云南省2024屆高三學期3-3-3高考備考診斷性聯(lián)考卷（二）數(shù)學試題（含答案）

【新結(jié)構(gòu)】云南省2024屆高三學期”3+3+3“高考備考診斷性聯(lián)考卷（二）數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)，則(

)A.2 B.1 C. D.2.擲兩顆均勻的骰子，則點數(shù)之和小于5的概率等于(

)A. B. C. D.3.計算：(

)A. B. C. D.4.已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，且當，，時，，若，，，則下列選項正確的是(

)A. B. C. D.5.如圖，將兩個相同大小的圓柱垂直放置，兩圓柱的底面直徑與高相等，且中心重合，它們所圍成的幾何體稱為“牟合方蓋”，已知兩圓柱的高為2，則該“牟合方蓋”內(nèi)切球的體積為(

)

A. B. C. D.6.某學校高三年級男生共有個，女生共有個，為調(diào)查該年級學生的年齡情況，通過分層抽樣，得到男生和女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為，和，，已知，則該校高三年級全體學生年齡的方差為(

)A. B.

C. D.7.已知拋物線的焦點為F，過點F的兩條互相垂直的直線，分別與拋物線C交于點A，B和D，E，其中點A，D在第一象限，則四邊形ADBE的面積的最小值為(

)A.64 B.32 C.16 D.88.當前，全球新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓬勃發(fā)展，汽車與能源、交通、信息通信等領(lǐng)域有關(guān)技術(shù)加速融合，電動化、網(wǎng)聯(lián)化、智能化成為汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展潮流和趨勢.某車企為轉(zhuǎn)型升級，從2024年起大力發(fā)展新能源汽車，2024年全年預計生產(chǎn)新能源汽車10萬輛，每輛車的利潤為2萬元.假設(shè)后續(xù)的幾年中，經(jīng)過車企關(guān)鍵核心技術(shù)的不斷突破和受眾購買力的提升，每年新能源汽車的產(chǎn)量都比前一年增加假設(shè)每年生產(chǎn)的新能源汽車都能銷售出去，每輛車的利潤都比前一年增加2000元，則至2030年年底，該汽車集團銷售新能源汽車的總利潤約為參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到(

)A.億元 B.億元 C.億元 D.億元二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，則(

)A.在區(qū)間上單調(diào)遞減

B.在區(qū)間上有兩個極值點

C.直線是曲線的對稱軸

D.直線是曲線的切線10.如圖，直四棱柱的底面是梯形，，，，，P是棱的中點在直四棱柱的表面上運動，則(

)

A.若Q在棱上運動，則的最小值為

B.若Q在棱上運動，則三棱錐的體積為定值

C.若，則Q點的軌跡為平行四邊形

D.若，則Q點的軌跡長度為11.已知定義在R上的函數(shù)滿足：，且，則下列說法中正確的是(

)A.是偶函數(shù)

B.關(guān)于點對稱

C.設(shè)數(shù)列滿足，則的前2024項和為0

D.可以是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知集合，，若且，則實數(shù)a的取值范圍是__________.13.某賓館安排A，B，C，D，E五人入住4個房間，每個房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，則共有__________種不同的安排方法用數(shù)字作答14.已知A，B，C，D是橢圓上四個不同的點，且是線段AB，CD的交點，且，則直線AC的斜率為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足求角為邊BC上一點，，且，求16.本小題15分已知函數(shù)，若函數(shù)在處的切線l也與函數(shù)的圖象相切，求a的值;若恒成立，求a的取值范圍.17.本小題15分

如圖，在多面體ABCDE中，，，，記平面平面，

若B在以AC為直徑的圓上運動，證明：若N為線段AC的中點，求直線EN與平面ABD所成角的正弦值.18.本小題17分橢圓的左、右焦點分別為，，點P在橢圓C上運動與左、右頂點不重合，已知的內(nèi)切圓圓心為M，延長PM交x軸于點當點P運動到橢圓C的上頂點時，求當點P在橢圓C上運動時，為定值，求內(nèi)切圓圓心M的軌跡方程;點M關(guān)于x軸對稱的點為N，直線與相交于點Q，已知點Q的軌跡為過點的直線l與曲線交于A，B兩點，試說明：是否存在直線l，使得點H為線段AB的中點，若存在，求出直線l的方程;若不存在，請說明理由.19.本小題17分材料一：英國數(shù)學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計理論，對于統(tǒng)計決策函數(shù)、統(tǒng)計推斷等做出了重要貢獻.貝葉斯公式就是他的重大發(fā)現(xiàn)，它用來描述兩個條件概率之間的關(guān)系.該公式為：設(shè)，，，是一組兩兩互斥的事件，，且，，2，，n，則對任意的事件，，有，，2，，材料二：馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.其數(shù)學定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是，，，，，，那么時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即

請根據(jù)以上材料，回答下列問題.已知德國電車市場中，有的車電池性能很好公司出口的電動汽車，在德國汽車市場中占比，其中有的汽車電池性能很好.現(xiàn)有一名顧客在德國購買一輛電動汽車，已知他購買的汽車不是W公司的，求該汽車電池性能很好的概率結(jié)果精確到為迅速搶占市場，W公司計劃進行電動汽車推廣活動.活動規(guī)則如下：有11個排成一行的格子，編號從左至右為0，1，，10，有一個小球在格子中運動，每次小球有的概率向左移動一格;有的概率向右移動一格，規(guī)定小球移動到編號為0或者10的格子時，小球不再移動，一輪游戲結(jié)束.若小球最終停在10號格子，則贏得6百歐元的購車代金券;若小球最終停留在0號格子，則客戶獲得一個紀念品.記為以下事件發(fā)生的概率：小球開始位于第i個格子，且最終停留在第10個格子.一名顧客在一次游戲中，小球開始位于第5個格子，求他獲得代金券的概率.答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查復數(shù)的模，利用復數(shù)的四則運算進行化簡是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．

化簡復數(shù)，由模的公式可得答案．【解答】

解：，

，

，

故選2.【答案】D

【解析】【分析】本題考查古典概型，屬于基礎(chǔ)題.

得到拋擲兩顆骰子所出現(xiàn)的不同結(jié)果數(shù)是36，再列舉出點數(shù)之和小于5的情況，利用古典概型的概率公式求解即可.【解答】

解：拋擲兩顆骰子所出現(xiàn)的不同結(jié)果數(shù)是36，

事件“拋擲兩顆骰子，所得兩顆骰子的點數(shù)之和小于5”所包含的基本事件有，，，共6種，

故事件“拋擲兩顆骰子，所得兩顆骰子的點數(shù)之和為5”的概率是，

故選3.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了兩角和差公式的運用，屬于基礎(chǔ)題.

只需要通過誘導公式得到

，再運用兩角和差公式可得答案.【解答】

解：，

故選4.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】

解：當，時，，所以在上單調(diào)遞增;

又有為R上的偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.又有，所以，而，又，

且，所以，所以，故選5.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了球的體積，是中檔題，將兩個互相垂直的圓柱放到棱長為2的正方體內(nèi)，則正方體

的內(nèi)切球與這兩個圓柱的側(cè)面和底面都相切，故可求得內(nèi)切球半徑，故得答案【解答】

解：如圖1，將兩個互相垂直的圓柱放到棱長為2的正方體內(nèi)，

則正方體的內(nèi)切球與這兩個圓柱的側(cè)面和底面都相切，

又因為牟合方蓋上下兩個頂點和側(cè)面的四個曲面剛好與正方體的側(cè)面相切，

故正方體的內(nèi)切球內(nèi)切于牟合方蓋，所以，正方體內(nèi)切球即為牟合方蓋的內(nèi)切球，

其半徑為1，體積為，故選

6.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了分層隨機抽樣的方差問題，是基礎(chǔ)題結(jié)合分層隨機抽樣的方差公式可得答案【解答】

解：學校高三年級男生共有個，所占比例為，女生個，所占比例為，故該

校高三年級全體學生的年齡方差為：，

當時，，故選7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線中的最值問題.

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，利用弦長公式求得，同理求得，從而得出四邊形ADBE的面積，再由基本不等求其最小值.【解答】

解：由已知直線的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為，

由，得

，設(shè)、，

，

，

同理設(shè)、，

，，

四邊形ADBE的面積

當且僅當時，四邊形ADBE的面積取得最小值8.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用，先求得每輛車的利潤和該汽車的銷量的表達式，故可得，再結(jié)合錯位相減法可求得答案【解答】

解：設(shè)第n年每輛車的利潤為萬元，則每輛車的利潤是以2為首項，為公差的等差

數(shù)列，所以，設(shè)第n年新能源汽車的銷量為輛，則該汽車的銷量是以

100000為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，設(shè)該車企銷售新能源汽

車的總利潤為S，，

①，

②，

①-②得：

，

所以萬元，即億元，故選9.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

直接利用函數(shù)的對稱性求出函數(shù)的關(guān)系式，進一步利用函數(shù)的性質(zhì)的判斷A、B、C、D的真假.【解答】

解：由題意得：，所以，，即，，

又，所以，故當時，，

由余弦函數(shù)的圖象知：在上是單調(diào)遞減，故A正確;當時，

，由余弦函數(shù)的圖象知：有兩個極值點，故B正確;

當時，，不是余弦函數(shù)的對稱軸;故C不正確;

由，得，從而得：或，，所

以函數(shù)在點處的切線斜率為，切線方程為：

，即，故D正確，故選10.【答案】BCD

【解析】【分析】本題主要考查了棱柱其結(jié)構(gòu)特征，體積的運算，點軌跡形狀，長度等問題，是難題，結(jié)合棱柱其結(jié)構(gòu)特征，體積的運算，點軌跡逐一分析各選項可得答案【解答】

解：由題意可得，，將平面和平面

沿直線展開，如圖2，在中，，，

，所以，

則的最小值為，故A錯;

，平面ABP，平面平面ABP，即到平面ABP的

距離為定值，即三棱錐的高h為定值，又為定值，所以

為定值，故B正確;

如圖3，連接，

取棱AB，CD，的中點分別為G，H，F(xiàn)，取線段DH的中點為E，連接PE，因為在平面內(nèi)的投影為，，由三垂線定理可得，，連接，

，，平面，在平面內(nèi)的投影為，，由三垂線定理可得，，連接GF，GE，

則平面PEGF，點的軌跡為平行四邊形PEGF，故C正確;

，如圖4，以為球心，為半徑作球，則Q點的軌跡即為該球與直四棱柱各面截球所得的弧，在線段上取一點M，使得，CD上取一點N，使得，則，

平面截球得，長度為，平面截球得，長度

，平面，，平面截球得，長度為，同理可得，平面ABCD截球得，長度為，平面與球相

切與點，則Q點的軌跡長度為，故D正確，故選

11.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性和對稱性，考查了抽象函數(shù)，是難題，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性和對稱性，利用賦值法可得答案【解答】

解：令，則，所以或，若，則當時，

，這與矛盾，故，令，則

，故又的定義域為R關(guān)于原點對稱，所以是偶函數(shù)，故A正確;

當時，，

故，又當時，，所以，

則，所以，故是以4為周期的周期函數(shù)，

又由是偶函數(shù)可得：關(guān)于直線對稱，若關(guān)于點對稱，則，與矛盾，故B錯誤;

若，則是周期為4的周期數(shù)列，又，而，所以的前2024項和為0，故C正確;

令，則，即，

可設(shè)，由，可得，故時成立，經(jīng)檢驗可知原條件均成立，此時有，故D正確，故選12.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查集合交集、并集的定義，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)已知條件，結(jié)合集合交集、并集的定義，即可求解．【解答】

解：由得：，所以，因為且，

所以

故答案為：13.【答案】216

【解析】【分析】本題考查排列組合的綜合應用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)5個人住4個房間，每個房間至少住1人，則有一個房間住兩人求出滿足條件的方法種數(shù).【解答】解：5個人住4個房間，每個房間至少住1人，則有一個房間住兩人，

種14.【答案】

【解析】【分析】本題考查橢圓的方程、兩直線的位置關(guān)系，考查數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).

設(shè)，，，，由，，結(jié)合向量坐標運算表示出，代入到橢圓的方程，再由點差法和斜率公式即可求解.【解答】

解：設(shè)，，，，，故，

則又，都在橢圓上，故

，且，兩式相減得：，

即①，同理可得：②，②-①得：

，所以15.【答案】解：由，得：，即：，

，即

又，

在中，在中，

又，，代入得：

根據(jù)余弦定理得，所以

【解析】本題主要考查正余弦定理的應用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題.

利用得到根據(jù)同角三角函數(shù)化簡即，即可求解；

先利用正弦定理求利用余弦定理求，再利用即可求解.16.【答案】解：，，

函數(shù)在的切線l的方程為

，，令，得，

故而，所以

由恒成立，等價于恒成立，

即：恒成立，

令，則

又，在上單調(diào)遞增，

恒成立，即

令，所以，

則為上的增函數(shù)，上的減函數(shù)，

所以，所以a的取值范圍是：

【解析】本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，函數(shù)的恒成立問題.導數(shù)的幾何意義即在某點處的導數(shù)即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上.對于函數(shù)的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進行求解.屬于中檔題.

求出的切線方程，求導，令，得，故而，所以

等價變形，構(gòu)造函數(shù)，分離參數(shù)求最值可得.17.【答案】證明：如圖，過點B作CD的平行線，即為

理由如下：，平面AEB，平面AEB，

平面

又平面BCD，且平面平面，

又，

又在以AC為直徑的圓上運動，

又，BC、平面BCD，

平面BCD，

平面BCD，

解：在中，，，，故

由知：，，AB、平面ABD，

平面ABD，

又，平面

令，則即為直線EN與平面ABD所成的角，

，，

在中，，

，

即直線EN與平面ABD所成角的正弦值為

【解析】本題考查了空間線、面位置關(guān)系，及線面角的求解，屬于中檔題.

只需證明平面CBD，，即可

面ABD于點G，連接AG，又，平面則即為直線EN與平面ABD所成的角，在中求解即可.18.【答案】解：當點P運動到橢圓C的上頂點時，如圖6，

則：，

的內(nèi)切圓圓M即為的重心.

，，

則

當點P在橢圓C上運動時，設(shè)，過點P作橢圓左準線的垂線，垂足

為，

則：

又，

同理可得：，

延長PM交x軸于點，設(shè)，

點M是內(nèi)切圓圓心，由角平分線性質(zhì)得：，即：，

化簡得：①，

設(shè)內(nèi)切圓圓心，由

得：②，

聯(lián)立①②得：，

又在橢圓上，

即內(nèi)切圓圓心M的軌跡方程為：

點M與點N關(guān)于x軸對稱，

設(shè)，，

由，M，Q三點共線可得：③，

由，N，Q三點共線可得：④，

③④得：

又在曲線上，

，即，

點Q的軌跡方程為：

當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為：，

此時直線l與雙曲線只有一個交點，不成立;

當直線l的斜率存在時，設(shè)，，且，

點，在雙曲線上，