專題05 分式突破核心考點【知識梳理+解題方法+專題過關】 （原卷版）

專題05分式突破核心考點【聚焦考點+題型導航】考點一分式的判斷考點二分式的有無意義的條件考點三分式的值為零考點四求使分式為整數(shù)時未知數(shù)的整數(shù)值考點五利用分式的基本性質判斷分式值的變化考點六含乘方的分式乘除混合運算考點七分式加減乘除混合運算考點八已知分式恒等式，確定分子或分母考點九零指數(shù)冪及負整數(shù)指數(shù)冪考點十分式化簡求值考點十一分式方程的定義考點十二解分式方程考點十三根據(jù)分式方程解的情況求值考點十四分式方程的實際應用【知識梳理+解題方法】一、分式的定義分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．注：=1\*GB3①分式可以理解為兩個整式相除的商，分母是除數(shù)，分子是被除數(shù)，分數(shù)線是除號.=2\*GB3②整式B作為分母，則整式B0.=3\*GB3③只要最終能轉化為形式即可.=4\*GB3④B中若無字母，則變成系數(shù)乘A，為整式.二、分式的相關概念1）分式有意義的條件：分母不為0，即B02）分式的值為0的條件：分子為0，且分母不為0，即A=0且B03）分式為正的條件：分子與分母的積為正，即AB>04）分式為負的條件：分子與分母的積為負，即AB<0三、分式的基本性質1）分數(shù)的性質（特點）如下：=1\*GB3①分母不能為零;=2\*GB3②分數(shù)分子分母同乘除不為零的數(shù)，分數(shù)的大小不變;=3\*GB3③分數(shù)的通分與約分（短除法）.2）分式是分數(shù)的拓展延伸，分式有與分數(shù)類似的性質（特點）：=1\*GB3①分式分母也不能為零=2\*GB3②分式分子分母同乘除一個不為零的整式，分式大小不變.即：用式子表示為或，其中A，B，C均為整式．=3\*GB3③分式的通分與約分在知識點4中詳細講解.四、分式的約分與通分1）分式的約分：與分數(shù)的約分類似，約去分式分子、分母中的公因式（最大公約數(shù)）.注：有時，分式分子、分母需進行一定的轉換才有公因式.2）最簡分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．注：約分一般是將一個分式化為最簡分式，分式約分所得的結果有時可能成為整式．3）分式的通分：利用分式的性質，將分式的分母變成最小公倍數(shù)，分子根據(jù)分母擴大的倍數(shù)相應擴大，不改變分式的值.步驟：=1\*GB3①通過短除法，求出分式分母的最小公倍數(shù)；=2\*GB3②分母變?yōu)樽钚」稊?shù)的值，確定原式分母擴大的倍數(shù);=3\*GB3③分子對應擴大相同倍數(shù).4）最簡公分母：幾個分式通分時，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母．五、分式的混合運算分式是分數(shù)的擴展，因此分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似：1）分式的加減①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減．用式子表示為：．②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p．用式子表示為：．2）分式的乘法乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示為：．3）分式的除法除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．用式子表示為：．4）分式的乘方乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示為：為正整數(shù)，．5）分式的混合運算含有分式的乘方、乘除、加減的多種運算叫做分式的混合運算．混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號的，先算括號里的．注：上述所有計算中，結果中分子、分母可約分的，需進行約分化為最簡分式六、整數(shù)指數(shù)冪（冪的運算的擴大）1）前面已學習：=1\*GB3①am?an=am+n，（m，n是正整數(shù)）；=2\*GB3②（am）=3\*GB3③（ab）m=ambm，（m是正整數(shù)）；=4\*GB3④am÷an=am?n，（a≠0，m=5\*GB3⑤（ab）n=anbn，（n是正整數(shù)）；=6\*GB3若按照=4\*GB3④運算，當m<n時.如：a2÷a3=a2）針對這種現(xiàn)象，我們規(guī)定，當n為正整數(shù)時，a?n=1an（a≠03）冪的運算性質擴大當a≠0時=1\*GB3①am?an=am+n，（m，n=2\*GB3②（am）n=amn，（m，=3\*GB3③（ab）m=ambm，（m是正整數(shù)）（公式34）利用負指數(shù)化除為乘，設m，n為正整數(shù)，a≠0，根據(jù)定義am÷an5）科學記數(shù)法的擴大一般，一個小于1的數(shù)可以表示為a×10?n的形式，其中步驟：確定a值的大小.1＜a＜10；確定n的值.原數(shù)變?yōu)閍后，小數(shù)點向前移動x位，則原數(shù)相應擴大了10x倍.故n七、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個方程為分式方程的依據(jù)．八、分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．（2）解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當分母是多項式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗根．注意：解分式方程過程中，易錯點有：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項；②忘記驗根，最后的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．九、增根在方程變形時，有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗根，其方法是將根代入最簡公分母中，使最簡公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根．若這個整式方程本身無解，當然原分式方程就一定無解．十、分式方程的應用（1）分式方程的應用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．每個問題中涉及到三個量的關系，如：工作時間＝，時間＝等．（2）列分式方程解應用題的一般步驟：①設未知數(shù)；②找等量關系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗（一驗分式方程，二驗實際問題）；⑥答．【專題過關+能力提升】考點一分式的判斷1．（2022·廣西·南寧十四中八年級期中）下列式子中，是分式的是（

）A． B． C． D．2．（2022·安徽省宣城市奮飛學校七年級期中）在分式的個數(shù)有（）個．A．2 B．3 C．4 D．53．（2021·江蘇泰州·八年級期中）代數(shù)式、、、、中，分式共有________個．4．（2022·江蘇·泰州市第二中學附屬初中八年級期中）式子，，，，中，分式有_________個5．（2022·山東臨沂·八年級期末）式子①，②，③，④，⑤中，分式有________個考點二分式的有無意義的條件1．（2022·江蘇·射陽縣第四中學三模）若分式有意義，則x的取值范圍是_____．2．（2022·湖南省隆回縣第二中學八年級期中）若分式有意義，則x的取值范圍是_____________．3．（2021·廣西·南寧二中八年級期中）若要使分式有意義；則x滿足的條件是___________．4．（2022·上海市民辦新復興初級中學七年級期中）如果分式無意義，那么分式的值為______．5．（2022·安徽·宣城十二中七年級期中）已知分式，當時，分式的值為0；當時，分式無意義，則___________．考點三分式的值為零1．（2022·安徽·宣城十二中七年級期中）若分式的值為零，則?等于（

）?A．? B．? C．? D．?2．（2021·山東·日照市北京路中學八年級期末）分式，當x等于（）時分式的值為零．A．3 B． C．3或 D．無法確定3．（2022·湖南·洪江市實驗中學八年級期中）若分式的值為零，則x的值是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．44．（2022·江蘇·九年級開學考試）若分式的值為0，則x的值是______．5．（2022·山東·周村二中八年級階段練習）使分式的值為零的x的值是____．考點四求使分式為整數(shù)時未知數(shù)的整數(shù)值1．（2022·四川南充·九年級期中）若的值為整數(shù)，則正整數(shù)a的值為______．2．（2022·江蘇蘇州·八年級期末）分式的值是整數(shù)，則正整數(shù)的值等于______．3．（2022·浙江舟山·七年級期末）若表示一個整數(shù)，則整數(shù)x可取的個數(shù)有______個．4．（2022·湖南長沙·七年級階段練習）使代數(shù)式的值為整數(shù)的全體自然數(shù)的和是______．5．（2022·四川·成都市西川匯錦都學校八年級階段練習）已知為整數(shù)，且分式的值也為整數(shù)，則滿足條件的所有的值之和為______．考點五利用分式的基本性質判斷分式值的變化1．（2022·北京·清華附中八年級階段練習）如果把分式中的和都擴大2倍，那么分式的值（

）A．擴大2倍 B．縮小 C．縮小 D．不變2．（2022·河北石家莊·八年級期中）若，的值均擴大為原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是（

）A． B． C． D．3．（2022·北京房山·八年級期中）如果將分式中的字母的值分別擴大為原來的2倍，那么分式的值（）A．不改變 B．擴大為原來的2倍C．縮小為原來的 D．縮小為原來的4．（2022·廣西·柳州二十五中八年級期中）如果把分式中的和都擴大為原來的10倍，那么分式的值（

）A．不變 B．擴大為原來的10倍C．縮小為原來的倍 D．縮小為原來的5．（2022·山東·濟南市鋼城區(qū)艾山第一初級中學八年級期中）將分式中的的值同時擴大3倍，則擴大后分式的值（）A．擴大3倍 B．擴大6倍 C．擴大9倍 D．擴大27倍考點六含乘方的分式乘除混合運算1．（2022·北京房山·八年級期中）計算：．2．（2021·山東·單縣湖西學校八年級階段練習）計算：3．（2020·北京·大峪中學八年級期中）計算．4．（2021·全國·八年級課時練習）．5．（2022·湖南師大附中博才實驗中學八年級期末）（1）計算：；（2）化簡：．考點七分式加減乘除混合運算1．（2022·江蘇連云港·八年級期中）計算：(1)；(2)．2．（2021·江蘇南京·八年級期末）化簡：（1）﹣；（2）（1﹣）÷（）．3．（2022·山東山東·八年級期中）計算：(1)(2)(3)4．（2022·山東威?！ぐ四昙壠谥校┯嬎悖?1)(2)(3)5．（2021·河南·鄭州外國語中學模擬預測）下面是小斌同學進行分式化簡的過程，請認真閱讀并解答問題．=

第一步=

第二步=

第三步=

第四步=

第五步=

第六步

（1）填空：a．以上化簡步驟中，第步是進行分式的通分，通分的依據(jù)是b．第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是①，②．（2）請直接寫出該分式化簡后的正確結果．（3）除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學習經(jīng)驗，就分式化簡時還需要注意的事項給其他同學提一條建議．6．（2022·江蘇·八年級專題練習）我們知道，假分數(shù)可以化為整數(shù)與真分數(shù)的和的形式．例如：．在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．例如：像，…這樣的分式是假分式；像，，…這樣的分式是真分式．類似的，假分式也可以化為整式與真分式的和的形式．例如：；＝x+2+．(1)下列分式中，屬于真分式的是：（填序號）①；②；③；④．(2)將分式化為整式與真分式的和的形式；(3)如果分式的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值．考點八已知分式恒等式，確定分子或分母1．（2022·河南·南陽市第二十一學校八年級階段練習）已知，則_________________．2．（2022·陜西·西北大學附中八年級期中）若，則_________，_________．3．（2021·湖南·邵陽市第六中學八年級階段練習）已，則的值是__________．4．（2022·湖南長沙·七年級階段練習）已知，其中，，，為常數(shù)，則______．考點九零指數(shù)冪及負整數(shù)指數(shù)冪1．（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學校八年級階段練習）著式子有意義，則x必須滿足___________2．（2022·湖南邵陽·八年級期中）若，則a的值是______．3．（2021·河南·輝縣市太行中學八年級期中）要使得有意義，的取值應滿足的條件是___________．4．（2022·河南·輝縣市太行中學八年級期中）要使得有意義，x的取值應滿足的條件是_________________．5．（2022·安徽·宣城十二中七年級期中）對于實數(shù)、，定義運算：；如：?，．照此定義的運算方式計算___________．考點十分式化簡求值1．（2022·北京·清華附中八年級階段練習）已知，求代數(shù)式的值．2．（2022·安徽省宣城市奮飛學校七年級期中）先化簡分式，再代入求值：?，其中?是?的整數(shù)．3．（2022·北京四中八年級階段練習）先化簡，再求值：，其中4．（2022·湖南邵陽·八年級期中）先化簡，然后從1，2，3中選取一個合適的數(shù)作為a的值代入求值．5．（2022·山東·濟寧學院附屬中學八年級期中）先化簡，再求值：，再選一個合適的數(shù)x代入求值．6．（2022·湖南邵陽·八年級期中）先化簡：；再請從，，0，1，2中選擇一個合適的數(shù)值代入求值．7．（2022·上海市民辦新北郊初級中學七年級階段練習）先化簡：然后在3，2，和四個數(shù)中任選一個合適的數(shù)代入求值．考點十一分式方程的定義1．（2020·上海市徐匯中學七年級階段練習）下列各式中屬于分式方程的是（）A． B． C． D．2．（2021·河南省淮濱縣第一中學模擬預測）下列方程：①；②；③；④（為已知數(shù)），其中分式方程有（

）A．個 B．個 C．個 D．個3．（2021·山東威海·八年級期中）已知方程：①；②；③；④．這四個方程中，分式方程的個數(shù)是（

）A． B． C． D．4．（2021·全國·九年級專題練習）在方程中，分式方程有______個．5．（2021·全國·九年級專題練習）下列方程是關于x的方程，其中是分式方程的是_______（只填序號）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．考點十二解分式方程1．（2022·北京·清華附中八年級階段練習）解分式方程．(1)；(2)．2．（2022·山東·濟寧學院附屬中學八年級期中）解分式方程：(1)；(2)．3．（2021·重慶巴蜀中學八年級期中）解分式方程：(1)(2)4．（2022·山東·巨野縣教學研究中心八年級期中）解方程：(1)(2)5．（2022·廣西桂林·八年級期中）下面是解分式方程的一般過程，閱讀完后請?zhí)羁铡媒夥质椒匠蹋航猓悍匠虄蛇呁艘?，得；（第一步）解得：．檢驗：當x=2時，．因此不是原方程的解．所以，原分式方程無解．(1)第一步計算中的是__，進行這一步運算的依據(jù)是(2)用類比的方法解分式方程：6．（2022·山東·濟南市鋼城區(qū)艾山第一初級中學八年級期中）關于的方程的解是；關于的方程的解是；關于的方程的解是；關于的方程即的解是；(1)請觀察上述方程與解的特征，猜想關于的方程的解是什么？并利用“方程的解”的概念進行驗證；(2)利用閱讀材料，解關于的方程．考點十三根據(jù)分式方程解的情況求值1．（2022·湖南邵陽·八年級期中）若關于x的方程有增根，則a的值____________．2．（2022·湖南邵陽·八年級期中）若關于的分式方程有增根，那么的值是______．3．（2022·江蘇·揚州市江都區(qū)第三中學八年級階段練習）關于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是____________4．（2022·新疆·兵團二中八年級期中）若關于的一元一次不等式組的解集為，且關于的分式方程的解是非負整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是______．5．（2022·四川·成都市西川匯錦都學校八年級階段練習）關于的分式方程的解為正數(shù)，且使關于的一元一次不等式組有解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是______．考點十四分式方程的實際應用1．（2022·北京·清華附中八年級階段練習）列分式方程解應用題：年北京冬奧會吉祥物冰墩墩深受大家的喜歡．某工廠為了滿足市場需求，提高生產(chǎn)效率，在生產(chǎn)操作中需要用機器人來搬運原材料．現(xiàn)有A，B兩種機器人，型機器人比型機器人每小時多搬運，型機器人搬運所用時間與型機器人搬運所用時間相等，則兩種機器人每小時分別搬運多少原料?2．（2022·山東煙臺·八年級期中）某商場用5000元購進一批服裝，由于銷路好，商場又用18600元購進了第二批這種服裝，所購數(shù)量是第