2023-2024學(xué)年廣西南寧市橫縣高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（4月份）（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年廣西南寧市橫縣高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（4月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b2=A.π6 B.π3 C.3π2.如圖所示，△ABC中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，E是線段AD的靠近A的三等分點(diǎn)，則A.23BA+16BC

3.已知兩個(gè)非零向量a，b的夾角為60°，且a⊥(a?A.3 B.7 C.2 D.4.設(shè)α、β、γ為平面，m、n、l為直線，則下面一定能得到m⊥β的是(

)A.α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ B.α⊥β，α∩β=l，m5.如圖，正四棱錐P?ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在球O的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上，若VP?A.32π

B.323π

C.16

6.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是BA.5 B.6 C.37.已知正三棱錐S?ABC的底面是面積為3的正三角形，高為A.16π3 B.8π3 C.8.如圖，在多面體ABC?DEFG中，平面ABC/?/平面A.BF/?/平面ACGD

B.CF/?/

二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.有下列說(shuō)法，其中正確的說(shuō)法為(

)A.若a//b，b/?/c，則a/?/c

B.若PA?PB=PB?PC=PC?P10.在△ABC中，點(diǎn)P滿足BP=3PC，過(guò)點(diǎn)P的直線與AB、AC所在的直線分別交于點(diǎn)M、

A.AP=34AB+14AC 11.已知正方體ABCD?A.直線BC1與DA1所成的角為90°

B.直線BC1與CA1所成的角為90°

C.直線BC112.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1(cosα,sinA.|OP1|=|OP2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.設(shè)e1,e2是不共線的向量，若AB=e1+λe2,14.e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，且a=e1+ke215.已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n16.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題10分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b2+c2?a2sinB=a2+c2?b18.(本小題12分)

已知向量a,b的夾角為120°，且|a|=1,|b|=2,c19.(本小題12分)

已知一圓錐的母線長(zhǎng)為10cm，底面圓半徑為6cm．

(1)20.(本小題12分)

如圖1，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)M，N分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且BM=2MA，AN=2NC．

如圖2，將△AMN沿MN折起到△A′MN的位置，連接A′B，A′C．

(1)求證：平面A′BM⊥平面BC21.(本小題12分)

已知：平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，E是點(diǎn)A在平面PBC內(nèi)的射影

(1)求證：P22.(本小題12分)

在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將由四個(gè)直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”.已知三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC．

(1)從三棱錐P?ABC中選擇合適的兩條棱填空．

若______⊥______，則該三棱錐為“鱉臑”；

(2)已知三棱錐P?ABC是一個(gè)“鱉臑”，且AC=1，AB=2，∠BAC=60°，

①若△PAC上有一點(diǎn)D，如圖1所示，試在平面

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閎2=a2+c2+ac，

所以a2+c2?b2=?ac，

所以cos2.【答案】A

【解析】解：由題意可得：BE=BA+AE，AE=13AD，AD3.【答案】B

【解析】解：∵非零向量a，b的夾角為60°，且a⊥(a?2b)，

∴a?(a?2b)=|a|2?2|a|4.【答案】C

【解析】解：由α、β、γ為平面，m、n、l為直線，知：

在A中，α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，則m⊥β或m//β，故A錯(cuò)誤；

在B中，α⊥β，α∩β=l，m⊥l，則m與β相交、平行或m?β，故B錯(cuò)誤；

在C中，n⊥α，n⊥β，則α/?/β，再由m⊥α，得m⊥β，故C正確；

在D中，α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，則m與β相交、平行或m?β，故D5.【答案】B

【解析】解：設(shè)球O的半徑為R.因?yàn)檎睦忮FP?ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在球O的同一個(gè)大圓上，且點(diǎn)P在球面上，

所以PO⊥底面ABCD，PO=R，底面ABCD的面積為S=2R2．

因?yàn)閂P?6.【答案】B

【解析】【分析】本題考查空間中點(diǎn)到面的距離，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．

由已知求得三角形ACE的面積，再由等積法求點(diǎn)B到平面【解答】

解：如圖，

在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=6，E是BB1的中點(diǎn)，

則BE=3，AE=CE=62+7.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查棱錐的內(nèi)切球半徑的求法，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，是中檔題．

由已知求得正三棱錐的底面邊長(zhǎng)及斜高，再由等體積法求得半徑，代入球的表面積公式得答案．

【解答】

解：過(guò)頂點(diǎn)S作SO⊥平面ABC，則SO=22，

設(shè)正三棱錐S?ABC的底面邊長(zhǎng)為a，則底面積為34a2=3，即a=2．

連接AO并延長(zhǎng)，交BC于D，連接SD，則SD為斜高，

∴8.【答案】A

【解析】解：取DG的中點(diǎn)為M，連結(jié)AM，如圖所示，

因?yàn)镋F/?/DG，且DG=2EF，所以DM/?/EF且DM=EF，

所以四邊形DEFM是平行四邊形，

所以DE/?/FM，且DE=FM，

因?yàn)槠矫鍭BC/?/平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB=AB，平面ADEB∩平面DEFG=DE，

所以AB//DE，所以AB/?/FM，

又AB=DE9.【答案】BC【解析】解：對(duì)于A：若a//b，b/?/c，(b≠0)，

則a/?/c，

當(dāng)b=0時(shí)，a與c不一定共線，

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：PA?PB=PB?PC=PC?PA，

整理得PA?PB?PB?PC=0，

故PB?(PA?PC)=PB?CA=0，

同理10.【答案】BC【解析】解：對(duì)于A，∵BP=3PC，∴AP=AB+BP=AB+34BC=AB+34(AC?AB)=14AB+34AC，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，∵AM=λAB，AN=μAC，∴AB=11.【答案】AB【解析】【分析】

本題考查空間中異面直線所成角與線面角的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

求出異面直線所成角判斷A；證明線面垂直，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)判斷B；分別求出線面角判斷C與D．

【解答】

解：如圖，

連接B1C，由A1B1/?/DC，A1B1=DC，得四邊形DA1B1C為平行四邊形，

可得DA1//B1C，∵BC1⊥B1C，∴直線BC1與DA1所成的角為90°，故A正確；

∵A1B1⊥BC1，BC1⊥B1C，A1B1∩B1C=B1，∴BC112.【答案】AC【解析】【分析】

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及兩角和的三角函數(shù)，是中檔題．

由已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別求得對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，然后逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)得答案．

【解答】

解：∵P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,?sinβ)，P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，

∴OP1=(cosα,sin13.【答案】?3【解析】解：因?yàn)閑1,e2是不共線的向量，所以e1,e2可以作為平面內(nèi)一組基底，

因?yàn)锳B=e1+λe2,CB=e1+e2,CD=3e1?2e2，所以DB14.【答案】±1【解析】解：依題意，可設(shè)a=λb，

即e1+ke2=λ(4ke1+e2)=4kλe1+λ15.【答案】m⊥α，n⊥β，α⊥β?【解析】解：m⊥α，n⊥β，α⊥β?m⊥n，由面面垂直的性質(zhì)定理得m⊥n正確；

m⊥n，m⊥α，n⊥β?α⊥β，由面面垂直的判定定理得α⊥β正確；

α⊥β，n⊥β，m⊥n?m⊥α，這里m與α相交、平行或m?α，故m⊥α不正確；

m⊥n，α⊥β，m16.【答案】(1【解析】解：設(shè)DF=x(1<x<2)，連接FK，

則cos∠FAK=cos∠DFA=x1+x2，

于是FK2=AF2+AK2?2AF·AK·cos∠FAK

=1+x2+t2?217.【答案】(1)證明：因?yàn)閎2+c2?a2sinB=a2+c2?b2sinA，

由余弦定理可得2bccosAsinB=2accosBsinA，

即bcosAsinB=acosBsinA，又由正弦定理bsinB=asinA，得cosA=cosB，

角A，【解析】(1)由余弦定理和正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，可證A=B；

(218.【答案】解：(1)∵向量a,b的夾角為120°，且|a|=1，|b|=2，

∴|【解析】(1)由向量的模及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求解；

(2)由向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系列式求解19.【答案】解：(1)一圓錐的母線長(zhǎng)為10cm，底面圓半徑為6cm．

故圓錐的高h(yuǎn)=102?62=8；

(2)根據(jù)題意，軸截面如圖所示：

【解析】(1)直接利用勾股定理的應(yīng)用求出圓錐的高；

(220.【答案】(1)證明：由已知得AM=1，AN=2，∠A=60°，

∴MN⊥AB，

∴MN⊥A′M，MN⊥MB，又∵M(jìn)B∩A′M=M，

∴MN⊥平面A′BM．

∵M(jìn)N?平面BCNM，

∴平面A′BM⊥平面BCNM．

(2)解：若用條件①A′M⊥BC，由(1)得A′M⊥MN，又BC和MN是兩條相交直線，

∴A′M⊥平面BCNM，

三棱錐【解析】(1)證明MN⊥AB，MN⊥A′M，推出MN⊥平面A′BM，然后證明平面A′BM⊥平面BCNM．

(2)若用條件①推出A′M⊥平面BCNM，然后求解三棱錐A′?BCM的體積，說(shuō)明存在P，滿足條件．21.【答案】證明：(1)在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D，

作DF⊥AC于F，平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，

∴DF⊥平面PAC，PA?平面PAC，

∴DF⊥AP．

作DG⊥AB于G，同理可證DG⊥AP．

DG、DF都在平面ABC內(nèi)．

∴PA⊥平面ABC．

(2)連結(jié)【解析】(1)在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D作DF⊥AC于F，平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，推導(dǎo)出DF⊥AP.作DG⊥AB于G，同理可證DG⊥AP.22.【答案】解：(1)當(dāng)AB⊥BC時(shí)，該三棱錐為“鱉臑”，證明如下：

因?yàn)镻A⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC，

則PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，

故△PAC與△PAB是兩個(gè)直角三角形，

當(dāng)AB⊥BC時(shí)，則△BAC為直角三角形，

因?yàn)镻A∩AB=A，PA，AB?平面PAB，

則BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，

所以BC⊥PB，則△BPC為直角三角形，

故該三棱錐為“鱉臑”；

同理可知當(dāng)PB⊥BC時(shí)也可證得該三棱錐為“鱉臑”;

同理可知當(dāng)PC⊥BC時(shí)也可證得該三棱錐為“鱉臑”;

同理可知當(dāng)AC⊥BC時(shí)也可證得該三棱錐為“鱉臑”，

(2)①連接CD，在△PAC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)D作l⊥CD，即可得l為所求直線，

證明如下：

在△ABC中，由余弦定理可得BC=3，

由勾