雙曲線的幾何性質(zhì)

關(guān)于雙曲線的幾何性質(zhì)oYX關(guān)于X,Y軸,原點對稱(±a,0),(0,±b)(±c,0)A1A2;B1B2|x|

a,|y|≤b F1F2A1A2B2B1復(fù)習(xí)橢圓的圖像與性質(zhì)上述性質(zhì)其研究方法各是什么？第2頁,共29頁，2024年2月25日，星期天雙曲線的標準方程形式一：

（焦點在x軸上，（-c，0）、（c，0））

形式二：（焦點在y軸上，（0，-c）、（0，c））其中復(fù)習(xí)

第3頁,共29頁，2024年2月25日，星期天YXF1F2A1A2B1B2焦點在x軸上的雙曲線圖像第4頁,共29頁，2024年2月25日，星期天

2、對稱性

一、研究雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1、范圍關(guān)于x軸、y軸和原點都是對稱。x軸、y軸是雙曲線的對稱軸，原點是對稱中心，又叫做雙曲線的中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)課堂新授

第5頁,共29頁，2024年2月25日，星期天3、頂點（1）雙曲線與對稱軸的交點，叫做雙曲線的頂點xyo-bb-aa如圖，線段叫做雙曲線的實軸，它的長為2a,a叫做實半軸長；線段叫做雙曲線的虛軸，它的長為2b,b叫做雙曲線的虛半軸長（2）實軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線（3）第6頁,共29頁，2024年2月25日，星期天M(x,y)4、漸近線N(x,y’)Q慢慢靠近xyoab（1）（2）

利用漸近線可以較準確的畫出雙曲線的草圖（3）第7頁,共29頁，2024年2月25日，星期天證明:雙曲線的漸近線方程為這一部分的方程可寫為設(shè)M(x,y)是它上面的點，N(x,Y)是直線上與M有相同橫坐標的點，則先取雙曲線在第一象限內(nèi)的部分進行證明.xyoNMQ第8頁,共29頁，2024年2月25日，星期天如何根據(jù)雙曲線的標準方程確定雙曲線的漸近線方程方法一(幾何法)矩形對角線所在直線方法二把雙曲線標準方程中等號右邊的1改為0,就得到了雙曲線的漸近線方程反過來,能否由漸近線方程確定雙曲線的標準方程呢?這樣的雙曲線是否是唯一的?探求:以為漸近線的雙曲線有哪些??雙曲線的漸近線方程為觀察它們形式上的聯(lián)系xyo第9頁,共29頁，2024年2月25日，星期天已知漸近線方程,不能確定a,b的值,只能確定a,b的關(guān)系如果兩條漸近線方程為,那么雙曲線的方程為當λ>0時,當λ<0時,當λ=0時,,這里λ是待定系數(shù)共軛雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。通過分析曲線的方程，發(fā)現(xiàn)二者具有相同的漸近線。此即為共軛之意。雙曲線焦點在x軸上雙曲線焦點在y軸上即為雙曲線的漸近線方程1）性質(zhì)：共用一對漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上。2）如何確定雙曲線的共軛雙曲線？將1變?yōu)?1第10頁,共29頁，2024年2月25日，星期天xyo根據(jù)以上四項性質(zhì),能較準確地畫出雙曲線的圖形嗎?練習(xí):畫出雙曲線的草圖雙曲線的開口大小有沒有限制?向遠處伸展有沒有約束范圍?當x→∞時,方程近似變?yōu)?即雙曲線上的點無限接近直線第11頁,共29頁，2024年2月25日，星期天5、離心率離心率。c>a>0e>1e是表示雙曲線開口大小的一個量,e越大開口越大（1）定義：（2）e的范圍：（3）e的含義：第12頁,共29頁，2024年2月25日，星期天（4）等軸雙曲線的離心率e=?(5)A1A2B1B2abcx0y幾何意義第13頁,共29頁，2024年2月25日，星期天焦點在x軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)復(fù)習(xí)

雙曲線標準方程：YX雙曲線性質(zhì)：1、范圍：x≥a或x≤-a2、對稱性：關(guān)于x軸，y軸，原點對稱。3、頂點A1（-a，0），A2（a，0）4、軸：實軸A1A2虛軸B1B2A1A2B1B25、漸近線方程：6、離心率：e=第14頁,共29頁，2024年2月25日，星期天XYF1F2OB1B2A2A1焦點在y軸上的雙曲線圖像第15頁,共29頁，2024年2月25日，星期天焦點在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)口答

雙曲線標準方程：YX雙曲線性質(zhì)：1、范圍：y≥a或y≤-a2、對稱性：關(guān)于x軸，y軸，原點對稱。3、頂點B1（0，-a），B2（0，a）4、軸：實軸B1B2;

虛軸A1A2A1A2B1B25、漸近線方程：6、離心率：e=c/aF2F2o如何記憶雙曲線的漸進線方程？第16頁,共29頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)xyo或或關(guān)于坐標軸和原點都對稱性質(zhì)雙曲線范圍對稱性

頂點

漸近線離心率圖象

xyo第17頁,共29頁，2024年2月25日，星期天12=+byax222（a＞b＞0）12222=-byax(a＞0b＞0)222=+ba(a＞0b＞0)c222=-ba(a＞b＞0)c橢圓雙曲線方程abc關(guān)系圖象橢圓與雙曲線的性質(zhì)比較yXF10F2MXY0F1F2p小結(jié)第18頁,共29頁，2024年2月25日，星期天漸近線離心率頂點對稱性范圍

準線|x|

a,|y|≤b|x|≥

a，yR對稱軸：x軸，y軸對稱中心：原點對稱軸：x軸，y軸對稱中心：原點（-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)長軸：2a短軸：2b(-a,0)(a,0)實軸：2a虛軸：2be=ac(0＜e＜1)ace=(e1)無y=abx±第19頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例1:求雙曲線的實半軸長,虛半軸長,焦點坐標,離心率.漸近線方程。解：把方程化為標準方程可得:實半軸長a=4虛半軸長b=3半焦距c=焦點坐標是(0,-5),(0,5)離心率:漸近線方程:14416922=-xy1342222=-xy53422=+45==ace例題講解

第20頁,共29頁，2024年2月25日，星期天1、填表|x|≥618|x|≥3(±3,0)y=±3x44|y|≥2(0,±2)1014|y|≥5(0,±5)第21頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例2求中心在原點,對稱軸為坐標軸,經(jīng)過點P(1,3)且離心率為的雙曲線方程1.已知雙曲線的實軸的一個端點為A1,虛軸的一個端點為B1,且則b等于________2.雙曲線的離心率為2,則它的一個頂點把焦點之間的線段分成長,短兩段的比是______________________3:13.已知雙曲線的離心率則m的取值范圍是__________(-12,0)4.雙曲線與橢圓有相同的焦點,一條漸近線為y=x,求雙曲線的方程.3練習(xí)第22頁,共29頁，2024年2月25日，星期天5.雙曲線和它的共軛雙曲線離心率分別為e1和e2，則e1、e2應(yīng)滿足的關(guān)系_________________________6.雙曲線的離心率為2,則兩漸近線的夾角為__________60°第23頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例3已知雙曲線的漸近線方程為，實軸長為12，求它的標準方程.注：

稱為與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程（λ是參數(shù)）第24頁,共29頁，2024年2月25日，星期天P113，1小結(jié)：本節(jié)課討論了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)：范圍，對稱性，頂點，離心率，漸近線，請同學(xué)們熟練掌握。作業(yè)113，1第25頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例2:以已知雙曲線的虛軸為實軸,實軸為虛軸的雙曲線叫原雙曲線的共軛雙曲線,求證:(1)雙曲線和它的共軛雙曲線有共同的漸近線;(2)雙曲線和它的共軛雙曲線的四個焦點在同一個圓上.YXA1A2B1B2F1F2oF’2F’1第26頁,共29頁，2024年2月25日，星期天證明:(1)設(shè)已知雙曲線的方程是:則它的共軛雙曲線方程是:漸近線為：漸近線為:可化為：故雙曲線和它的共軛雙曲線有共同的漸