八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步練習(xí) 第02課 二次根式的乘除（原卷版+解析）

第02課二次根式的乘除目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)掌握二次根式的乘除法則和化簡(jiǎn)二次根式的常用方法，熟練進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算.了解最簡(jiǎn)二次根式的概念，能運(yùn)用二次根式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01二次根式的乘法法則(1)計(jì)算法則：()即：二次根式相乘，把相乘，根指數(shù)；(2)進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算時(shí)，一定不能忽略其被開(kāi)方數(shù)a，b均為這一條件。(3)推廣=1\*GB3①(a≥0，b≥0，c≥0)；=2\*GB3②；=3\*GB3③和在二次根式的乘法中任然可應(yīng)用。(3)若二次根式相乘的結(jié)果能寫(xiě)成的形式，則應(yīng)化簡(jiǎn)，如.知識(shí)點(diǎn)02二次根式乘法法則的逆用(1)計(jì)算法則：(a≥0，b≥0)即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的利用這個(gè)性質(zhì)可以把二次根式，在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算時(shí)，先將被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行因式分解或，然后再將能的因式或因數(shù)開(kāi)方后移到根號(hào)外。注：(1)公式中的a，b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須滿足a≥0，b≥0，實(shí)際上，公式中的a，b是限制公式右邊的，對(duì)公式的左邊，只要ab≥0即可，如EQ\r(,（-4）×（-9）)≠EQ\r(,-4)．EQ\r(,-9)。(2)在本章中如果沒(méi)有特別說(shuō)明，所有的字母都表示正數(shù)。推廣：EQ\r(,abcd)=(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0)知識(shí)點(diǎn)03二次根式的除法法則計(jì)算公式：(a≥0，b＞0)即：二次根式相除，把相除，根指數(shù)不變。注：(1)a必須是非負(fù)數(shù)，b必須是正數(shù)，式子才成立。若a，b都是負(fù)數(shù)，雖然eq\f(a,b)＞0，EQ\r(,eq\f(a,b))有意義，但EQ\r(,a)，EQ\r(,b)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)意義；若b=0，則eq\f(a,b)無(wú)意義。(2)如果被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將其化成假分?jǐn)?shù)，如EQ\r(,4eq\f(1,4))必須先化成EQ\r(,eq\f(17,4))，以免出現(xiàn)EQ\r(,4eq\f(1,4))=EQ\r(,4)×EQ\r(,eq\f(1,4))這樣的錯(cuò)誤。(3)在二次根式的計(jì)算中，最后結(jié)果應(yīng)不含的因數(shù)或因式，同時(shí)分母中不含。知識(shí)點(diǎn)04二次根式除法法則的逆用(1)(a≥0，b＞0)即商的算術(shù)平方根等于被除式的除以除式的。注：公式中的a，b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須滿足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右邊的，對(duì)公式的左邊，只要eq\f(a,b)≥0即可。例如計(jì)算，不能寫(xiě)為，而應(yīng)寫(xiě)為。利用這個(gè)公式，同樣可以達(dá)到化簡(jiǎn)二次根式的目的，在化簡(jiǎn)被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)(或分式)的二次根式時(shí)，先將其化為eq\f(EQ\r(,a),EQ\r(,b))(a≥0，b＞0)的形式，然后利用分式的基本性質(zhì)，分子和分母同乘上一個(gè)適當(dāng)?shù)囊蚴?，化去分母中的根?hào)即可。當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)先把它化成。常見(jiàn)的二次根式化簡(jiǎn)：①；②③知識(shí)點(diǎn)05最簡(jiǎn)二次根式的概念概念：滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式。(1)被開(kāi)方數(shù)不含；(2)被開(kāi)方數(shù)中不含的因數(shù)或因式。注意，對(duì)于最簡(jiǎn)二次根式的概念我們可作如下解釋：(1)被開(kāi)方數(shù)中不含分母，因此被開(kāi)方數(shù)或；(2)被開(kāi)方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)或因式的指數(shù)都是?；?jiǎn)二次根式的一般方法方法舉例將被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式進(jìn)行開(kāi)方EQ\r(,8)=，EQ\r(,x3y4)=化去根號(hào)下的分母若被開(kāi)方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化成EQ\r(,1eq\f(1,3))=或EQ\r(,1eq\f(1,3))=若被開(kāi)方數(shù)中含有小數(shù)，應(yīng)先將小數(shù)化成EQ\r(,0.9)=或EQ\r(,0.9)=被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式的要先進(jìn)行因式分解EQ\r(,X5+2x3y2+xy4)=拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根號(hào)的方法來(lái)進(jìn)行，這種化去分母中根號(hào)的變形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的有理化因式(兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式)，化去分母中的根號(hào)。分母有理化因式不唯一，但以運(yùn)算最簡(jiǎn)便為宜。常用的有理化因式有：EQ\r(,a)與EQ\r(,a)；EQ\r(,a+b)與EQ\r(,a+b)；EQ\r(,a-b)與EQ\r(,a-b)；EQ\r(,a)+EQ\r(,b)與；aEQ\r(,b)+cEQ\r(,d)與等。能力拓展能力拓展考法01二次根式乘除法法則成立的條件【典例1】等式＝成立的條件是()A．x＞0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．x≥0且x≠1【即學(xué)即練】等式成立的條件是_____．【即學(xué)即練】如果代數(shù)式，那么m的取值范圍是_____________【典例2】下列計(jì)算正確的是()A． B．C． D．【即學(xué)即練】下列結(jié)論中，對(duì)于實(shí)數(shù)、，成立的個(gè)數(shù)有()①；

②；

③；

④．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)考法02最簡(jiǎn)二次根式【典例3】下列式子中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是()A． B． C． D．【即學(xué)即練】下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是A． B． C． D．【即學(xué)即練】下列各式屬于最簡(jiǎn)二次根式的有()A． B． C． D．【即學(xué)即練】根式中，最簡(jiǎn)二次根式有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【典例4】若最簡(jiǎn)二次根式與的被開(kāi)方數(shù)相同,則a的值為()A．- B． C．1 D．-1【典例5】若，則的值用、可以表示為()A． B． C． D．考法03二次根式的化簡(jiǎn)【典例6】把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：(1)______；(2)______；(3)______；(4)______；(5)______；(6)______；(7)______；(8)______．【即學(xué)即練】把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：=__；=__；=__．【即學(xué)即練】化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果為()A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a【即學(xué)即練】若a、b、c均為實(shí)數(shù),且a、b、c均不為0化簡(jiǎn)___________【即學(xué)即練】已知實(shí)數(shù)，則a的倒數(shù)為_(kāi)_______．【典例7】已知：是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)為()A．2 B．3 C．4 D．5【即學(xué)即練】已知n是一個(gè)正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是_______．【即學(xué)即練】已知是正整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是_______________________．考法03二次根式的乘法混合運(yùn)算【典例8】計(jì)算的結(jié)果正確的是()．A．1 B． C．5 D．9【即學(xué)即練】計(jì)算2×÷3的結(jié)果是()A． B． C． D．【即學(xué)即練】計(jì)算：÷【即學(xué)即練】計(jì)算所得的結(jié)果是______________．【典例9】計(jì)算：(－)2(5＋2)＝____．【即學(xué)即練】計(jì)算：=__________【典例9】計(jì)算:【即學(xué)即練】計(jì)算：【即學(xué)即練】計(jì)算：考法04利用二次根式的性質(zhì)把根號(hào)外的非負(fù)因數(shù)(式)移到根號(hào)內(nèi)【典例10】把根號(hào)外面的因式移到根號(hào)內(nèi)得(

)A． B． C． D．-1【即學(xué)即練】將式子﹣(m﹣n)化為最簡(jiǎn)二次根式_____．【即學(xué)即練】把根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，其結(jié)果是()A． B．﹣ C． D．﹣【即學(xué)即練】已知：a=，b=，則a與b的關(guān)系是()A．相等 B．互為相反數(shù) C．互為倒數(shù) D．平方相等考法05二次根式的大小比較【典例11】二次根式的大小比較：________．【即學(xué)即練】比較二次根式的大?。篲_________(填“<”、“=”、“>”).【即學(xué)即練】比較大小：______3(填“＞”、“＜”或“＝”)．【即學(xué)即練】估算比較大小：_______；______．【即學(xué)即練】若[]表示實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如：[]=3，則[]=___．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．下列計(jì)算正確的是()A． B．C． D．2．有下列各式①；②；③；④；⑤；⑥．其中最簡(jiǎn)二次根式有()A．1 B．2 C．3 D．43．下列各式計(jì)算正確的是()A． B． C． D．4．已知是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)為().A．2 B．3 C．4 D．55．計(jì)算，結(jié)果為()A． B． C． D．6．計(jì)算的結(jié)果是()A． B． C． D．7．如果，則x()A． B． C． D．x取任意數(shù)8．·等于()A．a(chǎn) B．12a2b C．a(chǎn)2 D．2a題組B能力提升練1．在二次根式，，，中，是最簡(jiǎn)二次根式的是_____．2．計(jì)算下列各式，使得結(jié)果的分母中不含有二次根式：(1)_______(2)_________(3)__________(4)__________3．計(jì)算：____．4．計(jì)算：__________．5．計(jì)算：3÷×＝___________6．計(jì)算：______．7．計(jì)算的結(jié)果是______________．8．若，則代數(shù)式_______________________．9．化簡(jiǎn)：＝___．題組C培優(yōu)拔尖練1．計(jì)算：2．(1)(2)3．計(jì)算(1)．(2)．(3)．(4)．4．計(jì)算:(1);(2);(3)5．計(jì)算：(1)(2)(3)(4)(5)．第02課二次根式的乘除目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)掌握二次根式的乘除法則和化簡(jiǎn)二次根式的常用方法，熟練進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算.了解最簡(jiǎn)二次根式的概念，能運(yùn)用二次根式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01二次根式的乘法法則(1)計(jì)算法則：()即：二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變；(2)進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算時(shí)，一定不能忽略其被開(kāi)方數(shù)a，b均為非負(fù)數(shù)這一條件。(3)推廣=1\*GB3①(a≥0，b≥0，c≥0)；=2\*GB3②；=3\*GB3③乘法交換律和結(jié)合律在二次根式的乘法中任然可應(yīng)用。(3)若二次根式相乘的結(jié)果能寫(xiě)成的形式，則應(yīng)化簡(jiǎn)，如.知識(shí)點(diǎn)02二次根式乘法法則的逆用(1)計(jì)算法則：(a≥0，b≥0)即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積；利用這個(gè)性質(zhì)可以把二次根式化簡(jiǎn)，在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算時(shí)，先將被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行因式分解或因數(shù)分解，然后再將能開(kāi)得盡方的因式或因數(shù)開(kāi)方后移到根號(hào)外。注：(1)公式中的a，b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須滿足a≥0，b≥0，實(shí)際上，公式中的a，b是限制公式右邊的，對(duì)公式的左邊，只要ab≥0即可，如EQ\r(,（-4）×（-9）)≠EQ\r(,-4)．EQ\r(,-9)。(2)在本章中如果沒(méi)有特別說(shuō)明，所有的字母都表示正數(shù)。推廣：EQ\r(,abcd)=EQ\r(,a)．EQ\r(,b)．EQ\r(,c)．EQ\r(,d)(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0)知識(shí)點(diǎn)03二次根式的除法法則計(jì)算公式：(a≥0，b＞0)即：二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變。注：(1)a必須是非負(fù)數(shù)，b必須是正數(shù)，式子才成立。若a，b都是負(fù)數(shù)，雖然eq\f(a,b)＞0，EQ\r(,eq\f(a,b))有意義，但EQ\r(,a)，EQ\r(,b)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)意義；若b=0，則eq\f(a,b)無(wú)意義。(2)如果被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將其化成假分?jǐn)?shù)，如EQ\r(,4eq\f(1,4))必須先化成EQ\r(,eq\f(17,4))，以免出現(xiàn)EQ\r(,4eq\f(1,4))=EQ\r(,4)×EQ\r(,eq\f(1,4))這樣的錯(cuò)誤。(3)在二次根式的計(jì)算中，最后結(jié)果應(yīng)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，同時(shí)分母中不含二次根式。知識(shí)點(diǎn)04二次根式除法法則的逆用(1)(a≥0，b＞0)即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根。注：公式中的a，b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須滿足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右邊的，對(duì)公式的左邊，只要eq\f(a,b)≥0即可。例如計(jì)算，不能寫(xiě)為，而應(yīng)寫(xiě)為。利用這個(gè)公式，同樣可以達(dá)到化簡(jiǎn)二次根式的目的，在化簡(jiǎn)被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)(或分式)的二次根式時(shí)，先將其化為eq\f(EQ\r(,a),EQ\r(,b))(a≥0，b＞0)的形式，然后利用分式的基本性質(zhì)，分子和分母同乘上一個(gè)適當(dāng)?shù)囊蚴?，化去分母中的根?hào)即可。當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)先把它化成假分?jǐn)?shù)。常見(jiàn)的二次根式化簡(jiǎn)：①；②③知識(shí)點(diǎn)05最簡(jiǎn)二次根式的概念概念：滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式。(1)被開(kāi)方數(shù)不含分母；(2)被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式。注意，對(duì)于最簡(jiǎn)二次根式的概念我們可作如下解釋：(1)被開(kāi)方數(shù)中不含分母，因此被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式；(2)被開(kāi)方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)或因式的指數(shù)都是1?；?jiǎn)二次根式的一般方法方法舉例將被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式進(jìn)行開(kāi)方EQ\r(,8)=EQ\r(,4×2)=2EQ\r(,2)，EQ\r(,x3y4)=EQ\r(,x2y4．x)=xy2eq\r(,x)化去根號(hào)下的分母若被開(kāi)方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)EQ\r(,1eq\f(1,3))=EQ\r(,eq\f(4,3))=EQ\r(,eq\f(4×3,3×3))=eq\f(2,3)EQ\r(,3)或EQ\r(,1eq\f(1,3))=EQ\r(,eq\f(4,3))=eq\f(EQ\r(,4),EQ\r(,3))=eq\f(EQ\r(,4)×EQ\r(,3),EQ\r(,3)×EQ\r(,3))=eq\f(2,3)EQ\r(,3)若被開(kāi)方數(shù)中含有小數(shù)，應(yīng)先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)EQ\r(,0.9)=EQ\r(,eq\f(9,10))=EQ\r(,eq\f(90,100))=eq\f(3,10)EQ\r(,10)或EQ\r(,0.9)=EQ\r(,eq\f(9,10))=eq\f(EQ\r(,9),EQ\r(,10))=eq\f(EQ\r(,9)×EQ\r(,10),EQ\r(,10)×EQ\r(,10))=eq\f(3,10)EQ\r(,10)被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式的要先進(jìn)行因式分解EQ\r(,X5+2x3y2+xy4)=EQ\r(,x（x4+2x2y2+y4）)=EQ\r(,x（x2+y2）2)=(x2+y2)EQ\r(,x)拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根號(hào)的方法來(lái)進(jìn)行，這種化去分母中根號(hào)的變形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的有理化因式(兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式)，化去分母中的根號(hào)。分母有理化因式不唯一，但以運(yùn)算最簡(jiǎn)便為宜。常用的有理化因式有：EQ\r(,a)與EQ\r(,a)；EQ\r(,a+b)與EQ\r(,a+b)；EQ\r(,a-b)與EQ\r(,a-b)；EQ\r(,a)+EQ\r(,b)與EQ\r(,a)-EQ\r(,b)；aEQ\r(,b)+cEQ\r(,d)與aEQ\r(,b)-cEQ\r(,d)等。能力拓展能力拓展考法01二次根式乘除法法則成立的條件【典例1】等式＝成立的條件是()A．x＞0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．x≥0且x≠1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，而且分母不能為0，可得x≥0，1-x＞0，解不等式組即可．【詳解】解：由題意得，,解得：0≤x＜1．

故答案為：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的乘除法運(yùn)算和二次根式有意義的條件．二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分母不為0，是本題確定取值范圍的主要依據(jù)．【即學(xué)即練】等式成立的條件是_____．【答案】﹣1≤a＜3【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根列出不等式組，求出解集即可．【詳解】依題意，得：，解得：﹣1≤a＜3【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的乘除法，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則【即學(xué)即練】如果代數(shù)式，那么m的取值范圍是_____________【答案】m＞4.【分析】根據(jù)二次根式除法法則和分式有意義的條件，列出不等式組即可解答.【詳解】∵成立，∴2m-1≥0，m-4＞0，解得：m＞4，故答案為：m＞4.【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的乘除法，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.【典例2】下列計(jì)算正確的是()A． B．C． D．【答案】D【解析】A選項(xiàng)：，計(jì)算錯(cuò)誤，故與題意不符；B選項(xiàng)：，計(jì)算步驟有誤，故與題意不符;C選項(xiàng)：，計(jì)算錯(cuò)誤，故與題意不符；D選項(xiàng)：＝=5，計(jì)算正確，故與題意相符.故選D.【即學(xué)即練】下列結(jié)論中，對(duì)于實(shí)數(shù)、，成立的個(gè)數(shù)有()①；

②；

③；

④．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件結(jié)合二次根式的乘除法及二次根式的性質(zhì)逐一分析四條結(jié)論的正誤，由此即可得出結(jié)論．【詳解】①當(dāng)a、b均為負(fù)時(shí)，、無(wú)意義，∴①不成立；②∵在中，a＞0，b≥0，∴≥0，∴＝，②成立；③∵＝|a|，∴③不成立；④∵＝|a2|＝a2，∴④成立．綜上可知：成立的結(jié)論有②④．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件、二次根式的乘除法以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的乘除法及二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考法02最簡(jiǎn)二次根式【典例3】下列式子中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是()A． B． C． D．【答案】B【詳解】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件(1)被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；(2)被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是.∵，∴屬于最簡(jiǎn)二次根式.故選B.【即學(xué)即練】下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解．【詳解】A、不是最簡(jiǎn)二次根式，錯(cuò)誤；B、是最簡(jiǎn)二次根式，正確；C、不是最簡(jiǎn)二次根式，錯(cuò)誤；D、不是最簡(jiǎn)二次根式，錯(cuò)誤，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．【即學(xué)即練】下列各式屬于最簡(jiǎn)二次根式的有()A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義判斷即可．【詳解】A選項(xiàng)：，故不是最簡(jiǎn)二次根式，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：是最簡(jiǎn)二次根式，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，故不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，故不是最簡(jiǎn)二次根式，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選B．【點(diǎn)睛】考查了對(duì)最簡(jiǎn)二次根式的定義的理解，能理解最簡(jiǎn)二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】根式中，最簡(jiǎn)二次根式有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義判斷即可．【詳解】解：這些當(dāng)中不是最簡(jiǎn)二次根式是三次根式，故本題是最簡(jiǎn)二次根式的是因此本題有2個(gè)，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，理解好定義解題的關(guān)鍵．【典例4】若最簡(jiǎn)二次根式與的被開(kāi)方數(shù)相同,則a的值為()A．- B． C．1 D．-1【答案】C【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義可知=，解出a即可.【詳解】依題意=，解得a=1，選C.【點(diǎn)睛】此題主要考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是找到被開(kāi)方數(shù)相等.【典例5】若，則的值用、可以表示為()A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)化簡(jiǎn)即可．【詳解】=．故選C．【點(diǎn)睛】此題的關(guān)鍵是把寫(xiě)成的形式．考法03二次根式的化簡(jiǎn)【典例6】把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：(1)______；(2)______；(3)______；(4)______；(5)______；(6)______；(7)______；(8)______．【答案】【解析】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．故答案為(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8)..【即學(xué)即練】把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：=__；=__；=__．【答案】．【解析】==；===；===．故答案為；；．【即學(xué)即練】化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果為()A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a【答案】A【分析】利用根式化簡(jiǎn)即可解答.【詳解】解：∵﹣8a3≥0，∴a≤0∴＝2|a|＝﹣2a故選A．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟悉掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.【即學(xué)即練】若a、b、c均為實(shí)數(shù),且a、b、c均不為0化簡(jiǎn)___________【答案】【詳解】根據(jù)題意，由二次根式的性質(zhì)，可知a的值與計(jì)算沒(méi)影響，c≥0，b≠0，因此可分為：當(dāng)b＞0時(shí)，=；當(dāng)b＜0時(shí)，=.故答案為.【即學(xué)即練】已知實(shí)數(shù)，則a的倒數(shù)為_(kāi)_______．【答案】【分析】直接利用倒數(shù)的定義結(jié)合二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．【詳解】解：∵實(shí)數(shù)，∴a的倒數(shù)為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【典例7】已知：是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)為()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【詳解】試題解析：∵=，且是整數(shù)，∴2是整數(shù)，即5n是完全平方數(shù)，∴n的最小正整數(shù)為5．故選D．點(diǎn)睛：主要考查了乘除法法則和二次根式有意義的條件．二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．二次根式的運(yùn)算法則：乘法法則．除法法則．解題關(guān)鍵是分解成一個(gè)完全平方數(shù)和一個(gè)代數(shù)式的積的形式．【即學(xué)即練】已知n是一個(gè)正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是_______．【答案】15【分析】把135分解因數(shù)即可確定．【詳解】∵135=32×3×5=32×15，

∴n的最小值是15．

故答案是：15．【點(diǎn)睛】此題考查乘除法法則和二次根式有意義的條件．解題關(guān)鍵是分解成一個(gè)完全平方數(shù)和一個(gè)代數(shù)式的積的形式．【即學(xué)即練】已知是正整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是_______________________．【答案】2【分析】由題意可得：18n是一個(gè)完全平方數(shù)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：，∵n是正整數(shù)，也是正整數(shù)，∴n的最小整數(shù)值是2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的定義和二次根式的化簡(jiǎn)，屬于?？碱}型，熟練掌握二次根式的基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．考法03二次根式的乘法混合運(yùn)算【典例8】計(jì)算的結(jié)果正確的是()．A．1 B． C．5 D．9【答案】A【分析】利用二次根式的乘除法則計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】計(jì)算2×÷3的結(jié)果是()A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則，按照運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】2=(23)．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算順序準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】計(jì)算：÷【答案】【分析】先進(jìn)行分母有理化，再根據(jù)二次根式的乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：原式==故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式分母有理化，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式．【即學(xué)即練】計(jì)算所得的結(jié)果是______________．【答案】1【分析】由于二次根式的乘除運(yùn)算是同級(jí)運(yùn)算，從左到右依次計(jì)算即可．【詳解】原式1．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法運(yùn)算；由于后兩項(xiàng)互為倒數(shù)，有些同學(xué)往往先將它們約分，從而得出結(jié)果為5的錯(cuò)誤結(jié)論，需注意的是同級(jí)運(yùn)算要從左到右依次計(jì)算．【典例9】計(jì)算：(－)2(5＋2)＝____．【答案】1【分析】先根據(jù)完全平方公式和乘法公式展開(kāi)計(jì)算可得:,再根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解.【詳解】(－)2(5＋2),=,=25-24,=1,故答案為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的乘法,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握完全平方公式和平方差公式.【即學(xué)即練】計(jì)算：=__________【答案】【分析】首先根據(jù)乘方的意義和積的乘方化簡(jiǎn)，再進(jìn)一步計(jì)算得出答案即可．【詳解】原式=(2+3)=(2+3)=?(2+3)=故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算．【典例9】計(jì)算:【答案】【分析】根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】解：原式=====.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的乘除計(jì)算，掌握二次根式乘除運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.【即學(xué)即練】計(jì)算：【答案】【分析】利用二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】解：原式【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的乘除運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.【即學(xué)即練】計(jì)算：【答案】【分析】先化簡(jiǎn)，再根據(jù)二次根式乘除法法則計(jì)算即可得答案.【詳解】=4a÷a·=4·=【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.考法04利用二次根式的性質(zhì)把根號(hào)外的非負(fù)因數(shù)(式)移到根號(hào)內(nèi)【典例10】把根號(hào)外面的因式移到根號(hào)內(nèi)得(

)A． B． C． D．-1【答案】A【解析】【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)得出a的符號(hào)進(jìn)而化簡(jiǎn)求出答案．【詳解】由題意可知a＜0，∴=-=-．故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練】將式子﹣(m﹣n)化為最簡(jiǎn)二次根式_____．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】由題意可知：m﹣n＜0，∴n﹣m＞0，∴原式＝﹣(m﹣n)?．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．【即學(xué)即練】把根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，其結(jié)果是()A． B．﹣ C． D．﹣【答案】B【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件求出a-10,再根據(jù)二次根式的性質(zhì)把根號(hào)外的因式平方后移入根號(hào)內(nèi),注意:當(dāng)時(shí),,時(shí),,即可得出答案.【詳解】解：∵根式有意義,∴,解得：,∴a-10,∴=﹣,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)的應(yīng)用,難度較大,熟悉根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.【即學(xué)即練】已知：a=，b=，則a與b的關(guān)系是()A．相等 B．互為相反數(shù) C．互為倒數(shù) D．平方相等【答案】C【詳解】因?yàn)?故選C.考法05二次根式的大小比較【典例11】二次根式的大小比較：________．【答案】【分析】由題意利用作差法進(jìn)行分析計(jì)算后與0比較大小，進(jìn)而即可得出答案．【詳解】解：，又，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的大小比較，注意掌握常見(jiàn)的利用作差法進(jìn)行大小比較，當(dāng)則，當(dāng)則．【即學(xué)即練】比較二次根式的大小：__________(填“<”、“=”、“>”).【答案】<【分析】把根號(hào)外的因式平方后移入根號(hào)內(nèi)，根據(jù)此時(shí)被開(kāi)方數(shù)的大小比較即可【詳解】解：∵；又∵∴∴<【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較和二次根式的性質(zhì),解答關(guān)鍵是通過(guò)二次根式性質(zhì)，將比較二次根式大小轉(zhuǎn)化為比較被開(kāi)方數(shù)的大小.【即學(xué)即練】比較大?。篲_____3(填“＞”、“＜”或“＝”)．【答案】＜【分析】由得，再利用不等式的基本性質(zhì)可得，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：＜．【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，掌握實(shí)數(shù)的大小比較的方法是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】估算比較大?。篲______；______．【答案】><【分析】①二次根式比較大小，可比較其平方的大??；②二者作差與作比較，可比較二者的大?。驹斀狻拷猓孩伲?，故答案為：．②，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考察了根式的大小比較．解題的關(guān)鍵在于識(shí)別根式適用的方法．常用的方法有：平方法、作差法、作商法、分子有理化、分母有理化等．【即學(xué)即練】若[]表示實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如：[]=3，則[]=___．【答案】4【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)理數(shù)的估算，掌握無(wú)理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．下列計(jì)算正確的是()A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)與運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解．【詳解】解：A.，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；B.被開(kāi)方數(shù)要為非負(fù)數(shù)，故故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；C.，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；D.，故原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與除法運(yùn)算，熟知二次根式的性質(zhì)與運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2．有下列各式①；②；③；④；⑤；⑥．其中最簡(jiǎn)二次根式有()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，把滿足這兩個(gè)條件的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式；按照最簡(jiǎn)二次根式的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】①、⑤符合最簡(jiǎn)二次根式的定義，故符合題意；②、③；④、⑥中的被開(kāi)方數(shù)含分母或被開(kāi)方數(shù)含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，不是最簡(jiǎn)二次根式．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的識(shí)別，理解最簡(jiǎn)二次根式的概念是本題的關(guān)鍵．3．下列各式計(jì)算正確的是()A． B． C． D．【答案】B【分析】分別根據(jù)二次根式的乘法法則可判斷A，二次根式的除法法則可判斷B，二次根式的乘方的運(yùn)算法則可判斷C、D即可．【詳解】解：A、，故選項(xiàng)A計(jì)算錯(cuò)誤；B、，故選項(xiàng)B計(jì)算正確；C、，故選項(xiàng)C計(jì)算錯(cuò)誤；D、，故選項(xiàng)D計(jì)算錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的乘除與乘方，熟知二次根式的乘除法法則，以及乘方運(yùn)算方法是解答此題的關(guān)鍵．4．已知是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)為().A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】是整數(shù)，則27n一定是一個(gè)完全平方數(shù)，把27分解因數(shù)即可確定．【詳解】是整數(shù)，則一定是一個(gè)完全平方數(shù)，把27分解因數(shù)即可確定．∵，∴的最小值是3．故選B．【點(diǎn)睛】主要考查了乘除法法則和二次根式有意義的條件．二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．二次根式的運(yùn)算法則：乘法法則．除法法則．解題關(guān)鍵是分解成一個(gè)完全平方數(shù)和一個(gè)代數(shù)式的積的形式．5．計(jì)算，結(jié)果為()A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二次根式的乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】原式=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的乘除運(yùn)算，熟練掌握二次根式的乘除運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．6．計(jì)算的結(jié)果是()A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則，按照運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次根式的運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算順序準(zhǔn)確求解是解題的關(guān)鍵．7．如果，則x()A． B． C． D．x取任意數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義：被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，即可得出x的取值范圍.【詳解】由題意可得：，解得：x≥3，故選B.【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的乘除法，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.8．·等于()A．a(chǎn) B．12a2b C．a(chǎn)2 D．2a【答案】D【解析】【分析】原式利用二次根式乘法法則計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】原式==2a，

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式乘法法則是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．在二次根式，，，中，是最簡(jiǎn)二次根式的是_____．【答案】,【分析】利用最簡(jiǎn)二次根式定義判斷即可．【詳解】最簡(jiǎn)二次根式的是,，【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是最簡(jiǎn)二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握最簡(jiǎn)二次根式.2．計(jì)算下列各式，使得結(jié)果的分母中不含有二次根式：(1)_______(2)_________(3)__________(4)__________【答案】【解析】(1)(2)(3)；(4)故答案為(1).(2).(3).(4)..3．計(jì)算：____．【答案】【分析】利用二次根式的乘除法法則化簡(jiǎn)后，化簡(jiǎn)二次根式即可．【詳解】解：原式=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的乘除法．熟練掌握二次根式的乘除法運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4．計(jì)算：__________．【答案】2a【分析】根據(jù)二次根式的除法法則計(jì)算，再將計(jì)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式即可解題．【詳解】故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的除法、最簡(jiǎn)二次根式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，