齊次線性方程組基礎(chǔ)解系_第1頁(yè)
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齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及其應(yīng)用齊次線性方程組一般表示成AX=0的形式，其主要結(jié)論有：（1）齊次線性方程組AX=0一定有解，解惟一的含義是只有零解，有非零解的含義是解不惟一（當(dāng)然有無(wú)窮多解）。有非零解的充要條件是R(A)<n；（2）齊次線性方程組AX=0解的線性組合還是它的解，因而解集合構(gòu)成向量空間，向量空間的極大線性無(wú)關(guān)組，叫基礎(chǔ)解系；（3）齊次線性方程組AX=0，當(dāng)系數(shù)矩陣的秩r(A)小于未知量的個(gè)數(shù)n時(shí)，存在基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系中含有n-r(A)個(gè)解向量；（4）對(duì)于齊次線性方程組AX=0，如果r(A)<n，則任意n-r(A)個(gè)線性無(wú)關(guān)的解都是基礎(chǔ)解系。定理1:設(shè)A是的矩陣，B是的矩陣，并且AB=0，那么r(A)+r(B)分析：這是一個(gè)非常重要的結(jié)論，多年考試題與它有關(guān)。同學(xué)們還要掌握本定理的證明方法。證：設(shè)，則，AB=0，即所以

所以，都是齊次線性方程組AB=0的解r(B)=秩所以

r(A)+r(B)評(píng)論：AB=0，對(duì)B依列分塊，時(shí)處理此類問(wèn)題的慣用方法。例1：要使都是線性方程組的解，只要系數(shù)矩陣為(A)[-211]

(B)

(C)

(D)解：由答案之未知量的個(gè)數(shù)是3。都是線性方程組的解，并且線性無(wú)關(guān)，所以

.只有（A）是正確的。例2：設(shè)n階方陣A的各行元素之和均為零,且A的秩為n-1,則線性方程組AX=0的通解為

.解：記，由于n階方陣A的各行元素之和均為零,

所以，且A的秩為n-1，所以就是七次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，所以，線性方程組AX=0的通解為例3：已知Q=,P為3階非零方陣,且滿足PQ=0,則(A)t=6時(shí)P的秩必為1

(B)t=6時(shí)P的秩必為2(C)t6時(shí)P的秩必為1

(D)t6時(shí)P的秩必為2解：記，因?yàn)槎际驱R次線性方程組，的解，當(dāng)時(shí)，線性無(wú)關(guān)，所以P為非零方陣，所以因而：t6時(shí)P的秩必為1，選（C）另解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，P為非零方陣，所以因而：t6時(shí)P的秩必為1，選（C）例4：設(shè)A是n（）階方陣，是的伴隨矩陣，那么：證明：時(shí)，由伴隨矩陣的定義知，伴隨矩

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