函數(shù)的基本性質(zhì) 單元測(cè)試B-《2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修第一冊(cè)同步單元測(cè)試AB卷》（解析版）

《2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修第一冊(cè)同步單元測(cè)試AB卷(新高考)》

第三章專題16函數(shù)的基本性質(zhì)(B)

命題范圍：

第一章，第二章，函數(shù)的概念及其表示方法，函數(shù)的基本性質(zhì).

高考真題：

1.(2021?北京?高考真題)已知AM是定義在上［0,1］的函數(shù)，那么“函數(shù)/⑺在［0,1］上單調(diào)遞增”是“函數(shù)/(x)

在［0,1］上的最大值為了⑴”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】若函數(shù)/⑺在［0』上單調(diào)遞增,則在［0』上的最大值為"1),

若"%)在［0』上的最大值為〃1),

但=-：在0,1為減函數(shù)，在1,1為增函數(shù)，

故"X)在［0,1］上的最大值為/(1)推不出在［0,1］上單調(diào)遞增，

故“函數(shù)""在［0』上單調(diào)遞增”是“〃x)在［0』上的最大值為〃1)”的充分不必要條件,

故選：A.

1—V

2.(2021.全國(guó).高考真題(理))設(shè)函數(shù)/(乃二^一,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

1+x

A./(x-l)-lB./(x-l)+lC./(x+l)-lD./(x+l)+l

【答案】B

【分析】分別求出選項(xiàng)的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.

1-V2

【詳解】由題意可得/(%)=1=-!+；—，

1+x1+X

2

對(duì)于A,〃尤一1)-1=l一2不是奇函數(shù)；

2

對(duì)于B,〃x-l)+l=、是奇函數(shù)；

對(duì)于C,/(x+l)-l=---2,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù);

x+2

7

對(duì)于D,/(x+l)+l=-^,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù).

故選：B

3.(2021.全國(guó).高考真題(理))設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,〃x+l)為奇函數(shù)，〃x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)x?l,2]

9

時(shí)，f(x)=ax2+b.若〃0)+〃3)=6,貝廳

937

A.B.C.D.

4242

【答案】D

【分析】通過(guò)〃%+1)是奇函數(shù)和〃x+2)是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式"%)=-2無(wú)2+2,進(jìn)而利

用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案.

【詳解】因?yàn)?(1+1)是奇函數(shù)，所以/(—x+l)=—/(x+1)①；

因?yàn)椤▁+2)是偶函數(shù)，所以/(x+2)=/(—x+2)②.

令％=1,由①得：〃0)=—〃2)=—(4a+b),由②得：/⑶=〃1)=。+0

因?yàn)椤?)+〃3)=6,所以-(4a+b)+a+b=6na=-2,

令x=0,由①得：/(1)=-/(1)^/(1)=0^^=2,所以/(X)=_2/+2.

思路一：從定義入手.

思路二：從周期性入手

由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)/'(x)的周期T=4.

935

所以/

故選：D.

牛刀小試

第I卷選擇題部分(共60分)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.(2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試)下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()

A.y=-|x|(xeR)B.y=-x3-x(xeR)

C.>>=-x2(xeR)D.y=」(xeR且x*0)

【答案】B

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判斷即可.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，/(-x)=-|-x|=-|x|=/(%),為偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，/(-x)=-(-x)3-(-x)=x3+%=-/(%),為奇函數(shù)，

且函數(shù)》=一X3、y=-x均為減函數(shù)，故、=一丁一道了仁陽(yáng)為減函數(shù)，故正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，y=-/(xeR)為偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，y=-工(xeR且無(wú)NO)為奇函數(shù)，在定義域上沒(méi)有單調(diào)性，故錯(cuò)誤.

故選：B

2.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知F(x)=(x3-2x)f(x)，且是定義在R上的奇函數(shù)，/⑴20,則F(x)

()

A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，判斷網(wǎng)T)與尸⑺的關(guān)系即可求解.

【詳解】由已知網(wǎng)無(wú))的定義域?yàn)镽,

因?yàn)?'(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(-元)=-/(元)，

所以F(-x)=(-%3+2x)f(~x)=(x3-2x)/(%)=F(%),

所以網(wǎng)X)為偶函數(shù)，

又尸(—1)=(—1+2)/(-1)=，(1),F(l)=(l-2)/(l)=-/(l),又〃1)*0,

所以尸(-1)?尸⑴，所以尸(x)不為奇函數(shù),

故選：B.

3.(2022.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))若函數(shù)〃力=依+1在區(qū)間口，2］上的最大值與最小值的差為2,則實(shí)數(shù)。的值

為()

A.2B.2或一2C.3D.3或-3

【答案】B

【分析】注意討論。=0的情況，然后利用一次函數(shù)的單調(diào)性分類討論可求得.

【詳解】依題意，當(dāng)。=0時(shí)，/(%)=1,不符合題意；

當(dāng)。>0時(shí)，/(x)=ox+l在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，所以/(2)_〃l)=2a+l_(a+l)=2,得q=2；

當(dāng)。<0時(shí)，/(*)=南+1在區(qū)間口,2］上單調(diào)遞減,所以〃1)-/(2)=a+l—(2a+l)=2,得a=-2.

綜上，。的值為±2

故選:B.

4.(2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試)定義在R上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的和當(dāng)科。,心)(西工馬)，有

則/(—2)、/(2.7)、〃一3)的大小關(guān)系為()

*2—*1

A./(2.7)</(-3)</(-2)B./(-2)</(2.7)</(-3)

C./(-3)</(-2)</(2.7)D./(-3)</(2.7)</(-2)

【答案】D

【分析】由已知條件得出單調(diào)性，再由偶函數(shù)把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，由單調(diào)性得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的士,々40,y)(玉/動(dòng)，有"馬)一"百)<0,

x2-x,

所以當(dāng)藥<工2時(shí)，/(尤1)>/(尤2)，

所以/(X)在［0,+8)上是減函數(shù)，

又廣⑺是偶函數(shù)，所以/(-3)=/(3),/(-2)=/(2),

因?yàn)?<2.7<3,所以/(2)>/(2.7)>/(3),

即〃一2）>/（2.7）>〃一3）.

故選：D.

tx^+%+2x<t

5.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)〃x）='~且/（X）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)f

X+1,X>t

的取值范圍為（）

A.y,-1]B.（1,5）C.（-1,2）D.（-1,內(nèi)）

【答案】A

【分析】先判斷f（x）的單調(diào)性，然后對(duì)/進(jìn)行分類討論，由此求得/的取值范圍.

【詳解】由于函數(shù)y=x+i在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù).

/、fx+2,x<0

當(dāng)f=0時(shí)，函數(shù)/無(wú)=,c在定義域上不單調(diào)，不符合題意；

''[x+l,x>0

當(dāng)，*0時(shí)，函數(shù)丁=比2+工+2圖象的對(duì)稱軸為尤=一5,

當(dāng)方>0時(shí)，函數(shù)y="+x+2在區(qū)間[8,-上單調(diào)遞減，不符合題意，

當(dāng)，vO時(shí)，函數(shù)y=扇+x+2在區(qū)間上單調(diào)遞增，

?++/+2

要使函數(shù)/（X）在定義域上單調(diào)遞增，則需1,解得rw-l.

--之t

I2t

故實(shí)數(shù)t的取值范圍為（f,T].

故選：A

6.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知偶函數(shù)"%）在[0,+8）上單調(diào)遞增，且〃-3）=0,貝。獷（彳-2）>0的解

集是（）

A.{x|-3<x<3}B.{x|-l<x<0或T>5}

C.{x[0<x<5}D.{尤[x<-5或無(wú)>1}

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推得其函數(shù)值的正負(fù)情況，由4（彳-2）>?？傻玫较鄳?yīng)的不等式組，即可求得答案.

【詳解】因?yàn)椤κ桥己瘮?shù)且在。+◎上單調(diào)遞增，〃-3）=0,故/（3）=0,

所以當(dāng)九<一3或x>3時(shí)，/(x)>0,當(dāng)一3v3時(shí)，/(A:)<0.

/、(工>0fx<0

所以4(X―2)>0等價(jià)于。2十02或2。2，

[x—2〉3^((x—2<—3[—3<%—2<3

解得x>5或T<x<0,所以不等式的解集為{x|T<尤<0或x>5},

故選：B.

7.(2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試)設(shè)〃x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(-陶。)上單調(diào)遞增，若m>0,〃<0,

且〃租)</(〃)，那么一定有()

A.m+n<0B.m+n>0C./(-?)D./(-;?)-/(-M)<0

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可推得了(-根)</(〃)即一加<〃，可判斷A,B；利用函數(shù)的奇偶性結(jié)合單調(diào)性可推

得〃-;力判斷c；由于由題意無(wú)法確定，(加),〃”)的正負(fù)，可判斷D.

【詳解】因?yàn)閙>0,所以

由函數(shù)”X)為偶函數(shù)，得了(力2)=〃T")，

故不等式/(rn)</(?)可化為/(-m)<f(n).

又函數(shù)在(一8,0)上單調(diào)遞增，一根<0,?<0,所以一用<",即m+〃>0,

故A錯(cuò)誤,B正確；

由于〃根)</(〃)，函數(shù)〃x)為偶函數(shù)，且在(-應(yīng)。)上單調(diào)遞增，

故了(—m)<"—〃)，故C錯(cuò)誤；

由題意無(wú)法確定了(，"),〃”)的正負(fù)，即的正負(fù)情況不定，故D錯(cuò)誤，

故選：B.

另解：由題意，設(shè)〃x)=f2,m=2,n=-l,且〃2)<〃T),

此時(shí)〃z+〃=2-l=l>0,故排除A；

/(-m)=/(-2)=-4,f(-?)=/(l)=-l,此時(shí)/(—/</(—九),/(-?/)-/(-?)>0,故排除C,D,

故選：B.

8.(2022.全國(guó)?高一單元測(cè)試)己知定義在R上的奇函數(shù)滿足/'(x-4)=-/⑺，且在區(qū)間[0,2]上是增

函數(shù)，貝I」()

A./(16)</(-17)</(18)B./(18)</(16)</(-17)

C./(16)<f(18)</(-17)D./(-17)</(16)</(18)

【答案】D

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)/(X)是周期函數(shù)，且周期為8,以及函數(shù)/(X)在區(qū)間［-2,2］上為增函數(shù)，利用函數(shù)的

周期性和單調(diào)性可得出“16)、/(-17)、/'(18)的大小關(guān)系.

【詳解】由題意可知〃x+8)=-/(x+4)=/(x),故函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為8,

則〃16)"(0),/(-17)=/(-1),/(18)=/(2),

因?yàn)槠婧瘮?shù)/(x)在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間［-2,0］上也為增函數(shù)，

故函數(shù)/(無(wú))在區(qū)間［-2,2］上為增函數(shù)，所以〃—1)<"0)<"2),即/(-17)</(16)</(18).

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.(2022.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/⑺,g(x)均為定義在R上的奇函數(shù),且g(x)#0,則

()

A./(x)+g(x)是奇函數(shù)B.-g(x)是奇函數(shù)

C.〃x)g(x)是偶函數(shù)D.〃元)|g(x)|是偶函數(shù)

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題意，函數(shù)“X),g(x)均為定義在R上的奇函數(shù)，利用奇偶函數(shù)的定義，可以依次判斷ABC

正確，可以證明D是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x),g(x)均為定義在R上的奇函數(shù)，所以=g(-x)=-g(x),

對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)產(chǎn)(x)=/(%)+g(x),則戶(—x)=〃-x)+g(-x)=—/(%)—g(x)=:F(x),所以〃x)+g(x)

為奇函數(shù)，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)b(x)=〃x)-g(x),貝()戶(一*)=/(-%)一8(-%)=-〃%)+8(%)=-尸(%),所以—

為奇函數(shù)，故B正確;

對(duì)于c選項(xiàng)，設(shè)/(x)=/(x)g(x),貝

所以/(x)g⑺為偶函數(shù),故C正確;

對(duì)于D選項(xiàng),設(shè)尸(x)=/(x)|g(x)|,則R(-x)="-x)|g(-刈=-/(無(wú))卜g(尤)卜-尸(x),所以y(x)|g(x)|是

奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/(無(wú))=J-f+2x+3,下列結(jié)論正確的是()

A.定義域、值域分別是-1,3],[0,+8)B.單調(diào)減區(qū)間是[1,3]

C.定義域、值域分別是[-1,3],[0,2]D.單調(diào)減區(qū)間是(-85

【答案】BC

【分析】首先根據(jù)題意得到-尤2+2彳+320,從而得到函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇T，3],結(jié)合二次函數(shù)

>=-2+2》+3的性質(zhì)得到函數(shù)/(x)e[0,2]和單調(diào)減區(qū)間是[1,3],再依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】要使函數(shù)〃%)=/-4+2尤+3有意義,貝U有——+2工+320,解得-1VXW3,

所以函數(shù)〃“=」-犬+2尤+3的定義域?yàn)椴?,3].

因?yàn)閥=—X2+2尤+3=—(x—1)~+4,xe[—1,3],

0

x=i時(shí)，ymax=4,》=一1或x=3時(shí)，y?un=>

所以〃力科0,2].

因?yàn)閽佄锞€y=-/+2尤+3的對(duì)稱軸為直線x=l,開(kāi)口向下，xe[-l,3],

所以〃x)的單調(diào)減區(qū)間是[1,3].

故選：BC.

11.(2022.全國(guó)?高一專題練習(xí))下列說(shuō)法不正確的是()

A.函數(shù)〃x)=，在定義域內(nèi)是減函數(shù)

B.若g(x)是奇函數(shù)，則一定有g(shù)(0)=。

C.已知x>0,J>0,且,+'=1,若x+y>"/+3〃7恒成立，則實(shí)數(shù)根的取值范圍是(-4,1)

_f_cix_5（尤4］）

D.已知函數(shù)〃x）=q/、在（f,y）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

~（x>1）

、%

【答案】ABD

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷A,根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)判斷B,利用基本不等式求出x+y的最小值，

即可得到關(guān)于m的一元二次不等式，解得即可判斷C,根據(jù)各段函數(shù)單調(diào)遞增及斷點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系

得到不等式組，解得。，即可判斷D.

【詳解】解:函數(shù)=：在（-8,0）和（0,+8）上都是減函數(shù)，但在定義域（-8,0）U（0,母）上不是減函數(shù),

故A不正確；

當(dāng)g（x）是奇函數(shù)時(shí)，g（。）可能無(wú)意義，故B不正確；

由，+，=1,x>0,y>0,得=（尤+y）=2+）+'22+2/二.二=4,

y）xy'xy

當(dāng)且僅當(dāng)％=丁=2時(shí)取等號(hào)，依題意得病+3根<4,解得-4<1,故C正確；

a

—21

2

因?yàn)?（%）是增函數(shù)，所以〃<。，解得-2,故D不正確.

—1—〃—

故選：ABD.

12.（2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試）若定義在R上的奇函數(shù)滿足/（2-x）=〃x）,在區(qū)間（0,1）上，有

（占-%）"（占）一/d）］>0,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.函數(shù)“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,0）成中心對(duì)稱

B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2成軸對(duì)稱

C.在區(qū)間（2,3）上，〃尤）為減函數(shù)

【答案】AC

【分析】根據(jù)對(duì)稱性，周期性的定義可得/（x）關(guān)于x=l成軸對(duì)稱，關(guān)于（2,0）成中心對(duì)稱，以4為周期的周

期函數(shù)，再由題意可得函數(shù)在區(qū)間（。,1）上單調(diào)遞增，即可判斷;

【詳解】解：因?yàn)椤癤）是定義在R上的奇函數(shù)，所以x）=-〃x）,

又〃2—x）=〃x）,即關(guān)于x=l對(duì)稱，故B不正確；

所以/（2—x）=—〃—x）,即〃2+x）=—〃x）,

所以〃4+x）=-〃2+x）=,

所以〃x）是以4為周期的周期函數(shù)，

因?yàn)樵趨^(qū)間（0,1）上，有（乃-々）［/（占）-/（々）］>。，

所以在（0,1）上單調(diào)遞增，

S^j/（4-x）=/［2-（x-2）］=f（x-2）=-f（2-x）=-/（x）,即〃4-x）+/（x）=0,

所以f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,0）成中心對(duì)稱，故A正確；

因?yàn)殛P(guān)于龍=1成軸對(duì)稱，關(guān)于（2,0）成中心對(duì)稱，且在（0,1）上單調(diào)遞增，

所以/■（%）在（2,3）上單調(diào)遞減，故C正確；

因?yàn)镴/出<佃,故D錯(cuò)誤;

故選：AC

第II卷非選擇題部分（共90分）

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2022.全國(guó).高一課時(shí)練習(xí)）己知函數(shù)y=〃x）是定義在R上的奇函數(shù)，在（0,+動(dòng)上的圖象如圖所示,

則使/'⑺<0的x的取值集合為.

【答案】(一3,0)口(3,心)

【分析】由函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，畫(huà)出y=〃x)在(-8,0)上的圖象，由圖象即可求出/'(x)<0的X的取值

集合.

【詳解】解析y=〃x)的圖象如圖所示，由圖易得使〃x)<0的X的取值集合為(-3,0)53,2).

14.(2022.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))己知是定義在［-6,6］上的奇函數(shù)，且/(5)>〃2),則2)與5)

的大小關(guān)系是2)/(-5).(填或“<”)

【答案】>

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)即可求得

【詳解】因?yàn)椤癤）是定義在［F6］上的奇函數(shù)，所以/］）=—〃—5）,/（2）=-/（-2）.

又/（5）>/（2）,所以—/（一5）>—-2）,即/（一2）>〃—5）.

故答案為：>.

15.（2021.江蘇?鹽城市田家炳中學(xué)高一期中）已知奇函數(shù)f（元）在［0,+8）上單調(diào)遞減，^f（2a-l）>/（l）,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】（力,1）

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可；

【詳解】因?yàn)槠婧瘮?shù)“X）在［0,+8）單調(diào)遞減，所以“X）在（-雙。）單調(diào)遞減，且〃0）=0,所以“X）在R

上單調(diào)遞減，貝等價(jià)于2〃一1<1,解得a<l,

故答案為：（-叫1）

<^2?I_2<0

2,,若對(duì)任意xe［-3,+oo）,

{-x2+2x-2a,x>0L7

恒成立，則a的取值范圍是.

【答案】"，2

O_

【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為%>0時(shí)，—d+2%—2a4%恒成立，及一34工?0時(shí)，爐+2%+〃—2?—%恒成立，

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

/、2

【詳解】由題意，函數(shù)/（犬）={Ix2+2xC+tzc—2,x<八0，

［-x2+2x-2a,x>0

當(dāng)x>0時(shí)，/（%）=—/+2x—2a,只需一Y+2%-2a4%恒成立，

即2a>-x2+x恒成立，

因?yàn)?>0時(shí)，y=—的最大值為所以〃之。；

48

當(dāng)一34尤W0時(shí)，/（%）=x2+2x+a-2,只需％2+2x+a-24-尤恒成立，

即。4---3*+2恒成立，

因?yàn)?3V尤W0時(shí)，y=-Y-3x+2的最小值為2,所以。<2.

故。的取值范圍為2.

O

故答案為：：，2.

O_

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+動(dòng)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)。、6都有

〃"）+l=〃a）+〃6）,且當(dāng)x＞l時(shí)，求證：函數(shù)〃尤）是（0,+動(dòng)上的增函數(shù).

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】任取A、々?（0,y），且%＞不，可得出/伍）-/（為）=/（手，1,結(jié)合已知條件可出、"％）

的大小關(guān)系，即可證得結(jié)論成立.

【詳解】證明：任取毛、G（0,+＜?）,且々＞為，

則了伍）一=/-f（xj=f曰+〃%）一〃尤|）-1=/］曰一1.

因?yàn)閄＞1，所以/三］＞1,所以/'伉）一〃占）＞0,即〃X2）＞，a），

所以函數(shù)〃尤）是（0,+8）上的增函數(shù).

18.（2022?湖北黃石.高一期末）已知函數(shù)“X）是定義在R上的增函數(shù)，并且滿足了（x+y）=〃x）+〃y）,

啊"

（1）求/（0）的值；

⑵若〃x）+/（2+x）＜2,求x的取值范圍.

【答案】⑴〃0）=0；

【分析】（1）利用賦值法即得；

（2）利用賦值法得了（|）=2,然后結(jié)合條件轉(zhuǎn)化已知不等式為了（2+2x）＜/（g］,最后根據(jù)單調(diào)性即得.

（1）

因?yàn)?(x+y)=/(x)+/(y),

令尤=y=0,得/(O)=/(O)+/(O),

即"0)=0;

(2)

由題意矢口/（x）+/（2+x）=/（2x+2）,

2

I2,

2

.?.由〃x)+〃2+x)<2,可得”2+2無(wú))〈/

又“可在R上單調(diào)遞增,

22

2x+2<—,即％<—,

33

2

...X的取值范圍是—co,-------

3

19.（2020?廣西?興安縣第二中學(xué)高一期中）二次函數(shù)〃無(wú)）滿足“尤+1）-/（尤）=2尤+3,且〃0）=2

⑴求“X）的解析式;

⑵求“X）在［-3,4］上的最值；

⑶若函數(shù)/（x+根）為偶函數(shù)，求/［〃；叫的值；

（4）求在［m,m+2］上的最小值.

【答案】⑴〃x）=x?+2x+2

⑵〃尤）在［-3,4］上的最小值為/（-1）=1,最大值為/（4）=26

⑶/［/（〃?）］=5

（4）mW-3時(shí)，/（x）^=w2+6//1+10；-3＜切＜一1時(shí)，/（%）^=1；相2-1時(shí)，〃力向”=療+2祖+2

【分析】（1）待定系數(shù)法求解解析式；

（2）配方后得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出最值；

（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性求出加，從而求出打”7叫的值；

（4）結(jié)合對(duì)稱軸，對(duì)加分類討論，求出不同情況下函數(shù)的最小值.

(1)

設(shè)/(力=加+fcr+c(〃。0),

貝ij/(x+1)=?(x+l)2+Z?(x+l)+c,

/(x+l)-/(x)=dx2+2mr+?+Zzx+Z7+c-av2-bx-c=2ax+a+b

又因?yàn)椤▁+l)—〃x)=2x+3,

2a=2

所以

a+b=3

—1

解得:

b=2

又〃0)=c=2

所以“X)的解析式為了(X)=爐+2x+2.

(2)

〃無(wú))=x?+2x+2=(x+l)2+1,

所以當(dāng)x?—3,-1]時(shí),/(x)單調(diào)遞減，在(-1,4]上單調(diào)遞增,

又3)=(-3+1)2+1=5,"4)=52+1=26,/(-1)=1,

因?yàn)?6>5

故〃x)在[-3,4]上的最小值為/(T)=1,最大值為〃4)=26.

(3)

因?yàn)?2x+2=(x+iy+1,

所以/'(X+7")=(*+,?+1)2+1>

因?yàn)榱?尤+加)為偶函數(shù)，

所以/(-x+〃?)=/(尤+〃?)，

BP(-x+m+1)-+l=(x+/7i+l)-+1,解得：m=-l,

/[/(?!)]=/[/(-1)]=/(1)=4+1=5.

(4)

/(x)=x2+2x+2=(x+l)2+1,

當(dāng)m+2K—1,即加《-3時(shí)，/(%)在［狐加+2］上單調(diào)遞減，

所以/(Hmin-/(m+2)=(m+3)2+l=m2+6m+10；

當(dāng)機(jī)＜一1且機(jī)+2＞-1,即—3v根＜—1時(shí)，

f(%)在上單調(diào)遞減，在［-l,m+2］上單調(diào)遞增,

所以〃力皿=〃-1)=1;

當(dāng)〃亞-1時(shí)，”X)在上〃,〃z+2］上單調(diào)遞增，

所以/(x)nin=f(〃z)=1+2機(jī)+2；

綜上：〃，4—3時(shí)，/(%)而如=療+6帆+10；

一3＜機(jī)＜-1時(shí)，=1；

機(jī)2—1時(shí)，/(x)111ta=療+2〃?+2.

20.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)“力是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x40時(shí)，〃x)=f+2x.

(1)求當(dāng)尤＞0時(shí)，函數(shù)的解析式；

⑵解不等式丁"(尤卜〃一切＞0.

【答案】⑴〃X)T+2X

(2)(-2,0)(0,2)

【分析】(1)利用函數(shù)是奇函數(shù)即可求出當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)/(X)的解析式；

(2)由函數(shù)是奇函數(shù)化簡(jiǎn)-〃-x)］＞0可得2%3〃力＞0,畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，結(jié)合圖象即可得

出答案.

(1)

由/(X)為奇函數(shù)，得=當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0,

故f(-x)=-/(%)=(-A：)2+2(-x)=x2-2x,

故當(dāng)x>0時(shí)，/(無(wú))=-d+2x.

(2)

由/(f)=一/(x)，得尤3(尤)一〃-尤)]=讓"(x)+/⑼=2尤"(x)，

尤>0x<0

故三[/(尤)_>0o(x)>0o〃尤)>0或

如圖所示，畫(huà)出函數(shù)/(X)的圖象.

x>0x<0

由圖易得〃x)>。的解集為⑸2)，〃x)<o的解集為(一2,0)，

故不等式x3[/(x)-/(-%)]>0的解集為(-2,0)(0,2).

21.(2020.廣西.興安縣第二中學(xué)高一期中)已知函數(shù)/(x)=x+1,且/⑴=2.

(1)求m；

⑵判斷了(X)的奇偶性;

(3)判斷函數(shù)/(x)在［1,+8)上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論;

(4)并求函數(shù)f(x)在［1,2］上的值域.

【答案】⑴相=1;

(2)函數(shù)Ax)為奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析;

⑶函數(shù)Ax)在［L+8)上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析;

C5

(4)2,萬(wàn).

【分析】(1)代入〃1)=2,即可求解加的值;

(2)由(1)得函數(shù)/(元)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合x(chóng))=-/(x),可證明函數(shù)為奇函數(shù);

(3)利用定義法判斷函數(shù)AM的單調(diào)性即可；

(4)根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性求解函數(shù)Ax)的值域即可.

(1)

解：?.?f(x)=x+2,且f(1)=2

X

l+m=2,解得機(jī)=1.

(2)

解：函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，

證明：由(1)得〃x)=x+」，定義域?yàn)?-8