2023屆北京市東城區(qū)示范校高考沖刺模擬數(shù)學試題含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某工廠利用隨機數(shù)表示對生產(chǎn)的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001,002,...

599,600.從中抽取60個樣本，下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行：

32211831297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578321577892345

若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是（）

A.324B.522C.535D.578

2.下列函數(shù)中，值域為R的偶函數(shù)是（）

A.y=x2+1B.y=ex-e~xC.y=lgxD.了=岳

97

3.拋物線”2=亦0>0/的準線與雙曲線/的兩條漸近線所圍成的三角形面積為24，貝!1“的值為（）

,84

A.8B.6C.4D.2

2020

4.著名的斐波那契數(shù)列｛風｝：1,1,2,3,5,8,滿足4=生=1，%+2=q+1+4，”eN*，若4=

?=1

貝II左=()

A.2020B.4038C.4039D.4040

5.在直角坐標系中，已知A（1,0）,B（4,0）,若直線x+,町-1=0上存在點P,使得|融|=2|尸8],則正實數(shù)"，的最

小值是（）

1

A.-B.3C.—D.73

33

6.已知正項等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，且7s2=4S4,則公比4的值為（）

B.I或；C.與D.

A.1

7.如圖，在平行四邊形A6CO中，。為對角線的交點，點P為平行四邊形外一點，且AP||3尸〃。4,則而=

A

P

——3一一

A.DA+2DCB.-DA+DC

C.2DA+DCD.^DA+^DC

8.在三棱錐O—ABC中，AB=BC=CD=DA=1,且BC,C￡>，D4,M,N分別是棱8C,CO的中點，

下面四個結(jié)論：

①

②MN//平面ABD;

③三棱錐A-CMN的體積的最大值為—；

12

④AO與BC一定不垂直.

其中所有正確命題的序號是（）

A.①②③B.②③④C.①④D.①②④

9.已知函數(shù)/（"=罐（a>0,且401）在區(qū)間［帆,2向上的值域為［八2向，貝！|a=（）

A.V2B.-C.而或夜D.i或4

10.射線測厚技術(shù)原理公式為/=/儼"必，其中/。，/分別為射線穿過被測物前后的強度，e是自然對數(shù)的底數(shù)，，為被

測物厚度，P為被測物的密度，〃是被測物對射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用錮241（即A機）低能/射線測量鋼板的

厚度.若這種射線對鋼板的半價層厚度為0.8,鋼的密度為7.6,則這種射線的吸收系數(shù)為（）

（注：半價層厚度是指將已知射線強度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度，In2《0.6931,結(jié)果精確到0.001）

A.0.110B.0.112C.0.114D.0.116

11.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)''合稱“六藝禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是

體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)，'，指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連

排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在第三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，貝臚六藝”課程講座

不同的排課順序共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

12.已知集合A={0,1,2,3},B={x|—24x42},則等于（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0,1,2}c.{-2,-1,0,1,2,3}D.{1,2}

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在AABC中，內(nèi)角AB,。所對的邊分別為仇。，

若2cosA(/?cosC+ccosB)=a=V13,z\ABC的面積為36，

貝！|A=,h+c=.

14.已知等差數(shù)列{4}的各項均為正數(shù)，6=1,且出+4=%，若〃—4=10,則%一4=.

15.如圖，在一個倒置的高為2的圓錐形容器中，裝有深度為〃的水，再放入一個半徑為1的不銹鋼制的實心半球后,

半球的大圓面、水面均與容器口相平，則〃的值為.

16.已知正數(shù)a,6滿足a+b=L則。+工的最小值等于，此時許.

ab

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用

于藝術(shù)裝飾，如圖1.為了便于設(shè)計，可將該禮品看成是由圓。及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊上的高所在直線

A0旋轉(zhuǎn)180。而成，如圖2.已知圓。的半徑為10an,設(shè)/區(qū)40=。,0＜。＜,，圓錐的側(cè)面積為Sc＞.

(1)求S關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式；

(2)為了達到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積S最大.求S取得最大值時腰A8的長度.

18.(12分)如圖，在四棱錐P-A5CZ)中，底面ABC。是直角梯形且AD〃BC,ABLBC,AB=BC^2AD=2,

側(cè)面為等邊三角形，且平面243,平面ABC。.

(1)求平面Q4B與平面POC所成的銳二面角的大小：

(2)若。。=義。&0效叫I),且直線8Q與平面POC所成角為q，求X的值.

19.(12分)已知中心在原點。的橢圓C的左焦點為耳(一1,0),C與丁軸正半軸交點為A，且

(1)求橢圓C的標準方程；

k

(2)過點A作斜率為占、&(%#2。0)的兩條直線分別交C于異于點A的兩點M、N.證明：當&■時，直

線MN過定點.

20.(12分)如圖，在四棱錐A—3CDE中，平面BCDE，平面ABC,BE±EC,BC=1,AB=2,ZABC=60°.

(I)求證：B￡1平面ACE；

(II)若銳二面角￡一AB-。的余弦值為亙，求直線CE與平面ABC所成的角.

7

21.(12分)已知AA5C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,若c=2a,bsinB-asinA=-asinC.

2

(I)求sinB的值；

TT

(II)求sin(2B+y)的值.

22.(10分)若〃>()/>0,且—I—=Vcib

ab

(1)求/+尸的最小值；

(2)是否存在。力，使得2a+3b=6?并說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

因為要對600個零件進行編號，所以編號必須是三位數(shù)，因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，大于600的,

重復出現(xiàn)的舍去，直至得到第六個編號.

【詳解】

從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，編號內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為：

436,535,577,348,522,535,578,324,577,…，因為535重復出現(xiàn)，所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為

436,535,577,348,522,578,324,…，故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.

【點睛】

本題考查了隨機數(shù)表表的應用，正確掌握隨機數(shù)表法的使用方法是解題的關(guān)鍵.

2.C

【解析】

試題分析：A中，函數(shù)為偶函數(shù)，但yNl,不滿足條件；B中，函數(shù)為奇函數(shù)，不滿足條件；C中，函數(shù)為偶函數(shù)且

yeR,滿足條件；D中，函數(shù)為偶函數(shù)，但>20,不滿足條件，故選C.

考點：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的值域.

3.A

【解析】

求得拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程，解得兩交點，由三角形的面積公式，計算即可得到所求值.

【詳解】

拋物線/=ax（a>0/的準線為X=_j雙曲線c；工一1=/的兩條漸近線為1.=±可得兩交點為,g-今卜（牛）

即有三角形的面積為,x-x—=272.解得。=8,故選A.

244

【點睛】

本題考查三角形的面積的求法，注意運用拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

計算a,+%=?4，代入等式，根據(jù)知+2=4川+化簡得到答案.

【詳解】

%=1,%=2,%=3,故4+/=。4，

2020

￡“2〃-1=4+“3+…+。4039=%+“5+%+…+。4039=4+%+-+”4039=…=^4040，

n=l

故z=4040.

故選：D.

【點睛】

本題考查了斐波那契數(shù)列，意在考查學生的計算能力和應用能力.

5.D

【解析】

設(shè)點P。一緲,y）,由|P4|=2|PB|,得關(guān)于）'的方程.由題意，該方程有解，則△之。，求出正實數(shù)，〃的取值范圍,

即求正實數(shù)m的最小值.

【詳解】

由題意，設(shè)點尸（1一年,y）.

■.■\PA\=2\PB\,：.\PAf=4\PBf,

即（1-〃+y2=4［（l-my_4）-+y2,

整理得（〃廣+1））,+8平y(tǒng)+12=0,

則△=（8/〃）2-4（，〃2+1）x1220,解得m26或機4一6.

?/m>0,:.m>G,mniin=G.

故選：D.

【點睛】

本題考查直線與方程，考查平面內(nèi)兩點間距離公式，屬于中檔題.

6.C

【解析】

由7s2=4S,可得3(q+%)=4(%+4)，故可求q的值.

【詳解】

因為7s2=4$4,所以3(q+6?2)=4(S4-S2)=4(o,+q)，

故“2=:,因｛a,｝為正項等比數(shù)列，故4>0,所以夕=白，故選C.

【點睛】

一般地，如果｛q｝為等比數(shù)列，S,為其前〃項和，則有性質(zhì)：

(1)若m,〃,p,qeN*,機+〃=p+4,貝(Ja,“4,=瑪4；

(2)公比4工1時，則有5“=A+3q",其中A,8為常數(shù)且A+B=O；

(3)Sn,S2?-Sn,S3n-S2n,-為等比數(shù)列(S#0)且公比為q".

7.D

【解析】

連接0P,根據(jù)題目，證明出四邊形AP。。為平行四邊形，然后，利用向量的線性運算即可求出答案

【詳解】

連接0P,由AP||OB,3尸〃。4知，四邊形AP30為平行四邊形，可得四邊形"0。為平行四邊形，所以

____1131

DP^DA+DO=DA+-DA+-DC^-DA+-DC.

2222

【點睛】

本題考查向量的線性運算問題，屬于基礎(chǔ)題

8.D

【解析】

①通過證明ACJ_平面OBO,證得②通過證明MN//3O,證得例N//平面加(；③求得三棱錐

A-CNN體積的最大值，由此判斷③的正確性；④利用反證法證得AD與3c一定不垂直.

【詳解】

設(shè)AC的中點為。，連接。8,。。，則AC_L03,AC1OD,又所以AC_L平面0B。，所以

AC，BO,故①正確；因為MV//BO,所以例N//平面4h，故②正確；當平面D4c與平面ABC垂直時，VA_CMN

最大'最大值為喂.=匕小=/$點=能,故③錯誤；若與8C垂直，又因為所以3S

平面4口，所以XBD1AC,所以5。，平面A8C,所以8￡>_LOB,因為OB=OD,所以顯然3。

與08不可能垂直，故④正確.

故選：D

D

B

【點睛】

本小題主要考查空間線線垂直、線面平行、幾何體體積有關(guān)命題真假性的判斷，考查空間想象能力和邏輯推理能力，

屬于中檔題.

9.C

【解析】

對。進行分類討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域求解.

【詳解】

d"—""—2m

分析知，m>0.討論：當4>1時，\,所以d"=2,m=2,所以4=收；當0<。<1時，<,

a2,n=2m[a2m2=m

所以a"'=g,根=；,所以.綜上，a=，或故選C.

【點睛】

本題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域問題，指數(shù)函數(shù)的值域一般是利用單調(diào)性求解，側(cè)重考查數(shù)學運算和數(shù)學抽象的核心素

養(yǎng).

10.C

【解析】

根據(jù)題意知,r=0區(qū)。=7.6,；=；,代入公式/=i°e?，求出〃即可.

AZ

【詳解】

由題意可得,f=0&夕=7.6,：=；因為/=,

所以1=e-7.6*0.8*即=_ln2_...0.6931

?0.114.

27.6X0.86.08

所以這種射線的吸收系數(shù)為0114.

故選:C

【點睛】

本題主要考查知識的遷移能力，把數(shù)學知識與物理知識相融合;重點考查指數(shù)型函數(shù)，利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來研究指數(shù)型

函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程；屬于中檔題.

11.C

【解析】

根據(jù)“數(shù)”排在第三節(jié)，則“射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法，再考慮兩者的順序，有"=2種，剩余的3門全排列,

即可求解.

【詳解】

由題意，“數(shù)”排在第三節(jié)，貝心射"和“御'’兩門課程相鄰時，可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6

節(jié)，有3種，再考慮兩者的順序，有&=2種，

剩余的3門全排列，安排在剩下的3個位置，有=6種，

所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有3x2x6=36種不同的排法.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了排列、組合的應用，其中解答中認真審題，根據(jù)題設(shè)條件，先排列有限制條件的元素是解答的關(guān)鍵,

著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.A

【解析】

進行交集的運算即可.

【詳解】

???A={0,1,2,3},8={x|—2領(lǐng)Jc2},

二噌8={0,1，2).

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-7

3

【解析】

(1)由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可得2cosAsinA=sinA,從而求得

cosA=1,結(jié)合范圍Ae(O,兀),即可得到答案

(2)運用余弦定理和三角形面積公式，結(jié)合完全平方公式，即可得到答案

【詳解】

(1)由已知及正弦定理可得

2cosA(sinflcosC+sinCcos5)=sinA,可得：2cosAsin(B+C)=sinA

解得2cosAsinA=sinA,BPcosA=—

2

,：Ae(0,,

7C

A=—

3

⑵由面積公式可得：3jJ=g0csinA=￥尻，即歷=12

由余弦定理可得：13=62+/—2/?ccosA

即有13=(/?+C)2—3/?C=(/?+C)2—36

解得匕+c=7

【點睛】

本題主要考查了運用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎(chǔ)，只要按照題意運用公式即可求出答案

14.10

【解析】

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d>0,根據(jù)4=1,且。2+4=6,可得2+6d=l+7d,解得d,進而得出結(jié)論.

【詳解】

設(shè)公差為d,

因為出+4=4,

所以q+d+a1+5d=4+1d,

所以d=4=1,

所以%-4=（〃一q）d=10xl=10

故答案為：10

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式、需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.蚯

【解析】

由已知可得到圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.

【詳解】

設(shè)圓錐的底面半徑為廣，體積為V,半球的體積為匕，水（小圓錐）的體積為匕，如圖

rh,4

則OA=r,OC=l,O3=2,班=/?,所以ED=2xr=V777xl，解得/=§，

所以V=，乃/x2=§萬，V.=—7T,V,=—7rx(—)2xh=—7rhy,

39132329

Q21

由丫=匕+匕，得萬=乃+乃川，解得力=蚯.

939

故答案為：啦

【點睛】

本題考查圓錐的體積、球的體積的計算，考查學生空間想象能力與計算能力，是一道中檔題.

16.3

2

【解析】

根據(jù)題意，分析可得2+,=2+@±2=2+3+1,由基本不等式的性質(zhì)可得最小值，進而分析基本不等式成立的條

ababab

件可得a的值，即可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，正數(shù)。、〃滿足a+Z?=l,

b1ba+bba,lba,_

則一+-=-+----=-+-+l>2/-x-+l=3,

abababNab

當且僅當a=b==時，等號成立，

故2+工的最小值為3,此時a=’.

ab2

故答案為：3；—.

2

【點睛】

本題考查基本不等式及其應用，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)S=400兀sinOcos?。，(0<^<-)(2)側(cè)面積S取得最大值時，等腰三角形的腰AB的長度為型?cm

23

【解析】

7T

試題分析：(1)由條件，AB=20cos6,8D=20cos夕sin。，所以S=400萬sinScos?。，(0<6><-);(2)

2

S=400萬sin9cos2g=400乃卜所以得/(x)=x—丁，通過求導分析，得/(x)在x=*

時取得極大值，也是最大值.

試題解析：

(1)設(shè)B］交BC于點D,過G作。垂足為E，

在AAOE1中，AE=10cos0>AB=2AE=20cos^,

在AABD中，BD=AB?sin。=20cos夕sin。,

JI

所以S=400萬sinecos?。，(0<^<—)

2

(2)要使側(cè)面積最大，由(1)得：

S=400萬sin6cos2,=4OO^-(sin^-sin30j

☆x=sin。，所以得/(x)=x-x3,

由f，(x)=l-3d=0得:

時，/,(x)>0,當xw時，rw<o

所以/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減,

所以/(“在工=當時取得極大值，也是最大值;

所以當sin。=也時，側(cè)面積S取得最大值,

3

此時等腰三角形的腰長AB=20cos6=2071-sin2^=20

答：側(cè)面積S取得最大值時，等腰三角形的腰AB的長度為型底cm.

3

18.(1)-；(2)延立.

46

【解析】

(1)分別取ABCD的中點為O,E,易得OP,OE,OB兩兩垂直，以O(shè)E,OB,OP所在直線為劉z軸建立空

間直角坐標系，易得汨=(1,0,0)為平面Q48的法向量，只需求出平面PDC的法向量為7,再利用

cos6=|cos<n-AD>|=計算即可；

\n\\AD\

(2)求出麗，利用|cos<W,8C>|=sin。計算即可.

【詳解】

(1)分別取A8的中點為O,E,連結(jié)PQEO.

因為AO〃8C,所以。E〃8C.

因為所以ABJ_O￡.

因為側(cè)面243為等邊三角形，

所以AB_LOP

又因為平面Q4B_L平面ABCD,

平面P/LBc平面ABC￡>=AB,OPu平面。46,

所以O(shè)P_L平面ABCD,

所以O(shè)P,OE,03兩兩垂直.

以。為空間坐標系的原點，分別以O(shè)EOB,OP所在直線為X，Vz軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

^AB=BC=2AD=2,則O(0,0,0),4(0,T0),B(0,l,0),C(2,l,0),Z>(l,-l,0),P(0,0,百),

DC=(1,2,0),PC=(2,1,-73).

_n-DC=Ofx+2y=0

設(shè)平面PDC的法向量為九=(x,y,z),貝!r，即〈廠^

n-PC=0[2x+y-\J3z=0

取1y=1，則x=—2,z=—G，所以〃=(—2,1,—6).

又礪二(1,0,0)為平面B45的法向量，設(shè)平面與平面POC所成的銳二面角的大小為則

cosg=|COS<A2-AD>1=I"=/2,=顯,

川皿7(-2)2+12+(-73)22

]T

所以平面.與平面加c所成的銳二面角的大小為“

(2)由(1)得，平面由DC的法向量為石=(-2,1,-百)，前=(2,1,-石),

所以成苑=前+義守=(-2義+2,-/1,&)(0效丸1).

又直線BQ與平面PDC所成角為y,

所以|cos“，麗>|=sing,即魯?shù)?*,

3I〃II5。I2

14A—4—?1—3/11\/5

P7(-2)2+12+C-x/3)2X7(-2A+2)2+(-2)2+(>/32)22，

化簡得6萬-64+1=0,所以丸=也8,符合題意.

6

【點睛】

本題考查利用向量坐標法求面面角、線面角，涉及到面面垂直的性質(zhì)定理的應用，做好此類題的關(guān)鍵是準確寫出點的

坐標，是一道中檔題.

22

19.(1)—+^-=1；(2)見解析.

43

【解析】

(1)在RfA4￡。中，計算出|做|的值，可得出。的值，進而可得出。的值，由此可得出橢圓C的標準方程；

(2)設(shè)點A/(4，x)、N(x2,y2),設(shè)直線MN的方程為丫=履+，"，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理,

根據(jù)已知條件得出%#2=匕+自，利用韋達定理和斜率公式化簡得出〃，與攵所滿足的關(guān)系式，代入直線MN的方程,

即可得出直線MN所過定點的坐標.

【詳解】

⑴在R〃kAf；。中，|0耳|=c=l,|AK|=J|OA『+|O凰2=",

'''^AF}O--,Z-OAF[--,.1.?=|^/^|==2,=J4—C?=6),

3o

22

因此，橢圓C的標準方程為上+二=1；

43

(2)由題不妨設(shè)MV:y=依+/”，設(shè)點M(X],y),N(x2,y2)

’22

土匕=]

聯(lián)立{43一，消去y化簡得(4公+3)/+8加a+4〃/-12=0,

y=kx+m

口8km4/?z2-12

且i=一而音…2=上"

1k、....y.—必-

15/3%-5/3Vi->/3V3

?/k2=―—,;北屈=卜七,.??二——=—―+-^—―,

與一1玉x2x}x2

，代入y=Ax’+m(，=1,2),化簡得(女2一22)中2+(&-1)卜”6)(%+々)+m2-2gm+3=0,

化簡得8GM加一

,;m±C，..86k=3Qn一6),...m=8fA+&,

直線MN:y=kx+8匣因此，直線MN過定點(一攣，百.

【點睛】

本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了橢圓中直線過定點的問題，考查計算能力，屬于中等題.

20.(I)詳見解析；(H)45°.

【解析】

(I)由余弦定理解得AC,即可得到ACL8C,由面面垂直的性質(zhì)可得AC,平面3CDE,即可得到AC_L8￡,

從而得證；

(H)在平面BCDE中，過點E作EOLBC于點。，則OE_L平面ABC,如圖所示建立空間直角坐標系，設(shè)

A(-a,J5,0),E(0,0/),其中0<。<1,匕>0,利用空間向量法得到二面角的余弦，即可得到。力的關(guān)系，從而得

解；

【詳解】

解：(I)證明：在AABC中，AC2=BC2+AB2-2BC-cosZABC?解得AC=g,

則AC?+=452,從而ACj_8c

因為平面BCDEL平面ABC,平