山西省晉中市平遙縣2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(含解析)

平遙縣2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平監(jiān)測試題（卷）八年級數(shù)學(xué)（滿分：100分時間：90分鐘）一、選擇題：（本大題10個小題，每小題3分，共30分）每個小題都給出了四個選項，其中只有一個是正確的，請將正確答案的代號填在表格中．1．下列幾種著名的數(shù)學(xué)曲線中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A．（笛卡爾愛心曲線） B．（蝴蝶曲線）C．（費馬螺線曲線） D．（科赫曲線）2．交通法規(guī)人人遵守，文明城市處處安全．在通過橋洞時，我們往往會看到下圖所示的標志，這是限制車高的標志，則通過該橋洞的車高的范圍可表示為（

）A． B． C． D．3．如圖，平分于點于點，若，則圖中長為（

）

A． B． C． D．4．如圖，數(shù)軸上表示的解集為（

）A． B． C． D．5．小明同學(xué)只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線，另一把直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點，小明說：“射線就是的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（

）A．在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等C．三角形的三條高交于一點D．三角形三邊的垂直平分線交于一點6．在平面直角坐標系中，將點向左平移3個單位長度，再向上平移5個單位長度后與點B重合，則點B的坐標是（

）A． B． C． D．7．如圖，把繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，點C的對應(yīng)點落在邊上，若，則為（）A． B． C． D．8．在平面直角坐標系中，若點在第二象限，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．如圖，在中，，將沿邊所在的直線向下平移得到，與交于，下列結(jié)論中不一定正確的（

）A． B． C． D．10．如圖，已知直線y1＝x+m與y2＝kx﹣1相交于點P（﹣1，2），則關(guān)于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．二、填空題：（本題5個小題，每小題3分，共15分）請將正確答案直接填在題后橫線上．11．“全等三角形的對應(yīng)角相等”的逆命題是．12．已知直線過和，則關(guān)于的不等式的解集是．13．如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°），得到△AED，若AC＝1，CE＝，則α的度數(shù)為．14．定義為不大于x的最大整數(shù)，如，，，則滿足，則的最大整數(shù)為．15．如圖，在中，是的中垂線，是的中垂線，已知的長為，則陰影部分的面積為．三、解答題：（本題7小題，共55分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟。16．（1）解不等式：；（2）解不等式組：，并將解集在數(shù)軸上表示出來．17．如圖：在直角坐標系中，三個頂點的坐標分別為，，．

(1)畫出向下平移4個單位的圖形；(2)畫出將繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°后的圖形，并寫出此時、、的坐標．18．如圖，已知在中，．請用圓規(guī)和直尺在上求作一點，使得點到邊的距離等于的長；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）19．如圖，在中，，度，是的平分線，為上一點，以為一邊，且在下方作等邊，連接．

(1)求證，；(2)求的度數(shù)．20．如圖，一次函數(shù)和的圖象相交于點，且一次函數(shù)分別與軸和軸交于和，若，．

(1)求直線的解析式；(2)若不等式的解集是．求的值．21．近幾年，全社會對空氣污染問題越來越重視，空氣凈化器的銷量也在逐年增加．某商場從廠家購進了、兩種型號的空氣凈化器，兩種凈化器的銷售相關(guān)信息見下表：型銷售數(shù)量（臺）型銷售數(shù)量（臺）總利潤（元）51020001052500（1）一臺型空氣凈化器和型空氣凈化器的銷售利潤分別是多少？（2）該公司計劃一次購進兩種型號的空氣凈化器共100臺，其中型空氣凈化器的進貨量不少于型空氣凈化器的2倍，為使該公司銷售完這100臺空氣凈化器后的總利潤最大，請你設(shè)計相應(yīng)的進貨方案．22．綜合與探究(1)模型建立：如圖1，等腰中，，直線經(jīng)過點，過點作于點，過點作于點．求證：；(2)模型應(yīng)用：①如圖2，已知直線與軸交于點，與軸交于點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，過點作直線，求直線的函數(shù)解析式；②如圖3，長方形，點為坐標原點，點的坐標為分別在坐標軸上，點是線段上動點，已知點在第一象限，且是直線上的一點，若是不以點為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．

參考答案與解析

1．D【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念（平面內(nèi)沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形）和中心對稱圖形的概念（在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形）求解．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，此選項不符合題意；B、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，此選項不符合題意；C、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，此選項不符合題意；D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念，深刻理解軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念是解題關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)標志牌的含義列不等式即可求解．【詳解】解：由題意得：，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查不等式的定義，理解標志牌的意義是求解本題的關(guān)鍵．3．A【分析】此題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)定理等知識，先用勾股定理求出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可得到．【詳解】解：∵，，∴，∵平分于點于點，∴．故選：A．4．A【分析】觀察數(shù)軸即可得到解答．【詳解】解：由圖可得，且在數(shù)軸上表示的解集是，故選A．【點睛】本題考查了數(shù)軸，解決本題的關(guān)鍵是仔細觀察數(shù)軸進行分析即可．5．A【分析】過兩把直尺的交點P作PF⊥BO與點F，由題意得PE⊥AO，因為是兩把完全相同的長方形直尺，可得PE=PF，再根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上可得OP平分∠AOB【詳解】如圖所示：過兩把直尺的交點P作PF⊥BO與點F，由題意得PE⊥AO，∵兩把完全相同的長方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上），故選A．【點睛】本題主要考查了基本作圖，關(guān)鍵是掌握角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上這一判定定理．6．B【分析】根據(jù)直角坐標系中點的平移，將點A向上平移5個單位就是給縱坐標加5，向左平移3個單位就是給橫坐標減3，計算即可．【詳解】解：∵將點向左平移3個單位長度，再向左上移5個單位長度，得到點，∴點的橫坐標為，縱坐標為，∴的坐標為．故選：B．【點睛】本題只要考查點在直角坐標系中的平移，向上移動縱坐標增加，向下移動縱坐標減小，向左移動橫坐標減小，向右移動橫坐標增加．7．C【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理．明確角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，則，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴，，∴，故選：C．8．C【分析】根據(jù)平面直角坐標系第二象限點的坐標特征可得，然后進行計算即可解答．【詳解】解：由題意得：，解不等式得：，解不等式得：，∴原不等式組的解集為：；故選：C．【點睛】本題考查了點的坐標，解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．9．A【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：∵沿直線邊所在的直線向下平移得到，∴，，∴，，∴，觀察四個選項，不正確，故選：A．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．D【分析】利用函數(shù)圖象，找出直線y=x+m在直線y=kx-1的下方所對應(yīng)的自變量的范圍即可【詳解】解：根據(jù)圖象得,當x<-1時，x+m<kx-1故選D【點睛】此題考查在數(shù)軸上表示不等式的解集和一次函數(shù)與ー元一次不等式，解題關(guān)鍵在于判定函數(shù)圖象的位置關(guān)系11．對應(yīng)角相等的兩個三角形全等【分析】根據(jù)逆命題的概念，交換原命題的題設(shè)與結(jié)論即可得出原命題的逆命題．【詳解】解：命題“全等三角形的對應(yīng)角相等”的題設(shè)是“兩個三角形是全等三角形”，結(jié)論是“它們的對應(yīng)角相等”，故其逆命題是對應(yīng)角相等的兩個三角形是全等三角形．故答案為：對應(yīng)角相等的兩個三角形是全等三角形．【點睛】此題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．12．【分析】由題意可以求得k和b的值，代入不等式即可得到正確答案．【詳解】解：由題意可得：∴k=2，b=-2，∴原不等式即為2x-2<0，解之可得：x<1，故答案為x<1．【點睛】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式的綜合應(yīng)用，利用直線與坐標軸的交點求出不等式的系數(shù)是解題關(guān)鍵．13．【分析】先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，然后結(jié)合的長得到為直角三角形，從而求出的度數(shù)．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得，，，，是直角三角形，，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知“旋轉(zhuǎn)過程中的對應(yīng)邊相等”．14．35【分析】根據(jù)題意可知，然后利用平方運算進行計算即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，∴的最大整數(shù)為35．故答案為：35．【點睛】本題主要考查了算術(shù)平方根，根據(jù)題目得出是解此題的關(guān)鍵．15．【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，再由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，再由直角三角形的性質(zhì)可得，，從而得到，繼而得到，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵是的中垂線，是的中垂線，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∴，∴陰影部分的面積，故答案為：．16．（1）；（2），數(shù)軸見解析【分析】此題考查了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法，按步驟進行解答是關(guān)鍵．（1）按照去分母、去括號、移項合并同類項、系數(shù)化1的步驟解不等式即可；（2）求出每個不等式的解集，在數(shù)軸上表示出解集，找到公共部分即可．【詳解】（1）解：去分母得，去括號得，移項合并同類項得，系數(shù)化1得，（2）解：解不等式①得，解不等式②得，把解集表示在數(shù)軸上如下：

∴原不等式組的解集為17．(1)圖見解析(2)圖見解析，【分析】（1）根據(jù)平移規(guī)則，確定的位置，再進行連線即可得到；（2）根據(jù)成中心對稱的性質(zhì)，畫出，進而寫出、、的坐標即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；

（2）如圖，，即為所求；由圖可知：．【點睛】本題考查坐標與平移，坐標與旋轉(zhuǎn)．熟練掌握平移的性質(zhì)，成中心對稱的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．18．見解析【分析】本題考查了角平分線的作圖和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準確作圖．作的角平分線交于點，點即為所求．【詳解】如圖，點即為所求．19．(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的判定得是等邊三角形，于是可得到，，，即可得到證明；（2）根據(jù)角平分線及全等三角形得到，結(jié)合等邊三角形每個角都是即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵，度，∴是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，在和，，∴；（2）解：∵等邊中，是的角平分線，∴，，∵，∴，∴．【點睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)及全等三角形判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得到角度加減從而得到角相等．20．(1)(2)10【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出直線的解析式．（2）根據(jù)圖像即可求出點橫坐標，將點橫坐標代入即可求出點坐標，將其代入即可求出的值．【詳解】（1）解：由圖可知，和在一次函數(shù)上，，，，，，直線的解析式為：．故答案為：．（2）解：的解集是，點為和交點，的橫坐標為1．將點的橫坐標1代入中，解得．．將代入中，，．故答案為：10．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)圖像以及利用不等式解集求解一次函數(shù)中未知數(shù)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握待定系數(shù)法求解析式以及學(xué)會利用圖像法找出關(guān)鍵信息交點的橫坐標．21．（1）每臺A型空氣凈化器的銷售利潤為200元，每臺B型空氣凈化器的銷售利潤為100元；（2）購進A型空氣凈化器33臺，購進B型空氣凈化器67臺．【分析】（1）設(shè)每臺A型空氣凈化器的銷售利潤為x元，每臺B型空氣凈化器的銷售利潤為y元，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購進A型空氣凈化器m臺，則購進B型空氣凈化器（100-m）臺，根據(jù)B型空氣凈化器的進貨量不少于A型空氣凈化器的2倍，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，設(shè)銷售完這100臺空氣凈化器后的總利潤為w元，根據(jù)總利潤=單件利潤×購進數(shù)量，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．【詳解】解：（1）設(shè)每臺A型空氣凈化器的銷售利潤為x元，每臺B型空氣凈化器的銷售利潤為y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：每臺A型空氣凈化器的銷售利潤為200元，每臺B型空氣凈化器的銷售利潤為100元．（2）設(shè)購進A型空氣凈化器m臺，則購進B型空氣凈化器（100-m）臺，∵B型空氣凈化器的進貨量不少于A型空氣凈化器的2倍，∴100-m≥2m，解得：m≤．設(shè)銷售完這100臺空氣凈化器后的總利潤為w元，根據(jù)題意得：w=200m+100（100-m）=100m+10000，∴w的值隨著m的增大而增大，且m為整數(shù)，∴當m=33時，w取最大值，最大值=100×33+10000=13300，此時100-m=67．答：為使該公司銷售完這100臺空氣凈化器后的總利潤最大，應(yīng)購進A型空氣凈化器33臺，購進B型空氣凈化器67臺．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，列出二元一次方程組；（2）根據(jù)總利潤=單件利潤×購進數(shù)量，找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．22