云南省2024屆高三學(xué)期3-3-3高考備考診斷性聯(lián)考卷（二）數(shù)學(xué)試題（含答案）

【新結(jié)構(gòu)】云南省2024屆高三學(xué)期”3+3+3“高考備考診斷性聯(lián)考卷（二）數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)，則(

)A.2 B.1 C. D.2.擲兩顆均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)之和小于5的概率等于(

)A. B. C. D.3.計(jì)算：(

)A. B. C. D.4.已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，且當(dāng)，，時(shí)，，若，，，則下列選項(xiàng)正確的是(

)A. B. C. D.5.如圖，將兩個(gè)相同大小的圓柱垂直放置，兩圓柱的底面直徑與高相等，且中心重合，它們所圍成的幾何體稱(chēng)為“牟合方蓋”，已知兩圓柱的高為2，則該“牟合方蓋”內(nèi)切球的體積為(

)

A. B. C. D.6.某學(xué)校高三年級(jí)男生共有個(gè)，女生共有個(gè)，為調(diào)查該年級(jí)學(xué)生的年齡情況，通過(guò)分層抽樣，得到男生和女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為，和，，已知，則該校高三年級(jí)全體學(xué)生年齡的方差為(

)A. B.

C. D.7.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的兩條互相垂直的直線(xiàn)，分別與拋物線(xiàn)C交于點(diǎn)A，B和D，E，其中點(diǎn)A，D在第一象限，則四邊形ADBE的面積的最小值為(

)A.64 B.32 C.16 D.88.當(dāng)前，全球新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓬勃發(fā)展，汽車(chē)與能源、交通、信息通信等領(lǐng)域有關(guān)技術(shù)加速融合，電動(dòng)化、網(wǎng)聯(lián)化、智能化成為汽車(chē)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展潮流和趨勢(shì).某車(chē)企為轉(zhuǎn)型升級(jí)，從2024年起大力發(fā)展新能源汽車(chē)，2024年全年預(yù)計(jì)生產(chǎn)新能源汽車(chē)10萬(wàn)輛，每輛車(chē)的利潤(rùn)為2萬(wàn)元.假設(shè)后續(xù)的幾年中，經(jīng)過(guò)車(chē)企關(guān)鍵核心技術(shù)的不斷突破和受眾購(gòu)買(mǎi)力的提升，每年新能源汽車(chē)的產(chǎn)量都比前一年增加假設(shè)每年生產(chǎn)的新能源汽車(chē)都能銷(xiāo)售出去，每輛車(chē)的利潤(rùn)都比前一年增加2000元，則至2030年年底，該汽車(chē)集團(tuán)銷(xiāo)售新能源汽車(chē)的總利潤(rùn)約為參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到(

)A.億元 B.億元 C.億元 D.億元二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，則(

)A.在區(qū)間上單調(diào)遞減

B.在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.直線(xiàn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸

D.直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)10.如圖，直四棱柱的底面是梯形，，，，，P是棱的中點(diǎn)在直四棱柱的表面上運(yùn)動(dòng)，則(

)

A.若Q在棱上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為

B.若Q在棱上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐的體積為定值

C.若，則Q點(diǎn)的軌跡為平行四邊形

D.若，則Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為11.已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足：，且，則下列說(shuō)法中正確的是(

)A.是偶函數(shù)

B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

C.設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，則的前2024項(xiàng)和為0

D.可以是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知集合，，若且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.13.某賓館安排A，B，C，D，E五人入住4個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，則共有__________種不同的安排方法用數(shù)字作答14.已知A，B，C，D是橢圓上四個(gè)不同的點(diǎn)，且是線(xiàn)段AB，CD的交點(diǎn)，且，則直線(xiàn)AC的斜率為_(kāi)_________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.本小題13分在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足求角為邊BC上一點(diǎn)，，且，求16.本小題15分已知函數(shù)，若函數(shù)在處的切線(xiàn)l也與函數(shù)的圖象相切，求a的值;若恒成立，求a的取值范圍.17.本小題15分

如圖，在多面體ABCDE中，，，，記平面平面，

若B在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，證明：若N為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，求直線(xiàn)EN與平面ABD所成角的正弦值.18.本小題17分橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)與左、右頂點(diǎn)不重合，已知的內(nèi)切圓圓心為M，延長(zhǎng)PM交x軸于點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，求當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值，求內(nèi)切圓圓心M的軌跡方程;點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為N，直線(xiàn)與相交于點(diǎn)Q，已知點(diǎn)Q的軌跡為過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，試說(shuō)明：是否存在直線(xiàn)l，使得點(diǎn)H為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，若存在，求出直線(xiàn)l的方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19.本小題17分材料一：英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，對(duì)于統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)、統(tǒng)計(jì)推斷等做出了重要貢獻(xiàn).貝葉斯公式就是他的重大發(fā)現(xiàn)，它用來(lái)描述兩個(gè)條件概率之間的關(guān)系.該公式為：設(shè)，，，是一組兩兩互斥的事件，，且，，2，，n，則對(duì)任意的事件，，有，，2，，材料二：馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語(yǔ)言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是，，，，，，那么時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴(lài)前一狀態(tài)，即

請(qǐng)根據(jù)以上材料，回答下列問(wèn)題.已知德國(guó)電車(chē)市場(chǎng)中，有的車(chē)電池性能很好公司出口的電動(dòng)汽車(chē)，在德國(guó)汽車(chē)市場(chǎng)中占比，其中有的汽車(chē)電池性能很好.現(xiàn)有一名顧客在德國(guó)購(gòu)買(mǎi)一輛電動(dòng)汽車(chē)，已知他購(gòu)買(mǎi)的汽車(chē)不是W公司的，求該汽車(chē)電池性能很好的概率結(jié)果精確到為迅速搶占市場(chǎng)，W公司計(jì)劃進(jìn)行電動(dòng)汽車(chē)推廣活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則如下：有11個(gè)排成一行的格子，編號(hào)從左至右為0，1，，10，有一個(gè)小球在格子中運(yùn)動(dòng)，每次小球有的概率向左移動(dòng)一格;有的概率向右移動(dòng)一格，規(guī)定小球移動(dòng)到編號(hào)為0或者10的格子時(shí)，小球不再移動(dòng)，一輪游戲結(jié)束.若小球最終停在10號(hào)格子，則贏得6百歐元的購(gòu)車(chē)代金券;若小球最終停留在0號(hào)格子，則客戶(hù)獲得一個(gè)紀(jì)念品.記為以下事件發(fā)生的概率：小球開(kāi)始位于第i個(gè)格子，且最終停留在第10個(gè)格子.一名顧客在一次游戲中，小球開(kāi)始位于第5個(gè)格子，求他獲得代金券的概率.答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的模，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，由模的公式可得答案．【解答】

解：，

，

，

故選2.【答案】D

【解析】【分析】本題考查古典概型，屬于基礎(chǔ)題.

得到拋擲兩顆骰子所出現(xiàn)的不同結(jié)果數(shù)是36，再列舉出點(diǎn)數(shù)之和小于5的情況，利用古典概型的概率公式求解即可.【解答】

解：拋擲兩顆骰子所出現(xiàn)的不同結(jié)果數(shù)是36，

事件“拋擲兩顆骰子，所得兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和小于5”所包含的基本事件有，，，共6種，

故事件“拋擲兩顆骰子，所得兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和為5”的概率是，

故選3.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了兩角和差公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

只需要通過(guò)誘導(dǎo)公式得到

，再運(yùn)用兩角和差公式可得答案.【解答】

解：，

故選4.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】

解：當(dāng)，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增;

又有為R上的偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.又有，所以，而，又，

且，所以，所以，故選5.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了球的體積，是中檔題，將兩個(gè)互相垂直的圓柱放到棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)，則正方體

的內(nèi)切球與這兩個(gè)圓柱的側(cè)面和底面都相切，故可求得內(nèi)切球半徑，故得答案【解答】

解：如圖1，將兩個(gè)互相垂直的圓柱放到棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)，

則正方體的內(nèi)切球與這兩個(gè)圓柱的側(cè)面和底面都相切，

又因?yàn)槟埠戏缴w上下兩個(gè)頂點(diǎn)和側(cè)面的四個(gè)曲面剛好與正方體的側(cè)面相切，

故正方體的內(nèi)切球內(nèi)切于牟合方蓋，所以，正方體內(nèi)切球即為牟合方蓋的內(nèi)切球，

其半徑為1，體積為，故選

6.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了分層隨機(jī)抽樣的方差問(wèn)題，是基礎(chǔ)題結(jié)合分層隨機(jī)抽樣的方差公式可得答案【解答】

解：學(xué)校高三年級(jí)男生共有個(gè)，所占比例為，女生個(gè)，所占比例為，故該

校高三年級(jí)全體學(xué)生的年齡方差為：，

當(dāng)時(shí)，，故選7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，拋物線(xiàn)中的最值問(wèn)題.

設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求得，同理求得，從而得出四邊形ADBE的面積，再由基本不等求其最小值.【解答】

解：由已知直線(xiàn)的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為，

由，得

，設(shè)、，

，

，

同理設(shè)、，

，，

四邊形ADBE的面積

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形ADBE的面積取得最小值8.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，先求得每輛車(chē)的利潤(rùn)和該汽車(chē)的銷(xiāo)量的表達(dá)式，故可得，再結(jié)合錯(cuò)位相減法可求得答案【解答】

解：設(shè)第n年每輛車(chē)的利潤(rùn)為萬(wàn)元，則每輛車(chē)的利潤(rùn)是以2為首項(xiàng)，為公差的等差

數(shù)列，所以，設(shè)第n年新能源汽車(chē)的銷(xiāo)量為輛，則該汽車(chē)的銷(xiāo)量是以

100000為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，設(shè)該車(chē)企銷(xiāo)售新能源汽

車(chē)的總利潤(rùn)為S，，

①，

②，

①-②得：

，

所以萬(wàn)元，即億元，故選9.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

直接利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)的判斷A、B、C、D的真假.【解答】

解：由題意得：，所以，，即，，

又，所以，故當(dāng)時(shí)，，

由余弦函數(shù)的圖象知：在上是單調(diào)遞減，故A正確;當(dāng)時(shí)，

，由余弦函數(shù)的圖象知：有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確;

當(dāng)時(shí)，，不是余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸;故C不正確;

由，得，從而得：或，，所

以函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，切線(xiàn)方程為：

，即，故D正確，故選10.【答案】BCD

【解析】【分析】本題主要考查了棱柱其結(jié)構(gòu)特征，體積的運(yùn)算，點(diǎn)軌跡形狀，長(zhǎng)度等問(wèn)題，是難題，結(jié)合棱柱其結(jié)構(gòu)特征，體積的運(yùn)算，點(diǎn)軌跡逐一分析各選項(xiàng)可得答案【解答】

解：由題意可得，，將平面和平面

沿直線(xiàn)展開(kāi)，如圖2，在中，，，

，所以，

則的最小值為，故A錯(cuò);

，平面ABP，平面平面ABP，即到平面ABP的

距離為定值，即三棱錐的高h(yuǎn)為定值，又為定值，所以

為定值，故B正確;

如圖3，連接，

取棱AB，CD，的中點(diǎn)分別為G，H，F(xiàn)，取線(xiàn)段DH的中點(diǎn)為E，連接PE，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的投影為，，由三垂線(xiàn)定理可得，，連接，

，，平面，在平面內(nèi)的投影為，，由三垂線(xiàn)定理可得，，連接GF，GE，

則平面PEGF，點(diǎn)的軌跡為平行四邊形PEGF，故C正確;

，如圖4，以為球心，為半徑作球，則Q點(diǎn)的軌跡即為該球與直四棱柱各面截球所得的弧，在線(xiàn)段上取一點(diǎn)M，使得，CD上取一點(diǎn)N，使得，則，

平面截球得，長(zhǎng)度為，平面截球得，長(zhǎng)度

，平面，，平面截球得，長(zhǎng)度為，同理可得，平面ABCD截球得，長(zhǎng)度為，平面與球相

切與點(diǎn)，則Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故D正確，故選

11.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性，考查了抽象函數(shù)，是難題，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性，利用賦值法可得答案【解答】

解：令，則，所以或，若，則當(dāng)時(shí)，

，這與矛盾，故，令，則

，故又的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以是偶函數(shù)，故A正確;

當(dāng)時(shí)，，

故，又當(dāng)時(shí)，，所以，

則，所以，故是以4為周期的周期函數(shù)，

又由是偶函數(shù)可得：關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，若關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，與矛盾，故B錯(cuò)誤;

若，則是周期為4的周期數(shù)列，又，而，所以的前2024項(xiàng)和為0，故C正確;

令，則，即，

可設(shè)，由，可得，故時(shí)成立，經(jīng)檢驗(yàn)可知原條件均成立，此時(shí)有，故D正確，故選12.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查集合交集、并集的定義，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)已知條件，結(jié)合集合交集、并集的定義，即可求解．【解答】

解：由得：，所以，因?yàn)榍遥?/p>

所以

故答案為：13.【答案】216

【解析】【分析】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)5個(gè)人住4個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，則有一個(gè)房間住兩人求出滿(mǎn)足條件的方法種數(shù).【解答】解：5個(gè)人住4個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，則有一個(gè)房間住兩人，

種14.【答案】

【解析】【分析】本題考查橢圓的方程、兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).

設(shè)，，，，由，，結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算表示出，代入到橢圓的方程，再由點(diǎn)差法和斜率公式即可求解.【解答】

解：設(shè)，，，，，故，

則又，都在橢圓上，故

，且，兩式相減得：，

即①，同理可得：②，②-①得：

，所以15.【答案】解：由，得：，即：，

，即

又，

在中，在中，

又，，代入得：

根據(jù)余弦定理得，所以

【解析】本題主要考查正余弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題.

利用得到根據(jù)同角三角函數(shù)化簡(jiǎn)即，即可求解；

先利用正弦定理求利用余弦定理求，再利用即可求解.16.【答案】解：，，

函數(shù)在的切線(xiàn)l的方程為

，，令，得，

故而，所以

由恒成立，等價(jià)于恒成立，

即：恒成立，

令，則

又，在上單調(diào)遞增，

恒成立，即

令，所以，

則為上的增函數(shù)，上的減函數(shù)，

所以，所以a的取值范圍是：

【解析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，函數(shù)的恒成立問(wèn)題.導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率，解題時(shí)要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線(xiàn)上和切點(diǎn)在切線(xiàn)上.對(duì)于函數(shù)的恒成立問(wèn)題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解.屬于中檔題.

求出的切線(xiàn)方程，求導(dǎo)，令，得，故而，所以

等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，分離參數(shù)求最值可得.17.【答案】證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作CD的平行線(xiàn)，即為

理由如下：，平面AEB，平面AEB，

平面

又平面BCD，且平面平面，

又，

又在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

又，BC、平面BCD，

平面BCD，

平面BCD，

解：在中，，，，故

由知：，，AB、平面ABD，

平面ABD，

又，平面

令，則即為直線(xiàn)EN與平面ABD所成的角，

，，

在中，，

，

即直線(xiàn)EN與平面ABD所成角的正弦值為

【解析】本題考查了空間線(xiàn)、面位置關(guān)系，及線(xiàn)面角的求解，屬于中檔題.

只需證明平面CBD，，即可

面ABD于點(diǎn)G，連接AG，又，平面則即為直線(xiàn)EN與平面ABD所成的角，在中求解即可.18.【答案】解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，如圖6，

則：，

的內(nèi)切圓圓M即為的重心.

，，

則

當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓左準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足

為，

則：

又，

同理可得：，

延長(zhǎng)PM交x軸于點(diǎn)，設(shè)，

點(diǎn)M是內(nèi)切圓圓心，由角平分線(xiàn)性質(zhì)得：，即：，

化簡(jiǎn)得：①，

設(shè)內(nèi)切圓圓心，由

得：②，

聯(lián)立①②得：，

又在橢圓上，

即內(nèi)切圓圓心M的軌跡方程為：

點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

設(shè)，，

由，M，Q三點(diǎn)共線(xiàn)可得：③，

由，N，Q三點(diǎn)共線(xiàn)可得：④，

③④得：

又在曲線(xiàn)上，

，即，

點(diǎn)Q的軌跡方程為：

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l的方程為：，

此時(shí)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，不成立;

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)，，且，

點(diǎn)，在雙曲線(xiàn)上，