高等數(shù)學(xué)第8章試題

高等數(shù)學(xué)院系_______學(xué)號(hào)_______班級(jí)_______姓名_________得分_______題號(hào)選擇題填空題計(jì)算題證明題其它題型總分題分2020202020核分人得分復(fù)查人一、選擇題（共20小題，20分）1、曲線在點(diǎn)處的法平面方程為（A） （B）（C） （D） 答：（）2、設(shè)，則(A)1+ln2 (B)4(1+ln2)(C)4(D)8 答：()3、設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)處，有，則（A）點(diǎn)是函數(shù)的極大值點(diǎn)（B）點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn)（C）點(diǎn)非函數(shù)的極值點(diǎn)（D）條件不夠，無(wú)法判定 答：（ ）4、曲線在對(duì)應(yīng)于點(diǎn)處的切線與平面的夾角為（A） （B）（C） （D） 答：（）5、函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)集為_(kāi)_____。(A)y軸上的所有點(diǎn) (B)的點(diǎn)集(C)空集 (D)的點(diǎn)集 答（ ）6、曲面在點(diǎn)處的法線方程為（A） （B）（C） （D） 答：（）7、設(shè)，則（A）； （B）；（C）； （D）。 答：（）8、設(shè)則(A) (B)(C) (D) 答()9、設(shè)則(A) (B)(C) (D) 答（ ）10、曲線在對(duì)應(yīng)于點(diǎn)處的切線與平面的夾角為（A） （B）（C） （D） 答：（）11、若曲線在點(diǎn)處的一個(gè)切向量與軸正方向成銳角，則此切向量與軸正方向所夾角的余弦為（A） （B）（C） （D） 答：（）12、設(shè)，則(A) (B)(C)0 (D) 答（）13、曲線在對(duì)應(yīng)于點(diǎn)處的切線方程是(A) (B) (C) (D) 答：（ ）14、和是函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值或極小值的（A）必要條件但非充分條件（B）充分條件但非必要條件（C）充要條件（D）既非必要條件也非充分條件 答：（ ）15、若，則=(A) (B)(C) (D) 答（）16、函數(shù)在點(diǎn)處的二階泰勒多項(xiàng)式是（A） （B） （C）（D） 答：（ ）17、函數(shù)在（1,1）點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)為：(A)最大 (B)最小 (C)0 (D)1 答：（）18、曲線在某一點(diǎn)處的切向量與三個(gè)坐標(biāo)軸正向的夾角相等，與此點(diǎn)相應(yīng)的值等于（A） （B）2（C） （D）1 答：（）19、函數(shù)在點(diǎn)處的二階偏導(dǎo)數(shù)及都存在，則及在點(diǎn)處連續(xù)是的：(A)充分而非必要條件；(B)必要而非充分條件；(C)充分必要條件；(D)既非充分又非必要條件。答（）20、若，則=(A) (B)(C) (D) 答（）二、填空題（共20小題，20分）1、設(shè)函數(shù)，則=。2、設(shè)函數(shù)由方程所確定，則全微分=———。3、函數(shù)在點(diǎn)（1，1）處沿軸反向的方向?qū)?shù)是———。4、函數(shù)的定義域?yàn)椤?、曲面垂直于直線的切平面方程是___________。6、設(shè)函數(shù)由方程確定，則函數(shù)的駐點(diǎn)是______。7、函數(shù)在條件下的極大值是________。8、設(shè)，要使處處連續(xù)，則A=。9、極限=。10、設(shè)，則=———。11、曲面在點(diǎn)的法線垂直于平面，則點(diǎn)到該平面的距離______。12、設(shè)，則=———。13、設(shè)，則=———。14、函數(shù)在點(diǎn)（1，3）沿方向的方向?qū)?shù)是———。15、設(shè)，則=———。16、曲線在點(diǎn)（，2，）處的切線與軸正向所成的傾角為———。17、若函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值－3，則常數(shù)之積______。18、極限=。19、函數(shù)的間斷點(diǎn)為。20、設(shè)，則=———。三、計(jì)算題（共20小題，20分）1、設(shè)，求。2、設(shè)，求。3、設(shè)函數(shù)，方程確定是的函數(shù)，其中可微；連續(xù)，且，求。4、求函數(shù)在點(diǎn)（0，1，1）處沿平面法線方向的方向?qū)?shù)。5、求函數(shù)在閉域上的最小值和最大值。6、求函數(shù)的極值。7、求函數(shù)在閉域上的最大值和最小值。8、設(shè)，求。9、利用全微分近似計(jì)算的近似值。(已知)10、函數(shù)由方程所確定，求。11、求函數(shù)在點(diǎn)（－3,4,1）處沿方向的方向?qū)?shù)。12、求函數(shù)在點(diǎn)（2,1,0）處沿曲面法線方向的方向?qū)?shù)。13、求函數(shù)的極值。14、將函數(shù)在點(diǎn)處展開(kāi)為三階泰勒公式。15、設(shè)函數(shù)由方程所確定，求。16、設(shè)是有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，為常數(shù)，求。17、函數(shù)由方程所確定，其中有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。18、設(shè)，求。19、設(shè)函數(shù)由方程所確定，求。20、函數(shù)由方程所確定，其中二階可導(dǎo)，且，求。四、證明題（共20小題，20分）1、試證極限不存在。2、證明：在（0，0）處連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微。3、設(shè)曲面。其中、具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且不全為零，，是上點(diǎn)到上點(diǎn)的最短距離，證明是、各自在點(diǎn)、的法線。4、設(shè)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，，，。證明，若在任一點(diǎn)處沿該點(diǎn)向徑方向的方向?qū)?shù)為零，那么僅與和有關(guān)。（與r無(wú)關(guān)）。5、設(shè)函數(shù)具有三階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的均成立的所有三階偏導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值不超過(guò)正數(shù)，試證：其中為常數(shù)，且。6、證明：不存在函數(shù)滿足。7、證明極限不存在。8、設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)有是自然數(shù)），試證曲面上任一點(diǎn)的切平面都通過(guò)一定點(diǎn)（設(shè)在任一點(diǎn)處，有）。9、試證曲面上任一點(diǎn)的切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之和等于常數(shù)。10、試用極限定義證明。11、證明曲面上任一點(diǎn)處的法線都平行于平面，其中函數(shù)可微，為正常數(shù)。12、證明由方程所確定的隱函數(shù)滿足關(guān)系式,其中具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。13、證明由方程組所確定的函數(shù)滿足。14、函數(shù)由方程所確定，其中具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，a,b是不全為零的常數(shù)，試證。15、證明曲線上任意一點(diǎn)的切線與平面的夾角都相同（其中）。16、試證關(guān)于的二元方程在單位圓域內(nèi)至少有一組解。17、函數(shù)由方程所確定，其中有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，求證。18、設(shè)，試證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)且僅有一個(gè)極值，又若，則該極值必為極大值。19、設(shè)函數(shù)，試證明：對(duì)任意固定的，一元函數(shù)處處連續(xù)（同樣一元函數(shù)也處處連續(xù)），但二元函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處不連續(xù)。20、試證單葉雙曲面在點(diǎn)處的切平面方程為。五、其它題型（共20小題，20分）1、一長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別由1米，2米，3米增加到1.01米，2、設(shè)均很小，用全微分推出的近似公式。3、函數(shù)在（0，1）點(diǎn)處沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)值最大，并求此最大方向?qū)?shù)的值。4、設(shè)函數(shù)對(duì)各變?cè)哂幸浑A連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試用和的一次項(xiàng)近似表示函數(shù)。5、在橢球面的第一卦限部分上求一點(diǎn)，使橢球面在該點(diǎn)處的切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之積為最小。6、在橢球面的第一卦限部分上求一點(diǎn)，使橢球面在該點(diǎn)處的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成四面體的體積為最小。7、求曲線在對(duì)應(yīng)于點(diǎn)處的切線及法平面方程。8、設(shè)均很小，用全微分推出的近似公式。9、試研究函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處的連續(xù)性。10、利用拉格朗日乘數(shù)法，試將已知正數(shù)分成三個(gè)正數(shù)之和，使它們的積為最大。11、求曲面與平面在點(diǎn)處的夾角。12、已知坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，在此平面上找點(diǎn)