高數(shù)(上)第八單元課后習題答案8-8

習題8-81求函數(shù)f(x,y)4(x-y)-x2-y2的極值.解解方程組求得駐點為(2,-2)由于Afxx(2,-2)-20,Bfxy(2,-2)0,Cfyy(2,-2)-2,ACB20所以在點(22)處,函數(shù)取得極大值,極大值為f(22)82求函數(shù)f(x,y)(6x-x2)(4y-y2)的極值.解解方程組得因此駐點為(0,0),(0,4),(3,2),(6,0),(6,4).函數(shù)的二階偏導數(shù)為fxx(x,y)-2(4y-y2),fxy(x,y)4(3-x)(2-y)fyy(x,y)-2(6x-x2)在點(0,0)處,fxx0,fxy24,fyy0,AC-B2-2420,所以f(0,0)不是極值在點(0,4)處,fxx0,fxy24,fyy0,AC-B2-2420,所以f(0,4)不是極值在點(3,2)處,fxx8,fxy0,fyy18,AC-B28180,又A0,所以f(3,2)36是函數(shù)的極大值;在點(6,0)處,fxx0,fxy24,fyy0,AC-B22420,所以f(6,0)不是極值在點(6,4)處,fxx0,fxy24,fyy0,AC-B22420,所以f(6,4)不是極值綜上所述函數(shù)只有一個極值這個極值是極大值f(32)363求函數(shù)f(x,y)e2x(x+y2+2y)的極值.解解方程組得駐點Afxx(x,y)4e2x(x+y2+2y+1),Bfxy(x,y)4e2x(y+1),Cfyy(x,y)2e2x因為在點處,A2e0,B0,C2e,AC-B24e20,所以函數(shù)在點處取得極小值,極小值為4求函數(shù)zxy在適合附加條件x+y1下的極大值.解條件x+y1可表示為y1-x,代入zxy,于是問題化為zx(1-x)的無條件極值問題令得駐點因為所以為極大值點極大值為5從斜邊之長為l的一切直角三角形中,求有最大周界的直角三角形.解設直角三角形的兩直角邊之長分別為x,y,則周長Sx+y+l(0xl,0yl)因此本題是在x2+y2l2下的條件極值問題,作函數(shù)F(x,y)x+y+l+(x2+y2-l2)解方程組得唯一可能的極值點根據(jù)問題性質可知這種最大周界的直角三角形一定存在,所以斜邊之長為l的一切直角三角形中,周界最大的是等腰直角三角形.6要造一個容積等于定數(shù)的長方體無蓋水池應如何選擇水池的尺寸方可使表面積最小.解設水池的長為x,寬為y,高為z,則水池的表面積為Sxy2xz2yz(x0,y0,z0).本題是在條件xyzk下,求S的最大值.作函數(shù)F(xyz)xy2xz2yz+(xyz-k)解方程組得唯一可能的極值點由問題本身可知S一定有最小值,所以表面積最小的水池的長和寬都應為高為.7在平面xOy上求一點,使它到x0,y0及x+2y-160三直線距離平方之和為最小.解設所求點的坐標為(x,y),則此點到x0的距離為|y|,到y(tǒng)0的距離為|x|,到x+2y-160的距離為,而距離平方之和為.解方程組即得唯一的駐點,根據(jù)問題的性質可知,到三直線的距離平方之和最小的點一定存在,故即為所求.8將周長為2p的矩形繞它的一邊旋轉而構成一個圓柱體,問矩形的邊長各為多少時,才可使圓柱體的體積為最大？解設矩形的一邊為x,則另一邊為(p-x),假設矩形繞p-x旋轉,則旋轉所成圓柱體的體積為Vx2(px)由,求得唯一駐點.由于駐點唯一,由題意又可知這種圓柱體一定有最大值,所以當矩形的邊長為和時,繞短邊旋轉所得圓柱體體積最大.9求內接于半徑為a的球且有最大體積的長方體.解設球面方程為x2+y2+z2a2,(x,y,z)是它的各面平行于坐標面的內接長方體在第一卦限內的一個頂點,則此長方體的長寬高分別為2x,2y,2z,體積為V2x×2y×2z8xyz令F(xyz)8xyz(x2y2z2a2)解方程組即得唯一駐點由題意可知這種長方體必有最大體積,所以當長方體的長、寬、高都為時其體積最大.10拋物面zx2+y2被平面x+y+z1截成一橢圓,求原點到這橢圓的最長與最短距離.解設橢圓上點的坐標(x,y,z),則原點到橢圓上這一點的距離平方為d2x2+y2+z2,其中x,y,z要同時滿足zx2+y2和x+y+z1令F(xyz)x2y2z2