)量關(guān)系為________，其理由為：________________．（2）在x軸上多次改變點(diǎn)M的位置，按上述作圖方法得到相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并完成下列表格：M的坐標(biāo)……P的坐標(biāo)……猜想：（3）請(qǐng)根據(jù)上述表格中P點(diǎn)的坐標(biāo)，把這些點(diǎn)用平滑的曲線在圖2中連接起來；觀察畫出的曲線L，猜想曲線L的形狀是________．驗(yàn)證：（4）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，根據(jù)圖1中線段PA與PM的關(guān)系，求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．應(yīng)用：（5）如圖3，點(diǎn)，，點(diǎn)D為曲線L上任意一點(diǎn)，且，求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1），線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；（2）圖見解析，拋物線；（3）見解析；（4）；（5）【解析】【分析】（1）由尺規(guī)作圖的步驟可知，HG是AM的中垂線，結(jié)合中垂線的性質(zhì)，即可得到答案；（2）根據(jù)第（1）的作圖方法，得到相應(yīng)點(diǎn)P的位置，即可求解；（3）用平滑曲線作出圖象，即可；（4）過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，用含x，y的代數(shù)式表示，，，結(jié)合勾股定理，即可得到答案；（5）連接，由題意得當(dāng)時(shí)，在的外接圓上，弧所對(duì)的圓心