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2023-2024學(xué)年河南省鄭州八中八年級(下)期中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題(每小題3分,共30分)1.(3分)六月是高考季,考上大學(xué)是每個(gè)學(xué)子的目標(biāo),河南也有很多不錯(cuò)的大學(xué),以下是河南部分大學(xué)的校徽,其中是中心對稱圖形的是()A.河南大學(xué) B.鄭州大學(xué) C.河南農(nóng)業(yè)大學(xué) D.河南工業(yè)學(xué)校2.(3分)滿足下列條件的三角形中,不能判斷三角形為直角三角形的是()A.三角形三邊長為7,24,25 B.三角形的三內(nèi)角度數(shù)之比為3:4:5 C.在△ABC中,∠A=∠B+∠C D.三角形的三邊之比為1::3.(3分)下列不等式中不成立的是()A.若x>y,則﹣2x<﹣2y B.若x>y>0,則x2>y2 C.若x>y,則 D.若x+1<y+1,則x<y4.(3分)不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是()A. B. C. D.5.(3分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx+b的位置如圖所示,則不等式kx+b>1的解集為()A.x<1 B.x<﹣2 C.x>0 D.x>﹣26.(3分)如圖,△ABC沿著點(diǎn)B到點(diǎn)C的方向平移到△DEF的位置,∠B=90°,AB=6,DH=4,平移距離為7,則陰影部分的面積為()A.12 B.16 C.28 D.247.(3分)如圖,兔子的三個(gè)洞口A、B、C構(gòu)成△ABC,獵狗想捕捉兔子,必須到三個(gè)洞口的距離都相等,則獵狗應(yīng)蹲守在()A.三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn) B.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) C.三角形三條高的交點(diǎn) D.三角形三條中線的交點(diǎn)8.(3分)如圖,△ABC的面積為9cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP于P,連接PC,則△PBC的面積為()A.3cm2 B.4cm2 C.4.5cm2 D.5cm29.(3分)如圖,∠ABC=∠ACB,BD,CD,AD分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC,外角∠ACF,外角∠EAC.以下結(jié)論:①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③∠BDC=∠BAC;④△ABD和△ACD都是等腰三角形.其中正確的結(jié)論有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)10.(3分)如圖,邊長為2的正方形AOBC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形A1OB1C1,兩圖疊成一個(gè)“蝶形風(fēng)箏”(如圖所示的陰影部分),則這個(gè)風(fēng)箏的面積為()A. B. C. D.8二.填空題(每小題3分,共15分)11.(3分)點(diǎn)A(4,2)先向右平移4個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位后的坐標(biāo)為.12.(3分)若一個(gè)三角形的三邊長分別為5,12,13,則此三角形的最長邊上的高為.13.(3分)某次知識競賽共有20道題,每答對一道題得10分,答錯(cuò)或不答都扣6分.如果得分要超過95分,設(shè)小新答對了x道題,依題意可列不等式為.14.(3分)如果關(guān)于x的不等式組有且僅有5個(gè)整數(shù)解,則a的取值范圍是.15.(3分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,點(diǎn)D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),連接DE.將△ADE繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α(0°≤α≤90°),點(diǎn)A,E的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G,F(xiàn),GF與AC交于點(diǎn)P.當(dāng)直線GF與△ABC的一邊平行時(shí),CP的長為.三.解答題(8小題,共75分)16.(8分)解不等式或者不等式組:(1)3x﹣2≥1;(2).17.(8分)如圖,在△ABC中,∠B=30°,∠C=40°.(1)尺規(guī)作圖:①作邊AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D;②連接AD,作∠CAD的平分線交BC于點(diǎn)E;(要求:保留作圖痕跡,不寫作法)(2)在(1)所作的圖中,求∠DAE的度數(shù).18.(10分)已知如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(3,1),B(4,3),C(2,4),按要求回答問題:(1)將△ABC向左平移7個(gè)單位,得到△A1B1C1.①畫出△A1B1C1圖形;②求線段AB平移中掃過的面積;(2)將△ABC以A點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AB2C2.①畫出△AB2C2圖形;②寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo).19.(10分)(1)如圖1,∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC.求證:AB=AC.證明:(2)如圖2,∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AB=AC.求證:AD∥BC.證明:20.(10分)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,直線DE是邊AB的垂直平分線,連接BE.(1)若∠A=35°,求∠CBE的度數(shù);(2)若AE=3,EC=1,求△ABC的面積.21.(10分)某文具商店購買了兩種類型文具A和文具B銷售,若購A文具5個(gè),B文具3個(gè),需要105元:若購進(jìn)A文具8個(gè),B文具6個(gè),需要186元.(1)求文具A,文具B的進(jìn)價(jià)分別是多少元?(2)若每個(gè)文具A的售價(jià)為20元,每個(gè)文具B的售價(jià)為21元.結(jié)合市場需求,該商店決定購進(jìn)文具A和文具B共80個(gè),且購進(jìn)文具B的數(shù)量不少于文具A的數(shù)量的.且文具A和文具B全部銷售完時(shí),求銷售的最大利潤及相應(yīng)的進(jìn)貨方案.22.(6分)歐幾里得在《原本》中證明勾股定理的大致過程如下:如圖(1),在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.分別以Rt△ABC的三邊為邊長作正方形AHIB,ACDE,CBFG(如圖(2)),連接EB,CH過點(diǎn)C作AB的垂線,分別交AB和HI于點(diǎn)M,N.∵EA=CA,∠EAB=∠CAH=90°+∠CAB,AB=AH∴△EAB≌△CAH(SAS)又∵S正方形ACDE=2S△EAB,S長方形AHNM=2S△CAH∴b2=S長方形AHNM同理a2=S長方形MNIB∴c2=a2+b2上面證明中,沒有給出“a2=S長方形MNIB”的證明過程,只用兩個(gè)字“同理”一筆帶過,請你將這個(gè)證明過程補(bǔ)充上.23.(13分)如圖1,△ABC、△DCE均為等邊三角形,當(dāng)B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),連接BD、AE交于點(diǎn)F,易證:△ACE≌△BCD.聰明的小明將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)了一些不變的結(jié)論,讓我們一起開啟小明的探索之旅!【探究一】如圖2,當(dāng)B、C、E三點(diǎn)不在同一條直線上時(shí),小明發(fā)現(xiàn)∠BFE的大小沒有發(fā)生變化,請你幫他求出∠BFE的度數(shù).【探究二】閱讀材料:在平時(shí)的練習(xí)中,我們曾探究得到這樣一個(gè)正確的結(jié)論:兩個(gè)全等三角形的對應(yīng)邊上的高相等.例如:如圖3,如果△ABC≌△A′B′C′,AD、A′D′分別是△ABC、△A′B′C′的邊BC、B′C′上的高,那么容易證明AD=A′D′.小明帶著這樣的思考又有了新的發(fā)現(xiàn):如圖4,若連接CF,則CF平分∠BFE,請你幫他說明理由.【探究三】在探究二的基礎(chǔ)上,小明又進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn),線段AF、BF、CF之間還存在一定的數(shù)量關(guān)系,請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系.【探究四】在△ABC和△DCE中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=AC,EC=DC,點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部,直線AD與BE交于點(diǎn)F.靈活應(yīng)用小明的探究結(jié)果,請直接寫出圖5中線段AF、BF、CF之間存在的數(shù)量關(guān)系.
2023-2024學(xué)年河南省鄭州八中八年級(下)期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.選擇題(每小題3分,共30分)1.【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義:把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形可得答案.【解答】解:選項(xiàng)A、B、C中的圖形均不能找到一個(gè)點(diǎn),使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合,所以不是中心對稱圖形;選項(xiàng)D能找到一個(gè)點(diǎn),使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合,所以是中心對稱圖形;故選:D.【點(diǎn)評】本題主要考查了中心對稱圖形,解題的關(guān)鍵是找出對稱中心.2.【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理、勾股定理的逆定理逐個(gè)判斷得結(jié)論.【解答】解:A.∵72+242=49+576=625=252,根據(jù)勾股定理的逆定理,可判斷該三角形為直角三角形;B.∵三個(gè)角的度數(shù)比為3:4:5,所以這個(gè)三角形三個(gè)角的度數(shù)為:45°、60°、75°,∴該三角形不是直角三角形;C.∵∠A=∠B+∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=90°,該三角形為直角三角形;D.∵三角形三邊的比為1::,則三角形的三邊長分別為a、a、a,由于a2+(a)2=3a2=(a)2,∴該三角形為直角三角形.故選:B.【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形的判斷,掌握三角形的內(nèi)角和定理及勾股定理的逆定理等知識點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.3.【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.【解答】解:A、若x>y,則﹣2x<﹣2y,成立,不符合題意;B、若x>y>0,則x2>y2,成立,不符合題意;C、若x>y,則>,原變形錯(cuò)誤,符合題意;D、若x+1<y+1,則x<y,成立,不符合題意.故選:C.【點(diǎn)評】本題考查的是不等式的性質(zhì),熟知不等式的兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子,不等號的方向不變;不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號的方向不變;不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號的方向改變是解題的關(guān)鍵.4.【分析】根據(jù)解不等式的方法,可得不等式的解集,根據(jù)不等式的解集的公共部分是不等式組的解集,可得答案.【解答】解:,解得,故選:C.【點(diǎn)評】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集,不等式的解集的公共部分是不等式組的解集.5.【分析】從圖象上得到函數(shù)的增減性及與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),即能求得不等式kx+b>1的解集.【解答】解:直線y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1),且函數(shù)值y隨x的增大而增大,∴不等式kx+b>1的解集是x>0.故選:C.【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式,一次函數(shù)的圖象,一次函數(shù)的性質(zhì),認(rèn)真體會一次函數(shù)與一元一次方程及一元一次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系.6.【分析】由S△ABC=S△DEF,推出S四邊形ABEH=S陰即可解決問題.【解答】解:∵平移距離為7,∴BE=7,∵AB=6,DH=4,∴EH=6﹣4=2,∵S△ABC=S△DEF,∴S四邊形ABEH=S陰,∴陰影部分的面積為=×(6+2)×7=28.故選:C.【點(diǎn)評】此題主要考查了平移的基本性質(zhì):①平移不改變圖形的形狀和大??;②經(jīng)過平移,對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等,對應(yīng)線段平行且相等,對應(yīng)角相等,要熟練掌握.7.【分析】用線段垂直平分線的性質(zhì)判斷即可.【解答】解:獵狗到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,則獵狗應(yīng)蹲守在△ABC的三條邊垂直平分線的交點(diǎn).故選:B.【點(diǎn)評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì),以及三角形的角平分線、中線和高,熟練掌握以上性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.8.【分析】根據(jù)已知條件證得△ABP≌△EBP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=PE,得出S△ABP=S△EBP,S△ACP=S△ECP,推出S△PBC=S△ABC,代入求出即可.【解答】解:延長AP交BC于E,∵BP平分∠ABC,∴∠ABP=∠EBP,∵AP⊥BP,∴∠APB=∠EPB=90°,在△ABP和△EBP中,,∴△ABP≌△EBP(ASA),∴AP=PE,∴S△ABP=S△EBP,S△ACP=S△ECP,∴S△PBC=S△ABC=×9cm2=4.5cm2,故選:C.【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,三角形的面積的應(yīng)用,注意:等底等高的三角形的面積相等.9.【分析】根據(jù)角平分線定義得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC,∠EAC=2∠EAD,∠ACF=2∠DCF,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠ACF=∠ABC+∠BAC,∠EAC=∠ABC+∠ACB,根據(jù)已知結(jié)論逐步推理,即可判斷各項(xiàng).【解答】解:∵AD平分∠EAC,∴∠EAC=2∠EAD,∵∠EAC=∠ABC+∠ACB,∠ABC=∠ACB,∴∠EAD=∠ABC,∴AD∥BC,故①正確;∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∵BD平分∠ABC,∠ABC=∠ACB,∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC,∴∠ACB=2∠ADB,故②正確;∵∠ACF=2∠DCF,∠ACF=∠BAC+∠ABC,∠ABC=2∠DBC,∠DCF=∠DBC+∠BDC,∴∠BAC=2∠BDC,∠BDC=∠BAC,故③正確;在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°,∵CD平分△ABC的外角∠ACF,∴∠ACD=∠DCF,∵AD∥BC,∴∠ADC=∠DCF,∠ADB=∠DBC,∠CAD=∠ACB,∴AD=CD,∴△ACD是等腰三角形,∵∠ABC=∠ACB,∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∵BD平分∠ABC,∠ABD=∠DBC,∴∠ABD=∠ADB,∴△ABD是等腰三角形.故④正確.綜上所述,正確的有4個(gè).故選:D.【點(diǎn)評】此題考查了三角形外角性質(zhì),角平分線定義,平行線的判定,三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的推理能力,有一定的難度.10.【分析】用兩個(gè)正方形面積和減去重疊部分面積即可,重疊部分可看作兩個(gè)全等的直角三角形.【解答】解:設(shè)CD,C′B′交于E點(diǎn),連接AE,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△AOE≌△AB′E,∵旋轉(zhuǎn)角∠BAB′=30°,∴∠B′AO=90°﹣∠BAB′=60°,∴∠OAE=30°,在Rt△AOE中,OE=AO?tan30°=,∴S四邊形AOEB′=2×S△AOE=2××2×=,∴S風(fēng)箏面積=2S正方形ABCO﹣S四邊形AOEB′=8﹣.故選:B.【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì),解直角三角形,四邊形面積計(jì)算等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分割法求陰影部分面積′,屬于中考常考題型.二.填空題(每小題3分,共15分)11.【分析】根據(jù)橫坐標(biāo),右移加,左移減;縱坐標(biāo),上移加,下移減可得所求點(diǎn)的坐標(biāo)是(4+4,2﹣1),進(jìn)而得到答案.【解答】解:點(diǎn)A(4,2)先向右平移4個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位后的坐標(biāo)為(4+4,2﹣1),即:(8,1).故答案為:(8,1).【點(diǎn)評】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的變化,關(guān)鍵是掌握橫坐標(biāo),右移加,左移減;縱坐標(biāo),上移加,下移減.12.【分析】利用勾股定理的逆定理,證明三角形是直角三角形,再根據(jù)三角形的面積公式即可求出三角形的最長邊上的高.【解答】解:∵52+122=25+144=169,132=169,∴52+122=132,∴該三角形是直角三角形,∴此三角形的最長邊上的高=,故答案為:.【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的逆定理,三角形面積公式,解題關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.13.【分析】根據(jù)題意表示出小新的得分,進(jìn)而得出不等式即可.【解答】解:設(shè)小新答對了x道題,依題意可列不等式為:10x﹣6(20﹣x)>95.故答案為:10x﹣6(20﹣x)>95.【點(diǎn)評】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式,正確得出不等關(guān)系是解題關(guān)鍵.14.【分析】根據(jù)該不等式組僅有5個(gè)整數(shù)解,可得答案.【解答】解:解不等式組,得,∵關(guān)于x的不等式組有且僅有5個(gè)整數(shù)解,即6,5,4,3,2,∴解得.故答案為:.【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式組,利用不等式的解得出關(guān)于a的不等式是解題關(guān)鍵.15.【分析】根據(jù)題意,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì),結(jié)合直線GF與△ABC的一邊平行,分兩類:當(dāng)GF∥AB時(shí);當(dāng)GF∥BC時(shí);兩種情況討論求解即可得到答案,【解答】解:根據(jù)題意,將△ADE繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α(0°≤α≤90°)得到△GDF,即△GDF≌△ADE,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,∴AB=5.∵點(diǎn)D,E分別是邊AB.AC的中點(diǎn),∴DE是△ABC的中位線,∴AD=AB=,AE=AC=2.DE=BC=,當(dāng)GF∥AB時(shí),如圖所示:∴∠ADG=∠DGP,∠A=∠GPA,∵△GDF≌△ADE,∴∠A=∠DGP,∴△MDA和△MPG均為等腰三角形,且MD=MA.MP=MG,∴AP=AM+MP=MD+MG=DG,由△GDF≌△ADE得到DG=AD=,則CP=AC﹣AP=4﹣=,當(dāng)GF∥BC時(shí),如圖所示:∵DE∥BC,∴GF∥DE,∵∠C=90°,∴∠EPF=90°,∴EP∥DF,∴四邊形DFPE是平行四邊形,∵DE=DF,∠DFP=90°,∴?DFPE是正方形,∴EP=DF=DE=,∵EC=AC=2,∴PC=EC﹣EP==,解得PC=,綜上所述,CP的長為或.故答案為:或.【點(diǎn)評】本題考查求旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、全等三角形性質(zhì)、勾股定理、中點(diǎn)定義、中位線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì),分類討論是解決問題的關(guān)鍵.三.解答題(8小題,共75分)16.【分析】(1)先移項(xiàng),再合并同類項(xiàng),系數(shù)化1,即可作答.(2)分別算出每個(gè)不等式,再取它們的公共解集,即可作答.【解答】解:(1)3x﹣2≥1,3x≥1+2,3x≥3,x≥1;(2),去括號,去分母,得,解得,即6<x≤9.【點(diǎn)評】本題考查了解不等式或者不等式組,掌握解不等式是關(guān)鍵.17.【分析】(1)利用尺規(guī)作出線段AB的垂直平分線DF,交CB于D,交AB于F,連接AD;作∠CAD的角平分線交BC于E,點(diǎn)D,射線AE即為所求.(2)首先證明DA=DB,推出∠DAB=∠B=30°,利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC,∠DAC即可解決問題.【解答】解:(1)如圖,點(diǎn)D,射線AE即為所求.(2)∵DF垂直平分線段AB,∴DB=DA,∴∠DAB=∠B=30°,∵∠C=40°,∴∠BAC=180°﹣30°﹣40°=110°,∴∠CAD=110°﹣30°=80°,∵AE平分∠DAC,∴∠DAE=∠DAC=40°.【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣基本作圖,線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,屬于中考常考題型.18.【分析】(1)①根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可.②直接求出平行四邊形ABB1A1的面積即可.(2)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可.②由圖可得答案.【解答】解:(1)①如圖,△A1B1C1即為所求.②∵平行四邊形ABB1A1的面積為7×2=14,∴線段AB平移中掃過的面積為14.(2)①如圖,△AB2C2即為所求.②由圖可得,點(diǎn)C2的坐標(biāo)為(0,0).【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換、平移變換,熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平移的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.19.【分析】(1)根據(jù)AD∥BC得出∠1=∠B,∠2=∠C,再由∠1=∠2可知∠B=∠C,據(jù)此得出結(jié)論;(2)根據(jù)AB=AC得出∠B=∠C,由三角形外角的性質(zhì)可知∠1+∠2=∠B+∠C,再由∠1=∠2得出∠B=∠1,故可得出結(jié)論.【解答】證明:(1)∵AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C,∵∠1=∠2,∴∠B=∠C,∴AB=AC;(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠CAE是△ABC的外角,∴∠1+∠2=∠B+∠C,∵∠1=∠2,∴∠B=∠1,∴AD∥BC.【點(diǎn)評】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定,熟知以上知識是解題的關(guān)鍵.20.【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=BE,求出∠EBA=∠A=35°,再求出答案即可;(2)根據(jù)勾股定理求出BC,求出AC,再根據(jù)三角形的面積公式求出△ABC的面積即可.【解答】解:(1)∵∠C=90°,∠A=35°,∴∠ABC=90°﹣∠A=55°,∵DE是AB的垂直平分線,∴AE=BE,∴∠EBA=∠A=35°,∴∠CBE=∠ABC﹣∠EBA=55°﹣35°=20°;(2)在Rt△ECB中,∠C=90°,EC=1,BE=AE=3,由勾股定理得:BC===2,∵AE=3,EC=1,∴AC=AE+EC=3+1=4,∴△ABC的面積是==4.【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)和判定,線段垂直平分線的性質(zhì),三角形的面積等知識點(diǎn),能熟記線段垂直平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.21.【分析】(1)設(shè)文具A,文具B的進(jìn)價(jià)分別是x元,y元,根據(jù)購A文具5個(gè),B文具3個(gè),需要105元:若購進(jìn)A文具8個(gè),B文具6個(gè),需要186元,列出方程組進(jìn)行求解即可;(2)是購買文具A的數(shù)量為a個(gè),根據(jù)購進(jìn)文具A和文具B共80個(gè),且購進(jìn)文具B的數(shù)量不少于文具A的數(shù)量的列出不等式求出a的取值范圍,設(shè)總利潤為w,列出一次函數(shù)關(guān)系式,利用一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答】解:(1)設(shè)文具A,文具B的進(jìn)價(jià)分別是x元,y元,由題意,得:,解得:,答:文具A,文具B的進(jìn)價(jià)分別是12元和15元;(2)設(shè)購進(jìn)文具A的數(shù)量為a個(gè),則購進(jìn)文具B(80﹣a)個(gè),由題意,得:,解得:a≤48,設(shè)總利潤為w,由題意,得:w=(20﹣12)a+(21﹣15)(80﹣a)=2a+480,∴w隨a的增大而增大,∵a≤48,∴當(dāng)a=48時(shí),此時(shí)80﹣a=32,w有最大值為576;答:當(dāng)購進(jìn)文具A的數(shù)量為48個(gè),文具B的數(shù)量為32個(gè)時(shí),利潤最大為576元.【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用,一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用,一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,讀懂題意是關(guān)鍵.22.【分析】如圖,分別以Rt△ABC的三邊為邊長作正方形AHIB,ACDE,CBFG,如圖,連接AF,CI,過點(diǎn)C作AB的垂線,分別交AB和HI于點(diǎn)M,N.可證得△FBA≌△CBI(SAS),再根據(jù)圖形的面積即可證得結(jié)論.【解答】證明:如圖(1),在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.分別以Rt△ABC的三邊為邊長作正方形AHIB,ACDE,CBFG(如圖(2)),連接EB,CH過點(diǎn)C作AB的垂線,分別交AB和HI于點(diǎn)M,N.∵EA=CA,∠EAB=∠CAH=90°+∠CAB,AB=AH,∴△EAB≌△CAH(SAS),又∵S正方形ACDE=2S△EAB,S長方形AHNM=2S△CAH,∴b2=S長方形AHNM,如圖,分別以Rt△ABC的三邊為邊長作正方形AHIB,ACDE,CBFG,如圖,連接AF,CI,過點(diǎn)C作AB的垂線,分別交AB和HI于點(diǎn)M,N.∵BF=CB,∠FBA=∠CBI=90°+∠CBA,AB=BI,∴△FBA≌△CBI(SAS),又∵S正方形BCGF=2S△FBA,S長方形BINM=2S△CBI,∴a2=S長方形BINM,∴c2=a2+b2【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),三角形面積,矩形面積,正方形面積等,證明三角形全等,已知的兩對邊對應(yīng)相等時(shí),關(guān)鍵是找到夾角相等.23.【分
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